PHòNG Giáo dục - đào tạo SƠN ĐộNG Kì THI chọn gVG vòng i bậc THCs năm 20 Môn thi : toán THCS Ngày thi: đề chính thức Thi gian làm bài : 120 phỳt Câu I : (2 im) 1. Phân tích thành nhân tử : x + 7 x + 12 (với x 0) 2. Giải bất phơng trình : 2 + 8 )1(3 +x < 3 - 4 1x 3. Chứng minh rằng biểu thức n(n + 5) (n - 3)(n + 2) luôn chia hết cho 6 với mọi n là số nguyên 4. Cho hàm số f(x) = +1 2 3 x x Tính f(2) Cõu II : ( 2 im) Cho biểu thức M = + + + + 5 3 3 5 152 25 :1 25 5 x x x x xx x x xx 1. Thu gọn biểu thức M. 2. Tìm m để với mọi giá trị x > 30 ta có : mx( x + 3)M > x + 20 Cõu III : (2 im) 1. Cho a ; b là hai số tùy ý. Chứng minh rằng : a 4 + b 4 a 3 b + ab 3 2. Trên parabol : y = 2 1 x 2 lấy hai điểm A và B. Biết hoành độ của A là x A = - 2. Tung độ của B là y B = 8. Viết phơng trình của đờng thẳng AB Cõu IV : ( 3 im) Cho tam giác ABC vuông tại A. Nửa đờng tròn đờng kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy điểm E. Kéo dài BE cắt AC tại F a. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp b. Kéo dài DE cắt AC tại K. Tia phân giác góc CKD cắt EF và CD tại M và N. Tia phân giác góc CBF cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giác MPNQ là hình gì c. Gọi r, r 1 , r 2 lần lợt là bán kính đờng tròn nội tiếp các tam giác ABC; ADB; ADC. Chứng minh: r 2 = r 1 2 + r 2 2 Cõu V : ( 1 im) Giải hệ phơng trình : =+ =+ 11 1 55 yx yx đáp án và hớng dẫn chấm đề thi môn toán năm 20 Câu ý Đáp án Điểm I 1 ( x + 3)( x + 4) 0.5 nếu x 2 nếu x < 2 (2đ) 2 16 + 3x + 3 < 24 2x + 2 x < 7/5 0.5 3 6(n + 1) 0.5 4 f(2) = 5 0.5 II (2đ) 1 Điều kiện: x 0 , x 9 ; x 25 Rút gọn đợc 1 25 5 x xx bằng 5 5 + x Rút gọn đợc + + + + 5 3 3 5 152 25 : x x x x xx x bằng 5 )3( + + x x Rút gọn đợc M = 3 5 +x 0.25 0.25 0.5 0.25 2 Ta có : mx( x + 3)M > x + 20 5mx x > 20 (5m - 1)x > 20 Vì: x > 30 > 0 nên suy ra : 5m 1 > 0 m > 1/5 x > 15 20 m Do đó : 15 20 m 30 20 150m - 30 50 150m m 1/3 0.25 0.25 0.25 III (2đ) 1 a 4 + b 4 a 3 b + ab 3 Xét : (a 4 a 3 b) + (b 4 ab 3 ) = a 3 (a - b) b 3 (a - b) = (a - b)(a 3 b 3 ) = (a - b) 2 (a 2 + ab + b 2 ) = (a - b) 2 [(a + 2 1 b) 2 + 4 3 b 2 ] 0 Dấu = xẩy ra a = b 0.25 0.5 0.25 2 Vì A(x A ; y A ) y = 2 1 x 2 y A = 2 1 x A 2 vì x A = - 2 suy ra y A = 2 1 (- 2) 2 = 2 A(- 2 ; 2) Vì B(x B ; y B ) y = 2 1 x 2 y B = 2 1 x B 2 y B = 8 x B 2 = 16 x B = 4 B(- 4 ; 8) hoặc B(4 ; 8) Từ đó ta viết đợc phơng trình của đờng thẳng AB là : Với A(- 2 ; 2) và B(4 ; 8) ta có y = x + 4 Với A(- 2 ; 2) và B(- 4 ; 8) ta có y = - 3x - 4 0.25 0.25 0.25 0.25 IV (2.5đ) 1 Ta có : FCD = BAD (góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc) BAD = BED (cùng chắn cung BD) FCD = BED FCD + FED = BED + FED = 2v Vậy tứ giác CDEF nội tiếp 0.25 0.25 0.5 2 Ta có : Q 1 = C + B 1 (góc ngoài của tam giác BQC) P 1 = E 1 + B 2 (góc ngoài của tam giác BEP) 0.25 e P I 1 1 2 1 2 1 1 D O C A B F k Q N Mà B 1 = B 2 (gt) và C = E 1 (Chứng minh trên) P 1 = Q 1 PKQ cân tại K PQ KN và IP = IQ (I là giao điểm của PQ và KN) IM = IN. Vậy MPNQ là hình thoi 0.25 0.25 0.25 3 Ta rễ ràng chứng minh đợc: 2r = AB + AC BC 2r 1 = AD + DC - AC 2r 2 = AD + DB - AB ABC DAC (g.g) r r BCACAB ACDCAC BC AC AC DC AB AD 1 = + + === ABC DBA (g.g) r r BCACAB ABDBAD BC AB AB DB AC AD 2 = + + === 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 = + =+=+ BC ACAB BC AB BC AC r r r r Vậy : r 2 = r 1 2 + r 2 2 0.25 0.25 0.25 0.25 V (1đ) Vì : x + y = 1 ta có : x 5 + y 5 = (x 5 + x 2 y 3 + x 3 y 2 + y 5 ) ( x 2 y 3 + x 3 y 2 ) = (x 3 + y 3 )(x 2 + y 2 ) x 2 y 2 (x + y) = (x + y)(x 2 xy + y 2 )(x 2 + y 2 ) - x 2 y 2 =[(x + y) 2 - 3xy][(x + y) 2 - 2 xy] - x 2 y 2 = (1 - 3xy)(1 - 2xy) - x 2 y 2 = 5(xy) 2 - 5xy + 1 = 11 (do : x 5 + y 5 = 11 ) Nên : 5(xy) 2 - 5xy - 10 = 0 (xy) 2 - xy - 2 = 0 xy = - 1 ; xy = 2 Suy ra hệ phơng trình tơng đơng với : = =+ 1 1 xy yx hoặc = =+ 2 1 xy yx Hay x ; y là nghiệm của phơng trình : t 2 - t - 1 = 0 và t 2 - t + 2 = 0 phơng trình : t 2 - t + 2 = 0 vô nghiệm phơng trình : t 2 - t - 1 = 0 có nghiệm : t 1 = 2 51 + ; t 2 = 2 51 Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm (x ; y) = ( 2 51 + ; 2 51 ) ; ( 2 51 ; 2 51 + ) 0.25 0.25 0.25 0.25 Ghi chú: Trên õy ch l s lc từng bc gii v cho im tng phn ca mi bi. Bi lm ca GV yờu cu phải chi tit, lp lun cht ch. Nu GV lm cỏch khỏc ỳng thỡ chm im tơng ứng . PHòNG Giáo dục - đào tạo SƠN ĐộNG Kì THI chọn gVG vòng i bậc THCs năm 20 Môn thi : toán THCS Ngày thi: đề chính thức Thi gian làm bài : 120 phỳt Câu I : (2 im) 1. Phân tích thành. BE cắt AC tại F a. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp b. Kéo dài DE cắt AC tại K. Tia phân giác góc CKD cắt EF và CD tại M và N. Tia phân giác góc CBF cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giác MPNQ là hình. r 2 2 Cõu V : ( 1 im) Giải hệ phơng trình : =+ =+ 11 1 55 yx yx đáp án và hớng dẫn chấm đề thi môn toán năm 20 Câu ý Đáp án Điểm I 1 ( x + 3)( x + 4) 0.5 nếu x 2 nếu x < 2 (2đ) 2