Truy cập: http://violet.vn/lemanhhung2909/ để dowload các tài liệu liên quan ĐỀ THI HSG TỈNH HÀ TĨNH LỚP 9 Bài 1: Cho phương trình ( )   − − + − + − =  ÷   3 3 1 1 x m 1 x m 3 0 xx (*) a) Giải phương trình khi m = 3 b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm dương phân biệt Bài 2: a) Cho a, b, c ∈ Z thỏa mãn điều kiện   + + = + +  ÷   2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 chia hết cho 3 b) Giải phương trình x 3 + ax 2 + bx + 1 = 0, biết rằng a, b, c là số hữu tỉ và 1 + 2 là nghiệm của phương trình Bài 3: Cho x, y ∈ N * thỏa mãn x + y = 2011. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức P = ( ) ( ) + + + 2 2 x x y y y x Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, một dây cung MN = R di chuyển trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng song song ON cắt đường thẳng AB tại E. Qua N kẻ đường thẳng song song OM cắt đường thẳng AB tại F. a) CMR: ∆MNE ∼ ∆NFM b) Gọi K là giao điểm của EN và FM. Hãy xác định vị trí của dây MN để chu vi tam giác MKN lớn nhất Bài 5: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + ≥ + + + + + + 3 3 3 a b c 3 1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 4 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1 Lời giải tóm tắt : ĐKXĐ: x ≠ 0 Đặt − = 1 x t x phương trình (*) trở thành ( ) ( ) 2 t 1 t t 3 m 0− + + − = a) m = 3 (Tự giải) b) Với t = 1 ⇒ x 2 – x – 1 = 0 phương trình này luôn có 1 nghiệm dương (vì ac < 0) Để phương trình (*) có đúng 2 nghiệm dương phân biệt thì phương trình t 2 + t + 4 – m = 0 phải có nghiệm kép khác 1. Hay m = 11 4 Bài 2 : Lời giải tóm tắt : a) ĐK: a, b, c ≠ 0. Từ gt suy ra a + b + c = 0. Mà a 3 + b 3 + c 3 – (a + b + c) = a(a – 1)(a + 1) + b(b – 1 )(b + 1) + c(c – 1)(c + 1) chia hết cho 3 và a + b + c = 0 chia hết cho 3 nên a 3 + b 3 + c 3 chia hết cho 3 b) Vì 1 + 2 là nghiệm của phương trình nên ta có ( ) ( ) + + + + + =2 2a b 5 3a b 8 0 vì a, b là số hữu tỉ nên + + =   + + =  2a b 5 0 3a b 8 0 ⇔ = −   =  a 3 b 1 . Thay vào a,b vào pt rồi giải tiếp Truy cập: http://violet.vn/lemanhhung2909/ để dowload các tài liệu liên quan Bài 3:Lời giải tóm tắt: Cách 1: Vì x, y ∈ N * nên ≤ − ≤1 x y 2009 ( ) ⇔ ≤ − ≤ 2 2 1 x y 2009 Mà (x – y) 2 = (x + y) 2 – 4xy = 2011 2 – 4xy. Do đó –xy = ( )   − −   2 1 x y 4044121 4 Vậy P = 2011 3 - 6031xy = 2011 3 + 6031 ( )   − −   2 1 x y 4044121 4 Ta có 2011 3 + 6031. ( ) − 2 1 1 4044121 4 ≤ P ≤ 2011 3 + 6031. ( ) − 2 1 2009 4044121 4 Hay 2035205401 ≤ P ≤ 8120605021. Vậy GTNN của P là 2035205401. Dấu “=” xảy ra khi x = 1006 và y = 1005 hoặc x = 1005 và y = 1006. GTLN của P là 8120605021. Dấu “=” xảy ra khi x = 2010 và y = 1 hoặc x = 1 và y = 2010 Cách 2: P = 2011 3 - 6031xy theo bài ra ta có 1 ≤ x, y ≤ 2010 Ta chứng minh 2010 ≤ xy ≤ 1005. 1006. Thật vậy xy – 2010 = x(2011 – x) – 2010 = 2011x – x 2 – 2010 = 2010x – x 2 + x – 2010 = (2010 – x)(x – 1) ≥ 0 (vì 1 ≤ x, y ≤ 2010) Ta có xy ≥ 2010. Do đó P ≤ 8120605021 Mặt khác 1005.1006 – xy = 1005. 1006 – x(2011 – x) = … = (1005 – x)(1006 – x) ≥ 0 Ta có 1005.1006 – xy ≥ 0 Do đó 2035205401 ≤ P Bài 4: Lời giải tóm tắt : a) Dễ dàng chứng minh được · · = = 0 EMN FNM 120 Mặt khác ∆EMO ∼ ∆ONF ⇒ = ⇒ = ME MO ME MN NO NF MN NF (vì ∆MON đều) b) ∆MNE ∼ ∆NFM · · · ⇒ = =MNE NFM FMO mà · · · ( ) · · ( ) = − + = − + = − = 0 0 0 0 0 MKN 180 MNE NMF 180 FMO NMF 180 60 120 không đổi K thuộc cung tròn chứa góc 120 0 dựng trên đoạn thẳng MN = R không đổi. Từ đó suy ra K là điểm giữa cung MKN hay MK = NK. Kéo dài EM và FN cắt nhau tại I và ta chứng minh được MN ở vị trí sao cho AM = MN = NB = R Bài 5:Lời giải tóm tắt: Áp dụng BĐT CauChy ta có ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + ≥ = + + + + 3 3 3 a 1 b 1 c a 1 b 1 c 3a 3 . . 1 b 1 c 8 8 1 b 1 c 8 8 4 tương tự rồi cộng lại được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + ≥ − + + + + + + 3 3 3 a b c a b c 3 1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 3 4 Mà + + ≥ = 3 a b c 3 abc 3 ruy ra đpcm Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1 . Truy cập: http://violet.vn/lemanhhung2909/ để dowload các tài liệu liên quan ĐỀ THI HSG TỈNH HÀ TĨNH LỚP 9 Bài 1: Cho phương trình ( )   − − + − + − =  ÷   3 3 1 1 x m 1 x m 3 0 xx (*) a). 2035205401. Dấu “=” xảy ra khi x = 1006 và y = 1005 hoặc x = 1005 và y = 1006. GTLN của P là 8120605021. Dấu “=” xảy ra khi x = 2010 và y = 1 hoặc x = 1 và y = 2010 Cách 2: P = 2011 3 - 6031xy. F. a) CMR: ∆MNE ∼ ∆NFM b) Gọi K là giao điểm của EN và FM. Hãy xác định vị trí của dây MN để chu vi tam giác MKN lớn nhất Bài 5: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) (