DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên 1 CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I.Hệ phương trình đối xứng loại 1: 2 2 2 2 3 3 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 4 4 5( ) 2 19 7 / / 18 7 1/ ;2/ ;3/ ;4/ 3 35 5 12 ( ) 2 54 17 ( ) 78 5/ ;6/ ;7/ ;8/ 7 ( )( ) 280 13 97 x y xy x xy y x y y x x y x y xy x y x y xy x y x y xy x y x y x y xy x y xy x y x y x y xy x y                                                                     II.Hệ phương trình đối xứng loại 2: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 13 4 1/ ;2/ 2;3/ 1;4/ 2 ;5/ 13 4 2 1 2 xyz x y z xy z x y z x yz x x x y yzt y z t yz x y z x y zx y ztx z t x y y x zx y z x y z xy z txy t x y                                                               III.Hệ phương trình đẳng cấp: 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 5 2 2 2 3 9 3 2 11 1 2 9 ( )(2 3) 1 4 5 5 2 3 17 2 2 3 x xy y x xy y x y x y x y xy x y x xy y x xy y x y xy y x xy y x y x y                                                       IV.Hệ phương trình vô tỉ: 22 2 22 22 22 30 2 8 2 4 2 2 8 2 8 128 35 128 4 2 16 x y y x x y xy x y x y S P P x y x xy x x y y xy x y S P                                                22 33 2 2 2 2 3 3 2(1) 2 2 5 2 7 2( ) 3( ) ; ; ; 2 2 5 2 7 64 x y x y x y x y x y x y xy y x y x x y x y x y                                            ( bp (1) ) 22 3 2 1 20 / 20 2 2 7 ; ; ; ( ) 3 2 23 136 0 16 /5 x y x y y x x y x y x y x y x y x y xy xy x y x y x y x y x y                                               V. Giải HPT bằng pp đánh giá: 2 2 2 2 2 2 3 4 2 2 2 4 6 4 2 2 2 2 2 1 2 /(1 ) 2 /(1 ) 1/ 1 2 1; 1/ 1; 2 /(1 ) ; 3 /( 1) ; 2 1/ 1 2 /(1 ) 4 /( 1) 1 12 x y yz xy x x y x x y xy z y xz y z y z y y z y y y z x z yx zx z z x z z z z x zx x y z                                                      DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên 2 22 2 2 2 2 4 6 3 4 4 5 7 2 2 1 4 1 ( 1) 12 11 ;; 11 1 2 1 4 1 2 1 4 xy z z xy x y x y z x y x y z x yz xy x yz xy                                         VI. Một số HPT khác: 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 65 1/ 1/ 2 ( ) 3 ( ) ) 3 7 7 ; ; ; ; 21 ( ) 10 ( )( ) 15 2 2 x y x y x x y y y x y x x y x y x x y y x y x y yx x x y y x y x y x y x y xy                                                 22 2 2 2 2 2 2 (3 2 )( 1) 12 ( 2)(2 ) 9 ( )(1 1/ ) 5 18 ; ; ; ( 1)( 1) 72 4 2 8 4 6 ( )(1 1/ ) 49 x x y x x x x y x y xy x y x y xy x y x x y x x y x y x y                                      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 9 9 6 ( )( ) 45 7 ; 4 9 189 189; ( )( ) 63 ( )( ) 54 14 3 4 x y z x u v x y z x y x y z xy yz zx x y z x u v y z x y z z x x y z x y z xz y xv u                                                     5 6( ) 5 24( ) 0 1 ( ) 2 7 12( ); 7 24( ); 0; 5; ( ) 3 3 4( ) 4( ) 0 2 ( ) 6 xy x y xyz x y xy a x y xy x x y z yz yz y z xyz y z yz b y z yz y x y z xz xz z x xyz z x zx c z x zx z x y z xy                                                                 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 0 2 /( 1) 1 1 1 2 4 3 0 2( 1) 1 0 x y x y y x x x y x x y x y                           22 2 2 2 2 22 22 1/ 1/ 1 2 2 2 1 2 1 1 2 xy x y x y xy x y xy x y xy                          3 3 4 16 , 0 8 3 4 8 2 38 xy x y x y x y x y xy                2 4 2 44 4 32 3 ( 32 ) ( 32 ) 6 21 12. 12 16; 3 32 6 24 x x y x x x x y y VT x y x x y                             4 3 2 2 4 3 2 2 22 3 2 2 11 ( 1) 0 1 1 1 ( 1)( 1) 0 x x y x y x x y x y xx xy xy x y x xy xy x                              22 2 2 2 2 2 2 2 2 1/ 6 / ( ) 6 6 6 3 1;2 (1/2;1) 2 2;1 (1;2) 1/ 5 5 2 5 15 x y x y yz z y SP y xy x S y Pz x y z y S P x y x                                               3 3 3 3 3 3 3 22 1 19 / 16/3 1/ 19 19 ; / 9/2 1/ 6 / ( ) 6 6 x y x xy x y x y z y xy y x x y x y zy z y y xy x                                22 22 22 22 22 8 64 2 1 1 18 4 4 9 9 10 9 9 10 1 1 2 xy x y xy x x y x y y x y x y xy xy x x y x y y x y                                                        DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên 3 22 22 22 2 2 /(1 ) 2 ( /7) 2 0 2 /(1 ) 4 (2 /7) 8 (4 /7) 2 2 /(1 ) x x y y y x x y tan a x tan k y y z z x y z z y y z tan a y tan k x tan a z tan k z z x x x z z                                               22 22 22 6 ( ) 13 0 0 0 6 / 6 / 13 3 ( ) 5 0 0 0 6 / 6 / 10 6 / 6 / 5 6 ( ) 5 x y z yz x y z xy z xz y y z x zx y z x xy z yz x z R x R y R xz y yz x z x y xy                                                 VII. Biện luận hệ phương trình: 1/ Tìm gt của m để hpt sau có nghiệm: 22 (1) x y xy m x y m        Giải: Đặt S = x + y; P = xy 22 & 2 2 3 0. ' 1 3 0 1/3S P m S P m S S m m m                . Để (1) có nghiệm thì 22 4 2 2 2 2( ) 2 2 2 3 1 0S P S P P m P m m S m S m m                  . Để (1) có nghiệm ta chỉ cần đk: 2 3 1 0 3 1 2 0 8m m m m m            ( do 0m  từ pt thứ hai của hệ ). 2/ Giải và bl hpt: 2 2 2 2 x xy y mx y xy x my            Giải: Trừ các vế của 2 pt ta được: ( )( 1 ) 0x y x y m     a/ 2 3 ( 1) 0 0;( 1)/3x y x m x x m        b/ 2 1 ( 1) 1 0. ( 1)( 5)y m x x m x m m m             Kết luận: +/ 1 < m < 5: hpt có nghiệm 0; ( 1)/3x y x y m     +/ 15mm   : hpt có nghiệm: 0; ( 1)/3x y x y m     ; 11 ( ; ) 22 mm     3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 22 22 1(1) 3 2 (2) x xy y x xy y m            Giải: Đặt 22 (1): ( 1) 1x ty y t t     (3). Vì 2 10tt   với mọi t nên (3) luôn có nghiệm. Từ hpt ta suy ra: 2 2 2 ( 3 2)/( 1) ( 1) (3 ) 2 0t t t t m m t m t m            (4). +/ m = 1: t = 1/2  hpt có nghiệm. +/ 1:m  (4) có 3( 4)( 6)mm     . Từ đó ta suy ra hpt có nghiệm khi 46m   . 4/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 1 1 3 1 1 1 1 xy x y y x x y m                  DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên 4 Giải: hpt đã cho tđ với: 22 3( , 0) 3 /3 ( 1) ( 1) u v u v S Pm u v v u u v m                  hpt có nghiệm khi 0 27/4m . 5/ Xác định a để hpt sau có nghiệm duy nhất: 2 3 2 2 3 2 4 4 y x x ax x y x ay            Giải: a/ đk cần: gs hpt có nghiệm: 00 ( ; )xy thì nó cũng có nghiệm 00 ( ; )yx do đó để hpt có nghiệm duy nhất thì 32 0 0 0 0 0 50x y x x ax     . Vậy nếu hpt có nghiệm dn thì 25 4 0 25/4aa      . b/ đk đủ: hpt tđ với 2 3 2 22 4 ( ) 3( ) 0 x y y ay x y x xy y x y a                  . Do pt 22 3( ) 0x xy y x y a       22 ( 3) 3 0x y x y y a      có 2 2 2 ( 3) 4( 3 ) 3 6 9 4 0 x y y y a y y a y             vì ' 12(3 ) 0 y a    do a > 25/4 . Với x = y thì hpt trở thành 2 ( 5 ) 0x x x a   . Do 25/4 25 4 0aa      nên pt chỉ có nghiệm x = 0 do đó hpt có nghiệm duy nhất x = y = 0 . Vậy với m < 25/4 thì hpt đã cho có nghiệm duy nhất. 6/ Giải và biện luận hpt: x y xy a x y a          Giải: trừ các vế của hai pt ta được: 2 0 0 4 ( 0)y xy y x y y       a/ a < 0: hpt có hai nghiệm ( a; 0) và ( 4a/3; a/3) b/ 0a  : hpt có nghiệm duy nhất ( a; 0). MỘT SỐ BÀI TẬP: 1/ Chứng minh hpt sau luôn có nghiệm: 22 2 4 34 x xy y k y xy          2/ Tìm các GT của m để hpt sau có nghiệm: 4 1 4 (13/3 7) 3 xy m x y m            3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm duy nhất: 3 2 2 3 2 2 7 7 x y x mx y x y my            có nghiệm duy nhất ( m > 16 ) 4/Cminh với mọi m, hpt sau luôn có nghiệm, tìm m để hpt có nghiệm duy nhất: 2 21 ( 1) () x y xy m m xy x y m m            5/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 22 22 3 2 11 59 3897 59 3897 44 2 3 17 x xy y m x xy y m                  6/ Cho HPT: 22 ( )& ( )x my m d x y x C    . Biện luận số nghiệm của HPT theo m. Khi HPT có hai nghiệm 1 1 2 2 ( ; )&( ; )x y x y hãy tìm GT của m để GTBT 22 2 1 2 1 ( ) ( )S x x y y    đạt GTLN ( m = 1/2 ) DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên 5 // . DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên 1 CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I .Hệ phương trình đối xứng loại 1: 2 2 2 2 3 3 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 4 4 5( ) 2.                                          II .Hệ phương trình đối xứng loại 2: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 13 4 1/ ;2/ 2;3/ 1;4/ 2 ;5/ 13 4 2.                                         III .Hệ phương trình đẳng cấp: 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 5 2 2 2 3 9 3 2 11 1 2 9 ( )(2 3)