một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phơng pháp 1 : dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta chứng minh A B > 0 Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2 0 với M Ví dụ 1 x, y, z chứng minh rằng : a) x 2 + y 2 + z 2 xy+ yz + zx b) x 2 + y 2 + z 2 2xy 2xz + 2yz c) x 2 + y 2 + z 2 +3 2 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 - xy yz zx = 2 1 .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy yz zx) = 2 1 [ ] 0)()()( 222 ++ zyzxyx đúng với mọi x;y;z R Vì (x-y) 2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y; (x-z) 2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z) 2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x 2 + y 2 + z 2 xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz 2yz =( x y + z) 2 0 đúng với mọi x;y;z R Vậy x 2 + y 2 + z 2 2xy 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R . Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 +3 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1 = (x-1) 2 + (y-1) 2 +(z-1) 2 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh rằng : a) 2 22 22 + + baba ; b) 2 222 33 ++ ++ cbacba c) Hãy tổng quát bài toán Giải: a) Ta xét hiệu 2 22 22 + + baba = ( ) 4 2 4 2 2222 bababa ++ + = ( ) abbaba 222 4 1 2222 + = ( ) 0 4 1 2 ba . Vậy 2 22 22 + + baba ; Dấu bằng xảy ra khi a=b b)Ta xét hiệu: 2 222 33 ++ ++ cbacba = ( ) ( ) ( ) [ ] 0 9 1 222 ++ accbba Vậy 2 222 33 ++ ++ cbacba ; Dấu bằng xảy ra khi a = b =c c)Tổng quát: 2 21 22 2 2 1 +++ +++ n aaa n aaa nn phơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng. Chú ý các hằng đẳng thức sau: ( ) 2 2 2 2A B A AB B = + ( ) BCACABCBACBA 222 222 2 +++++=++ ( ) 3 3 2 2 3 3 3A B A A B AB B = + 1 Ví dụ 1:Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng: a) ab b a + 4 2 2 b) baabba ++++ 1 22 c) ( ) edcbaedcba +++++++ 22222 Giải: a) ab b a + 4 2 2 abba 44 22 + 044 22 + baa ( ) 02 2 ba (bất đẳng thức này luôn đúng) Vậy ab b a + 4 2 2 (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) b) baabba ++++ 1 22 ) )(21(2 22 baabba ++>++ 012122 2222 +++++ bbaababa 0)1()1()( 222 ++ baba Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy baabba ++++ 1 22 . Dấu bằng xảy ra khi a=b=1 c) ( ) edcbaedcba +++++++ 22222 ( ) ( ) edcbaedcba +++++++ 44 22222 ( ) ( ) ( ) ( ) 044444444 22222222 +++++++ cacadadacacababa ( ) ( ) ( ) ( ) 02222 2222 +++ cadacaba Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Cho a, b là hai số dơng có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : 3 4 1 1 1 1 + + + ba Giải: Dùng phép biến đổi tơng đơng ; 3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 9 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1) 9 4ab + 8 1 4ab (a + b) 2 4ab Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh . Ví dụ 3: cho x.y =1 và x>y Chứng minh yx yx + 22 22 Giải: Ta có: yx yx + 22 22 vì : x y nên x- y 0 x 2 +y 2 22 ( x-y) x 2 +y 2 - 22 x+ 22 y 0 x 2 +y 2 +2- 22 x+ 22 y -2 0 x 2 +y 2 +( 2 ) 2 - 22 x+ 22 y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2 (x-y- 2 ) 2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a 3 + b 3 + ab 2 1 Giải : Ta có : a 3 + b 3 + ab 2 1 <=> a 3 + b 3 + ab - 2 1 0 <=> (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) + ab - 2 1 0 <=> a 2 + b 2 - 2 1 0 . Vì a + b = 1 2a 2 + 2b 2 - 1 0 2a 2 + 2(1-a) 2 - 1 0 ( vì b = a -1 ) 4a 2 - 4a + 1 0 ( 2a - 1 ) 2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a 3 + b 3 + ab 2 1 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = 2 1 Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc A/ một số bất đẳng thức hay dùng 2 1) Các bất đẳng thức phụ: a) xyyx 2 22 + b) ( ) xyyx 4 2 + c) 2 + a b b a 2)Bất đẳng thức Cô sy: n n n aaaa n aaaa 321 321 ++++ Với 0> i a 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski: ( ) ( ) ( ) 2 2211 22 2 2 1 22 2 2 2 nnnn xaxaxaxxaaa +++++++++ 4) Bất đẳng thức Trê- b-sép: Nếu CBA cba 3 . 33 CBAcbacCbBaA ++++ ++ Nếu CBA cba 3 . 33 CBAcbacCbBaA ++++ ++ . Dấu bằng xảy ra khi == == CBA cba b/ Các ví dụ Ví dụ 1: Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: ( ) xyyx 4 2 + Tacó ( ) abba 4 2 + ; ( ) bccb 4 2 + ; ( ) acac 4 2 + ( ) 2 ba + ( ) 2 cb + ( ) 2 ac + ( ) 2 222 864 abccba = (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Dấu = xảy ra khi a = b = c Ví dụ 2: Giả sử a, b, c là các số dơng , chứng minh rằng: 2> + + + + + ba c ac b cb a Giải: áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a + (b + c) )(2 cba + cba a cb a ++ + 2 Tơng tự ta thu đợc : cba b ac b ++ + 2 , cba c ba c ++ + 2 Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có : a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số dơng ). Từ đó suy ra : 2> + + + + + ba c ac b cb a Ví dụ 2 : Cho x , y là 2 số thực thoả mãn : x 2 + y 2 = 22 11 xyyx + Chứng minh rằng : 3x + 4y 5 Giải : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : (x 2 + y 2 ) 2 = ( 22 11 xyyx + ) 2 ( 1x ; 1y ) (x 2 + y 2 )(1 - y 2 + 1 - x 2 ) => x 2 + y 2 1 Ta lại có : (3x + 4y) 2 (3 2 + 4 2 )(x 2 + y 2 ) 25 => 3x + 4y 5 Đẳng thức xảy ra = >> =+ 43 0,0 1 22 yx yx yx = = 5 4 5 3 y x . Điều kiện : 2 5 2 3 x Ví dụ 3: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng : a, 6+++++ accbba 3 b, 5,3111 <+++++ cba Giải : a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++++++++++++ 222 1111.1.1. accbbaaccbba => ( ) 6)22.(3 2 =+++++++ acbaaccbba => 6+++++ accbba . Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 3 1 b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : 1 22 1)1( 1 += ++ + aa a Tơng tự : 1 2 1 ++ b b ; 1 2 1 ++ c c Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc : 5,33 2 111 =+ ++ +++++ cba cba Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1 Vậy : 5,3111 <+++++ cba Ví dụ 4 : Cho các số dơng a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 . Chứng minh rằng : 9 111 ++ cba Giải : Ta có : 0>+ a b b a , a , b > 0 Ta có : =++ cba 111 ) 111 ( cba ++ .1 = ) 111 ( cba ++ .(a + b + c) = 111 ++++++++ b c a c c b a b c a b a = ++++++ )()()(3 c a a c b c c b a b b a 3 + 2 + 2 + 2 = 9 => 9 111 ++ cba Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c = 3 1 Ví dụ 5: Cho x , y > 0 . Chứng minh rằng : yxyx + + 411 Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : xyyx 2+ yx 11 + xy 2 => (x + y)( yx 11 + ) 4 => yx 11 + yx + 4 Ví dụ 6: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: 222222 )()( dcbadbca ++++++ Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd 2222 . dcba ++ mà ( ) ( ) ( ) 2222 22 2 dcbdacbadbca +++++=+++ ( ) 22222222 .2 dcdcbaba ++++++ 222222 )()( dcbadbca ++++++ 4 Ví dụ 7: Chứng minh rằng: acbcabcba ++++ 222 Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có ( ) ( ) 2 222222 .1.1.1)(111 cbacba ++++++ 3 ( ) ( ) acbcabcbacba +++++++ 2 222222 acbcabcba ++++ 222 Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c Phơng pháp 4:dùng tính chấtcủa tỷ số Kiến thức 1) Cho a, b ,c là các số dơng thì a Nếu 1> b a thì cb ca b a + + > b Nếu 1< b a thì cb ca b a + + < 2) Nếu b, d >0 thì từ d c db ca b a d c b a < + + << ` Ví dụ 1 : Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng: 21 < ++ + ++ + ++ + ++ < bad d adc c dcb b cba a Giải : Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có: dcba da cba a cba a +++ + < ++ < ++ 1 (1) Mặt khác : dcba a cba a +++ > ++ (2) Từ (1) và (2) ta có: dcba a +++ < cba a ++ < dcba da +++ + (3) Tơng tự ta có: dcba ab dcb b dcba b +++ + < ++ < +++ (4) dcba cb adc c dcba c +++ + < ++ < +++ (5) dcba cd bad d dcba d +++ + < ++ < +++ (6) cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có 21 < ++ + ++ + ++ + ++ < bad d adc c dcb b cba a điều phải chứng minh Ví dụ 2 : Cho: b a < d c và b,d > 0 .Chứng minh rằng b a < d c db cdab < + + 22 Giải: Từ b a < d c 22 d cd b ab < d c d cd db cdab b ab =< + + < 2222 Vậy b a < d c db cdab < + + 22 điều phải chứng minh Ví dụ 3: Cho a;b;c;d là các số nguyên dơng thỏa mãn : a+b = c+d =1000 tìm giá trị lớn nhất của d b c a + Phơng pháp 5: Phơng pháp làm trội Dùng các tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn. 5 (*) Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = n uuu +++ 21 Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau: 1+ = kkk aau Khi đó : S = ( ) ( ) ( ) 1113221 ++ =+++ nnn aaaaaaaa (*) Phơng pháp chung về tính tích hữu hạn: P = n uuu 21 Biến đổi các số hạng k u về thơng của hai số hạng liên tiếp nhau: k u = 1+k k a a Khi đó P = 1 1 13 2 2 1 ++ = nn n a a a a a a a a Ví dụ 1 :Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng : 4 31 2 1 1 1 2 1 < + ++ + + + < nnnn Giải: Ta có nnnkn 2 111 = + > + với k = 1,2,3,,n-1 Do đó: 2 1 22 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ==++>++ + + + n n nnnnn Ví dụ 2: Chứng minh rằng: ( ) 112 1 3 1 2 1 1 +>++++ n n Với n là số nguyên Giải : Ta có ( ) kk kkkk += ++ >= 12 1 2 2 21 Ta có: 1 > 2 ( ) 12 ( ) 232 2 1 > ( ) nn n +> 12 1 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có ( ) 112 1 3 1 2 1 1 +>++++ n n Ví dụ 3 : Chứng minh rằng 2 1 1 2 < = n k k Zn Giải: Ta có ( ) kkkkk 1 1 1 1 11 2 = < Ta có: 1 1 3 1 2 1 1 1 11 3 1 2 1 3 1 2 1 1 2 1 222 2 2 2 <+++ < < < n nnn Vậy 2 1 1 2 < = n k k 6 Phơng pháp 6: Dùng bất đẳng thức trong tam giác Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0; và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a- b| < c < b+a Ví dụ 1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng a, a 2 +b 2 +c 2 < 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải: a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có +<< +<< +<< bac cab cba 0 0 0 +< +< +< )( )( )( 2 2 2 bacc cabb cbaa Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có a 2 +b 2 +c 2 < 2(ab+bc+ac) b) Ta có a > b-c 222 )( cbaa > > 0 b > a-c 222 )( acbb > > 0 c > a-b 0)( 222 >> bacc Nhân vế các bất đẳng thức ta đợc ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bacacbcbaabc bacacbcbacba bacacbcbacba +++> +++> > 222 222 2 2 2 2 2 2222 Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh của tam giác) . Chứng minh rằng : 2 111 + + cpbpap ) 111 ( cba ++ Giải: Ta có : p - a = 0 2 > + acb Tơng tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ; áp dụng bất đẳng thức yxyx + + 411 ta đợc ; cbpapbpap 4 )()( 411 = + + Tơng tự : acpbp 411 + ; bcpap 411 + => ) 111 (4) 111 (2 cbacpcpap ++ + + => điều phải chứng minh . Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c a = b = c. Khi đó tam giác ABC là tam giác đều . Phơng pháp 7: đổi biến số Ví dụ1: Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì : 2 3 + + + + + ab c ac b cb a Giải: Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c = 2 zyx ++ => a = 2 xzy + , b = 2 yxz + , c = 2 zyx + Khi đó : VT = ab c ac b cb a + + + + + = z zyx y yxz x xzy 222 + + + + + = 2 3 2 3 111 2 3 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 =+++++++ z y y z z x x z y x x y 7 Ví dụ2: Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1. Chứng minh rằng 9 2 1 2 1 2 1 222 + + + + + abcacbbca (1) Giải: Đặt x = bca 2 2 + ; y = acb 2 2 + ; z = abc 2 2 + Ta có ( ) 1 2 <++=++ cbazyx (1) 9 111 ++ zyx Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có: ++ zyx 3. 3 xyz ++ zyx 111 3. . 3 1 xyz ( ) 9 111 . ++++ zyx zyx Mà x+y+z < 1. Vậy 9 111 ++ zyx (đpcm) Phơng pháp 8: dùng tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai ( ) cbxaxxf ++= 2 Nếu 0 < thì ( ) 0. >xfa Rx Nếu 0 = thì ( ) 0. >xfa a b x Nếu 0 > thì ( ) 0. >xfa với 1 xx < hoặc 2 xx > ( 12 xx > ) ( ) 0. <xfa với 21 xxx << Ví dụ: Chứng minh rằng: ( ) 036245, 22 >+++= yxxyyxyxf (1) Giải:Ta có (1) ( ) 0365122 22 >++ yyyxx ( ) 36512 2 2 += yyy ( ) 2 2 2 4 4 1 5 6 3 1 1 0y y y y y= + + = < Vậy ( ) 0, >yxf với mọi x, Phơng pháp 9: dùng quy nạp toán học Để chứng minh bất đẳng thức đúng với 0 nn > ta thực hiện các bớc sau : 1 Kiểm tra bất đẳng thức đúng với 0 nn = 2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) 4 kết luận BĐT đúng với mọi 0 nn > Ví dụ1: Chứng minh rằng nn 1 2 1 2 1 1 1 222 <+++ 1; > nNn (1) Giải : Với n =2 ta có 2 1 2 4 1 1 <+ (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2 Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1 Thật vậy khi n =k+1 thì (1) 1 1 2 )1( 11 2 1 1 1 2222 + < + ++++ kkk Theo giả thiết quy nạp 8 ( ) 1 1 2 1 11 2 )1( 11 2 1 1 1 2 2222 + < + +< + ++++ k k kkk ( ) k k kk 1 1 1 1 1 )1( 1 1 1 2 22 < + + + < + ++ 2 2 )1()2( 1 )1( 11 +<+< + ++ kkk k k k k 2 +2k<k 2 +2k+1. Điều này đúng .Vậy bất đẳng thức (1)đợc c/m. Ví dụ2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n 3 thì : 2 n > 2n + 1 (*) Giải : + Với n = 3 , ta có : 2 n = 2 3 = 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 . Vậy đẳng thức (*) đúng với n = 3 . + Giả sử (*) đúng với n = k (k N ; k 3) , tức là : 2 k > 2k + 1 ta phải chứng minh : 2 k+1 > 2(k + 1) + 1 hay : 2 k+1 > 2k + 3 (**) + Thật vậy : 2 k+1 = 2.2 k , mà 2 k > 2k + 1 ( theo giả thiết quy nạp ) do đó : 2 k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 ( Vì : 2k - 1 > 0) Vậy (**) đúng với mọi k 3 . + Kết luận : 2 n > 2n + 1 với mọi số nguyên dơng n 3 . Ví dụ 3: Chứng minh rằng : 2 1 . 4 3 . 6 5 n n 2 12 13 1 +n (*) (n là số nguyên dơng ) Giải : + Với n = 1 , ta có : VT = VP = 2 1 . Vậy (*) đúng với n = 1 . + Giả sử (*) đúng với n = k 1 ta có : 2 1 . 4 3 . 6 5 k k 2 12 13 1 + k Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1 , tức là : 2 1 . 4 3 . 6 5 k k 2 12 . + + )1(2 12 k k 13 1 + k . )1(2 12 + + k k do đó chỉ cần chứng minh : 13 1 + k )1(2 12 + + k k 1)1(3 1 ++k dùng phép biến đổi tơng đơng , ta có : (2k + 1) 2 (3k + 4) (3k + 1)4(k +1) 2 12k 3 + 28k 2 + 19k + 4 12k 3 + 28k 2 + 20k +4 k 0 . => (**) đúng với mọi k 1 . Vậy (*) dúng với mọi số nguyên dơng n . Phơng pháp 10: Chứng minh phản chứng Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngợc nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0. CMR: a > 0, b>0, c>0 Giải : Giả sử a 0 thì từ abc > 0 a 0 do đó a < 0 Mà abc > 0 và a < 0 cb < 0 Từ ab+bc+ca > 0 a(b+c) > -bc > 0 Vì a < 0 mà a(b +c) > 0 b + c < 0 a < 0 và b +c < 0 a + b +c < 0 trái giả thiết a+b+c > 0 Vậy a > 0 tơng tự ta có b > 0 , c > 0 9 Ví dụ 2: Cho 4 số a , b , c , d thỏa mãn điều kiện: ac 2.(b+d). Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: ba 4 2 < , dc 4 2 < Giải : Giả sử 2 bất đẳng thức : ba 4 2 < , dc 4 2 < đều đúng khi đó cộng các vế ta đợc )(4 22 dbca +<+ (1) Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2) Từ (1) và (2) acca 2 22 <+ hay ( ) 0 2 < ca (vô lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức ba 4 2 < và dc 4 2 < có ít nhất một các bất đẳng thức sai Ví dụ 3: Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng Nếu x+y+z > zyx 111 ++ thì có một trong ba số này lớn hơn 1 Giải :Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz xy- yz + x + y+ z 1 =x + y + z ( zyx 111 ++ ) vì xyz = 1 theo giả thiết x+y +z > zyx 111 ++ nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dơng. Thật vậy nếu cả ba số dơng thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái giả thiết). Còn nếu 2 trong 3 số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý) Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1 các bài tập nâng cao i / Dùng biến đổi tơng đơng 1) Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng: ( ) ( ) 8 2 2 22 + yx yx Giải :Ta có ( ) ( ) 22 22 22 +=+=+ yxxyyxyx (vì xy = 1) ( ) ( ) ( ) 4.4 24 2 22 ++=+ yxyxyx Do đó BĐT cần chứng minh tơng đơng với ( ) ( ) ( ) 224 .844 yxyxyx ++ ( ) ( ) 044 24 + yxyx ( ) [ ] 02 2 2 yx BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho xy 1 .Chứng minh rằng: xyyx + + + + 1 2 1 1 1 1 22 Giải : Ta có xyyx + + + + 1 2 1 1 1 1 22 0 1 1 1 1 1 1 1 1 222 + + + + + xyyyx ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1.11.1 2 2 2 2 ++ + ++ xyy yxy xyx xxy ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1.1 )( 1.1 )( 22 ++ + ++ xyy yxy xyx xyx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1.1.1 1 22 2 +++ xyyx xyxy BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh ii / dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1. Chứng minh rằng: 3 1 222 ++ cba Giải : áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c) Ta có ( ) ( ) ( ) 222 2 .111.1.1.1 cbacba ++++++ ( ) ( ) 222 2 .3 cbacba ++++ 3 1 222 ++ cba (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) Cho a,b,c là các số dơng. Chứng minh rằng: ( ) 9 111 . ++++ cba cba (1) 10 [...]... ứng dụng của bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị - Kiến thức : Nếu f(x) m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m Nếu f(x) M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M Ta thờng hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Kiểm tra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay... Tơng tự : Bài 8 a, Tìm giá trị nhỏ nhất của H = x 1 với x > 1 b Tìm giá trị lớn nhất của K = x 1 x 2 HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tơng tự nh bài 5 : 2 - Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phơng trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phơng trình Nếu VT = VP tại... y 2 = 0 y = 2 => phơng trình có nghiệm : x = 2 ; y = 2 3 Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức , đòi hỏi học sinh phải linh hoạt và sáng tạo trong khi giải , học sinh phải nắm chắc đợc các kiến thức về bất đẳng thức thì mới vận dụng đợc Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên... thức , ta hay sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đơng , đổi biến số , một số bất đẳng thức Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối A + B A+ B Chú ý : Xảy ra dấu '' = '' khi AB 0 A 0 Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0 Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = a3 + b3 + ab ; Cho biết a và b thoả mãn: a +b =1 Giải: B = (a + b)(a2... ra : P = xyz Bài 5 : 1 1 1 MaxP = khi x = y = z = 8 8 2 Cho 3 số dơng a, b, c thảo mãn : a + b + c =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F 1 a 1 b 1 c = (a + ) 2 + (b + ) 2 + (c + ) 2 Giải: Ta có : F = (a2 + b2 + c2) + ( 1 1 1 + 2 + 2)+6 2 a b c Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta có : (a.1 + b.1 + c.2)2 3(a2 + b2 + c2) => a2 + b2 + c2 1 3 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2) 2 a b c a b c 1 1 1 1 1 1 1... +a + + + min A = - 4 khi x = -2 ; x = 1 ; b, Tơng tự Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a, C = 2 x 3 +... trình nghiệm nguyên Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 1 1 1 + + =2 x y z 1 x 1 y Giải : Không mất tính tổng quát, ta giả sử x y z ta có : 2 = + + mà z nguyên dơng Vậy z = 1 Thay z = 1 vào phơng trình ta đợc : Theo giả sử , x y , nên 1 = 1 1 + x y 1 3 => 2z 3, z z 1 1 + =1 x y 2 ; Do y nguyên dơng nên y = 1 hoặc y = 2 y Với y = 1 không thích hợp Với y = 2 ta có : x = 2 Vậy (2 ; . HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tơng tự nh bài 5 : 2 - Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình . Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi. biến đổi tơng đơng Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng. Chú ý các hằng đẳng thức sau: ( ) 2 2 2 2A B A AB. dùng 2 1) Các bất đẳng thức phụ: a) xyyx 2 22 + b) ( ) xyyx 4 2 + c) 2 + a b b a 2 )Bất đẳng thức Cô sy: n n n aaaa n aaaa 321 321 ++++ Với 0> i a 3 )Bất đẳng thức Bunhiacopski: