Nguyễn Trung Kiên Trường THPT Thạch Thất ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM A. TÊN ĐỀ TÀI “CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN ” B. BỐ CỤC CỦA ĐỀ TÀI I. Phần mở đầu 1. Lý do chọn đề tài. 2. Mục đích nghiên cứu của đề tài. 3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài. 5. Phạm vi nghiên cứu và giới hạn. 6. Các phương pháp nghiên cứu. II. Phần nội dung Chương 1. Phương pháp biến đổi tương đương Chương 2. Phương pháp đặt ẩn phụ Chương 3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ Chương 4. Phương pháp đánh giá. III. Kết quả thực hiện IV. Kiến nghị và đề nghị 1 Nguyễn Trung Kiên Trường THPT Thạch Thất I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Phương trình và bất phương trình chứa căn là một phần quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Khi gặp các bài toán ở dạng này học sinh thường lung túng, mắc sai lầm hoặc không định hướng được các bước giải. Các tài liệu tham khảo viết về dạng toán này có nhiều nhưng nội dung trình bày lại chưa thực sự sâu sắc nên nhiều học sinh rất khó khăn khi sử dụng. Với mong muốn giúp các em giải toán thành thạo và thấy được tính độc đáo của dạng toán này, tôi đã mạnh dạn đi sâu nghiên cứu các phương pháp giải phương trình và bất phương trình chứa căn. 2. Mục đích nghiên cứu của đề tài. Mục tiêu mà đề tài cần phải đạt được là giúp học sinh hệ thống được các phương pháp thường dùng khi giải phương trình và bất phương trình chứa căn, nắm vững và thực hiện thành thạo các bước giải của từng phương pháp. Ở dạng toán này học sinh thường mắc sai lầm khi thực hiện phép bình phương hai vế để khử căn nhưng không có điều kiện chặt chẽ hoặc lúng túng trong việc tìm đường lối đặt ẩn phụ cho nên đề tài cần hệ thống đầy đủ cho học sinh các phép biến đổi tương đương để khử căn, các dấu hiệu đặt ẩn phụ và các bước giải cho từng dạng toán cụ thể. 3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài. Đề tài tập trung nghiên cứu các phương pháp giải phương trình và bất phương trình chứa căn. Đó là các phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ, phương pháp đánh giá. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài. Đề tài gồm 4 chương: + Chương 1: Hệ thống các phép biến đổi tương đương khi giải phương trình và bất phương trình chứa căn. 2 Nguyễn Trung Kiên Trường THPT Thạch Thất + Chương 2: Hệ thống các dấu hiệu đặt ẩn phụ khi giải phương trình và bất phương trình chứa căn. + Chương 3: Hệ thống các dấu hiệu đặt ẩn phụ đưa về hệ khi giải phương trình và bất phương trình chứa căn. + Chương 4: Trình bày phương pháp đánh giá khi giải phương trình chứa căn. 5. Phạm vi và giới hạn của đề tài. + Phạm vi kiến thức mà đề tài nghiên cứu là các phương pháp giải phương trình và bất phương trình chứa căn. Nội dung kiến thức phù hợp với đối tượng học sinh lớp 10 Ban tự nhiên. + Giới hạn của đề tài: trong năm học 2008-2009. 6. Các phương pháp nghiên cứu. + Phương pháp nghiên cứu lý luận: phân tích, nghiên cứu các tài liệu tham khảo có liên quan. * Đại số sơ cấp của Trần Phương và Lê Hồng Đức. * Dùng ẩn phụ để giải toán của Nguyễn Thái Hoè. * Tuyển tập 10 năm đề thi OLYMPIC 30 tháng 4. + Phương pháp thực tiễn: tác giả đã rút ra được các bước giải tổng quát cho từng dạng toán thông qua trao đổi, phân tích, tổng hợp từ các bài giảng trên lớp 10A3, các bài giảng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 10, lớp 11 năm học 2008-2009. 3 Nguyễn Trung Kiên Trường THPT Thạch Thất II. PHẦN NỘI DUNG Chương 1. Phương pháp biến đổi tương đương Ι. Một số phép biến đổi tương đương Trong các phép biến đổi phương trình, đáng chú ý nhất là các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình. Ta gọi các phép biến đổi đó là các phép biến đổi tương đương. Sau đây là một số phép biến đổi tương đương thường dùng để giải các phương trình và bất phương trình chứa căn. *    = ≥ ⇔= )()( 0)( )()( xgxf xf xgxf *    = ≥ ⇔= )()( 0)( )()( 2 xgxf xg xgxf *        =++ ≥ ≥ ≥ ⇔=+ )()()(2)()( 0)( 0)( 0)( )()()( xhxgxfxgxf xh xg xf xhxgxf *      < ≥ > ⇔< )()( 0)( 0)( )()( 2 xgxf xf xg xgxf *           > ≥    ≥ < ⇔> )()( 0)( 0)( 0)( )()( 2 xgxf xg xf xg xgxf *        >++ ≥ ≥ ≥ ⇔>+ )()()(2)()( 0)( 0)( 0)( )()()( xhxgxfxgxf xh xg xf xhxgxf 4 Nguyễn Trung Kiên Trường THPT Thạch Thất ΙΙ. Ví dụ minh hoạ. Ví dụ 1. Giải các phương trình: a) )1(3x2x23x2 2 −−=+ b) )2(x21x14x −=−−+ Hướng dẫn: a) Ta biến đổi:    =++ −≥ ⇔    −−=++ −≥ ⇔ 012x14x2 23x 3x2x29x12x4 23x )1( 222 1x −=⇔ b)Ta biến đổi:      ++−=+ ≤ ⇔−+−=+⇔ − 1x3x22x324x 2 1 x x21x14x)2( 2 0x 0x7x2 2 1 x 2 1 1x3x21x2 21x 2 2 =⇔      =+ ≤≤− ⇔      +−=+ ≤ ⇔ : Ví dụ 2. Giải các phương trình: a) )3(x59x3 x3 6 −=−+ − b) )4( 3x 5 3x 3x 16x 2 − >−+ − − Hướng dẫn: a) Ta biến đổi 3x 054x6x4 5 9 x 27x24x5x9 5 9 x )3( 2 2 −=⇔      =−− ≤ ⇔      +−=− ≤ ⇔ b) Ta có            > ≤≤ > ⇔         −>− ≤≤ > ⇔      −>− ≥ ⇔ 2 5 x 8x4 8x )x8(16x 8x4 8x x816x 4x )4( 22 2 2 5 x >⇔ Vậy bất phương trình có nghiệm 2 5 x > 5 Nguyễn Trung Kiên Trường THPT Thạch Thất Ví dụ 3. Giải các phương trình : a) )5(23x15x817x16)1x( 2 −−=++ b) )6(9x4x)3x( 22 −≤−− Hướng dẫn: a) ĐK : 16 17 x − ≥ Ta có (*))23x8)(1x(17x16)1x()5( −+=++⇔ TH1 : Nếu 1x −= thì phương trình (*) thoả mãn. TH2: Nếu      −≠ − ≥ 1x 16 17 x thì (*) 23x817x16 −=+⇔ 4x 529x368x6417x16 8 23 x 2 =⇔      +−=+ ≥ ⇔ b) ĐK: );2[]2;(x +∞∪−−∞∈ TH1. Nếu    <≤ −≤ 3x2 2x thì 3x4x)6( 2 +≥−⇔     − ≤≤− −< ⇔         ++≥− −≤≤− −< ⇔ 6 13 x3 3x 9x6x4x 2x3 3x 22 6 13 x − ≤⇔ (thoả mãn    <≤ −≤ 3x2 2x ) TH2. Nếu x =3 thì bất phương trình (6) thoả mãn. TH3. Nếu 3x > thì (6) 6 13 x3x4x 2 − ≥⇔+≤−⇔ . Kết hợp 3x > ta lấy 3x > . Kết luận: Bất phương trình có nghiệm: 6 13 x − ≤ hoặc 3x ≥ . Ví dụ 4. Giải các phương trình : a) )7(21x )x293( x2 2 2 +< +− b) 2 2 9(x + 1) (3x + 7)(1 - 3x + 4)≤ )8( 6 Nguyễn Trung Kiên Trường THPT Thạch Thất Hướng dẫn: a) ĐK: 0x; 9 2 x ≠ − ≥ Ta nhân cả tử và mẫu của vế trái với 2 )x293( ++ ta được 2 7 x4x2921x 2 )x293( )7( 2 <⇔<+⇔+< ++ ⇔ So sánh với điều kiện ta được 2 7 x 9 2 <≤ − và 0x ≠ b) ĐK : 3 4 x − ≥ Ta nhân cả hai vế của phương trình với biểu thức 2 )4x31( ++ ta được (*))1x(9).7x3()4x31()1x(9)8( 222 ++≤+++⇔ TH1. Nếu 1x −= thì bất phương trình (*) thoả mãn. TH2. Nếu      −≠ − ≥ 1x 3 4 x thì (*) 1x24x32 −≤⇔≤+⇔ . So sánh điều kiện ta được 1x 3 4 −<≤ − Kết luận : Bất phương trình có nghiệm 1x 3 4 −≤≤ − Ví dụ 5. Giải các phương trình : a) )9(1449x14x49x14x =−−+−+ b) )10( 2 3x 1x2x1x2x + =−−−−+ Hướng dẫn: a) Ta biến đổi 14)749x14()749x14()9( 22 =−−++−⇔ 7x 2 7 749x147 14749x14749x14 ≤≤⇔ ≤−≤−⇔ =−−++−⇔ b) Ta có (*) 2 3x 11x11x)10( + =−−−+−⇔ TH1. Nếu 2x11x ≥⇔≥− thì (*) 1x =⇔ (loại) TH2. Nếu 2x111x <≤⇔<− thì (*) 025x10x3x1x4 2 =+−⇔+=−⇔ 5x =⇔ (thoả mãn) 7 Nguyễn Trung Kiên Trường THPT Thạch Thất Ví dụ 6. Giải các phương trình : a) )11(1 x1 xx251 2 < − −− b) )12(3 x x411 2 < −− Hướng dẫn: a) ĐK:    ≠ −≤≤−− 1x 125x125 TH1. Nếu 125x1 −≤< thì bất phương trình (11) thoả mãn. TH2. Nếu 1x125 <≤−− thì (11) 25xx1xx251 22 >⇔−<−−⇔    −< > ⇔ 5x 5x So sánh với điều kiện ta được: 5x125 −<≤−− Kết luận: bất phương trình có nghiệm 125x15x125 −≤<∨−<≤−− III. Bài tập áp dụng Giải các phương trình và bất phương trình sau 1) 18184152158 222 +−=−+++− xxxxxx 2) 2 x2)2x(x)1x(x =++− : 3) 1168143 =−−++−−+ xxxx 4) 2 5x 1x22x1x2x + =+−+++++ 5) 321 −>−−− xxx 6) xxx 2856 2 −>−+− 7) 2 342 ≥ −+− x xx 8) 12 1 532 1 2 − > −+ x xx 9) x xx − +−≤− 3 6 359 10) 4 )11( 2 2 −> ++ x x x 8 Nguyễn Trung Kiên Trường THPT Thạch Thất Chương 2. Phương pháp đặt ẩn phụ Ι. Một số gợi ý đặt ẩn phụ Có thể xem việc dùng các ẩn phụ để giải phương trình, bất phương trình là một trong các đường lối chủ yếu . Ta đưa ra một số gợi ý giúp học sinh phát hiện và đặt ẩn phụ. * Nếu phương trình chứa )(xf và )(xf thì có thể đặt )(xft = , điều kiện tối thiểu là 0t ≥ . Khi đó 2 )( txf = . * Nếu PT chứa )(xf ; )(xg và )(,)(.f(x) constkkxg == thì có thể đặt )(xft = , điều kiện tối thiểu là 0≥t . Khi đó t k xg =)( . * Nếu PT chứa )()( xgxf + , )(.f(x) xg trong đó )(,)()( constkkxgxf ==+ thì có thể đặt )()( xgxft += . Khi đó 2 )(.f(x) 2 kt xg − += . * Nếu PT chứa 22 xa − thì có thể đặt ) 22 (,sin|| ππ ≤≤ − = ttat hoặc )0(,cos|| π ≤≤= ttat * Nếu PT chứa 22 ax − thì có thể đặt )0, 22 (, sin || | ≠≤≤ − = tt t a t ππ hoặc ) 2 ,0(, cos || π π ≠≤≤= tt t a t . * Nếu PT chứa 22 xa + thì có thể đặt ) 22 (,tan|| ππ << − = ttat hoặc )0(,cot|| π <<= ttat . Đôi khi chúng ta thực hiện phép đặt ẩn phụ không hoàn toàn. Tức là trong phương trình mới còn đan xen cả ẩn cũ lẫn ẩn mới ΙΙ. Ví dụ minh hoạ. Ví dụ 1. Giải: )1(28x5x5)4x)(1x( 2 ++≤++ )2(0)3x(x3)2x)(5x( =++−+ Hướng dẫn: a) ĐK: Rx ∈ Ta có 028x5x52428x5x)1( 22 ≤++−−++⇔ Đặt )0t(28x5xt 2 >++= 9 Nguyễn Trung Kiên Trường THPT Thạch Thất Bất phương trình trở thành: 8t3024t5t 2 ≤≤−⇔≤−− So sánh điều kiện ta được 4x96428x5x8t0 2 ≤≤−⇔≤++⇔≤< b) Tương tự ta đặt )0t(x3xt 2 ≥+= . Ta được bất phương trình    = −= ⇔=−+ 2t 5t 010t3t 2 So sánh điều kiện ta được 4x1x4x3x2t 2 −=∨=⇔=+⇔= Ví dụ 2. Giải : )3(7 x2 1 x2 x2 3 x3 −+=+ )4(4 x2 1 x2 x2 5 x5 ++<+ Hướng dẫn: a) ĐK: 0x > Ta biến đổi (3) 7 x4 1 x2 x2 1 x3 −       +=         +⇔ (*)9 x2 1 x2 x2 1 x3 2 −         +=         +⇔ Đặt ( ) 1t x2 1 xt ≥+= Phương trình (*) trở thành: 09t3t2 2 =−−     − = = ⇔ 2 3 t 3t So sánh điều kiện ta lấy 2 638 x8 x4 1 x3 x2 1 x3t ± =⇔=+⇔=+⇔= b) ĐK: 0x > Ta biến đổi (4) 4 x4 1 x2 x2 1 x5 +       +<         +⇔ (**)2 x2 1 x2 x2 1 x5 2 +         +<         +⇔ Đặt ( ) 1t x2 1 xt ≥+= Phương trình (**) trở thành: 02t5t2 2 >+−     < > ⇔ 2 1 t 2t So sánh điều kiện ta lấy 2 223 x 2 223 x2 x2 1 x2t + >∨ − <⇔>+⇔> 10 [...]... thực sự hào hứng giải các phơng trình và bất phơng trình chứa căn trong đó có 80% học sinh đã biết vận dụng kiến thức một cách linh hoạt và đã giải đợc bài tập khó - Đối với nhóm học sinh giỏi khối 11: trong kỳ thi học sinh giỏi bộ môn Toán cấp cụm THPT Thạch Thất & Quốc Oai năm học 2008 2009, em Cao Thị Hoa lớp 11A1 đã đạt giải Nhất, em Phí Phơng Thảo đạt giải nhì, em Đỗ Tuấn Anh đạt giải khuyến khích... đại học Hớng phát triển thêm của đề tài là: Tiếp tục bổ sung các phơng pháp khác để giải phơng trình và bất phơng trình chứa căn Chẳng hạn phơng pháp lợng giác hoá ở lớp 11, phơng pháp đạo hàm ở lớp 12 Đề tài cũng có thể pháp triển theo hớng nghiên cứu dạng toán Tìm điều kiện giải phơng trình và bất phơng trình chứa căn có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc IV KIếN NGHị Và Đề NGHị Đây là một đề tài . khi giải phương trình và bất phương trình chứa căn. 2 Nguyễn Trung Kiên Trường THPT Thạch Thất + Chương 2: Hệ thống các dấu hiệu đặt ẩn phụ khi giải phương trình và bất phương trình chứa căn. +. các dấu hiệu đặt ẩn phụ đưa về hệ khi giải phương trình và bất phương trình chứa căn. + Chương 4: Trình bày phương pháp đánh giá khi giải phương trình chứa căn. 5. Phạm vi và giới hạn của đề tài. +. đặt ẩn phụ và các bước giải cho từng dạng toán cụ thể. 3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài. Đề tài tập trung nghiên cứu các phương pháp giải phương trình và bất phương trình chứa căn. Đó là các phương