A Đặt vấn đề Lời nói đầu Bậc tiểu học bậc học tảng quan trọng việc hình thành phát triển nhân cách cho học sinh sở cung cấp tri thức khoa học ban đầu tự nhiên xà hội, phát triển lực nhận thức, trang bị phơng pháp kỹ ban đầu hoạt động nhận thức hoạt động thực tiễn, bồi dỡng phát huy tình cảm, thói quen, đức tính tốt đẹp ngời Việt Nam Mục tiêu nói đợc thực thông qua việc dạy học môn học thực hoạt động định hớng theo yêu cầu giáo dục Toán học với t cách môn khoa học nghiên cứu số mặt giới thực có hệ thống kiến thức phơng pháp nhận thức cần thiết cho đời sống sinh hoạt lao động Đó công cụ cần thiết để học môn học khác để tiếp tục nhận thức giới xung quanh giúp cho hoạt động thực tiễn có hiệu Khả giáo dục nhiều mặt môn Toán to lớn có nhiều khả để t lô gic, bồi dỡng phát triển thao tác trí tuệ cần thiết để nhận thức giới thực nh trừu tợng hóa, khái quát hóa, phân tích tổng hợp, so sánh dự đoán, chứng minh (phân tích tổng hợp) bác bỏ Nó có vai trò to lớn việc rèn luyện phơng pháp suy nghĩ, phơng pháp suy luận, phơng pháp giải vấn đề có khoa học, toàn diện, chÝnh x¸c nã cã nhiỊu t¸c dơng viƯc rÌn luyện nề nếp, tác phong, phong cách làm việc khoa học cần thiết lĩnh vực hoạt động ngời; góp phần giáo dục ý trí đức tính tốt nh cần cù, nhẫn nại, ý thức vợt khó khăn Với vị trí tầm quan trọng khả giáo dục môn Toán nói chung môn toán trờng tiểu học nói riêng, ngời giáo viên cần phải làm gì? làm nh để nâng cao hiệu dạy học môn toán ? Qua kinh ngiệm giảng dạy đặc biệt việc phụ đạo cho đối tợng học sinh giỏi môn toán lớp 3;4;5 với việc nghiên cứu tài liệu, đà tìm đợc số cách giải dạng toán tiểu học giúp cho ngời dạy thuận lợi việc hớng dẫn em, làm cho em bớt khó khăn việc giải dạng toán Trong khuôn khổ đề tài này, xin mạnh dạn đề số cách giải dạng toán thờng gặp mang nội dung hình học chủ yếu dành cho đối tợng học sinh kh¸ giái c¸c líp 3;4;5 Hy väng víi quan tâm khả sáng tạo phong phú thầy cô giáo đồng nghiệp, đề tài nhận đợc ý kiến quý báu để hoàn thiện vµ thùc sù cã øng dơng thiÕt thùc, réng r·i thực tế giảng dạy II Thực trạng việc giải số dạng toán mang nội dung hình học học sinh tiểu học Mục đích việc dạy yếu tố hình học tiểu học góp phần củng cố kiến thức số học phát triển lực thực hành lực t học sinh tiểu học, đồng thời dạy yếu tố hình học biện pháp quan trọng gắn học với hành, nhà trờng với đời sống Trong chơng trình môn Toán tiểu học, đối tợng hình học đợc đa vào bản, cần thiết thờng gặp đời sống nh: điểm; đoạn thẳng, đờng thẳng, hình vuông, hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang, hình tròn, hình trụ Tuy nhiên yếu tố hình học không đợc cấu thành chơng trình riêng mà xếp xen kẽ kiến thức khác, trí nhiều nội dung hình học đa vào dới dạng tập liên quan với kiến thức khác, việc dạy học hình học bậc tiểu học mang ý nghĩa quan trọng việc chuẩn bị học hình học cách có hệ thống lớp Đặc điểm nhận thức học sinh tiểu học lớp đầu cấp : lực phận tích tổng hợp cha phát triển, tri giác dựa vào hình dạng bên ngoài, nhận thức chủ yếu dựa vào quan sát đợc, cha biết phân tích để nhận thuộc tính đặc trng nên khó phân biệt hình thay đổi kích thớc vị trí đến lớp cuối cấp, trí tởng tợng học sinh đà phát triển nhng phải phụ thuộc vào mô hình thực, suy luận học sinh phát triển song dÃy phán đoán nhiều cảm tính Do việc nhận thức khái niệm hình học theo lôgíc Toán học em dễ dàng, việc giải toán mang nội dung hình học với em khó khăn Chính việc dạy học ngời giáo viên phải biết khai thác toán mang nội dung hình học cách từ Toán khó, tổng quát cần phân tích thành toán đơn giản ngợc lại từ toán đơn giản phải đề số toán khó hơn, phức tạp mang tính tổng quát để hình thành cho em nắm vững kỹ giải dạng toán mang nội dung hình học đơn vị trờng tiểu học Thống Nhất, việc nâng cao chất lợng thực cho học sinh việc làm đợc đồng chí Ban giám hiệu trọng đợc tất giáo viên nhận thức sâu sắc Chính mà việc học tập, nghiên cứu tìm biện pháp tối u dạy học đợc phát huy cao môn học Môn Toán môn học chủ đạo đợc đồng chí giáo viên quan tâm Tuy nhiên yếu tố hình học môn toán tiểu học đợc xếp xen kẽ với yếu tố khác nhiều không xây dựng thành dạy mà đợc đa dới dạng tập nên trình giáo viên khó khăn việc xây dựng hệ thống dạng đề phơng pháp dạy hiệu dẫn đến việc học sinh lúng túng ngại với loại tập Ví dụ: Với dạng đếm hình: Học sinh thờng mắc sai lầm nh đếm A B hình đặt rời hình đơn lẻ dễ nhận thấy mà không đếm đợc hình tạo thành ghép hình đơn lẻ với khả tởng D C tợng cha nắm dấu hiệu đặc trng yếu tố tạo thành hình hình học tơng ứng nh hạn chế khả suy luận, không nắm đợc cách đếm Khi dùng chữ để đọc, kể tên hình học, học sinh thờng tự tiện đổi chỗ chữ tên gọi chẳng hạn: em coi viết tứ giác ABCD nh tứ giác ACDB; ADBC khả suy luận em thờng dựa vào phán đoán cứ, em bị ảnh hởng tính chất giao hoán phép cộng phép nhân số tự nhiên, số thập phân, bị ảnh hởng phép đo đạc thực hành đoạn thẳng AB BA có độ dài nh Với dạng toán cắt ghép hình (Các em thờng chia theo cảm tính) Đây dạng toán khó, trừu tợng đợc quan tâm em dạng toán này, em chủ yếu thực đợc mô hình vật thật thực qua việc vẽ hình khó Trong qua trình xác định lát cắt em chủ yếu làm mô hình mà phơng pháp suy luận, em đa số ngại dạng Với dạng toán chia hình: Các em thờng chia theo cảm tính mà dựa vào mối quan hệ yếu tố h×nh, nã thĨ hiƯn ë viƯc häc sinh lóng tóng việc giải thích cách chia hình Dựa sở khoa học việc dạy yếu tố hình học bậc tiểu học, dựa tồn việc dạy học thân qua việc nghiên cứu tài liệu kinh nghiệm đợc rút trình giảng dạy, Tôi đà rút biện pháp giúp học sinh giải số dạng toán mang nội dung hình học B Giải vấn đề I giải pháp thực Xây dựng hệ thống ví dụ tập cho dạng từ đơn giản đến phức tạp hớng dẫn số bớc giải từ khái quát thành bớc chung Xử lý tài liệu môn toán có liên quan đến yếu tố hình học nh SGK từ lớp đến lớp Tài liệu bồi dỡng môn toán dành cho học sinh tiểu học Tài liệu hớng dẫn giảng dạy môn toán từ lớp đến lớp Một số chuyên san toán học tài liệu phơng pháp dạy học Toán tiểu học Dự Toán giáo viên nh khảo sát kết học tập học sinh để rút tồn cần giải Qua trình giảng dạy rút kinh nghiệm để tìm cách khắc phục II Các biện pháp để tỉ chøc thùc hiƯn Qua viƯc khai th¸c c¸c vÝ dụ theo mức độ từ đơn giản đến phức tạp, rút cách giải tổng quát bớc chung để giải dạng Cụ thể nh sau: A- Nhận dạng hình hình học: Nội dung: Cho hình hình học với điều kiện (cụ thể hình vẽ đồ vật) Yêu cầu học sinh: - Tô mầu loại hình hình học - Đếm số hình hình học đợc tạo thành - Gọi tên hình hình học Ví dụ: Bài 1: Cho đoạn thẳng AB Trên đoạn thẳng đà cho lấy điểm tùy ý không trùng với đầu mút Có đoạn thẳng đợc tạo thành ? Hớng dẫn : Để làm đợc này, học sinh cần nắm đợc đặc điểm đoạn thẳng đờng nối hai ®iĨm Tõ ®ã häc sinh suy cø chän hai điểm ta có đợc đoạn thẳng tìm đợc cách đếm số đoạn thẳng có đoạn AB Cách 1: Sử dụng sơ đồ c©y: D E B C A B E D E B B - Chọn A điểm mút đoạn thẳng ta có đoạn thẳng: AC; AD ; AE ; AB (theo sơ đồ) - Chọn C làm điểm mút ta có đoạn thẳng: CD; CE; CB ( theo sơ đồ) - Chọn D làm điểm mút ta có đoạn thẳng: DE; DB - Chọn E làm điểm mút ta có đoạn thẳng : EB Vậy số đoạn thẳng đợc tạo thành là: + + + = 10 ( đoạn thẳng) Cách 2: Đánh số thứ tự đoạn thẳng riêng lẻ: A C D E B Ta đánh đoạn thẳng riêng lẻ theo thø tù 1; 2; 3; ( nh h×nh vẽ) ta có đoạn thẳng - Đếm số đoạn thẳng đợc tạo thành ghép hai đoạn thẳng riêng lẻ ta có: đoạn (đoạn + ); (đoạn + ); (đoạn + ) - Đếm số đoạn thẳng đợc tạo thành ghép đoạn thẳng riêng lẻ ta có đoạn thẳng (đoạn + + ) (đoạn + + 4) - Đếm số đoạn thẳng đợc tạo thành ghép đoạn thẳng riêng lẻ ta có đoạn thẳng [đoạn (1+2+3+4) ] Vậy số đoạn thẳng đợc tạo thành là: + + + = 10 (đoạn thẳng) Bài : Hình vẽ bên có tam giác Hớng dẫn: A B E F C Để làm đợc học sinh cần nhận dạng đợc đặc điểm tam giác: có cạnh; góc; đỉnh Từ thấy đợc điểm không nằm đoạn thẳng ta vẽ đợc tam giác tìm cách đếm tam giác Cách 1: Dùng sơ đồ c©y E F C F B A E C F C Tõ nh¸nh thø nhÊt ta cã tam gi¸c : ABE; ABF; ABC Tõ nh¸nh thø hai ta cã tam gi¸c: AEF; AEC Tõ nh¸nh thø ba ta cã tam giác: AFC Vậy số tam giác hình bên là: 3+2+1=6 (tam giác) Cách 2: Đánh số thứ tự tam giác riêng lẻ A Ta đánh số tam giác riêng lẻ theo thứ tự 1; 2; (nh hình vẽ) Ta có đợc tam giác - Đếm số tam giác tạo thành ghép hai tam giác riêng lẻ thành tam giác ta có tam giác là: B E F C Tam giác (1+2) tam giác (2+3) - Đếm số tam giác tạo thành tam giác riêng lẻ ghép lại thành tam giác ta có: tam giác là: Tam giác (1+2+3) - Vậy số tam giác đếm đợc hình bên : 3+2+1= (tam giác) Cách : Phơng pháp suy luận Ta nhận thấy đỉnh A nối với hai đầu mút đoạn thẳng BC hai đoạn thẳng ta đợc tam giác Do để xác định đợc số tam giác tạo thành ta cần đếm số đoạn thẳng tạo cạnh BC là: 3+2+1=6 (đoạn thẳng) Nh số tam giác đợc tạo thành tam giác Qua hai ví dụ cách giải ta rút đợc bớc chung giải dạng toán nhận dạng hình hình học nh sau: Bớc : Xác định yêu cầu toán nhận dạng hình dựa vào hình dạng hay đặc điểm hình Bớc 2: Nhắc lại định nghĩa hình liên quan đến toán (bằng cách mô tả vật mẫu) đặc điểm hình Bớc 3: Nhớ lại số phơng pháp đếm hình thờng sử dụng - Đếm trực tiếp hình vẽ đồ vật - Sử dụng sơ đồ để đếm khái quát thành công thức tính số hình cần nhận dạng - Đánh số thứ tự hình riêng lẻ dễ nhận biết - Sử dụng phơng pháp suy luận lôgic Với bớc thực nh trên, hy vọng bạn dễ dàng hớng dẫn em nhận dạng hình đầy đủ xác B Dạng cắt, ghép hình: Nội dung: Cho trớc hình hình học số lát cắt hÃy chia hình đà cho thành mảnh rời ghép mảnh rời thành hình đà học thỏa mÃn yêu cầu Ví dụ: Bài 1: Em hÃy cho biết, cắt hình vuông theo đờng chéo thành hai mảnh ghép hai mảnh thành hình ? Nhận xét: Đây toán đơn giản giúp cho học sinh dựa mô hình vật thật cắt, ghép hình theo yêu cầu từ nắm vững chất dạng cắt, ghép hình 10 (thực chất toán diện tích thao tác cắt ghép cho diện tích hình không đổi) Hớng dẫn: Trớc hết ta cho học sinh thao tác vật thật đánh dấu điểm vào vật Học sinh ghép xác định tên đỉnh lúc đầu ghép hình để đợc hình Nhận xét điểm trùng với điểm nào, từ hình dung cách ghép hình vẽ cách giải thích cách ghép A B C D C (Hình a) A D B D A (H×nh b) B C A (Hình c) Cắt hình vuông ABCD theo đờng chéo AC đợc hai mảnh hình tam giác vuông cân (Có thể đặt lên trùng khít) nh hình vẽ a Ghép mảnh cho đỉnh B trùng D ta đợc hình tam giác vuông cân (hình b) Ghép hai mảnh cho đỉnh B trùng với đỉnh C đợc hình bình hành (hình c) Bài : HÃy cắt hình chữ nhật có chiều dài 16 cm, chiều rộng cm thành mảnh cho ghép lại ta đợc hình vuông Nhận xét : Bài toán cho ta biết kích thớc hình đà cho ta dựa vào diện tích hình để xác định cạnh hình vuông từ tìm cách cắt ghép Hớng dẫn: 11 Bớc : Diện tích hình chữ nhật ban đầu : 16 x =144 (cm ) Vì 144 = 12 x 12 nên hình vuông cần tìm có cạnh 12 cm Bớc 2: Để có hình vuông cần tìm ta cần giảm chiều dài hình chữ nhật 4cm tăng chiều rộng hình chữ nhật lên 3(cm) Bớc 3: Cắt hình chữ nhật theo đờng gấp khúc EFGHLM cho BE=12cm, đoạn song song với chiều rộng cm, đoạn song song với chiều dài cm (H×nh vÏ) A E B F G I H D M C 12 - Bíc 4: GhÐp h×nh (nh h×nh vÏ): A B F G I H M C Bµi 3: Cắt hình chữ thập (hình bên) hai lát cắt ghép lại thành hình vuông 13 Nhận xét : Đây toán khó tởng tợng, khó xác định đợc sở để xác định lát cắt Giáo viên cần giúp học sinh lựa chọn điểm cắt hình chữ thập cho độ dài lát cắt để ghép mảnh cắt ta đợc hình vuông Hớng dẫn: Lát cắt thứ theo đờng AC Lát cắt thứ hai ta cắt theo đờng BD Ghép mảnh 1; 2; nh hình vẽ ta đợc hình vuông B A B C D A D B C¸c bíc giải : Qua việc hớng dẫn ví dụ theo møc ®é tõ dƠ ®Õn khã , ta cã thể rút cách giải dạng toán nh sau: Bớc 1: Nhắc lại định nghĩa số tính chất hình học có liên quan 14 Bớc 2: Tính diện tích hình ban đầu để suy cạnh hình cần ghép (nếu có) Bớc 3: Xác định điểm cắt cắt hình Bớc : Ghép hình theo yêu cầu C/ Dạng Chia hình hình học theo yêu cầu Néi dung: B»ng mét sè nÐt kỴ h·y chia mét hình cho trớc thành phần có diện tích tØ lƯ víi c¸c sè cho tríc VÝ dơ: Bài 1: Một sợi dây dài m HÃy cắt đoạn dây 0,5m mà không dùng thớc Hớng dẫn: Tỉ số đoạn dây cắt đoạn dây đà có là: 1 0,5 : = : = 3 VËy ta có cách cắt sợi dây nh sau: Gập đôi sợi dây ; tiếp tục gập đôi sợi dây vừa gập, gập đôi lần Bằng cách sợi dây đợc chia thành phần nhau, lấy phần từ phía đầu sợi dây đoạn dây dài 0,5 m Bài HÃy chia hình chữ nhật thành hình tam giác có diện tích Nhận xét hớng dẫn: Để làm đợc toán cần hớng dẫn học sinh nắm đợc : - Hai tam giác có chiều cao số đo đáy diện tích ( Hai tam giác tơng đơng) - Hai tam giác có chung đáy số đo đờng cao diện tích Để giải đợc toán trớc hết ta kẻ đờng chéo AC để chia hình chữ nhật thành hai tam giác có diện tích Sau ta chia tam giác ABC 15 ADC thành hai tam giác có diện tích Vậy ta đợc lời giải toán Cách 1: Chọn AC làm đáy chung cđa B C hai tam gi¸c sÏ chia Nh để đợc hai tam giác có diện O tích có đờng cao hạ từ B (và từ D) xuống AC, ta phải chia đáy AC thành hai phần điểm O Nối BO DO ta đợc tam A D Giác ABO; BOC; COD DOA có diện tích Cách 2: Chọn hai cạnh BCvà AD làm đáy tam gi¸c sÏ chia Nh vËy c¸c tam gi¸c đợc chia từ tam giác ABC có chung đờng cao AB ta phải chia đáy BC thành hai phần có số đo B M A C N điểm M điểm N (Chia AD điểm N) Nối AM, CN Ta đợc tam gi¸c ABM; AMC; CAN; CND cã diƯn tÝch b»ng Cách 3: Chọn cạnh AB CD làm đáy cđa tam gi¸c sÏ chia Nh vËy c¸c tam giác đợc chia từ tam giác ABC có chung đờng cao CB ta phải chia đáy AB thành hai phần có số đo điểm P Tơng tự ta chia CD thành hai phần điểm H Nối CP AH ta đợc tam B P D C H 16 gi¸c ACP; CPB; ADH; AHC cã diƯn tÝch b»ng A D C¸ch 4: Phối hợp cách cách Cách 5: Phối hợp cách cách Cách 6: Phối hợp cách cách Cách 7: Cách 8: 17 Cách 9: Ngoài ta chia theo cách khác dựa sở tam giác yếu tố tam giác Với cách suy luận nh trên, học sinh dễ dàng làm đợc nh: HÃy nêu cách chia hình tam giác thành phần 4; phần * Học sinh nêu đợc c¸c c¸ch chia nh: C¸ch C¸ch C¸ch 3 Các bớc giải chung: Qua ví dụ hớng dẫn làm ví dụ ta rút đợc bớc để làm toán chia hình nh sau: Bớc 1: Nắm vững công thức tính diện tích tam giác hay diện tích hình đà học mối quan hệ yếu tố tam giác với diện tích Bớc 2: Phân tích yêu cầu toán Bớc 3: Tìm mối quan hệ kiện đà cho điều cần tìm Bớc 4: Nêu cách chia giải thích 18 C Kết luận Kết nghiên cứu: Với biện pháp thực đợc trình bày trên, Tôi đà áp dụng thực tế giảng dạy trờng, kết thu đợc em hào hứng thích thú làm toán mang nội dung hình học làm có hiệu cao Cụ thể: TT Dạng HS làm HS làm sai Số lợng Tỷ lệ Số lợng Tỷ lệ Nhận dạng hình hình học 17/18 94,5% 5,5% Dạng cắt ghép hình 15/18 83,5% 16,5% Dạng chia hình hình học theo yêu cầu 16/18 89% 11% Kiến nghị đề xuất Để giúp học sinh làm tốt toán mang nội dung hình học ngời giáo viên cần: Nắm vững yếu tố hình học đợc đa vào chơng trình Hệ thống dạng tập có liên quan đợc đa vào chơng trình, sở để khai thác thêm dạng tập theo mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp để hớng dẫn cho học sinh khái quát thành cách giải chung cho dạng Trong giải dạng tập đòi hỏi học sinh phải nắm vững đặc điểm hình mối quan hệ yếu tố hình, muốn giáo viên cần phải cho học sinh nắm vững biểu tợng hình học, từ để nhận mối quan hệ yếu tố hình phân biệt đợc khác hình, có nh giúp cho việc giải dạng Toán thuận lợi đạt hiệu cao Thống Nhất, ngày 25 tháng năm 2007 Ngời viết Lê Thị Hồng 19 20 ... b»ng A D Cách 4: Phối hợp cách cách Cách 5: Phối hợp cách cách Cách 6: Phối hợp cách cách Cách 7: Cách 8: 17 Cách 9: Ngoài ta chia theo cách khác dựa sở tam giác yếu tố tam giác Với cách suy... việc giải số dạng toán mang nội dung hình học học sinh tiểu học Mục đích việc dạy yếu tố hình học tiểu học góp phần củng cố kiến thức số học phát triển lực thực hành lực t học sinh tiểu học, ... thức khái niệm hình học theo lôgíc Toán học em dễ dàng, việc giải toán mang nội dung hình học với em khó khăn Chính việc dạy học ngời giáo viên phải biết khai thác toán mang nội dung hình học cách