PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN ĐAM RÔNG Năm học 2009 – 2010 MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (1 đ) Chứng minh rằng nếu x + y + z + t = 0 thì: x 3 + y 3 + z 3 + t 3 = 3(xy – zt)(z + t) Câu 2: (1đ) Cho ABC∆ vuông tại A. Chứng minh tg · 2 ABC = AC AB BC+ Câu 3: (1,5 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 Câu 4: (1,5 đ) Cho hai đường thẳng (d 1 ): y = 4x +1 và (d 2 ): y = -2x +3. Viết phương trình đt (d 3 ) biết: (d 3 ) ⊥ (d 2 ) và (d 3 ) cắt (d 1 ) tại điểm có tung độ bằng 1 Câu 5: (2 đ) Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) MA + MB + MC + MD > 1 2 (AB + BC + CD DA) b) MA + MB + MC + MD ≥ AC + BD. Dấu “=” xảy ra khi nào ? Câu 6: (2 đ) Giải phương trình: a) 1 2 3 4 5 2000 2001 2002 2003 2004 x x x x x+ + + + + + + + = b) 5 1 10. 5 9 45 4 25 3 x x x − + − − − = Câu 7: (1 đ) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của ABC ∆ . Chứng minh bất đẳng thức: abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) > 0 Câu 8: Cho đường tròn (O) có bán kính OA, dây BC ⊥ OA tại trung điểm M của OA. a) Tứ giác OCAB là hình gì ? Vì sao ? b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE, biết OB = R. Câu 9: (3 đ) Cho biểu thức 3 2 3( 1) 1 x A x x x + = + + + a) Rút gọn A b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên. c) Tìm giá trị lớn nhất của A. Câu 10: (2 đ) Cho các hàm số sau: (d 1 ): y = 2x + 4 (d 2 ): y = x – 3 (d 3 ): y = (m + 1).x – 5 a) Xác định giá trị của m để ba đường thẳng (d 1 ), (d 2 ), (d 3 ) đồng quy tại một điểm. b) Vẽ (d 1 ), (d 2 ), (d 3 ) với giá trị m đã tìm. Câu 11: (3 đ) Cho ABC∆ . Trên cạnh AC lấy hai điểm D và E sao cho AD = DE = EC. Trung tuyến AM cắt BD tại P và trung tuyến CN cắt BE tại Q. a) Chứng minh: Q là trung điểm của trung tuyến CN. b) Chứng minh: PQ // AC c) Suy ra PQ = 1 2 MN và PQ = 3 4 DE *** Hết *** ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 8: Vẽ hình đúng (0,25 đ) a) Theo giả thiết MO = MA (1) BC ⊥ OA nên theo định lý đk và dây ta có : MB = MC (2) (0,25 đ) Từ (1) và (2) suy ra OBAC là hình bình hành Vì OA ⊥ OB => OBAC là hình thoi (0,5 đ) b) Do BE là tiếp tuyến của (O) nên BE ⊥ OB => OBE ∆ vuông tại B (0,25 đ) Vì M là trung điểm của OA => OM = 1 2 R (0,25 đ) Mặt khác OB 2 = OM.OE (hệ thức lượng trong tam giác vuông) => 2 2 2 1 2 OB R OE R OM R = = = (0,25 đ) Áp dụng ĐL Py ta go trong tam giác vuông OBE 2 2 2 2 2 2 2 (2 ) 3 OE OB BE BE OE OB R R R = + ⇒ = − = − = (0,25 đ) . PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN ĐAM RÔNG Năm học 20 09 – 2010 MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (1 đ) Chứng minh rằng nếu. Chứng minh: PQ // AC c) Suy ra PQ = 1 2 MN và PQ = 3 4 DE *** Hết *** ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 8: Vẽ hình đúng (0,25 đ) a) Theo giả thi t MO = MA (1) BC ⊥ OA nên theo định lý đk và dây ta có : MB =. tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE, biết OB = R. Câu 9: (3 đ) Cho biểu thức 3 2 3( 1) 1 x A x x x + = + + + a) Rút gọn A b) Tìm giá trị của x để A nhận