Toán Kinh tế PGS.TS Trần Lộc Hùng Trường Đại học Tài - Marketing thành phố Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh, Tháng 05 năm 2011 Bài Đại số tuyến tính PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Đại số tuyến tính Ma trận Định thức Hệ phương trình tuyến tính PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Đại số tuyến tính Ma trận Định thức Hệ phương trình tuyến tính PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Đại số tuyến tính Ma trận Định thức Hệ phương trình tuyến tính PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận Các định nghĩa Các phép toán ma trận Phép biến đổi sơ cấp PGS.TS Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận Các định nghĩa Các phép toán ma trận Phép biến đổi sơ cấp PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận Các định nghĩa Các phép toán ma trận Phép biến đổi sơ cấp PGS.TS Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Định nghĩa Một bảng chữ nhật gồm (m × n)phần tử  a11 a12  a21 a22 A =   am1 am2  a1n a2n    amn gọi ma trận cấp (m × n), ký hiệu A = (aij )mn Hai số m n nguyên dương, (m, n ∈ Z + ) Các ma trận thường ký hiệu A, B, C, Phần tử aij ∈ (A) phần tử dòng i cột j ma trận A Nếu m=n, A ma trận vng cấp n, ký hiệu A = (aij )n Tập hợp tất ma trận cấp (m × n), ký hiệu Mm×n PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Định nghĩa Một bảng chữ nhật gồm (m × n)phần tử  a11 a12  a21 a22 A =   am1 am2  a1n a2n    amn gọi ma trận cấp (m × n), ký hiệu A = (aij )mn Hai số m n nguyên dương, (m, n ∈ Z + ) Các ma trận thường ký hiệu A, B, C, Phần tử aij ∈ (A) phần tử dòng i cột j ma trận A Nếu m=n, A ma trận vuông cấp n, ký hiệu A = (aij )n Tập hợp tất ma trận cấp (m × n), ký hiệu Mm×n PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Định nghĩa Một bảng chữ nhật gồm (m × n)phần tử  a11 a12  a21 a22 A =   am1 am2  a1n a2n    amn gọi ma trận cấp (m × n), ký hiệu A = (aij )mn Hai số m n nguyên dương, (m, n ∈ Z + ) Các ma trận thường ký hiệu A, B, C, Phần tử aij ∈ (A) phần tử dòng i cột j ma trận A Nếu m=n, A ma trận vng cấp n, ký hiệu A = (aij )n Tập hợp tất ma trận cấp (m × n), ký hiệu Mm×n PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Nghiệm Nghiệm hệ phương trình (2, 3, -2) 2 2 14 −3 14 −3 14 16 16 16 x= = 2, y = = 3, z = = −2 −6 −6 −6 PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Chú ý Phương pháp Cramer thích hợp với hệ Cramer (số nghiệm số phương trình có det(A) = 0) Phương pháp Cramer khơng thích hợp số nghiệm lớn (để tìm n nghiệm ta phải tính (n+1) định thức) Trong trường hợp hệ Cramer thường sử dụng phương pháp khử Gauss PGS.TS Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Chú ý Phương pháp Cramer thích hợp với hệ Cramer (số nghiệm số phương trình có det(A) = 0) Phương pháp Cramer khơng thích hợp số nghiệm lớn (để tìm n nghiệm ta phải tính (n+1) định thức) Trong trường hợp hệ Cramer thường sử dụng phương pháp khử Gauss PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Chú ý Phương pháp Cramer thích hợp với hệ Cramer (số nghiệm số phương trình có det(A) = 0) Phương pháp Cramer khơng thích hợp số nghiệm lớn (để tìm n nghiệm ta phải tính (n+1) định thức) Trong trường hợp hệ Cramer thường sử dụng phương pháp khử Gauss PGS.TS Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp khử Gauss Đưa hệ phương trình xét (AX=B)về hệ phương trình tương đương phép biến đổi sơ cấp Giải hệ phương trình tương đương PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp khử Gauss Đưa hệ phương trình xét (AX=B)về hệ phương trình tương đương phép biến đổi sơ cấp Giải hệ phương trình tương đương PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phép biến đổi sơ cấp Đổi chỗ hai phương trình hệ Nhân phương trình hệ với số thực khác Cộng vào phương trình tổ hợp tuyến tính phương trình khác hệ PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phép biến đổi sơ cấp Đổi chỗ hai phương trình hệ Nhân phương trình hệ với số thực khác Cộng vào phương trình tổ hợp tuyến tính phương trình khác hệ PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phép biến đổi sơ cấp Đổi chỗ hai phương trình hệ Nhân phương trình hệ với số thực khác Cộng vào phương trình tổ hợp tuyến tính phương trình khác hệ PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phép biến đổi sơ cấp Sau số hữu hạn bước, hệ phương trình (AX=B) với ma trận mở rộng A đưa hệ phương trình tương đương với ma trận mở rộng A dạng sau   a11 ∗ ∗ ∗ ∗ b1  a ∗ ∗ ∗ b2    22  ∗ ∗ ∗      A =  br  , arr ∗ ∗    0 0 b r +1      0 0 bm aii = (1 ≤ i ≤ r ) dấu ∗ ký hiệu số thực khác PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Nhận xét Nếu số thực b r +1 , , b m khác 0, hệ phương trình vô nghiệm Nếu b r +1 = · · · = b m = 0, hệ phương trình có nghiệm Hơn nữa, nghiệm hệ phương trình nhận cách gán cho xr +1 , , xn giá trị thực tùy ý, giải x1 , , xr theo giá trị gán cho xr +1 , , xn PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Nhận xét Nếu số thực b r +1 , , b m khác 0, hệ phương trình vơ nghiệm Nếu b r +1 = · · · = b m = 0, hệ phương trình có nghiệm Hơn nữa, nghiệm hệ phương trình nhận cách gán cho xr +1 , , xn giá trị thực tùy ý, giải x1 , , xr theo giá trị gán cho xr +1 , , xn PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ Giải hệ phương trình sau  x1 − 3x2 + 2x3 − x4  2x + 7x2 − x3   4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 =2 = −1 =1     −3 −1 −3 −1 A = 2 −1 −1 −→ 0 13 −5 −5 −2 13 −5 −7   −3 −1 −→ 0 13 −5 −5 = A 0 0 −2 Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ Giải hệ phương trình sau  x1 + 3x2 + 5x3 − 2x4    x + 5x − 9x + 8x 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4    5x + 18x + 4x + 5x    −2 3 1 −9 0 1   −→  2 0 5 18 12  0 −→  0 0 PGS.TS Trần Lộc Hùng =3 =1 =5 = 12  −2 −14 10 −2  −7 −1 −21 15 −3  −2 −7 −1  0 0 0 Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) tiếp ví dụ Vậy hệ phương trình tương đương với hệ x1 x2 = − 26x3 + 17x4 = −1 + 7x3 − 5x4 Do hệ có nghiệm (6 − 26a + 17b, −1 + 7a − 5b, a, b), PGS.TS Trần Lộc Hùng với a, b tùy ý Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) ... PGS.TS Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ phép nhân ma trận với số Ma trận A   A = 4  Ma trận B=2A   B =  10 12  14 16 18 PGS.TS Trần Lộc Hùng Toán. .. ma trận hình thang,  a 11 a12  a22 A =   0 PGS.TS Trần Lộc Hùng  a1,n? ?1 a1n a2,n? ?1 a2n    am,n? ?1 amn Tốn Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận Ma... cấp PGS.TS Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận Các định nghĩa Các phép toán ma trận Phép biến đổi sơ cấp PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương