Đang tải... (xem toàn văn)
TÍNH THỂ TÍCH BẰNG TÍCH PHÂN LẶP. TÍCH PHÂN BỘI HAI VÀ TÍCH PHÂN LẶP
Bi giảng GiảI tích nhiều biến Năm học 2007-2008 Tiến sĩ: Nguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu Thọ 1 Chơng 2: tích phân bội Bi s 7 TNH TH TCH BNG TCH PHN LP. TCH PHN BI HAI V TCH PHN LP 1. TNH TH TCH BNG TCH PHN LP Mt hm hai bin liờn tc ( , )f x y cú th ly tớch phõn trờn mt min phng R hon ton ging nh cỏch m mt hm mt bin s liờn tc cú th ly tớch phõn trờn mt on. Khi ú ta nhn mt s gi l tớch phõn bi hai ca hm f(x,y) trờn R v kớ hiu bi ( , )Rf x y dA hay ( , )Rf x y dxdy. a. Mụ t phng phỏp tớnh th tớch bng tớch phõn lp: Trong Gii tớch mt bin chỳng ta ó s dng "Phng phỏp phõn hoch" tỡm th tớch. Xột mt vt th trong h ta Oxyz c mụ t nh hỡnh v: õy ( , ) 0z f x y= , nu ( )A x l din tớch ca tit din khi ct vt th bi mt phng vuụng gúc vi trc Ox ti im cú honh x thỡ ( )dV A x dx=l th tớch ca lỏt ct mng ca vt th dy dx, khi ú cụng thc ( )baV A x dx= (1) cho ta th tớch ca vt th gii hn gia hai mt phng x a= v x b=. Ta li ý rng: Trong hỡnh v, tit din tri t mt phng Oxy : z=0 lờn n mt cong ( , )z f x y=. Vi x l bt kỡ c nh gia a v b, bin y thay i t 1( )y x (cú th l phn ng cong bờn trỏi trong mt phng xy) n 2( )y x ((cú th l phn ng cong bờn phi trong mt phng xy), v din tớch ca tit din ny l : ( ) ( )21( )( ),y xy xA x f x y dy=, (2) Th (2) vo (1) v nhn c tớch phõn lp ( )( )2( )1,y xba y xV f x y dy dx = . (3) Bi giảng GiảI tích nhiều biến Năm học 2007-2008 Tiến sĩ: Nguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu Thọ 2 Giỏ tr ny chớnh l th tớch V ca vt th. ý rng õy: { }1 2( , ) , ( ) ( )x y D a x b y x y y x = , D l min ly tớch phõn. Nu ct vt th bi mt phng vuụng gúc vi trc Oy, khi ú : { }1 2( , ) ( ) ( ),x y D x y x x y c y d = v dng ca tớch phõn lp s theo mt th t khỏc, u tiờn theo x sau ú theo y, ( )( )2( )1,x ydc x yV f x y dx dy = . (4) Cỏc tớch phõn lp (3) v (4) thng c vit khụng cú du ngoc nh sau 21( )( )( , )y xba y xf x y dydx v 21( )( )( , )x xdc x xf x y dxdy , Th t ly tớch phõn trong tớch phõn lp l rt quan trng: Chỳng ta luụn luụn lm vic t bờn trong ra. Hn na chỳng ta cũn phi quan tõm n quy lut ly cn trong tớch phõn ny (Cõu hi ?). Vớ d 1 S dng tớch phõn lp tỡm th tớch ca t din b chn bi nhng mt phng to v mt phng 1x y z+ + =. Gii: Thit din ct bi mt phng x = mt hng s l tam giỏc vi ỏy chy t 0y = n ng thng 1y x= . Din tớch ca nú l Bi giảng GiảI tích nhiều biến Năm học 2007-2008 Tiến sĩ: Nguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu Thọ 3 ( )1 10 0(1 )x xA x zdy x y dy = = . Th tớch cn tỡm 11 1 1200 0 01(1 )2xxV x y dydx y xy y dx = = 1201 1 12 2 6x x dx = + = . Kt qu ny cú th c kim tra bi hỡnh hc s cp: th tớch ca mt t din bt kỡ bng mt phn ba din tớch ỏy nhõn vi chiu cao. Vớ d 2. Xỏc nh min ly tớch phõn trong mt phng Oxy ca tớch phõn lp ( )22 41,xf x y dydx Gii: tớch phõn bờn trong, vi x c nh gia -1 v 2, y bin thiờn t ng cong 2y x= lờn n ng thng 4y = . Min ly tớch phõn { }21 2, 4D x x y= Vớ d 3. Tớch phõn lp 2102xxydydx (5) ly tớch phõn trờn mt min no ú ca mt phng Oxy. Vit mt tớch phõn tng ng khi i th t ly tớch phõn, v tớnh c hai tớch phõn ú. Gii :Min ly tớch phõn { }20 1,D x x y x= . Chỳ ý rng hai ng cong 2y x= v y x= cú hai giao im 1 2(0,0), (1,1)M M khi 0 1x , v trong min D hm 2y x= cú hm ngc 1/ 2x y= . Lỳc ny ta cú: 2102xxydydx 2120xxy dx = ( )12 40x x dx= 215= , i th t ly tớch phõn: ta cú th vit li cỏch xỏc nh min ly tớch phõn nh sau: { }1/ 2, 0 1D y x y y= . Do ú tớch phõn ó cho cú th tớnh: 1/ 2102yyydxdy [ ]1/ 2102yyxy dy=( )13/ 2 2022 215y y dy= =. Trong min ang xột, hm s di du tớch phõn khụng õm nờn c hai tớch phõn lp dn n th tớch ca cựng mt vt th no ú. Chỳ ý: 1. Nu hm s di du tớch phõn l ( , ) 0z f x y= , liờn tc trờn min hu hn (o c) 2D ằ, thỡ giỏ tr tớch phõn lp l th tớch ca khi tr cú mt ỏy l D Bi giảng GiảI tích nhiều biến Năm học 2007-2008 Tiến sĩ: Nguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu Thọ 4 cũn mt mt l th hm s ( , )z f x y=, cũn mt xung quanh l phn mt tr cú ng chuNn l biờn ca D cỏc ng sinh cựng phng vi trc Oz. 2. Khi ( , ) 1z f x y= thỡ giỏ tr tớch phõn lp chớnh l giỏ tr din tớch ca min D. 3. Tớnh tớch phõn lp thc cht l a v tớnh cỏc tớch phõn n, nờn trong quỏ trỡnh tớnh toỏn ta vn ỏp dng cỏc tớnh cht ó bit trong tớch phõn n. 2. TCH PHN BI HAI V TCH PHN LP a. Tớch phõn bi hai. Giỏ tr ca tớch phõn n ( )baf x dx c xỏc nh bi hm ( )f x v on [a,b]. Trong trng hp ca tớch phõn bi hai, on [a,b] c thay bi min R trong mt phng Oxy, v tớch phõn bi hai trờn R thỡ c kớ hiu bi biu tng ( , )Rf x y dA (1) Xột mt hm s liờn tc ( , )f x y xỏc nh trờn min R trong mt phng Oxy. Cn thit phi gi s rng R l b chn, theo ngha ú dn n nú cha trong mt hỡnh ch nht ln v kt thỳc vụ cựng theo mi hng; núi cỏch khỏc, nh trong trng hp ca tớch phõn n ú a hoc b l vụ cựng, tớch phõn bi s tr thnh suy rng. Ph R bi mng li nhng ng thng song song vi cỏc trc, ú khong cỏch gia cỏc ng thng song song liờn tip nhau c phộp bng nhau hay khụng bng nhau. Nhng ng thng ny chia mt phng thnh nhiu nhng hỡnh ch nht cha ton b bờn trong R, c ỏnh s chỳng theo th t t 1 n n, kớ hiu bi kA l din tớch ca hỡnh ch nht th k. Bõy gi chỳng ta chn bt kỡ im ( ),k kx y trong hỡnh ch nht th k v lp tng ( )1,nk k kkf x y A= (2) Nu tng ú tin n mt gii hn duy nht khi n tin n vụ vựng (v giỏ tr ln nht ca ng chộo ca cỏc hỡnh ch nht tin n khụng- khụng ph thuc vo vic chia bng cỏc ng thng v cỏch chn im ( ),k kx y trong hỡnh ch nht) thỡ giỏ tr gii hn ú c gi l tớch phõn bi hai : ( ) ( )1, lim ,nk k kkRf x y dA f x y A== (3) Bi giảng GiảI tích nhiều biến Năm học 2007-2008 Tiến sĩ: Nguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu Thọ 5 Chỳ ý: 1. Min ly tớch phõn R l min b chn v nhng min ú c gii hn bi hu hn cỏc ng cong trn. Hm s di du tớch phõn ( , )f x y l hm liờn tc trờn R. 2. Chỳng ta s khụng nghiờn cu k lớ thuyt tớch phõn bi vỡ ú l mt ch khú, v p; sinh viờn mun tham kho s t nhn c trong phộp tớnh vi phõn nõng cao. õy chỳng ta ch yu xột ý ngha v mt trc giỏc ca tớch phõn bi hai v tp trung chỳ ý ca n cỏc ng dng ca chỳng i vi hỡnh hc v vt lớ. b. Tớch phõn bi hai trong tớnh th tớch vt th: Gi s rng ( , )z f x y= : xỏc nh, liờn tc trờn R v l phng trỡnh ca mt trong khụng gian Oxyz , ú ( , ) 0f x y> trờn R, khi ú ( ),k k kf x y A xp x th tớch ca ct mng trong hỡnh v; tng (2) l tng ca tt c cỏc th tớch ú v do vy xp x th tớch ton phn ca vt th bao bi mt cong, v gii hn (3) l tớch phõn bi hai ( , )Rf x y dA, (4) chớnh l th tớch chớnh xỏc ca vt th, chớnh xỏc hn l th tớch khi tr cú mt ỏy R cũn mt mt l th hm s ( , )z f x y= , cũn mt xung quanh l phn mt tr cú ng chuNn l biờn ca D cỏc ng sinh cựng phng vi trc Oz. + Nu ( , )f x y nhn giỏ tr hng s, ngha l ( , )f x y c= , thỡ ( , )Rf x y dA cA=, ú A l din tớch ca min R. + Nu ( , ) 1f x y= ta cú RdA A=. + Nu ( , )f x y nhn c giỏ tr dng v õm, thỡ tớch phõn bi hai biu din th tớch i s thay cho th tớch hỡnh hc; cú ngha l, th tớch i s gia mt ( , )z f x y= v mt phng-xy l dng khi ( , ) 0f x y > v l õm khi ( , ) 0f x y < . Vỡ din tớch ca hỡnh ch nht vi cỏc cnh song song vi cỏc trc to cú th vit nh sau A x y = , ú l lớ do ký hiu ( , )Rf x y dxdy l tớch phõn bi hai (1). dng ny tớch phõn bi cú s tng ng vi tớch phõn lp, v khi min R cú hỡnh dng n gin no ú tớch phõn bi hai (1) luụn luụn bng mt tớch phõn lp c chn mt cỏch thớch hp. Tuy nhiờn tớch phõn bi hai khụng hon ton ging nh tớch phõn lp. Tớch phõn bi hai cng cú cỏc tớnh cht c bn tng t nh tớch phõn n. Bi giảng GiảI tích nhiều biến Năm học 2007-2008 Tiến sĩ: Nguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu Thọ 6 + Mt min R c gi l thng ng n gin (cú hai cnh cựng phng vi Oy) nu nú cú th c miờu t bi cỏc bt ng thc dng a x b , 1 2( ) ( )y x y y x (5) ú 1( )y y x= v 2( )y y x= l cỏc hm s liờn tc trờn [a,b] (H.20.8). + Tng t, mt min c gi l nm ngang n gin (cú hai cnh cựng phng vi Ox) (H. 20.9) nu nú cú th c miờu t bi cỏc bt ng thc dng : c y d 1 2( ) ( )x y x x y (6) ú 1( )x x y= v 2( )x x y= l cỏc hm s liờn tc trờn [ ],c d. Hỡnh 20.8 Hỡnh 20.9 c. Liờn h tớch phõn lp v tớch phõn bi hai: Mi tớch phõn lp l mt tớch phõn bi hai tuy nhiờn iu ngc li khụng phi lỳc no cng ỳng. nh lý. Nu R l min thng ng n gin cho bi (5), thỡ ( ) ( )21( )( ), ,y xbR a y xf x y dA f x y dydx= (7) v nu R l min nm ngang n gin cho bi (6), thỡ ( ) ( )21( )( ), ,x ydR c x yf x y dA f x y dxdy= (8) Vớ d 1. Tớnh tớch phõn bi hai 2RxydA theo hai cỏch khỏc nhau, ú R l min b chn bi parabola 2x y= v ng thng y x=. Gii : Min ly tớch phõn nh trong Hỡnh.20.10. Rừ rng rng R l thng ng n gin vi 0a = , 1b = , 1( )y x x=, 1/ 22( )y x x= , do ú t (7) Bi giảng GiảI tích nhiều biến Năm học 2007-2008 Tiến sĩ: Nguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu Thọ 7 1/ 2102 2xR xxydA xydydx= 1/ 2120xxxy dx = ( )12 30x x dx= 1 1 13 4 12= = . Hỡnh 20.10 Min R cng l nm ngang n gin vi 0c= , 1d= , 21( )x y y= , 2( )x y y= , do ú t (8) 2102 2yRyxydA xydxdy= 2120yyxy dy = ( )13 20y y dy= 1 1 14 6 12= = . Vớ d 2 Tớnh ( )1 2Rx dA+ ú R l min b chn bi 2x y= v 2x y = Hỡnh 20.11 Gii: + Min ny nh trong Hỡnh.20.11. + Tỡm giao im ca hai ng ta nhn c 1 2(1, 1), (4,2)M M . Cỏch 1: + Ly tớch phõn ban u theo y sau ú theo x, mun vy ta cú th chia min ly tớch phõn R thnh nhng min thng ng n gin khụng giao nhau: { }10 1,R x x y x= v { }21 4, 2R x x y x= . + p dng nh lý trờn cựng vi tớnh cht chia cn tớch phõn ta nhn c: ( ) ( )101 2 1 2xRxx dA x dydx+ = + ( )41 21 2xxx dydx+ + . Cỏch 2: + Bõy gi ly tớch phõn trc ht theo x ri sau ú ly theo y, lỳc ny R xem l min nm ngang n gin { }22, 1 2R y x y y= + , ta cú: ( ) ( )22211 2 1 2yRyx dA x dxdy++ = + 22221yyx x dy+ = + ( )2411896 510y y dy= + =. Bi giảng GiảI tích nhiều biến Năm học 2007-2008 Tiến sĩ: Nguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu Thọ 8 Nhn xột: Trong Vớ d 2 cỏch th 2 s n gin hn. Tuy nhiờn cú nhng trng hp ta ch cú mt la chn. Vớ d 3 Tớnh 21 20 24xye dxdy . Gii :+ Nu tớnh tớch phõn theo th t ny ta cú min ly tớch phõn l min nm ngang n gin: { }2 2, 0 1R y x y= . Nhng khi ú 2xe dx khụng phi l hm s cp, ta khụng th tỡm c nguyờn hm ny. + Ta tớnh theo th t cũn li: v min 10 2, 02R x y x = l min thng ng n gin, ỏp dng nh lý ta cú 2 21220 04 4xx xRe dA e dydx= 2122004xxye dx = 2 222 4002 | 1x xxe dx e e= = = . Hỡnh 20.12 Bi tp v nh: Tr. 119, 129, 121, 127 c trc : Mt phn u Mc 20.9, Mc 20.4 chuNn b cho Bi s 8 . Bi giảng GiảI tích nhiều biến Năm học 2007-2008 Tiến sĩ: Nguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu. phõn lp ( )( )2( )1,y xba y xV f x y dy dx = . (3) Bi giảng GiảI tích nhiều biến Năm học 2007-2008 Tiến sĩ: Nguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu
