Giải bằng nhiều cách một bài toán khó lớp 8 Chúng ta cùng đi tìm nhiều cách giải cho bài toán sau: Cho x>0, y>o và x+y ≤ 1 Chứng minh rằng : 4 11 22 ≥ + + + xyyxyx Cách 1 : Bài toán phụ : Cho a, b > 0 Chứng minh rằng: baba + ≥+ 411 Giải : Ta có : baba + ≥+ 411 ( ) ( ) ( ) 0 04 4 4 2 2 2 ≥−⇔ ≥−+⇔ ≥+⇔ + ≥ + ⇔ ba abba abba baab ba BĐT cuối đúng nên BĐT baba + ≥+ 411 luôn đúng. Ap dụng bài toán phụ trên ta có : 22222 )( 4411 yxxyyxyxxyyxyx + = +++ ≥ + + + Từ x>0, y>0 và x+y ≤ 1 4 )( 4 1 1 2 ≥ + ⇒≥ + ⇒ yx yx Do vậy : 4 11 22 ≥ + + + xyyxyx Cách 2 : Chứng minh được yxyx + ≥+ 411 với x, y > 0 (cmt) Do đó ta có : 2 )( 4111 yx yxyx + ≥ + ⋅         + ⇒ 222 )( 411 yxxyyxyx + ≥ + + + Mà x>0, y>0 và x+y ≤ 1 4 )( 4 1 1 2 ≥ + ⇒≥ + ⇒ yx yx Do vậy : 4 11 22 ≥ + + + xyyxyx Cách 3 : Ta có xyyxxyxyyxyx 4)(44)(0)( 222 ≥+⇒≥+−⇒≥− Mà x>0, y>0 và x+y ≤ 1 1)( 2 ≤+⇒ yx Do vậy 4xy ≤ 1 4 1 ≥⇒ xy Nên 4 1 )( 1 )( 111 22 ≥= + + + = + + + xyyxyyxx xyyxyx Cách 4 : Ta có 0 11 2 22 ≥         + − + xyyxyx ⇒ xyyxyxxyyxyxxyyxyx + ⋅ + ⋅≥ + ⋅ + ⋅+         + − + 2222 2 22 11 4 11 4 11 ⇒ ⋅ ++ ≥         + + + )()( 411 2 22 yxyyxx xyyxyx Mặt khác, từ x>0, y>0 và x+y ≤ 1, ta có : 4 1 )( 4 1 2 ≤+≤ yxxy , 1)( 2 ≤+ yx Do đó 164.4 )( 4 2 =≥ + yxxy Do vậy 16 11 2 22 ≥         + + + xyyxyx Hay 4 11 22 ≥ + + + xyyxyx . + ⋅ + ⋅≥ + ⋅ + ⋅+         + − + 2222 2 22 11 4 11 4 11 ⇒ ⋅ ++ ≥         + + + )()( 411 2 22 yxyyxx xyyxyx Mặt khác, từ x>0, y>0 và x+y ≤ 1, ta có : 4 1 )( 4 1 2 ≤+≤ yxxy , 1) ( 2 ≤+ yx Do đó 16 4.4 )( 4 2 =≥ +. 4)(44)(0)( 222 ≥+⇒≥+−⇒≥− Mà x>0, y>0 và x+y ≤ 1 1) ( 2 ≤+⇒ yx Do vậy 4xy ≤ 1 4 1 ≥⇒ xy Nên 4 1 )( 1 )( 11 1 22 ≥= + + + = + + + xyyxyyxx xyyxyx Cách 4 : Ta có 0 11 2 22 ≥         + − + xyyxyx ⇒ xyyxyxxyyxyxxyyxyx. (cmt) Do đó ta có : 2 )( 411 1 yx yxyx + ≥ + ⋅         + ⇒ 222 )( 411 yxxyyxyx + ≥ + + + Mà x>0, y>0 và x+y ≤ 1 4 )( 4 1 1 2 ≥ + ⇒≥ + ⇒ yx yx Do vậy : 4 11 22 ≥ + + + xyyxyx Cách