Trường THPT Đông Hưng Hà 2011 1 ÔN TẬP CUỐI NĂM KHỐI 11 PHẦN I: DÃY SỐ - PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC – CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau bằng phương pháp quy nạp toán học: a. ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 , * 6 n n n n n + + + + + + = ∀ ∈ ℕ b. ( ) 2 2 3 3 3 3 1 1 2 3 , * 4 n n n n + + + + + = ∀ ∈ ℕ c. 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 2, 2 3 4 2 n n n n n +       − − − − = ∀ ≥ ∈             ℕ Bài 2: Cho dãy số ( ) n u có ( ) 1 1 3 5 1, 2 2 n n u u u n − + = = ≥ . Chứng minh rẳng: 4.3 5.2 2 n n n n u − = . Bài 3: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2 , 1 2 3 n n n n ≤ + + + + < ∀ ≥ . Bài 4: Cho 2 2 1 7.2 3 n n n u − − = + . Chứng minh rằng 5, * n u n ∀ ∈ ⋮ ℕ . Bài 5: Cho 1 x > − . Chứng minh rằng ( ) 1 1 , * n x nx n+ ≥ + ∀ ∈ ℕ . HD: Xét n=1, n=2 và đặt giả thiết quy nạp rồi chứng minh. Bài 6: Cho số nguyên n ≥ 2 và n số thực ( ) 1 2 , , , 0;1 n a a a ∈ . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 1 n n a a a a a a − − − > − − − − . II. DÃY SỐ: Bài 1: Cho dãy số ( ) n u với 1 5.4 3 n n u − = + . Chứng minh rằng 1 4 9, 1 n n u u n + = − ∀ ≥ . Bài 2: Tìm số hạng thứ 5 và số hạng thứ 8 của dãy số ( ) n u xác định bởi: 1 2 1 2 1, 2 2 , 3 n n n u u u u u n − − = = −   = − ≥  Bài 3: Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau: a. Dãy số ( ) n u với 3 5 2 n u n n = + + . (HD: Xét 1 n n u u + − ) b. Dãy số ( ) n u với 1 2 n n n u + = . (HD: Xét 1 n n u u + ) c. Dãy số ( ) n u với 1 n u n n = + − (HD: Viết 1 1 n u n n = + + rồi xét 1 n n u u + ) Bài 4: Chứng minh rằng dãy số ( ) n u với 2 3 3 2 n n u n + = + là một dãy số bị chặn. (HD: Chứng minh ( ) n u là dãy số giảm và bị chặn) Bài 5: Tính tổng:  3 33 333 33 3 S = + + + + 2009 chöõ soá 3 (HD: Chứng minh 10 33 30 3.2009 S S = + −  2009 chöõ soá 3 ) III. CẤP SỐ CỘNG: Trường THPT Đông Hưng Hà 2011 2 Bài 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng. Hãy xác định công sai và số hạng đầu tiên của CSC đó. a. 3 7 n u n = − b. 2 3 5 n n u + = c. 1 1 3, ( 1) n n u u u n n + = = − ≥ c. 1 2, 1 n n u u n + = + ∀ ≥ Bài 2: Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng sau: 6 8 2 2 3 5 18 26 u u u u + = −    + =   Bài 3: Cho một cấp số cộng hữu hạn có 1 5, 45, 400 n n u u S = = = . Tìm n và công sai của CSC đó. Bài 4: Cho cấp số cộng ( ) n u có 5 19 90. u u + = Tính 23 S . Bài 5: Cho cấp số cộng ( ) n u có 2 5 4 9 42, 66 u u u u + = + = . Tính 346 S . Bài 6: Bốn số lập thành một cấp số cộng có tổng bằng 22 và tổng bình phương của chúng bằng 166. Tìm 4 số đó. Bài 7: Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác, hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ 2 có 2 cây, …, hàng thứ n có n cây. Hỏi có bao nhiêu hàng cây được trồng? Bài 8: Cho CSC ( ) n u . Gọi 1 2 k k S u u u = + + + . Biết ( ) 2 2 , *, * m n S m m n m n S n = ≠ ∈ ∈ ℕ ℕ . Chứng minh rằng: 2 1 2 1 m n u m u n − = − Bài 9: Xác định m sao cho phương trình 3 2 3 2 2 1 0 x x x m − − + + = có 3 nghiệm lập thành một cấp số cộng. (HD: Sử dụng định lý Viets mở rộng 1 2 3 b x x x a + + = − ) IV. CẤP SỐ NHÂN: Bài 1: Cho cấp số nhân ( ) n u có 1 9 5, 1280 u u = = . Tìm công bội q và tính 15 S . Bài 2: Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân ( ) n a , biết: 1 3 5 2 4 21 10 a a a a a + + = −   + =  (KQ: 1 2; 2 q q = − = − ) Bài 3: Tìm 3 số biết rằng chúng lập thành một cấp số cộng có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm 2, 3, 9 vào các số đó theo thứ tự của cấp số cộng thì được 3 số theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. (HD: a + d =7, (a + 2)(a + 2d + 9) = (a + d + 3) 2 Bài 4: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Chứng minh ( ) ( ) 2 2 2 a b c a b c a b c + + − + = + + Bài 5: Tìm 3 số dương biết rằng chúng lập thành một cấp số cộng có tổng bằng 21. Nếu bớt 1 ở số hạng thứ nhât, thêm 1 vào số hạng thứ 2 và thêm 7 vào số hạng thứ 3 thì 3 số ấy theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Bài 6: Tìm 3 số biết rằng chúng lập thành một cấp số nhân có tổng bằng 124 và theo thứ tự là số hạng thứ 3, 13 và 15 của một cấp số cộng. Trường THPT Đông Hưng Hà 2011 3 Bài 7: Ba số có tổng bằng 35 lập thành một cấp số nhân. Tổng các bình phương của chúng bằng 525 và đôi một khác nhau. Tìm 3 số ấy? IV. BÀI TẬP TỔNG HỢP: Bài 1: Cho CSN ( ) 2 5 2 2 3 6 3 3 0 : 63 n u u u u u  + =   + =   . Tính 1 2 2011 S u u u = + + + Bài 2: Cho dãy số ( ) 1 2 1 2 : 3 10 0 * n n n u u u u n + =    − + = ∀ ∈   ℕ . Chứng minh (u n ) vừa là CSC, vừa là CSN. Bài 3 : Cho dãy số ( ) 1 1 2 : 2 3 0 * n n n u u u u n + =   − − = ∀ ∈  ℕ . Xác định số hạng tổng quát của dãy số và tính tổng của 2011 số hạng đầu tiên. Bài 4: Cho dãy số ( ) ( ) 1 1 2011 : 3 . 1 0 * n n n u u n u n u n + =    − + = ∀ ∈   ℕ . Xác định số hạng tổng quát của dãy số và tính tổng 3 2011 2 1 2 3 2011 u u u S u= + + + + . PHẦN II. GIỚI HẠN: I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ: Bài 1: Tìm giới hạn của các dãy số sau: a. 2 2 2 3 1 lim 3 2 n n n n − + + + b. 1 4.3 7 lim 2.5 7 n n n n + + + c. ( ) 2 lim 2 n n + − d. ( ) 2 33 lim n n n − + d. 2 1 lim 2 1 n n + + e. 2 2 1 lim 9 3 n n n + + − f. ( ) 4 3 2 lim 5 1 n n n n − + − − + g. ( ) 2 lim 3 n n n + + + i. 3 lim 5 1 n n u u − + với lim 5 n u = j. 2 2 4 lim 5 4 n n n v v v + + − với lim n v = +∞ Bài 2: Tính các giới hạn sau: a. 2 2 2 1 3 2 1 lim n n n n −   + + +     b. 2 2 2 2 1 1 1 1 lim 1 1 1 1 2 3 4 n         − − − −                 c. 1 1 1 1 1 ( 1) lim 1 3 9 27 3 n n − −   − − + − + +     Bài 3: Cho dãy số ( ) n u với 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 ( 1) n u n n = + + + + + . Chứng minh rằng dãy số bị chặn và tìm giới hạn của dãy số đó. II. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ: Bài 1: Tìm các giới hạn sau: Trường THPT Đông Hưng Hà 2011 4 a. 4 2 1 lim 3 x x x → + + b. ( ) 3 7 2 lim 3 2 1 8 7 x x x x x →     − + − − +         c. ( ) 2 lim 2 5 x x x →+∞ + + d. 2 1 5 lim 1 x x x + → + − e. 2 2 2 3 lim 4 2 x x x x →−∞ − + + Bài 2: Tìm các giới hạn sau: (Dạng vô định 0 0 ) a. 2 2 2 lim 2 x x x x → − − − b. 3 2 1 1 lim 1 x x x → − − c. 4 2 1 3 lim 2 x x x → + − − d. 2 3 1 lim 1 n x x x x x n x → + + + + − − e. 3 2 1 7 3 lim 1 x x x x → + − + − f. 2 3 2 2 4 lim 2 x x x x x + → − − − − g. ( ) 1 1 lim , * 1 m n x x m n x → − ∈ − ℕ h. 2 1 1 1 lim 1 x x x x + → − + − − i. 3 2 1 3 2 lim 1 x x x x → − − − j. 2 2 1 3 3 lim 1 x x x x x → + + + − k. 3 3 2 2 3 0 8 6 9 9 27 27 lim x x x x x x x → + + + − + + m. 3 2 0 1 2 1 3 lim x x x x → + − + Bài 3: Tìm các giới hạn sau: (Dạng vô định 0 0 sử dụng giới hạn 0 sin lim 1 x x x → = ) a. 0 sin 4 lim sin 7 x x x → b. 0 1 cos3 lim 1 cos5 x x x → − − c. 2 0 cos cos3 lim 2 x x x x → − d. 2 0 1 cos lim x x x → − e. 6 3sin cos lim sin 6 x x x x π → − f. 4 4 2 0 cos sin 1 lim 1 1 x x x x → − − + − g. 2 0 cos2 1 lim 1 1 x x x → − − − h. 4 sin cos lim 1 tan x x x x π → − − i. 3 0 tan sin lim x x x x → − j. 2 sin 2 lim cos x x x x π π →   −     k. 4 1 tan lim 1 cot x x x π → − − l. 2 0 cos cos2 2 lim sin x x x π →       Bài 4: Tìm các giới hạn sau: (Dạng vô định ∞ ∞ ) a. 2 3 lim 2 1 x x x x x →−∞ + − − b. ( ) ( ) 2 3 1 3 lim 4 x x x x x x →+∞ − + + c. 2 2 2 1 1 lim 1 x x x x x x x →+∞ + + + − + + + d. 2 3 3 2 3 lim 1 x x x x x →−∞ + + − + e. 2 2 2 3 lim 4 1 1 x x x x x x →+∞ + + + + − + f. 2 7 lim 1 14 16 1 x x x x x →+∞ + + + + Trường THPT Đông Hưng Hà 2011 5 Bài 5: Tìm các giới hạn sau: (Dạng vô định ∞ − ∞ ) a. 3 1 1 3 lim 1 1 x x x + →   −   − −   b. 2 2 2 1 1 lim 3 2 5 6 x x x x x − →   +   − + − +   c. ( ) 2 lim 3 x x x x →−∞ − + + d. ( ) lim 3 5 x x x →−∞ − − − e. ( ) 2 lim 1 x x x →+∞ + − f. ( ) 33 lim 2 8 1 x x x →+∞ − + g. 2 2 2 sin lim tan cos x x x x π →   −     Bài 6: Tìm các giới hạn sau: (Dạng vô định 0. ∞ ) a. ( ) 2 lim 1 x x x x →+∞ + − b. lim .s x x x π →+∞       in c. ( ) 2 lim 1 cos2 .tan x x x π →  +    d. ( ) 2 1 lim 1 x x x x →+∞   + +     Bài 7: Tìm a và b để: a. ( ) 2 lim 1 0 x x x ax b →+∞ + + − − = b. 2 1 lim 0 1 x x ax b x →+∞   + − − =   +   III. HÀM SỐ LIÊN TỤC: Bài 1: Xét sự liên tục của các hàm số sau: a. 2 3 4 1 ( ) 2 3 1 x x x f x x x  − + < =  − ≥  khi khi tại x 0 = 1 b. 2 ( ) 2 f x x x = − − tại các điểm x = -1; x = 2 c. 2 4 2 ( ) 2 1 2 2 x x g x x x x  − <  = −   − ≥  khi khi tại x = 2 d. 1 2 3 2 ( ) 2 1 2 x x g x x x  − − ≠  =  −  =  khi khi tại x 0 = 2 e. 1 .sin 0 ( ) 0 0 x x f x x x  ≠  =   =  khi khi tại x 0 = 0 f. 2 2 0 0 ( ) 0 1 4 4 1 x f x x x x x x <   = ≤ <   + + ≥  khi khi khi tại các điểm x = 0; x = 1 Bài 2: Tìm a để các hàm số sau đây liên tục: a. 2 3 2 1 1 ( ) 2 1 x x x f x x a x  + − < =  + ≥  khi khi tại x 0 = 1 b. 3 2 2 3 1 ( ) 1 1 x x x g x x a x  + − ≠  = −   =  khi khi tại x = 1 Trường THPT Đông Hưng Hà 2011 6 c. 1 1 0 ( ) 4 0 2 x x x x h x x a x x  − + + <   =  −  + ≥  +  khi khi tại x = 0 d. 1 4 0 sin 2 4 ( ) 0 1 c x x x x g x x a x x π  − − ≤ <   =  +  ≥  +  os khi khi tại x 0 = 0 Bài 3: Xét sự liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng: a. 2 3 7 2 ( ) 1 2 x x x f x x x  − − < − =  − ≥ −  khi khi b. 2 2 3 10 2 4 2 3 ( ) 2 5 2 3 4 5 x x x x x g x x x x x  + − <  −  +  = ≤ ≤  +  − >    khi khi khi Bài 4: Tìm a để hàm số sau liên tục trên R. 3 3 2 2 2 2 ( ) 1 2 4 x x x f x ax x  + − >   − =   + ≤   khi khi Bài 5: Chứng minh rằng các phương trình sau: a. 3 2 7 0 x x − − = có nghiệm. b. 5 4 3 2 5 4 6 2 5 4 0 x x x x x + + − + + = có nghiệm. c. 3 2 3 1 0 x x + − = có 3 nghiệm phân biệt. d. 4 5 2 0 x x − + = có ít nhất một nghiệm. e. 3 2 3 1 0 x x − + = có 3 nghiệm trong khoảng (-1; 3). f. 3 2 0 x ax bx c + + + = với 4 8 21 2 0 a b c + + + = luôn có nghiệm trên 1 0; 2       PHẦN III: ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ: I. CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM: Bài 1: Bằng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau: a. 2 0 1 3 4 1 2 y x x x = − + = taïi . b. 0 5 3 1 y x x = − = − taïi . Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a. ( ) ( ) 2 2 1 5 3 y x x = + − b. 2 1 y x x = + c. ( ) 2 1 y x x x = − + d. 1 1 x y x + = − Trường THPT Đông Hưng Hà 2011 7 e. ( ) 2009 2 3y x= + f. 3 1 1 y x = + g. ( ) 3 2 sin 2 1 y x = − h. 2 2 1 1 sin 1 1 x x y c x x     + − = +     − +     os i. ( ) 2 sin cos3 y x = j. ( ) 2009 cot 1y x= + k. ( ) ( ) 2 3 sin cos tan y x = l. 2 2 2 x y x a = + (a là hằng số) m. 1 cos y x = n. 2 3 2 sin sin x y x x x = + o. ( ) ( ) 2 2 sin cos 2 .cos sin 2 y x x = p. ( ) ( ) 2 2 tan sin tan cos y x x = + Bài 3: Tính vi phân của các hàm số sau: a. sin x y x = b. sin cos y x x x = − c. 2 cos 1 x y x = − d. x y a b = + (a, b là hai tham số) e. 2 tan y x = f. cot y x x = II. ÁP DỤNG ĐẠO HÀM: Bài 1: Giải các phương trình sau: a. 2 '( ) 0 ( ) sin cos f x f x x x = = − vôùi b. 1 '( ) 0 ( ) sin 2 sin 15 2 f x f x x x = = + − vôùi c. 3 1 '( ) 0 ( ) sin 2 cos2 2 2 2 f x f x x x x = = − + vôùi Bài 2: Cho hàm số 6 6 sin cos y x x = + . Tìm GTLN và GTNN của hàm số '( ) y x . Bài 3: Cho hàm số ( ) 2 3 2 ( 1) ( ) 1 3 2009 3 m f x x m x x − = + − + − . Tìm m để '( ) 0, f x > ∀ x . Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau: a. 1 2 3 1 2 3 .2 n n n n n n C C C nC n − + + + + = (HD: Khai triển ( ) 1 n x + rồi lấy đạo hàm hai vế) b. ( ) ( ) 2 3 2 1.2 2.3 1 1 .2 n n n n n C C n nC n n − + + + − = − c. ( ) ( ) ( ) 1 0 1 2 1 1 2 1 0 n n n n n n nC n C n C C − − − − + − − + − = (HD: Khai triển ( ) 1 n x − rồi lấy đạo hàm hai vế) d. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 2 2. 3. 2 n n n n n n n n C C C n C C + + + + = ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 0 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 ( : 1 2 . . 2 . . . 2 . . . , 1. n n n n n n k k i i k k k k i i n n n n n k i k k i n n n n k i k i i i k i k i i i n n n n n n i k i k HD x C x C x C x k C x i C x k C C x i C x k C C x i C x i − − = = = = = − − − − − − = = = =      + = = ⇒ =               ⇔ = ⇒ = ∀ =         ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ .2 n Với i = n được điều cần chứng minh) III.TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ: Trường THPT Đông Hưng Hà 2011 8 Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 2 1 x y x + = − a. Tại điểm có hoành độ x 0 = 2. b. Tại điểm có hoành độ x 0 thỏa mãn ( ) 0 3 ' 4 y x = − . Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 3 2 2 1 y x x = − + a. Tại điểm có hoành độ bằng 1. b. Tại điểm có hoành độ x 0 thỏa mãn ( ) 0 '' 0 y x = . c. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0; 1). Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 4 2 2 3 y x x = + − a. Tại điểm có tung độ triệt tiêu. b. Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 8x + 3. Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 3 2 3 8 1 y x x x = + − + biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất của hệ trục Oxy. Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 3 2 3 2 y x x = − + biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + y + 10 = 0. Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 2 1 x x y x − + = a. Biết tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y 0 = 1. b. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2; -1). IV. BÀI TẬP TỔNG HỢP: Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = 2cos 2 (4x-1) a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x) Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = 3cos 2 (6x-1) a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x) Bài 3: Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn phương trình : a) y = 2 2 x x − ; y 3 y"+1 = 0. b) y = e 4x +2e -x ; y''' –13y' –12y = 0. c) y = e 2x sin5x; y"-4y'+29y = 0 d) y = 3 x [cos(lnx)+sin(lnx)]; 2 x y"-5xy'+10y = 0. e) y = ( ) 2 2 1 x x + + ; (1+ 2 x )y"+xy'-4y = 0 Bài 4: Cho hàm số y= f(x) = 2x 2 + 16 cosx – cos2x. 1. Tính f’(x) và f”(x), từ đó tính f’(0) và f”( π ). 2. Giải phương trình f”(x) = 0. Bài 5: Cho hàm số y = f(x) = 1 2 x − cos 2 x a) Tính f'(x) b) Giải phương trình f(x) -(x-1)f'(x) = 0 Bài 6: Giải phương trình f’(x) = 0 biết rằng: a) f(x) = 3x+ 60 x 3 64 x − +5; b) f(x) = sin3 3 x +cosx- 3 cos3 sin 3 x x   +     Trường THPT Đông Hưng Hà 2011 9 PHẦN III: QUAN HỆ VUÔNG GÓC: Bài 1: Trong mặt phẳng (α) cho tam giác nhọn BCD có các đường cao BE và DF cắt nhau tại H. Trên đường thẳng d qua B và vuông góc với mp(α) lấy điểm A (A≠B). Gọi M là hình chiếu vuông góc của D trên cạnh AC. 1. Chứng minh rằng (ADC) ⊥ (ABE) và (ADC) ⊥ (DMF). 2. Gọi K là trực tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng HK ⊥ (ADC). 3. Cho tam giác BCD đều cạnh a và 3 2 a AB = . Tính: - Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). - Độ dài đoạn thẳng HK, khoảng cách từ F đến mp(ADC) và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và DC). Bài 2: Trong mặt phẳng (α) cho ∆ ABC có 3 góc nhọn. Trên đường thẳng d vuông góc với (α) tại A lấy điểm M (M ≠A). Gọi H và K lần lượt là chân đường cao kẻ từ B của ∆ ABC và ∆ MBC và N là giao điểm của HK và đường thẳng d. Chứng minh rằng: 1. CM ⊥ (BHK) 2. Tứ diện CBMN có các cạnh đối vuông góc với nhau. Bài 3: Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường chéo AC và BF vuông góc. Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác BCE và ADF. Chứng minh rằng: 1. ∆ ACH và ∆ BFK là các tam giác vuông. 2. BF ⊥ AH và AC ⊥ BK. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a., cạnh SA = a và SA ⊥ (ABCD). 1. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. 2. Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. Chứng minh B’D’ song song với BD và AB’ ⊥ SB. 3. M là một điểm di động trên đoạn BC, gọi K là hình chiếu vuông góc của S trên DM. Tìm quỹ tích các điểm K khi M di động. 4. Đặt BM = x. Tính độ dài SK theo a và x. Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn SK. Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông có cạnh đáy nhỏ AB = a, AD = a, BD ⊥ BC, SD = BD, SD ⊥ (ABCD). Lấy M ∈ AB, đặt BM = x. 1. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. 2. Mặt phẳng (α) đi qua M và vuông góc với BD cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó theo a và x. 3. Tìm vị trí của M để diện tích thiết diện nói trên là lớn nhất. Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc  0 60 BAD = . Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đoạn 3 4 SO a = . Gọi E là trung điểm của BC và F là trung điểm của BE. 1. Chứng minh rằng mp(SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC). 2. Tính khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC). 3. Gọi (α) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với mp(SBC). Xác định thiết diện của hình chóp với (α). Tính diện tích thiết diện đó? 4. Tính góc giữa mp(α) và mp(ABCD). Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên đều bằng 3 a . 1. Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD). Trường THPT Đông Hưng Hà 2011 10 2. Gọi (α) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. Hãy xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α). Tính diện tích thiết diện đó. 3. Gọi ϕ là góc giữa (α) và AB. Tính sin ϕ . Bài 8: Cho hình thang ABCD có   A,B là góc vuông, AD = 2a, AB = BC = a, S là điểm nằm trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi C’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SD. 1. Chứng minh   0 SBC SCD 90 = = . 2. Chứng minh AD’, AC’ và AB cùng nằm trong một mặt phẳng. Từ đó chứng minh C’D’ đi qua một điểm cố định khi S di động trên tia Ax. 3. Cho AS a 2 = . Tính diện tích tứ giác ABC’D’. 4. Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và SC. Tính độ dài đoạn vuông góc chung đó biết rằng. Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b và CC’ = c. 1. Chứng minh rằng (ADC’B’) ⊥ (ABB’A’). 2. Tính AC’ theo a, b, c. Bài 10: Cho hình chóp ABCD có các mặt bên (ABD) và (ACD) cùng vuông góc với (BCD). Gọi DE và BK là các đường cao của tam giác BCD và BF là đường cao của tam giác ABC. 1. Chứng minh rằng (ADE) ⊥ (ABC) và (BKF) ⊥ (ABC). 2. Gọi H là giao điểm của AE và BF, N là giao điểm của DE và BK. Chứng minh rằng HN ⊥ (ABC). BÀI TẬP THAM KHẢO: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Các cạnh bên SA = SB = SC = SD = a 2 . Gọi M là trung điểm của SD. a) Chứng minh AC vuông góc với (SBD). b) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD). Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật . Biết SA = a, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mf(ABCD). a)Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD) với (ABCD) . b) Gọi O là giao điểm của AC và BD.Tính khoảng cách từ O đến (SCD). Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, SA = a 2 , AB = 2a , AD = CD = a. SA vuông góc với mf(ABCD). 1/ Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. 2/ Tính góc giữa SC và mặt phẳng (SAB). 3/ Tính kc giữa các cặp đường thẳng SA và CD , SC và AD , AB và SD , SC và AB Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc  0 BAD 60 = , đường cao SO = a. Gọi K là hình chiếu của O lên BC a) CMR : BC ⊥ (SOK) b) Tính góc của SK và mp(ABCD) c) Tính khoảng cách giữa AD và SB. Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông ở C có CA = a;CB = a 2 ; SA ⊥ (ABC) và SA = a 3 . a) Chứng minh mp(SBC) vuông góc với mp(SAC). b) Tính góc giữa SB và mp(ABC). c) Tính góc giữa mp(ABC) và mp(SBC). d) Gọi I là trung điểm AB. Tính khoảng cách từ I đến mp(SBC). Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 . SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a. a) Chứng minh (SAB) vuông góc (SBC). [...]... giác SAB đều nằm trong hai mặt phẳng vuông góc nhau Gọi I là trung điểm của AB a) Tính d(S,(ABCD)) b) C/m: (SAD) ⊥ (SAB) c) Gọi F là trung điểm của AD C/m (SCF) ⊥ (SID), tính d(I,(SCF)) Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, SC = a 2 , H, K là trung điểm AB, AD b AC ⊥ SK, CK ⊥ SD a CM SH ⊥ (ABCD) c Tính khoảng cách từ H đến (SCD), H đến (SBC) 11 2 011 Trường THPT Đông... đáy ABCD a) CMR (SAC) ⊥(SBD), (SBD)⊥(ABCD) b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD),từ điểm O đến mp(SBC) c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SD Bài 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc BAD = 600 và SA = SB = SD = a a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD) b) Chứng minh tam giác SAC vuông c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)...Trường THPT Đông Hưng Hà 2 011 b) Tính khoảng cách giữa : AD và SC Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a 1 Tính góc giữa ( SAC ) và ( SAD ) 2 Tính khoãng cách giữa hai đường thẳng SB và . 2 011 số hạng đầu tiên. Bài 4: Cho dãy số ( ) ( ) 1 1 2 011 : 3 . 1 0 * n n n u u n u n u n + =    − + = ∀ ∈   ℕ . Xác định số hạng tổng quát của dãy số và tính tổng 3 2 011 2 1 2 3 2 011 u. tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 8x + 3. Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 3 2 3 8 1 y x x x = + − + biết tiếp tuyến song song với đường phân giác. Trường THPT Đông Hưng Hà 2 011 1 ÔN TẬP CUỐI NĂM KHỐI 11 PHẦN I: DÃY SỐ - PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC – CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN