§2: Tích phân đường loại 2- Cách tính Định nghĩa: Cho hàm P(x,y), Q(x,y) xác định cung AB mp Oxy Chia cung AB thành n phần tùy ý điểm chia A=A0, A1, A2, … An=B, Ak(xk,yk) Trên cung nhỏ AkAk+1 lấy điểm Mk bất kỳ, đặt Δxk=xk+1-xk, Δyk=yk+1-yk , Δlk độ dài cung n Lập tổng Sn = å [ P (Mk )D xk + Q(Mk )D y k ] k =0 An Δyk A0 A A1 Mk Ak Ak+1 Δxk B §2: Tích phân đường loại 2- Cách tính Cho max Δlk → 0, Sn có giới hạn hữu hạn khơng phụ thuộc cách chia cung AB cách lấy điểm Mk giới hạn gọi đường loại hàm P(x,y) Q(x,y) dọc cung AB kí hiệu ịịP ( x, y )dx + Q( x, y )dy = lim Sn AB max D l k ®0 Điều kiện tồn tại: Nếu hàm P, Q liên tục miền mở chứa cung AB trơn khúc tồn tích phân đường loại P, Q dọc cung AB §2: Tích phân đường loại – Cách tính Tính chất : Tích phân đường loại đổi dấu hướng cung AB thay đổi ò Pdx + Qdy = - ò Pdx + Qdy AB BA Trường hợp đường lấy đường cong kín C, ta quy ước hướng dương C hướng mà dọc C miền giới hạn C nằm bên trái Hư g ướ n H g ươ n d Hướng âm hướng ngược với hướng dương ớn g dư ơn g §2: Tích phân đường loại 2– Cách tính Cách tính tích phân đường loại Nếu cung AB có phương trình y=y(x), từ A(x1,y(x1)) đến B(x2,y(x2)) x2 ịPdx + Qdy = ị( P ( x, y ( x )) + Q( x, y ( x ))y ¢( x )) dx AB x2 Nếu cung AB có phương trình tham số x=x(t), y=y(t) từ A(x(t1), y(t1)) đến B(x(t2), y(t2)) t2 ịPdx + Qdy = ò( P ( x(t ), y (t ))x ¢(t ) + Q( x(t ), y (t ))y ¢(t ))dt AB t1 Nếu AB đường cong khơng gian, ta có cách tính tương tự có pt tham số đường cong §2: Tích phân đường loại – Cách tính Ví dụ 1: Tính tích phân I1 từ A(0,0) đến B(1,1) hàm P=x2 Q=xy theo đường Đường thẳng Parabol y=x2 Đường tròn x2+y2=2x AB đoạn thẳng y=x, x từ đến 1 I1 = ò x 2dx + xydy = ò( x + x )dx AB §2: Tích phân đường loại – Cách tính AB phần parabol y=x2 với x từ đến 1, y’=2x 1 I1 = ò( x + x.x 2 x )dx AB phần đường tròn x2+y2=2x Ta viết pt tham số AB cách viết lại pt (x-1)2+y2=1 đặt x=1+cost y=sint với t từ π đến π/2 p é + cos t )2 (- sin t ) + (1+ cos t )(sin t )cos t ù I1 = ò ë (1 dt û p §2: Tích phân đường loại – Cách tính Ví dụ 2: Tính đường loại hàm P=x2+2y Q=y2 đường cong C : y=1-|1-x| với x từ đến ì x, x £ ï y =ï í Ta viết lại pt đường cong C: ï - x,1 < x ï ỵ Vậy : 1 I2 = ò éx + x ) + x ù + ( dx ë û I2 = ò Pdx + Qdy C éx + 2(2 - x )) + (2 - x )2 (- 1)ù ( dx òë û §2: Tích phân đường loại – Cách tính Ví dụ 3: Tính I3 = ị xdx + zdy + ydz với C giao tuyến C mặt y=x2 x=z từ O(0,0,0) đến A(1,1,1) Ta viết pt tham số C cách đặt x=t ta : y=t2, z=t, t từ đến 1 Vậy : I3 = ò( t + t 2t + t ) dt §2: Tích phân đường loại – CT Green CƠNG THỨC GREEN: Mối liên hệ tích phân kép tích phân đường loại Định lý Green : Cho D miền đóng, bị chặn mp Oxy với biên C trơn khúc Các hàm P(x,y) Q(x,y) liên tục miền mở chứa D Khi ta có cơng thức Green Đ ịPdx + Qdy = ±ịị(Q¢ x C Py¢)dxdy D Trong đó, kép lấy dấu “+” hướng đường cong kín C hướng dương dấu “-” ngược lại §2: Tích phân đường loại – CT Green Chu tuyến kín C bao gồm nhiều chu tuyến C1, C2, … Miền D gọi miền đơn liên chu tuyến kín co vào điểm thuộc D, D khơng có “lỗ thủng” C1 D C3 P1 P2 C2 §2: Tích phân đường loại – CT Green ¢ ị Pdx + Qdy = - ịị (Qx - Py¢)dxdy C ÈC1 D Û ò Pdx + Qdy + ò Pdx + Qdy = - òò - 7dxdy C C1 D Û ò Pdx + Qdy = - ò 2ydy + 7S(D ) C 7p Û I6 = - + §2: Tích phân đường loại – CT Green - y x , Q( x, y ) = Ví dụ 7: Cho hàm P ( x, y ) = 2 x +y x + y2 Tính I7 = ò Pdx + Qdy với C chu tuyến kín, dương C Của hình vng |x|+|y|=1 Của hình trịn x2+y2=1 Khơng bao quanh gốc tọa độ Nhận xét : Ta có Q’x=P’y hàm P, Q không xác định gốc tạo độ O(0,0) tức đường cong C bao kín miền D chứa O ta khơng áp dụng CT Green §2: Tích phân đường loại – CT Green Hình vng |x|+|y|=1 chứa O Để áp dụng CT Green, ta “khoét” phần chứa O Cụ thể, ta gọi C1 đường tròn x2+y2=r2, với r đủ nhỏ lấy chiều kim đồng hồ Áp dụng CT Green CUC1 biên dương miền D: |x|+|y|≤1, x2+y2≥r2, ta ¢ ị Pdx + Qdy = + ũũ (Qx - PyÂ)dxdy C ẩC1 D Đ2: Tích phân đường loại – CT Green ¢ ị Pdx + Qdy = + ịị (Qx - Py¢)dxdy C ÈC1 D Û ò Pdx + Qdy = - ò Pdx + Qdy C C1 xdy - ydx Đặt x=rcost, y=rsint ta Û I7 = - ò r2 C1 I7 = - ò ( r cos t r cos tdt - r sin t (- r sin tdt )) 2p r I7 = 2π §2: Tích phân đường loại – CT Green C chu tuyến dương đường tròn x2+y2=1 nên ta thay vào hàm P, Q để I7 = ò xdy - ydx C Ta áp dụng CT Green để I7 = 2π §2: Tích phân đường loại – CT Green Chú ý: Cách làm câu không cho C chu tuyến dương hình vng mà cịn làm tương tự C đường cong bao gốc tọa độ Tức với chu tuyến dương bao kín miền D chứa gốc tọa độ ta ln có I7 = 2π Do C không bao quanh gốc tọa độ nên ta áp dụng CT Green Vì Q’x=P’y nên ta có I7=0 §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI KHÔNG PHỤ THUỘC ĐƯỜNG ĐI Cho hàm P(x,y), Q(x,y) đạo hàm riêng liên tục miền mở, đơn liên D mệnh đề sau tương đương Q’x = P’y ị Pdx + Qdy khơng phụ thuộc đường cong trơn AB khúc nối từ A đến B D Đ ị Pdx + Qdy = Với chu tuyến C kín, trơn C khúc D Tồn hàm U(x,y) cho dU=Pdx+Qdy §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường Cách làm: Thông thường, ta kiểm tra điều kiện (nếu hàm cho sẵn) Nếu điều kiện thỏa, ta có cách để tính tp: Tìm hàm U(x,y) cho dU=Pdx+Qdy tức ta giải hệ U’x=P, U’y=Q thay vào tích phân (A điểm đầu, B điểm cuối) ò Pdx + Qdy = ò dU = U (B ) - U ( A) AB AB §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường Cách 2: Kiểm tra điều kiện ta chọn đường nối từ A đến B nằm hoàn toàn D đường gấp khúc theo đt song song với trục tọa độ yB xB Khi : ị Pdx + Qdy = ị Q( x A , y )dy + ò P ( x, y B )dx AB yA xA Hoặc xB yB xA yA B = P ( x, y )dx + Q( x , y )dy ò ò A B A §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường (4,2) Ví dụ 8: Tính I8 = ị xdy + ydx (2,1) Cách 1: Tìm hàm U cho U’x=y, U’y=x Ta U(x,y)=xy Nên I8 = 4.2-2.1 = Cách 2: Kiểm tra điều kiện Q’x=P’y = 1, P=y, Q=x I8 = ị dx + ò 4dy = + 4.1 = §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường Ví dụ 9: Tính tích phân (1,2) xdy - ydx theo đường cong không cắt trục Oy I9 = ò x2 (2,1) (1,2,3) I10 = ò xydx + ( x - z )dy - 2yzdz (0,0,0) - y x Tìm hàm U cho : U x = ¢ ¢ ,U y = = x x x y Ta U = x (1,2) I9 = ò dU = U (1,2) - U (2,1) = (2,1) §2: Tích phân đường loại không phụ thuộc đường 10 Ta tìm hàm U(x,y,z) cho dU=Pdx+Qdy+Rdz Suy U’x=2xy, U’y=x2-z2, U’z=-2yz Đạo hàm theo x U 2xy nguyên hàm chắn có số hạng x2y Đạo hàm theo y U có x2-z2 chắn ngun hàm có số hạng x2y-yz2 Đạo hàm theo z U -2yz chắn ngun hàm có số hạng –yz2 Tổng hợp từ kết ta hàm U(x,y,z)=x2y-yz2+C Vậy I10 = U(1,2,3)-U(0,0,0) = (1.2-2.9+C)-(C) = -16 §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường Ví dụ 10: Tìm hàm h(y) thỏa h(1)=1 cho B I11 = ò (2 xy + 3)h( y )dy - y h( y )dx A Là khơng phụ thuộc đường Sau tính với A(1,1), B(3,2) Để I11 không phụ thuộc đường ta phải có Q’x=P’y ↔ [(2xy+3).h(y)]’x=[-y2.h(y)]’y ↔ 2y.h = - 2y.h – y2.h’ ↔ 4y.h = -y2.h’ Như vậy, ta pt vi phân cấp với hàm h, biến y §2: Tích phân đường loại không phụ thuộc đường Ta viết lại pt thành pt tách biến - 4dy dh dy dh = « - 4ị + C = ị ↔ -4lny+lnC=lnh y h y h C « = h( y ) y Thay điều kiện h(1)=1 vào, ta C=1 Khi đó, ta có khơng phụ thuộc đường (3,2) 1 I11 = ò (2 xy + 3) dy - dx y y (1,1) Tìm hàm U(x,y) cho U’y=Q, U’x=P §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường ì ï U¢ = - ï x ï y2 ï ï í ï ï U ¢ = xy + ï y ï y4 y4 ï ỵ x Từ đh U theo x, suy U có chứa - y Thay vào pt dưới, ta suy U ( x, y ) = - x - y2 y3 Vậy 47 I11 = U (2,3) - U (1,1) = 27 ... ( (2 + 4t )2 + 1) 4dt )ù + ê ú ë û é ( (6 - 2t )2 + (1+ 2t )2 ) (- 2dt ) + 72. 2dt ù + ê ú ë û é ( (4 - 2t )2 + (3 - 2t )2 ) (- 2dt ) + (7 - 4t )2 (- 2dt )ù ê ú ë û ị 1 52 I5 = ? ?2: Tích phân đường. .. )dx AB ? ?2: Tích phân đường loại – Cách tính AB phần parabol y=x2 với x từ đến 1, y’=2x 1 I1 = ò( x + x.x 2 x )dx AB phần đường tròn x2+y2=2x Ta viết pt tham số AB cách viết lại pt (x-1 )2+ y2=1 đặt... y=sint với t từ π đến π /2 p é + cos t )2 (- sin t ) + (1+ cos t )(sin t )cos t ù I1 = ò ë (1 dt û p ? ?2: Tích phân đường loại – Cách tính Ví dụ 2: Tính đường loại hàm P=x2+2y Q=y2 đường cong C : y=1-|1-x|