XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại một điểm x o -B1: Tìm tập xác định của hàm số. -B2: Xét sự tồn tại của f(x o ) -B3: Xét sự tồn tại của lim ( ) o x x f x → -B4: So sánh lim ( ) o x x f x → và f(x o )  Nếu hàm số có dạng ( ) nêu x x ( ) ( ) nêu x = x o o g x f x h x ≠  =   thì tìm lim ( ) lim ( ) o o x x x x f x g x → → = • Nếu ( ) o lim ( ) f x o x x f x → = ⇔ hàm số liên tục tại x o . • Nếu ( ) o lim ( ) f x o x x f x → ≠ ⇔ hàm số gián đoạn tại x o .  Nếu hàm số có dạng ( ) nêu x x ( ) ( ) nêu x < x o o g x f x h x ≥  =   thì tìm lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) o o o o x x x x x x x x f x g x f x h x + + − − → → → → =    =   VD: Xét tính liên tục của các hàm số sau: a) 2 16 nêu x 4 ( ) 4 4 nêu x 4 x f x x x  − ≠  = −   + =  tại x = 4 b) 2 2 1 ( ) x x f x x + + = tại x = 0 c) 2 2 4 4 nêu x 1 ( ) nêu x < 1 x x f x x  + − ≥ =   tại x= 1 Giải a) Tập xác định: Ta có: f(4) = 8 • 4 lim ( ) (4) x f x f → ⇒ = Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 4. b) Tập xác định: Ta có hàm số không xác định tại x = 0 nên không tồn tại Vậy hàm số không liên tục tại x= 0. c) Tập xác định: Ta có: = 1 (1) • • Từ (1) và (2) ta có 1 lim ( ) (1) x f x f → = Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 1. Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên một khoảng (một đoạn)  Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x 0 ∈ (a; b) ⇒ f(x) liên tục trên (a; b)  Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x 0 ∈ (a; b) và lim ( ) ( ), x a f x f a + → = lim ( ) ( ) x b f x f b − → = ⇒ f(x) liên tục trên [a; b] VD : Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:      ≤+ > − +− = 312 3 3 65 )( 2 xkhix xkhi x xx xf Giải. Tập xác định: - Với x >3: f(x) = 3 65 2 − +− x xx là hàm phân thức hữu tỉ nên có tập xác định là do đó hàm số f(x) = 3 65 2 − +− x xx liên tục trên ⇒ f(x) liên tục trên (3; +∞) (1) - Với x < 3: f(x) = 2x+1 là hàm số đa thức nên có tập xác định là do đó hàm số f(x)= 2x+1 liên tục trên ⇒ f(x) liên tục trên (- ∞ ;3) . - Với x = 3: * 1)2(lim 3 )2)(3( lim 3 65 lim)(lim 33 2 33 =−= − −− = − +− = ++++ →→→→ x x xx x xx xf xxxx * 7)12(lim)(lim 33 =+= −− →→ xxf xx Vì )(lim)(lim 33 xfxf xx −+ →→ ≠ nên hàm số đã cho không có giới hạn hữu hạn khi x → 3. Do đó nó không liên tục tại x = 3. Vấn đề 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM. Phương pháp: Dùng định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm. VD1:Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục tại x= -1:      −= −≠ + −+ = 1 1 1 143 )( xkhim xkhi x x xf Giải.Tập xác định: Ta có: 2 3 143 3 lim )143)(1( 143 lim 1 143 lim)(lim 1111 = ++ = +++ −+ = + −+ = −→−→−→−→ xxx x x x xf xxxx Hàm số trên liên tục tại x = -1 2 3 )1()(lim 1 =⇔−=⇔ −→ mfxf x VD2: Định a để hàm số liên tục: 2 5 nêu x > 2 ( ) 1 nêu x 2 ax f x x  − =  + ≤  trên R Giải Tập xác định: - Với x >2: là hàm đa thức nên có tập xác định là do đó hàm sốliên tục trên ⇒ f(x) liên tục trên (2; +∞) (1) - Với x < 2: f(x) = x+1 là hàm số đa thức nên có tập xác định là do đó hàm số f(x) = x+1 liên tục trên ⇒ f(x) liên tục trên (- ∞ ;2) (2) - Với x =2: f(2) = 3 2 2 2 lim ( ) lim (5 ax ) 5 4 x x f x a + + → → = − = − 2 2 lim ( ) lim(x + 1) 2 1 3 x x f x − − → → = = + = Từ (1) và (2) ⇒ Hàm số f(x) liên tục trên R\{2}⇒ (f(x) liên tục trên R ⇔ f(x) liên tục tại x = 2 2 2 lim ( ) lim ( ) (2) x x f x f x f + − → → ⇔ = = 1 5 4 3 4 2 2 a a a⇔ − = ⇔ = ⇔ = Vậy a = 1 2 thì f(x) liên tục trên R. Vấn đề 4: Chứng minh phương trình có nghiệm trên đoạn [a; b] -B1: Biến đổi để vế phải là số 0. Đặt f(x) là vế trái. -B2: Tìm tập xác định của f(x). Chứng tỏ f(x) là hàm số liên tục trên [a; b]. -B3: Tìm 2 số c, d thuộc [a; b] (c < d) sao cho f(c).f(d)<0. ⇒ có x o ∈ (c; d): f(x o ) = 0. Kết luận phương trình có nghiệm thuộc [a; b].  Chú ý: Muốn chứng minh f(x) = 0 có 2, 3, … nghiệm trên [a; b] thì cần tìm 2, 3, …khoảng rời nhau mà trên mỗi khoảng f(x) = 0 đều có nghiệm. o Để chứng minh phương trình có nghiệm, cần tìm hai số a và b sao cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0. o Nếu phương trình chứa tham số,thì chọn a và b sao cho: + Các giá trị f(a),f(b) không chứa tham số,hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi. + Hoặc cả f(a) và f(b) đều chứa tham số nhưng tích f(a).f(b)<0. o Để chứng minh phương trình có ít nhất k nghiệm, cần tìm được k cặp số a i và b i sao cho các khoảng (a i ;b i ) rời nhau, f(a i ).f(b i )<0 và hàm số y = f(x) liên tục trên tất cả các đoạn [a i ;b i ]. VD1: Chứng tỏ phương trình a) 3x 4 + 4x 3 – x 2 + 2x – 1 = 3x +4 có nghiệm thuộc (-1; 3) b) x 4 – x 2 + 4x = 2x 2 + 6 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2) Giải a) Ta có: 3x 4 + 4x 3 – x 2 + 2x – 1 = 3x +4 ⇔ 3x 4 + 4x 3 – x 2 – x – 2 = 0 Đặt f(x) = 3x 4 + 4x 3 – x 2 – x – 2 - TXĐ: Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R ⇒ f(x) liên tục trên [-1; 3] Ta lại có: f(0) = 2 ; f(1) = 3 ⇒ f(0).f(1) = - 6 < 0 ⇒ f(x) có nghiệm x o ∈ (0; 1). Vậy phương trình có nghiệm thuộc (-1;3) b) Ta có: x 4 – x 2 + 4x = 2x 2 + 6 ⇔ x 4 – 3x 2 + 4x – 6 = 0 Đặt f(x) = x 4 – 3x 2 + 4x – 6 - TXĐ: Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R ⇒ f(x) liên tục trên [1; 2] Ta lại có: f(1) = - 4 ; f(2) = 6 ⇒ f(1).f(2) =- 24 < 0 ⇒ f(x) có nghiệm x o ∈ (1; 2). Vậy phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1; 2) VD2: Chứng minh rằng phương trình 2x 3 – 3x 2 – 3x + 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2) Giải: Đặt f(x) = 2x 3 – 3x 2 – 3x + 2 - TXĐ: Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R⇒ f(x) liên tục trên các đoạn [-2;0], [0;1], [1; 2]. Ta lại có: f(- 2) = - 19; f(0) = 3; f(1) = - 1; f(2) = 1 nên f(-2).f(0) = -57 < 0 ⇒ f(x) có nghiệm x 1 ∈ (-2; 0) f(0).f(1) = -3 < 0 ⇒ f(x) có nghiệm x 2 ∈ (0; 1) f(1).f(2) = -1 < 0 ⇒ f(x) có nghiệm x 3 ∈ (1; 2) Vậy phương trình 2x 3 – 3x 2 – 3x + 2= 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2). VD3: CMR phương trình: 2x 3 - 5x 2 +x +1=0 có ít nhất hai nghiệm. Giải: Xét hàm số f(x)= 2x 3 -5x 2 +x+1. - TXĐ: Ta có f(x) liên tục trên R,suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [0;1] và [1;3]. Ta lại có: f(0)=1; f(1)= -1; f(3)=13. Do đó f(0).f(1)<0 ⇒ f(x) có nghiệm x 1 ∈ 0; 1) f(1).f(3)<0 ⇒ f(x) có nghiệm x 2 ∈ (1; 3) Vậy phương trình: 2x 3 -5x 2 +x+1=0 có ít nhất hai nghiệm. VD4. Chứng minh phương trình sau có nghiệm: (m 2 - 4)(x-1) 6 + 5x 2 -7x+1=0 Giải. Xét hàm số f(x)=(m 2 -4)(x-1) 6 +5x 2 -7x+1. Ta có f(x) liên tục trên R, suy ra f(x) liên tục trên [1;2]. Ta có f(1)= -1; f(2) = m 2 +3. Do đó f(1).f(2)<0 Vậy phương trình (m 2 -4)(x-1) 6 +5x 2 -7x+1= 0 có một nghiệm thuộc khoảng (1;2), nghĩa là có nghiệm. BÀI TẬP Bài 1. Phải chọn A bằng bao nhiêu để hàm số sau liên tục trên R.      −≤− −> + ++ = 31. 3 3 34 )( 2 xkhixA xkhi x xx xf Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó.      −≤ −> + ++ = 11 1 1 23 )( 2 xkhi xkhi x xx xf Bài 3.Chứng minh rằng phương trình: a) 2x 5 +3x 4 +3x 2 -1= 0 có ít nhất 3 nghiệm. c) 2x 3 +3x 2 +10x +200= 0 luôn có nghiệm. b) 4x 4 +2x 2 –x -28= 0 luôn có nghiệm Bài 4 :Cho hàm số ( )  + −  ≠ =  −  + =  x khi x f x x ax khi x 3 1 2 1 1 3 1 . Tìm a để hàm số liên tục tại x 3= . Bài 5: Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = –1 x khi x f x x mx khi x 2 1 1 ( ) 1 2 1  −  < − =  +  + ≥ −  Bài 6: Cho hàm số f(x) = x khi x f x x m khi x 3 1 1 ( ) 1 2 1 1  −  ≠ =  −  + =  . Xác định m để hàm số liên tục trên R Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số sau tại 0 3x = :  − +  ≠ =  −  − =  x x khi x f x x x khi x 2 5 6 3 ( ) 3 2 5 3 Bài 8: Xét tính liên tục của các hàm số sau: 1, 2 4 2 ( ) 2 4 2 x voi x f x x voi x  − ≠ −  = +   − = −  tại x = -2 2, f(x) = 2 x 1 nÕu x 3 3 x 4 nÕu x 3  − +  ≠  −  =  tại x = 3 Bài 9: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng a)        −− = 2 1 11 )( x x xf 0, 0, = ≠ x x b) ( ) 2 2 x > 2 2 5 x 2 x x khi f x x x khi  − −  = −   − ≤  Bài 10: Tìm điều kiện của số thực a sao cho hàm số sau liên tục tại x 0 . 7 3 2 ( ) 2 1 2 x khi x f x x a khi x  + − ≠  =  −  − =  với x 0 = 2 Bài 11:a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 3 2 10 7 0x x − − = b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: 3 1000 0,1 0x x+ + = c) CMR: Phương trình x 4 -3x 2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2). d) Chứng minh phương trình 2 sin cos 1 0x x x x + + = có ít nhất một nghiệm ( ) 0 0;x π ∈ . e) Chứng minh phương trình ( ) ( ) 3 1 2 2 3 0m x x x− − + − = luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. . XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại một điểm x o -B1: Tìm tập xác định của hàm số. -B2: Xét sự tồn tại của f(x o ) -B3: Xét sự tồn tại của lim. Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 1. Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên một khoảng (một đoạn)  Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x 0 ∈ (a; b) ⇒ f(x) liên tục trên (a; b)  Hàm số. − =  +  + ≥ −  Bài 6: Cho hàm số f(x) = x khi x f x x m khi x 3 1 1 ( ) 1 2 1 1  −  ≠ =  −  + =  . Xác định m để hàm số liên tục trên R Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số sau tại 0 3x = :