Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô Si

Thông tin tài liệu

Kỹ thuật sử dụngBất đẳng thứcCô-SiHà Nội 16 - 6 - 2006 21. NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC SỬDỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SIQuy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách songhành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giả nhanh hơn.Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “ = ” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứngminh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT. Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh tarèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dù trong các kì thi học sinh có thể không trìnhbày phần này. Ta thấy được ưu điểm của dấu bằng đặc biệt trong phương pháp điểm rơi và phương pháp tách nghịchđảo trong kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si.Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả một số giáo viên khi mới nghiêncứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay mắc sai lầm này. Áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưngkhông chú ý đến điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được đồngthời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến.Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bàitoán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng cácgiá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên.Quy tắc đối xứng: các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là như nhau dođó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉra dấu “ = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể.Chiều của BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngượclạiTrên là 5 quy tắc sẽ giúp ta có định hướng để chứng minh BĐT, học sinh sẽ thực sự hiểu được các quy tắc trên qua cácví dụ và bình luận ở phần sau.2. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI(CAUCHY)1. Dạng tổng quát (n số): x1, x2, x3 …… xn≥ 0 ta có: Dạng 1:1 21 2 .nnnx x xx x xn  Dạng 2:1 21 2 .nnnx x x n x x x   Dạng 3:1 21 2 .nnnx x xx x xn    Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi:1 2 nx x x  Hệ quả 1:Nếu:1 2 nx x x S const    thì: 1 2P nnSMaxnx x x   khi1 2 nSnx x x   Hệ quả 2:Nếu:1 2 .nx x x P const thì: 1 2 2 .nMin S n Px x x  khi1 2 nnx x x P  2. Dạng cụ thể ( 2 số, 3 số ):n = 2:  x, y ≥ 0 khi đó: n = 3:  x, y, z ≥ 0 khi đó:2.12x yxy33x y zxyz 2.22x y xy 33x y z xyz  2.322x yxy   33x y zxyz     32.4 24x y xy  327x y z xyz  2.51 1 4x y x y 1 1 1 9x y z x y z   2.6 21 4xyx y 31 4xyzx y z Bình luận: Để học sinh dễ nhớ, ta nói: Trung bình cộng (TBC) ≥ Trung bình nhân (TBN). Dạng 2 và dạng 3 khi đặt cạnh nhau có vẻ tầm thường nhưng lại giúp ta nhận dạng khi sử dụng BĐT Cô Si: (3)đánh giá từ TBN sang TBC khi không có cả căn thức. 3. CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG3.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân.Đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chiều “ ≥ ”. Đánh giá từ tổng sang tích.Bài 1: Chứng minh rằng:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 , ,8 a b ca b b c c a a b c    GiảiSai lầm thường gặp:Sử dụng:  x, y thì x2- 2xy + y2 = ( x- y)2≥ 0  x2 + y2≥ 2xy. Do đó:2 22 22 2222a b abb c bcc a ca        2 2 2 2 2 2 2 2 28 , ,a b b c c a a b c a b c     (Sai)Ví dụ:2 23 54 3   24 = 2.3.4 ≥ (-2)(-5).3 = 30 ( Sai )Lời giải đúng:Sử dụng BĐT Cô Si: x2 + y2≥ 22 2x y = 2|xy| ta có:2 22 22 2000222a b abb c bcc a ca        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2|8| 8 , ,a b b c c a a b c a b c a b c    (Đúng)Bình luận: Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm. Cần chú ý rằng: x2 + y2≥ 22 2x y = 2|xy| vì x, y không biết âm hay dương. Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Cô Si như bài toán nói trên mà phải qua một và phép biển đổiđến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT Cô Si. Trong bài toán trên dấu “ ≥ ”  đánh giá từ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi ý đến việc sử dụng bất đẳng thứcCôsi cho 2 số, 3 cặp số.Bài 2 : Chứng minh rằng: 8264 ( )a b ab a b   a,b ≥ 0Giải       448 24ôSi24 2 .2 2 2 2 2 . .Ca b a b a b ab a b ab ab a b                 264 ( )ab a b Bài 3: Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab  a, b ≥ 0. 4GiảiTa có: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥3 33 1. . . 3. . . 9ab abab abBình luận: 9 = 3.3 gợi ý sử dụng Côsi cho ba số, 2 cặp. Mỗi biến a, b được xuất hiện ba lần, vậy khi sử dụng Cô Si cho ba sốsẽ khử được căn thức cho các biến đó.Bài 4: Chứng minh rằng: 3a3+ 7b3≥ 9ab2 a, b ≥ 0GiảiTa có: 3a3 + 7b3≥ 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b333 3 3 3 3Côsia b= 9ab2Bình luận: 9ab2 = 9.a.b.b  gợi ý đến việc tách hạng tử 7b3 thành hai hạng tử chứa b3 để khi áp dụng BĐT Côsi ta có b2.Khi đã có định hướng như trên thì việc tách các hệ số không có gì khó khăn.Bài 5: Cho:, , , 01 :1 1 1 18131 1 1 1a b c dCMR abcda b c d      GiảiTừ giả thiết suy ra:   ôsi3 31 1 1 11 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1= -Cb c d bcda b c d b c db c d                              Vậy:                     333333331011 1 11011 1 11 d811 1 1 1 1 1 1 11011 1 11011 1 1bcdab c dcdabc d aabca b c d a b c ddcacd c aabcda b c                   181abcd Bài toán tổng quát 1:Cho: 1 2 31 2 31 2 3, , , .,101 : .1 1 1 1 . 11 1 1 1nnnnnx x x xCMR x x x xnx x x x        Bình luận: Đối với những bài toán có điều kiện là các biểu thức đối xứng của biền thì việc biến đổi điều kiện mang tính đốixứng sẽ giúp ta xử lí các bài toán chứng minh BĐT dễ dàng hơnBài 6: Cho, , 01 1 1 : 1 1 1 81a b cCMRa b ca b c               (1)Giảiôsi1 1 1(1) . .2 2 2. . . . 8Ca b cVTa b cb c c a a b bc ca aba b c a b c      (đpcm) 5Bài toán tổng quát 2:Cho: n1 2 31 2 31 2 3, , , ., 1 101 1 1 1 : 1 1 1 1nnnnx x x xCMRx x x xx x x x                        Bài 7: CMR:    1 2 33331 1 1 1 1 8 , , 03a b ca b c abc abc a b c                             GiảiTa có:      ôsi331 1 11 1 1 13 3Ca b ca b ca b c                (1)Ta có:      1 1 1 1a b c ab bc ca a b c abc             2 2 23ôsi333 3 11 3Ca b c abc abc abc    (2)Ta có: 333 3ôsi 2 1. 81Cabc abc abc    (3)Dấu “ = ” (1) xảy ra  1+a = 1+b = 1+c  a = b = cDấu “ = ” (2) xảy ra  ab = bc = ca và a = b = c  a = b= cDấu “ = ” (3) xảy ra 3abc=1  abc = 1Bài toán tổng quát 3:Cho x1, x2, x3,……., xn≥ 0. CMR: 1 2 31 21 2 1 2 1 2 . 2 1 1 1 1 1nn n nnnnnx x xx x x x x x x x xn                                 Bìnhluận: Bài toán tổng quát trên thường được sử dụng cho 3 số, áp dụng cho các bài toán về BĐT lượng giác trong tamgiác sau này. Trong các bài toán có điều kiện ràng buộc việc xử lí các điều kiện mang tình đồng bộ và đối xứng là rất quantrọng, giúp ta định hướng được hướng chứng minh BĐT đúng hay sai.Trong việc đánh giá từ TBC sang TBN có một kỹ thuật nhỏ hay được sử dụng. Đó là kĩ thuật tách nghịch đảo.3.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo.Bài 1: CMR:2 . 0a babb a   GiảiTa có:2 2Côsia b a bb a b a  Bài 2: CMR:22221aa Ra  GiảiTa có: 22 22 2 2 2ôsi2 2 21 12 1 11 11 1 1 1Caaa aa a a a         Dấu “ = ” xảy ra 2 2211 1 1 01a a aa     Bài 3: CMR: 13 0a a bb a b     6GiảiTa có nhận xét: b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b đo đó hạng tử đầu a sẽ được phân tích như sau:     3ôsi .1 1 13 . 3 0Ca b a b b a b a bb a b b a b b a b            Dấu “ = ” xảy ra   1b a bb a b  a = 2 và b = 1.Bài 4: CMR:  243 01a a ba b b     (1)GiảiVì hạng tử đầu chỉ có a cần phải thêm bớt để tách thành các hạng tử sau khi sử dụng BĐT sẽ rút gọn cho cácthừa số dưới mẫu. Tuy nhiên biểu thức dưới mẫu có dạng  21a b b (thừa số thứ nhất là một đa thức bậc nhất b,thừa số 2 là một thức bậc hai của b) do đó ta phải phân tích về thành tích của các đa thức bậc nhất đối với b, khi đó tacó thể tách hạng tử a thành tổng các hạng tử là các thừa số của mẫu.Vậy ta có:  21a b b  = (a - b)( b + 1)( b + 1)  ta phân tích a theo 2 cách sau:2a +2 = 2(a - b) + ( b + 1) + ( b + 1) hoặc a +1 = 1 12 2b ba b   Từ đó ta có (1) tương đương : VT + 1 =       24 1 1 412 21 11b ba a ba b b ba b b              4ôsi . . . .1 1 44 42 21 1Cb ba ba b b b      ĐPCMBài 5: CMR :312a 1234 ( )1ab a bab GiảiNhận xét: Dưới mẫu số b(a-b) ta nhận thấy b + ( a – b ) = a. Chuyển đổi tất cả biểu thức sang biến a là 1 điềumong muốn vì việc sử lí với 1 biến sẽ đơn giản hơn. Biến tích thành tổng thì đây là một mặt mạnh của BĐT Côsi. Dođó:Ta có đánh giá về mẫu số như sau:  224. 4. 4.2 4b a bab a b a         Vậy:3 3 3ôsi32 23ôsi 3 32a 1 2 1 1 1 1 . .4 ( )C Ca a aa a aab a b a aa a       Dấu “ = ” xảy ra 211 12b a b aa ba      Bình luận: Trong việc xử lí mẫu số ta đã sử dụng 1 kỹ thuật đó là đánh giá từ TBN sang TBC nhằm làm triệt tiêu biến b. Đối với phân thức thì việc đánh giá mẫu số, hoặc tử số từ TBN sang TBC hay ngược lại phải phụ thuộc vào dấucủa BĐT.Bài 6: Bài toán tổng quát 1. 7Cho:1 2 3 ., 0 à 1nx x x x v k Z     . CMR:     11 211 2 2 3 11 21 .k kkn kn kn nnn kaa a a a a a ak          GiảiVT =        1 2 2 3 11 2 2 3 1 .1 n nk kknn nna a a a a aa a a a a a aa                  1 11 2 1 21 2 2 3 1 1 .nn nn nk k kn nnk ka a a aa a a aak k k ka a a a a a a                       1 11 2 1 21 2 2 3 11 2 11 2 nn nn nk kkn nnn kk ka a a aa a a an k ak k k ka a a a a a a               1 211 2n kn kn kk        Tóm lại: Trong kỹ thuật tách nghịch đảo kỹ thuật cần tách phần nguyên theo mẫu số để khi chuyển sang TBN thì cácphần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số.Tuy nhiên trong kỹ thuật tách nghịch đảo đối với bài toán có điều kiện ràng buộc của ẩn thì việc tách nghịch đảohọc sinh thường bị mắc sai lầm. Một kỹ thuật thường được sử dụng trong kỹ thuật tách nghịch đảo, đánh giá từ TBNsang TBC là kỹ thuật chọn điểm rơi.3.3 Kỹ thuật chọn điểm rơiTrong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Côsi và các quy tắc về tính đồng thời của dấu “= ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến.Bài 1: Cho a ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của1S aa GiảiSai lầm thường gặp của học sinh:1S aa ≥ 21aa=2Dấu “ = ” xảy ra 1aa a = 1  vô lí vì giả thiết là a ≥ 2.Cách làm đúng:Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử1ađể sao cho khi áp dụng BĐT Côsi dấu “ = ” xảy ra khi a = 2.Có các hình thức tách sau:1 1; (1)1; (2)1,1; (3); (4)aaaaaaaaaa               Vậy ta có:514 4 21 3 1 3 3.224 4 4a a a aSa a      . Dấu “ = ” xảy ra  a = 2.Bình luận:Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1):(sơ đồ điểm rơi (2), (3), (4) học sinh tự làm)1 21 12aa 2 12  = 4. 8 Ta sử dụng điều kiện dấu “ = ” và điểm rơi là a = 2 dựa trên quy tăc biên để tìm ra  = 4. Ở đây ta thấy tính đồng thời của dấu “ = ” trong việc áp dụng BĐT Côsi cho 2 số,41aa và34ađạt giá trị lớnnhất khi a = 2, tức là chúng có cùng điểm rơi là a = 2.Bài 2: Cho a ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:21S aa GiảiSơ đồ chọn điểm rơi: a = 2 221 14aa 2 14  = 8.Sai lầm thường gặp:2 2 2.1 1 7 1 7 2 7 2 7.2 2 7 928 8 8 8 8 8 4 4 48 8.2a a a a aS aa a aa                MinS =94Nguyên nhân sai lầm:Mặc dù chọn điểm rơi a = 2 và MinS =94 là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫusố: Nếu a ≥ 2 thì2 2 248 8.2a là đánh giá sai.Để thực hiện lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kỹ thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi S sao cho sau khi sử dụngBĐT Côsi sẽ khử hết biến số a ở mẫu số.Lời giải đúng:32 2 2ôsi . .1 1 6 1 6 3 6 3 6.2 938 8 8 8 8 8 4 8 4 8 4Ca a a a a a aS aa a a              Với a = 2 thì Min S =94Bài 3: Cho, , 032a b ca b c  . Tìm giá trị nhỏ nhất của1 1 1S a b ca b c     GiảiSai lầm thường gặp:6. .1 1 1 1 1 16 . . . 6S a b c abca b c a b c       Min S = 6Nguyên nhân sai lầm :Min S = 6 3121 1 1 3a b c a b ca cb          trái với giải thiết.Phân tích và tìm tòi lời giải:Do S là mọt biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt tại điểm rơi12a b c  Sơ đồ điểm rơi:12a b c  121 1 1 2a b ca b c       2412 Hoặc ta có sơ đồ điêm rơi sau: 912a b c  22 421 1 12a b ca b c        2 412  Vậy ta có cách giải theo sơ đồ 2 như sau:   6. .1 1 1 1 1 14 4 4 3 6 4 .4 .4 . 3S a b c a b c a b c a b ca b c a b c              3 1512 3.2 2  . Với12a b c   thì MinS =152Bài 4: Cho, , 032a b ca b c  . Tìm GTNN của2 2 22 2 21 1 1S a b cb c a     GiảiSai lầm thường gặp:2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 236. . . .1 1 1 1 1 13 3a b c a b cb c a b c aS                     2 2 262 2 26. . . . .1 1 13 2 2 2 3 8 3 2a b cb c a                      MinS =3 2.Nguyên nhân sai lầm:MinS =3 23121 1 1 3a b c a b ca cb          trái với giả thiết.Phân tích và tìm tòi lời giảiDo S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt tại12a b c  2 2 22 2 211 44 16441 1 1a b ca b c       Lời giải2 2 22 2 2 2 2 216 16 16 . . .1 1 1 1 1 116 16 16 16 16 16S a b cb b c c a a            2 2 22 2 2 2 2 216 16 1617 17 1717 . . 17 . . 17 . .1 1 1 1 1 116 16 16 16 16 16a b cb b c c a a    2 2 217 17 171717 1716 32 16 32 16 32 8 16 8 16 8 1617 17 17 1716 16 16 16 16 16a b c a b cb c a b c a         31717 17 178 16 8 16 8 16 8 5 5 5517. . 3. 17.3 1717 316 16 16 162 2 2 2a b c ab c a a b ca b c      1015172 2 2.33 17 3 1722a b c     . Dấu “ = ” xảy ra khi12a b c   Min S =3 172Bình luận: Việc chọn điểm rơi cho bài toán trên đã giải quyết một cách đúng đắn vềmặt toán học nhưng cách làm trên tươngđối cồng kềnh. Nếu chúng ta áp dụng việc chọn điểm rơi cho BĐT Bunhiacôpski thì bài toán sẽ nhanh gọn hơnđẹp hơn. Trong bài toán trên chúng ta đã dùng một kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC, chiều của dấu của BĐT không chỉphụ thuộc vào chiều đánh giá mà nó còn phụ thuộc vào biểu thức đánh giá nằm ở mẫu số hay ở tử sốBài 5: Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:a b c d b c d c d a a b d a b cSb c d c d a a b d a b c a b c d                     GiảiSai lầm 1 thường gặp: 2 22 22 22 2a b c d a b c db c d a b c d ab c d a b c d ac d a b c d a bc a b d c a b da b d c a b d cd a b c d a b ca b c d a b c d                                 S ≥ 2 + 2 + 2 + 2 = 8Sai lầm 2 thường gặp:Sử dụng BĐT Côsi cho 8 số:8. . . . . . .8 8a b c d b c d c d a a b d a b cSb c d c d a a b d a b c a b c d               Nguyên nhân sai lầm:Min S = 8 a b c db c d ac d a bd a b c         a + b + c + d = 3(a + b + c + d)  1 = 3  Vô lý.Phân tích và tìm tòi lời giảiĐể tìm Min S ta cần chú ý S lá một biểu thức đối xứng với a, b, c, d do đó Min S nếu có thường đạt tại “điểm rơi tựdo” là : a = b = c = d > 0.(nói là điểm rơi tự do vì a, b, c, d không mang một giá trị cụ thể). Vậy ta cho trước a = b = c= d dự đoán4 40 123 3Min S   . Từ đó suy ra các đánh giá của các BĐT bộ phận phải có điều kiện dấu bằngxảy ra là tập con của điều kiện dự đoán: a = b = c = d > 0.Ta có sơ đồ điểm rơi: Cho a = b = c = d > 0 ta có:11 33 933a b c db c d c d a a b d a b cb c d c d a a b d a b ca b c d                      Cách 1: Sử dụng BĐT Côsi ta có: [...]... dấu. Giả sử x i > 0 với mọi i. Áp dụng bất đẳng thức Cơ -si, ta có: 1 2 2 1 1 1 2 x x x            .Tương tự: x i  1 với mọi i. Cộng n phương trình của hệ theo từng vế ta được: 1 2 1 2 1 1 1 n n x x x x x x        2 1. NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các... Trong kỹ thuật tách nghịch đảo kỹ thuật cần tách phần nguyên theo mẫu số để khi chuyển sang TBN thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số. Tuy nhiên trong kỹ thuật tách nghịch đảo đối với bài tốn có điều kiện ràng buộc của ẩn thì việc tách nghịch đảo học sinh thường bị mắc sai lầm. Một kỹ thuật thường được sử dụng trong kỹ thuật tách nghịch đảo, đánh giá từ TBN sang TBC là kỹ thuật. .. chung ta ít gặp bài tốn sử dụng ngay BĐT Cơ Si như bài tốn nói trên mà phải qua một và phép biển đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT Cơ Si.  Trong bài toán trên dấu “ ≥ ”  đánh giá từ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi ý đến việc sử dụng bất đẳng thức C si cho 2 số, 3 cặp số. Bài 2 : Chứng minh rằng:   8 2 64 ( )a b ab a b    a,b ≥ 0 Giải           4 4 8 2 4 Si 2 4 2 .2 2 2 2 2... CMR: 2 . 0 a b ab b a     Giải Ta có: 2 2 C si a b a b b a b a    Bài 2: CMR: 2 2 2 2 1 a a R a      Giải Ta có:   2 2 2 2 2 2 2 si 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 C a a a a a a a a               Dấu “ = ” xảy ra  2 2 2 1 1 1 1 0 1 a a a a        Bài 3: CMR:   1 3 0a a b b a b       Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô- Si Hà Nội 16 - 6 - 2006 15   2 2 1 1 1 2... 8 D MA MB MC M ME MF  e ) 9/2 DA EB FC MA MB MC    ; f) D 3/2 M ME MF MA MB MC    5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Áp dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình Bài 1: Giải phương trình 1 1 2 ( ) 2 x y z x y z       Giải Điều kiện : x  0, y  1, z  2. Áp dụng bất đẳng thức C si cho hai số khơng âm ta có:   1 .1 2 ( 1) 1 1 ( 1).1 2 ( 2) 1 1 2 2 .1 2 2 x x x y y y z z z z  ... từ TBN sang TBC là kỹ thuật chọn điểm rơi. 3.3 Kỹ thuật chọn điểm rơi Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT C si và các quy tắc về tính đồng thời của dấu “ = ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến. Bài 1: Cho a ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của 1 S a a   Giải Sai lầm thường gặp của học sinh: 1 S a a   ≥ 2 1 a a =2 Dấu “ = ” xảy ra...    2.6   2 1 4 xy x y     3 1 4 xyz x y z    Bình luận:  Để học sinh dễ nhớ, ta nói: Trung bình cộng (TBC) ≥ Trung bình nhân (TBN).  Dạng 2 và dạng 3 khi đặt cạnh nhau có vẻ tầm thường nhưng lại giúp ta nhận dạng khi sử dụng BĐT Cô Si: (3) đánh giá từ TBN sang TBC khi khơng có cả căn thức. 3. CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG 3.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân. Đánh giá từ TBC sang... > 0 va abc = 1 thì : 1 1 1 1 2 2 2a b c       Giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2a b c          1 2 2 2 a b c a b c      Đặt ; ; ; x y z a b c y z x    thỏa điều kiện . . 1. . x y z abc y z x  . Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 1 2 2 2 x y z x y y z z x      Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:           2 2 2 2 2 2 2 x... trên thường được sử dụng cho 3 số, áp dụng cho các bài toán về BĐT lượng giác trong tam giác sau này.  Trong các bài tốn có điều kiện ràng buộc việc xử lí các điều kiện mang tình đồng bộ và đối xứng là rất quan trọng, giúp ta định hướng được hướng chứng minh BĐT đúng hay sai. Trong việc đánh giá từ TBC sang TBN có một kỹ thuật nhỏ hay được sử dụng. Đó là kĩ thuật tách nghịch đảo. 3.2 Kỹ thuật tách nghịch...           Áp dụng bất đẳng thức Cơ -si, ta có: 1 2 i i a a   với i = 1, 2, … , n Suy ra 4  2n hay n ≤ 2: Với n = 1: hệ 1 1 2 1 2 a a        vô nghiệm; Với n = 2: hệ 2 1 1 2 2 1 1 2 a a a a          có nghiệm a 1 = a 2 = 1 Vậy: n = 2 và a 1 = a 2 = 1 Sau đây sẽ là một số bài tập tương tự giúp học sinh ôn luyện kiến thức BÀI TẬP ĐỂ HỌC SINH VẬN DỤNG 1. Giải các phương . Kỹ thuật sử dụngBất đẳng thứcCô-SiHà Nội 16 - 6 - 2006 21. NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC SỬDỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SIQuy tắc. thuật thường được sử dụng trong kỹ thuật tách nghịch đảo, đánh giá từ TBNsang TBC là kỹ thuật chọn điểm rơi.3.3 Kỹ thuật chọn điểm rơiTrong kỹ thuật chọn điểm

Ngày đăng: 21/09/2012, 09:57

Xem thêm: Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô Si, Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân TBN sang trung bình cộng TBC, Kỹ thuật ghép đối xứng, Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số, n số Kỹ thuật đổi biến số, MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG

Kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cô Si

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan