Phương trình lượng giác KIẾN THỨC CẦN NHỚ I.CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1.CÔNG THỨC CỘNG 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos2a = cos 2 a – sin 2 a cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos 2 a –1 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = 1 – 2sin 2 a sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb sin2a = 2.sina.cosa tan(a + b) = tan2a = tan(a - b) = 3.CÔNG THỨC HẠ BẬC cos 2 a = 1 2 2 cos a+ sin 2 a = 4.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH cosa + cosb = 2.cos .cos cosa - cosb = -2.sin .sin sina + sinb = 2.sin .cos sina - sinb = 2.cos .sin sin( ) tan tan osacosb a b a b c + + = sin( ) tan tan osacosb a b a b c − − = 5.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG cosa.cosb = [cos(a – b) + cos(a + b)] sina.sinb = [cos(a – b) - cos(a + b)] [ ] 1 sin osb= sin( ) sin( ) 2 ac a b a b + + − [ ] 1 os sinb= sin( ) sin( ) 2 c a a b a b + − − 6.BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT x ra d -π - - - - - - - 0 π đ ộ -180 o -150 o -135 o -120 o - 90 o -60 o -45 o -30 o 0 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 135 o 150 o 180 o sin 0 - - - -1 - - - 0 1 0 cos -1 - - - 0 1 0 - - - -1 NguyÔn trung tiÕn tr êng thpt kiÕn an 1 Phương trình lượng giác tan 0 1 || - -1 - 0 1 || - -1 - 0 cot || 1 0 - -1 - || 1 0 - -1 - || II.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1.Phương trình sinx=a.( -1≤ a ≤ 1) sinx = a ⇔ arcsina+k2 arcsina+k2 x x π π π =   = −  ; k ∈ Z +sinx = sinα ⇔ +k2 +k2 x x α π π α π =   = −  ; k ∈ Z ( a = sinα) sinx = 0 ⇔ x = kπ; k ∈ Z sinx = 1 ⇔ x = + k2π; k ∈ Z sinx = -1 ⇔ x = -+ k2π; k ∈ Z 2.Phương trình cosx=a.( -1≤ a ≤ 1) cosx = a ⇔ arccosa+k2 arccosa+k2 x x π π =   = −  ; k ∈ Z +cosx = cosα ⇔ +k2 +k2 x x α π α π =   = −  ; k ∈ Z ( a = cosα) cosx = 0 ⇔ x = + kπ; k ∈ Z cosx = 1 ⇔ x = k2π; k ∈ Z cosx = -1 ⇔ x = π+ k2π; k ∈ Z 3.Phương trình tanx=a. TXĐ: \ , 2 k k π π   + ∈     ¢¡ + t anx=a x=arctana+k ,k π ⇔ ∈¢ + tanx=tan x= +k ,k α α π ⇔ ∈¢ tanx=1 x= , 4 tanx=-1 x=- , 4 t anx=0 x= , k k k k k k π π π π π ⇔ + ∈ ⇔ + ∈ ⇔ ∈ ¢ ¢ ¢ 4.Phương trình cotx=a. TXĐ: { } \ ,k k π ∈¢¡ + t x=a x=arccota+k ,kco π ⇔ ∈¢ + cotx=cot x= +k ,k α α π ⇔ ∈¢ cotx=1 x= , 4 cotx=-1 x=- , 4 t x=0 x= , 2 k k k k co k k π π π π π π ⇔ + ∈ ⇔ + ∈ ⇔ + ∈ ¢ ¢ ¢ III.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP. 1.Phương trình a.sinx+bcosx=c ( 2 2 0a b+ ≠ ) 2 2 2 2 2 2 sinx+ osx= a b c c a b a b a b ⇔ + + + đặt: 2 2 2 2 os = sin a c a b b a b α α   +    =  +  NguyÔn trung tiÕn tr êng thpt kiÕn an 2 Phương trình lượng giác phương trình trở thành: 2 2 sinx os osx sin c c c a b α α + = + 2 2 sin( ) c x a b α ⇔ + = + *Chú ý +Phương trình có nghiệm khi 2 2 2 c a b≤ + +Nếu . 0, 0a b c≠ = thì: sin cos 0 tan b a x b x x a + = ⇔ = − 2.Phương trình : 2 2 asin sinxcosx+ccos 0x b x+ = (1) +Nếu a = 0: 2 sinxcosx+ccos 0b x = osx(bsinx+ccosx)=0c⇔ osx=0 bsinx+ccosx=0 c  ⇔   +Nếu c = 0: 2 asin sinxcosx=0x b+ sinx(asinx+bcosx)=0⇔ sinx=0 asinx+bcosx=0  ⇔   +Nếu 0, 0,cos 0a c x≠ ≠ ≠ : 2 2 2 2 2 sin sinxcosx cos (1) 0 cos cos cos x x a b c x x x ⇔ + + = 2 tan t anx+c=0a x b⇔ + BÀI TẬP. Bài 1.Giải các phương trình: a) 2 cot(5 ) 0 8 x π − = b) 2 2cos 3 cos 0x x+ = c) 3 sin 3 cos3 2x x− = d) 2 2 sin sin 2 2cos 2x x x + + = Giải. a) 2 cot(5 ) 0 8 x π − = ⇔ 5 8 2 x k π π π − = + ⇔ 5 k x π π = + b) 2 2cos 3 cos 0x x+ = cos 0 2 , 3 5 cos 2 2 6 x x k k x x k π π π π  =  = +   ⇔ ⇔ ∈   = −  = ± +     ¢ c) 3 sin 3 cos3 2x x− = 3 1 sin 3 cos3 1 2 2 x x⇔ − = ⇔ sin (3 ) 6 x π − = 1 ⇔ 3 2 6 2 x k π π π − = + ⇔ 2 2 9 3 k x π π = + d) 2 2 sin sin 2 2cos 2x x x + + = ⇔ sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0 sin 0 tan 2 arctan 2 x x k x x k π π = =   ⇔ ⇔   = = +   Bài 2.Giải các phương trình: a) 3 3 tan(3 ) 0 5 x π + = ⇔ 3 3 5 x k π π + = ⇔ 5 3 k x π π = − + NguyÔn trung tiÕn tr êng thpt kiÕn an 3 Phương trình lượng giác b) 2 2sin sin 1 0x x − − = 2 2 sin 1 2 , 1 6 sin 2 7 2 6 x k x x k k x x k π π π π π π  = +  =     ⇔ ⇔ = − + ∈   = −    = +   ¢ c) sin 5 cos5 2x x + = − 1 1 sin 5 cos5 1 2 2 x x⇔ + = − ⇔ sin (5 ) 4 x π + = - 1 ⇔ 5 2 4 2 x k π π π + = − + ⇔ 3 2 20 5 k x π π = − + d) 2 2 3sin sin 2 cos 3x x x+ + = 2 2sin cos 2cos 0 2cos (sin cos ) 0x x x x x x⇔ − = ⇔ − = 2 cos 0 2 tan 1 4 x k x x x k π π π π   = +   = ⇔ ⇔   =   = +     e. cos2 3sin 2 0x x+ − = 2 2 1 2sin 3sin 2 0 2sin 3sin 1 0x x x x⇔ − + − = ⇔ − + = 2 2 sin 1 2 , 1 6 sin 2 5 2 6 x k x x k k x x k π π π π π π  = +  =     ⇔ ⇔ = + ∈   =    = +   ¢ f. 3sin cos 2x x+ = 3 1 2 sin cos 2 2 2 x x⇔ + = 2 sin cos cos sin 6 6 2 x x π π ⇔ + = sin( ) sin 6 4 x π π ⇔ + = ⇔ 2 2 6 4 12 , 3 7 2 2 6 4 12 x k x k k x k x k π π π π π π π π π π   + = + = +   ⇔ ∈     + = + = +     ¢ g. 3sin cos 2x x− = 3 1 2 sin cos 2 2 2 x x⇔ − = 2 sin cos cos sin 6 6 2 x x π π ⇔ − = sin( ) sin 6 4 x π π ⇔ − = NguyÔn trung tiÕn tr êng thpt kiÕn an 4 Phng trỡnh lng giỏc 5 2 2 6 4 12 , 3 11 2 2 6 4 12 x k x k k x k x k = + = + = + = +  h. 2cos2 3cos 1 0x x + = 2 4cos 3cos 1 0x x = cos 1 2 , 1 1 cos arccos( ) 2 4 4 x x k k x x k = = = = +  i. 2 2 2sin 3sin cos 5cos 0x x x x+ = 2 2 n 3 n 5 0ta x ta x + = tan 1 4 , 5 5 tan arctan( ) 2 2 x x k k x x k = = + = = +  Bi 3.Gii cỏc phng trỡnh: a. 3sin sin 2 0x x+ = b. 2 2cos 2sinx x = c. sin sin3 sin5 0x x x+ + = d. sin sin3 sin5 cos cos3 cos5x x x x x x+ + = + + e. 2 2 2sin 5sin cos 4cos 2x x x x = f. 2 2 2cos 2 3sin 2x x+ = g. 2 2 sin 2 cos 3 1x x+ = h. tan .tan5 1x x = i. 5cos2 12sin2 13x x = j. 2sin 5cos 4x x = k. 2cos 3sin 2x x+ = Bi 4.Gii cỏc phng trỡnh: a. tan cot 2x x+ = b. 2 (3 cot ) 5(3 cot )x x+ = + c. 3(sin3 cos ) 4(cos3 sin )x x x x = d. 2 2 4sin 3 3sin 2 2cos 4x x x+ = e. 2 2 2 2 sin sin 2 sin 3 sin 4 2x x x x+ + + = f. 4 2 4sin 12cos 7x x+ = Bi 5. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau : a) 2 cot(5 ) 0 8 x = b) 2 2cos 3 cos 0x x+ = c) 3 sin 3 cos3 2x x = d) 2 2 sin sin 2 2cos 2x x x + + = Baứi giaỷi : a) 2 cot(5 ) 0 8 x = 5 8 2 x k = + 5 k x = + b) 2 2cos 3 cos 0x x+ = cos 0 3 cos 2 x x = = 2 5 2 6 x k x k = + = + c) 3 sin 3 cos3 2x x = Nguyễn trung tiến tr ờng thpt kiến an 5 Phương trình lượng giác 3 1 sin3 cos3 1 2 2 x x − = ⇔ Sin (3 ) 6 x π − = 1 ⇔ 3 2 6 2 x k π π π − = + ⇔ 2 2 9 3 k x π π = + d) 2 2 sin sin 2 2cos 2x x x + + = ⇔ sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0 ⇔ sin 0 tan 2 x x = = ⇔ arctan 2 x k x k π π = = + Bài 6. giaûi phöông trìnhlöôïng giaùc : a) 3 3 tan(3 ) 0 5 x π + = ⇔ 3 3 5 x k π π + = ⇔ 5 3 k x π π = − + b) 2 2sin sin 1 0x x − − = ⇔ sin 1 1 sin 2 x x = = − ⇔ 2 2 2 6 7 2 6 x k x k x k π π π π π π = + = − + = + c) sin 5 cos5 2x x + = − 1 1 sin 5 cos5 1 2 2 x x+ = − ⇔ Sin (5 ) 4 x π + = - 1 ⇔ 5 2 4 2 x k π π π + = − + ⇔ 3 2 20 5 k x π π = − + d) 2 2 3sin sin 2 cos 3x x x + + = ⇔ cos 0 tan 1 x x = = ⇔ 2 4 x k x k π π π π = + = + Câu 3(3đ) : Giải các phương trình sau: a. 2sin 1 0− =x b. 2cos 3 0− =x c. cos2 3sin 2 0x x+ − = d. 3 sin cos 2− =x x a) sin sin 6 =x π 2 6 5 2 6  = +  ⇔   = +   x k x k π π π π b) cos cos 6 =x π 2 6 ⇔ = ± +x k π π c) 2 2sin 3sin 1 0− + − =x x sin 1 1 sin 2 =    =  x x 0.25đ*2 0.25đ*2 0.25đ 0.25đ 2 2 2 6 5 2 6 π π π π π π  = +    = +    = +   x k x l x l d) 3 1 2 sin cos 2 2 2 − =x x 5 2 12 11 2 12 π π π π  = +    = +   x k x k 0.25đ*2 0.25đ 0.25đ*3 Câu 4(3đ) : Giải các phương trình sau: NguyÔn trung tiÕn tr êng thpt kiÕn an 6 Phương trình lượng giác a. 2sin 3 0− =x b. 2cos 1 0 − = x c. cos2 3sin 2 0x x + − = d. 3 sin cos 2+ =x x a) sin sin 3 =x π 2 3 2 2 3  = +  ⇔   = +   x k x k π π π π b) cos cos 3 =x π 2 3 ⇔ = ± +x k π π c) 2 2sin 3sin 1 0− + − =x x sin 1 1 sin 2 =    =  x x 0.25đ*2 0.25đ*2 0.25đ 0.25đ 2 2 2 6 5 2 6  = +    = +    = +   x k x k x k π π π π π π d) 3 1 2 sin cos 2 2 2 + =x x 2 12 7 2 12  = +    = +   x k x k π π π π 0.25đ*2 0.25đ 0.25đ*3 Câu 5(3đ) : Giải các phương trình sau: a. 2sin 1 0 − = x b. 2cos 2 0− =x c. 2 cos2x -3cosx +1 =0 d. 3 sin cos 2− =x x a) sin sin 6 =x π 2 6 5 2 6  = +  ⇔   = +   x k x k π π π π b) cos cos 4 =x π 2 4 ⇔ = ± +x k π π c) 2 4cos 3cos 1 0− − =x x cos 1 1 cos 4 =    = −  x x 0.25đ*2 0.25đ*2 0.25đ 0.25đ 2 1 arccos 2 4 =      = ± − +  ÷     x k x k π π d) 3 1 2 sin cos 2 2 2 − =x x 5 2 12 11 2 12 π π π π  = +    = +   x k x k 0.25đ*2 0.25đ 0.25đ*3 Câu 6(3đ) : Giải Phương trình a. 3 sin cos 2x x− = b. cos2 3sin 2 0x x + − = c. cos 2 x + sinx +1=0 a/ 3 1 2 sin cos 2 2 2 − =x x sin sin 6 4 π π   − =  ÷   x ⇔ 5 2 12 11 2 12 π π π π  = +    = +   x k x k NguyÔn trung tiÕn tr êng thpt kiÕn an 7 Phương trình lượng giác b 2 2sin 3sin 1 0− + − =x x sin 1 1 sin 2 =    =  x x ⇔ 2 2 2 6 5 2 6 π π π π π π  = +    = +    = +   x k x l x l c. 4 6 x k x k π π π π  = +    = +   Câu 7 a. cos2 3sin 2 0x x+ − = b.sin 2 x +3sinx cosx -5 cos 2 x= 0 c.2 cos 2 x -3cosx +1 =0 Đáp án a 2 2sin 3sin 1 0− + − =x x sin 1 1 sin 2 =    =  x x ⇔ 2 2 2 6 5 2 6 π π π π π π  = +    = +    = +   x k x l x l b sin cos , 2 2t x x t= − − ≤ ≤ 2 1 sin .cos 2 t x x − = PT ⇔ 2 12 11 0t t− + − = ( ) 1 11 t t loaïi =   =  2 2 2 x k x k π π π π  = +   = +  c. π π π =    = ± +  2 2 3 x k x k câu 8. a. Giải các Phương trình sau: 2cos x 1 0 3 π   + + =  ÷   b.sin 2 x +3sinx cosx -5 cos 2 x= 0 a/ 1 2 2cos x 1 0 cos x cos 3 3 2 3 π π π     + + = ⇔ + = − =  ÷  ÷     x k2 3 x k2 π  = + π  ⇔   = −π + π  b/ sin cos , 2 2t x x t= − − ≤ ≤ (0,25) NguyÔn trung tiÕn tr êng thpt kiÕn an 8 Phương trình lượng giác 2 1 sin .cos 2 t x x − = (0,25) PT ⇔ 2 12 11 0t t− + − = (0,25) ( ) 1 11 t t loaïi =   =  (0,25) 2 2 2 x k x k π π π π  = +   = +  (0 Câu9: Giải các Phương trình sau a. 2 2sin x 3sin x 1 0− + = b. 3sin x sin 2x 0 + = c. 2sin x 2cos x 2− = Đs a. π π π π  = +    = +   2 2 2 6 x k x k b. x=k360 0 c. π π π π  = +    = +   5 24 13 24 x k x k Câu 10.(2đ) : Giải Phương trình a. tan(x +20 0 ) = 2 1 b. sinx + sin2x = cosx + cos3x c.4sin 2 x -5sinx cosx -6 cos 2 x= 0 DS a. x=10 0 +k180 0 b. π π π π = +    = +  2 2 6 3 x k x k c. π π = +    = − +  arctan2 1 arctan( ) 2 x k x k Câu 11(2đ) : Giải Phương trình a. 3 sin cos 2x x− = b. cos2 3sin 2 0x x+ − = 1a) 3 1 2 sin cos 2 2 2 − =x x sin sin 6 4 π π   − =  ÷   x ⇔ 5 2 12 11 2 12 π π π π  = +    = +   x k x k 1b) 2 2sin 3sin 1 0− + − =x x NguyÔn trung tiÕn tr êng thpt kiÕn an 9 Phương trình lượng giác sin 1 1 sin 2 =    =  x x (0,25) ⇔ 2 2 2 6 5 2 6 π π π π π π  = +    = +    = +   x k x l x l (0,25*2) Câu 12(2đ) a. 2 4 tan 7 tan 3 0x x− + = b.sin(2x + 3 π ) = - 2 2 Đáp án : a. sin(3 ) 0(0.25) 3 (0.25), (0.5) 6 6 18 3 k x x k x π π π π π − ≠ ⇔ − ≠ ≠ + b. 7 2 2 3 4 24 (0.25*4) 5 11 2 2 3 4 24 x k x k x k x k π π π π π π π π π π   + = − + = − +   ⇔     + = + = +     Câu 13(2đ) a. 2 2cot 5 t 3 0x co x− + = b.cos(2x + 3 π ) = - 2 2 c. 2 2 2 cos 2 3sin 2x + = Đáp án : a. 2 cos(3 ) 0(0.25) 3 (0.25), (0.5) 6 6 2 18 3 k x x k x π π π π π π − ≠ ⇔ − ≠ + ≠ + cos 1 4 3 3 cot cot 2 2 x x k x x arc k π π π  = = +       =   = +    b. 7 2 2 3 4 24 (0.25*4) 2 2 3 4 24 x k x k x k x k π π π π π π π π π π   + = − + = − +   ⇔     + = + = − +     c. 2 cos2 1 4cos 2 3cos2 1 0 1 cos2 4 2 2 1 1 1 2 arccos( ) 2 arccos( ) 4 2 4 x x x x x k x k k Z x k x k π π π π =   − − = ⇔  = −   = =     ⇔ ⇔ ∈   = ± − + = ± − +     5 5sin sin 0x x− = h. cos7 sin5 3(cos5 sin 7 )x x x x− = − NguyÔn trung tiÕn tr êng thpt kiÕn an 10 [...]... RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN I CÁC PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN PHỔ BIẾN: 1 Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác: 1.1 Kiến thức cơ sở: Trong phần này cần sử dụng tốt các công thức sau: Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc Các hằng đẳng thức cơ bản của lượng. .. phương trình khi m = 1 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm Bài 23 Cho phương trình: sin x + m cos x = 2 (*) a.Giải phương trình khi m = 3 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm Bài 22 Cho phương trình: NguyÔn trung tiÕn thpt kiÕn an 17 (*) tr êng Phương trình lượng giác 2sin x + cos x + 1 = m (*) Bài 24 Cho phương trình: sin x − 2cos x + 3 1 a.Giải phương trình khi m = 3 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm. .. kiÕn an 31 tr êng Phương trình lượng giác 2 Thử trực tiếp và xét mệnh đề đối lập 2.1 Kiến thức cơ sở + Các nhận xét về tính chu kì của hàm số lượng giác sin ( α + k 2π ) = sin α tan ( α + kπ ) = tan α ∀α ; co s ( α + k 2π ) = cosα cot ( α + kπ ) = cot α ∀α ; ∀α ; ∀α + Các công thức về giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt 2.2 Một số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Giải phương trình cos3x.tan... x) 6 tan α (*) Bài 20 Cho phương trình: 2 = sin x 1 + tan 2 α π a.Giải phương trình khi α = − 4 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm Giải NguyÔn trung tiÕn thpt kiÕn an 16 tr êng Phương trình lượng giác 3π π − x) = − sin( − x) = − cos x 2 2 6 tan α = 6 tan α cos 2 α = 3sin 2α ,cos α ≠ 0 2 1 + tan α 5 − 4cos x (*) ⇔ = 3sin 2α ⇔ 3sin 2α sin x + 4cos x = 5 (**) sin x π a khi α = − phương trình trở thành:... Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x= π π +k 14 7 ( k ∈Z) Các bài tập tương tự 1/ 2 ( s inx − cos x ) 1 ; = tan x + cot 2 x cot x − 1 2/ 2sin x + c otx = 2sin 2 x + 1 ; 3/ s inx.cot5x = 1; cos9x 4/ tan 4 ( 2 − sin x +1 = 2 ) 2 x sin 3 x 4 cos x ; 1 2 5/ ( 4 cos 2 x − 3) sin 3x = NguyÔn trung tiÕn thpt kiÕn an 35 tr êng Phương trình lượng giác 3 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác (ĐTLG) 3.1 Kiến thức. .. kiện, do đó ta được x = k 2π , ( 1) ( 2) k ∈Z Tiếp theo giả sử cosx = 0 ⇔ sin x = ± 1 , thay vào (2) ta được ±3 − 1 = 0 (vô lí) Tức là các nghiệm của (2) đều thoả mãn điều kiện Giải (2) ta được x = α ± arccos (với cosα = 1 + k 2π 13 k ∈Z , 2 3 ; sin α = ) 13 13  x = k 2π Vậy phương trình có nghiệm  x = α ± arccos 1 + k 2π   13  NguyÔn trung tiÕn thpt kiÕn an 33 k ∈Z tr êng Phương trình lượng giác. .. (vô lí) π  cos x = 0  x = 2 + kπ  Do đó phương trình tương đương với   π ⇔ cos  x − ÷ = 1  π x = + k 2π   4   4  NguyÔn trung tiÕn thpt kiÕn an 32 tr êng Phương trình lượng giác π   x = 2 + kπ Vậy phương trình có nghiệm là   x = π + k 2π  4  ( k ∈Z) Ví dụ 3: Giải phương trình 3s inx + 2 cos x = 3 ( 1 + t anx ) − 1 cos x Lời giải: Điều kiện cosx ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ± 1 Khi đó 1 ⇔ cos... 6 2 2 2  x= +k  8 2  2 2 Bài 19.Cho phương trình: 2sin x − sin x cos x − cos x = m (*) a.Tìm m sao cho phương trình có nghiệm b.Giải phương trình khi m = -1 Giải 1 1 (*) ⇔ (1 − cos 2 x) − sin 2 x − (1 + cos 2 x) = m ⇔ sin 2 x + 3cos 2 x = −2m + 1 2 2 2 2 a (*)có nghiệm khi: c ≤ a + b 2 ⇔ (1 − 2m) 2 ≤ 1 + 9 ⇔ 4m 2 − 4m − 9 ≤ 0 1 − 10 1 + 10 ⇔ ≤m≤ 2 2 b.Khi m = -1 phương trình trở thành: 1 3 3 sin...   x = 6 + k 2π 1 Đối chiếu với điều kiện ta được sin x = ⇔  2  x = 5π + k 2π  6  π   x = 6 + k 2π Vậy phương trình có nghiệm là   x = 5π + k 2π  6  NguyÔn trung tiÕn thpt kiÕn an 29 ( k ∈Z) ( k ∈Z) tr êng Phương trình lượng giác Ví dụ 4: Giải phương trình sin 4 2 x + cos 4 2 x = cos 4 4 x π π     tan  − x ÷tan  + x ÷ 4  4  Lời giải: Điều kiện  π  sin  4 − x ÷ ≠ 0    ... 23 tr êng Phương trình lượng giác cos 2 x ⇔ = 2cos 2 x ⇔ cos 2 x (1 − 2cos 2 x) = 0 cos 2 x π  x = + kπ   cos x = 0 2 ⇔ ⇔ cos 2 x = 1 / 2  x = ± π + kπ  6  π π Vậy ,phương trình có nghiệm: x = + kπ , x = ± + kπ 6 2 2 6 x + 1 = 3cos 8 x Bài 16 2cos 5 5 12 x 4x 4x 4x 4x ⇔ (1 + cos ) + 1 = 2(2cos 2 − 1) ⇔ 2 + 4cos3 − 3cos = 2(2cos 2 − 1) 5 5 5 5 5 4x Đặt: t = cos , −1 ≤ t ≤ 1 phương trình trở . Phương trình lượng giác KIẾN THỨC CẦN NHỚ I.CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1.CÔNG THỨC CỘNG 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb. cos 2x m x+ = (*) a.Giải phương trình khi 3m = b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm NguyÔn trung tiÕn tr êng thpt kiÕn an 17 Phương trình lượng giác Bài 24. Cho phương trình: 2sin cos 1 sin. x x − − = − + Bài 22. Cho phương trình: sin 2 cos 2 2cos 2sin m x m x m x m x − − = − − (*) a.Giải phương trình khi m = 1 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm Bài 23. Cho phương trình: sin cos