  !" 1 #$%&'()*+,*,*- TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LOGIC MỆNH ĐỀ, LOGIC VỊ TỪ VÀ LOGIC MỜ. ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN  BÀI TIỂU LUẬN MÔN TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH Giảng viên hướng dẫn: PGS. TS. Nguyễn Phi Khứ Họ tên học viên: Đặng Thị Mỹ Hạnh Mã số học viên: CH1301012   !" CHƯƠNG I MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LOGIC MỆNH ĐỀ, LOGIC VỊ TỪ VÀ LOGIC MỜ I. LOGIC MỆNH ĐỀ 1. Khái niệm mệnh đề Mệnh đề là một phát biểu có thể khẳng định tính ./ hoặc 0. Mệnh đề sơ cấp là mệnh đề không thể tách nhỏ hơn, nói cách khác nếu ta bỏ đi một phần của nó thì không còn là mệnh đề nữa. Ví dụ: "123045" là một mệnh đề sơ cấp nhận giá trị "./" hay nói mệnh đề sơ cấp này có giá trị chân lý là *. "604789:;.<=0476:=" là một mệnh đề sơ cấp nhận giá trị "./" hay giá trị *. ">?@A'>24 " không phải là một mệnh đề. "-,,,23045>2B*, " không phải là một mệnh đề sơ cấp, vì nó có thể tách thành hai mệnh đề đơn giản hơn. 2. Các kí hiệu Các ký hiệu mệnh đề (propositional symbol) biểu thị các mệnh đề (proposition) hay các phát biểu về thế giới thực mà giá trị của chúng có thể là đúng hoặc sai. Khi thành lập mệnh đề phức hợp từ các mệnh đề đã có, ta thường dùng các liên từ "hay", "và", "không", "nếu thì " các liên từ cũng dùng để biểu diễn các phép toán logic. Các mệnh đề sơ cấp ta kí hiệu bằng các chữ cái A, B, C, Các mệnh đề phức tạp được xây dựng từ các mệnh đề sơ cấp gọi là công thức. Giá trị của công thức là giá trị của các phép toán cho các trường hợp, sau khi các mệnh đề sơ cấp đã có những giá trị xác định. Giá trị của công thức thường được mô tả dạng bảng, theo các trường hợp tương ứng của các mệnh đề sơ cấp, bảng này còn gọi là bảng "CD" của công thức. Giá trị chân lý của mệnh đề bao gồm: true (đúng) nhận giá trị 1, false (sai) nhận giá trị 0. Nếu các mệnh đề được nối với nhau bằng liên từ: “và” sẽ được ký hiệu ∧, “hoặc” ký hiệu là ∨, “không” ký hiệu là ¬, “nếu…thì” ký hiệu là ⇒, “khi và chỉ khi…” ký hiệu là Hai công thức được gọi là .EFGH, nếu chúng cùng nhận giá trị như nhau cho mọi trường hợp giá trị của các mệnh đề sơ cấp tương ứng. Ví dụ: I)J2@K IAGBGK 2 #$%&'()*+,*,*-   !"  Hai mệnh đề trên là hai mệnh đề sơ cấp, và đều nhận giá trị đúng. I)J2@>2AGBGK  Mệnh đề trên là mệnh đề phức hợp, được tạo từ hai mệnh đề sơ cấp và được nối với nhau bằng liên từ I>2K. Giá trị chân lý của mệnh đề phức hợp này 1. 3. Các phép toán trên mệnh đề 3.1. Phép phủ định Phủ định của một mệnh đề là một mệnh đề, nhận giá trị ./ nếu mệnh đề đã cho 0 và nhận giá trị 0 nếu mệnh đề đã cho ./. Nếu A là mệnh đề, kí hiệu A là phủ định của nó. L A , * * , Ví dụ: A = “M=<” khi đó A sẽ là “M=<” N= “>7O9P#')Q0C8CJ>R”, B = “>7O9P#')Q0C8CJ>R” 3.2. Phép “hoặc” hay còn gọi là phép cộng logic Cho L và N là hai mệnh đề, liên kết L $ B là một mệnh đề S nhận giá trị 0 nếu cả hai mệnh đề đã cho cùng 0, kí hiệu L ∨ N. LN L ∨ N ,, , *, * ,* * ** * Ví dụ: A= “23045”, B= “2304B+” A∨B = “23045hoặcB+” Khi đó với TU mệnh đề trên đúng, TV mệnh đề trên đúng, T1 mệnh đề trên đúng, TW mệnh đề trên sai. 3 #$%&'()*+,*,*-   !" 3.3. Phép “và ” hay còn gọi là phép nhân logic Cho L và N là hai mệnh đề, liên kết L >2 N là một mệnh đề S nhận giá trị ./ nếu cả hai mệnh đề đã cho cùng ./, kí hiệu L ∧ N. LN L ∧ N ,, , *, , ,* , ** * Ví dụ: A= “23045”, B= “2304B+” A∧B =” 23045>2B+” Khi đó với TU mệnh đề trên sai, TV mệnh đề trên sai, TW mệnh đề trên sai, T 1 mệnh đề trên đúng. 3.4. Phép cộng XOR Cho L và N là hai mệnh đề, liên kết LXYZN là một mệnh đề S nhận giá trị ./ nếu chỉ một trong hai mệnh đề đã cho ./, kí hiệu L ⊕ N. LN L ⊕ N ,, , *, * ,* * ** , Ví dụ: L= “23045”, N= “2304[”, trong trường hợp này ta có thể định nghĩa L ⊕ N = “\23045” Khi đó với T+ , TU mệnh đề trên sai; TU;T1 mệnh đề trên đúng, TW;T+ mệnh đề trên đúng, TU;T+ mệnh đề trên sai. Phép toán ⊕ thường được sử dụng để kiểm tra tính chẵn lẻ. 3.5. Phép kéo theo Cho L và N là hai mệnh đề, liên kết L ?A N (còn được phát biểu dạng BL ] N) là một mệnh đề S nhận giá trị 0 nếu L ./, N 0, kí hiệu L → N. 4 #$%&'()*+,*,*-   !" LN L → N ,, * *, , ,* * ** * Ví dụ: 1. L= “23045”, N= “2304B-”, L → N = “23045” suy ra “B-” -L= “M230>7^S”, B= “M230>7J”, L → N = Nếu “M230>7^S” thì ” M230>7J” 3.6. Phép tương đương (còn gọi là mệnh đề khi và chỉ khi) Cho L và N là hai mệnh đề, liên kết L 9:.9: N là một mệnh đề nhận giá trị ./ nếu cả hai mệnh đề đã cho cùng ./, hoặc cùng 0, kí hiệu L ↔ N. LN L ↔ N ,, * *, , ,* , ** * Ví dụ: L= “23045”, N= “2304B-”, L ↔ N = “23045” khi và chỉ khi “2304B-” 4. Các tính chất - Các công thức sau được gọi là công thức De Morgan logic NNNL ∨⇔∧∧⇔∨ A BA ,A  Để chứng minh các công thức này ta chỉ cần kiểm tra bảng chân lý sau: LN BA BA ∧∨ LN BA BA ∨∧ ** ,, ** ,, *, ,, *, ** ,* ,, ,* ** ,, ** ,, ** 5 #$%&'()*+,*,*-   !" - Một số công thức biến đổi tương đương của các mệnh đề được cho dưới đây: ¬(¬P) P (P∨Q) (¬P ⇒Q) Luật tương phản: (P ⇒Q) (¬Q ⇒ ¬P) Luật De Morgan: ¬(P ∨Q) (¬P ∧ ¬Q), và ¬(P ∧Q) (¬P ∨ ¬Q) Luật giao hoán: (P ∧Q) (Q ∧P), và (P∨Q) (Q∨P) Luật kết hợp: ((P ∧Q) ∧R) (P ∧(Q ∧R)), ((P ∨Q) ∨R) (P ∨(Q ∨R)) Luật phân phối: P ∨(Q ∧R) (P ∨Q) ∧(P ∨R), P ∧(Q ∨R) (P ∧Q) ∨(P ∧R) N∧⇔→ A BA L ↔ N_L → N` ∧ _N → L` L→⇔→ B BA II. LOGIC VỊ TỪ 1. Khái niệm logic vị từ bậc nhất - Tương tự như logic mệnh đề, nhưng ở logic vị từ có bổ sung các lượng từ như: Tất cả (), tồn tại () để xác định các biến vị từ. - Logic vị từ là một ngôn ngữ đặc tả có thể dùng diễn đạt một sự việc nào đó. Ví dụ: nếu nói "Peter cao" thì ta có thể diễn đạt dưới dạng logic vị từ như sau: X: (Cao X) - Trong logic vị từ ta có thể suy ra giá trị đúng của mệnh đề bằng các luật suy diễn, ví dụ như luật Modus Ponens Ví dụ: Từ FQ9P.<aQB(Modus Ponens) Và OA029P(mệnh đề)  Có thể suy ra rằng OA0aQB(mệnh đề) 2. Phép tính vị từ 6 #$%&'()*+,*,*-   !" Trong phép tính mệnh đề, mỗi ký hiệu câu sơ cấp P, Q, … biểu thị một mệnh đề và không thể tác động vào từng phần riêng lẻ của câu. Phép tính vị từ (predicate calculus) cung cấp cho ta khả năng này. Chẳng hạn, đặt mệnh đề “Hôm qua trời mưa” là P, từ đó ta có thể tạo ra một vị từ chỉ thời tiết mô tả quan hệ giữa một ngày và thời tiết trong ngày ấy: thời_tiết (hôm_qua, mưa). Thông qua các luật suy diễn, chúng ta sẽ có thể thao tác trên các biểu thức phép tính mệnh đề, truy xuất và suy ra những câu mới. 3. Ký hiệu vị từ Là tập hợp gồm các chữ cái, chữ số, ký hiệu “_”, và được bắt đầu bằng chữ cái. Ví dụ: X3, tom_and_jerry Ký hiệu vị từ có thể là: - Ký hiệu chân lý: true, false - Hằng: dùng để chỉ một đối tượng/thuộc tính trong thế giới. Hằng được ký hiệu bắt đầu bằng chữ thường: helen, yellow, rain, … - Biến: dùng để chỉ một lớp tổng quát các đối tượng/thuộc tính. Biến được ký hiệu bắt đầu bằng chữ hoa: X, People, Students, … - Hàm: dùng để chỉ một hàm trên các đối tượng. Hàm được ký hiệu bắt đầu bằng chữ thường: father, plus, … Mỗi ký hiệu hàm có một ngôi n, chỉ số lượng các đối số của hàm. - Vị từ: dùng để định nghĩa một mối quan hệ giữa không hoặc nhiều đối tượng. Vị từ được ký hiệu bắt đầu bằng chữ thường: likes, equals, part_of, … 3.1. Biểu thức hàm: là một ký hiệu hàm theo sau bởi n đối số. Ví dụ: father(david) price(bananas) like(tom, football) 3.2. Mục (term) là một hằng, một biến hay một biểu thức hàm 3.3. Câu sơ cấp: là một hằng vị từ với n ngôi theo sau bởi n thành phần nằm trong cặp dấu ( ), cách nhau bởi dấu ‘,’, và kết thúc với dấu ‘.’ - Trị chân lý true, false là các câu sơ cấp. - Câu sơ cấp còn được gọi là: biểu thức nguyên tử, nguyên tử hay mệnh đề Ví dụ: friends(helen, marry), Likes (hellen, mary), likes (helen, sister(mary)), likes (X, ice-cream). Ký hiệu vị từ trong các câu này là friends, likes. Câu: được tạo ra bằng cách kết hợp các câu sơ cấp sử dụng: - Các phép kết nối logic: ¬, ∧, ∨, ⇒, = 7 #$%&'()*+,*,*-   !" - Các lượng tử biến: + Lượng tử phổ biến ∀: dùng để chỉ một câu là đúng với mọi giá trị của biến lượng giá. Ví dụ: ∀X likes(X, ice-cream). + Lượng tử tồn tại ∃: dùng để chỉ một câu là đúng với một số giá trị nào đó của biến lượng giá. Ví dụ: ∃Y friends(Y,tom). Ví dụ: likes(helen, chocolat) ∧ ¬likes(bart, chocolat). ∃X foo(X,two,plus(two,three)) ∧ equal(plus(three,two),five) (foo(two, two,plus(two,three))) ⇒ (equal(plus(three,two),five )= true 4. Ngữ nghĩa - Phép tính vị từ Tương tự như phép tính mệnh đề, ngữ nghĩa của phép tính vị từ cung cấp một cơ sở để xác định chân trị của các biểu thức dạng chuẩn. Chân trị của các biểu thức phụ thuộc vào ánh xạ từ các hằng, các biến, các vị từ và các hàm vào các đối tượng và quan hệ trong lĩnh vực được đề cập. Sự thông dịch (cách diễn giải) của một tập hợp các câu phép tính vị từ: là một sự gán các thực thể trong miền của vấn đề đang đề cập cho mỗi ký hiệu hằng, biến, vị từ và hàm. Giá trị chân lý của một câu sơ cấp được xác định qua sự thông dịch. Đối với các câu không nguyên tố, sử dụng bảng chân lý cho cho các phép nối kết, và: - Giá trị của câu ∀X <câu> là true nếu <câu> là True cho tất cả các phép gán có thể được cho X. - Giá trị của câu ∃X <câu> là true nếu tồn tại một phép gán cho X làm cho <câu>có giá trị True. Ví dụ 3: Cho trước một tập hợp các quan hệ gia đình như sau : mother (eve,abel) mother(eve,cain) father(adam,abel) father(adam,cain) ∀X, ∀Y father(X,Y) ∨mother(X,Y) ⇒parent(X,Y) ∀X, ∀Y, ∃Z parent(Z,X) ∧parent(Z,Y) ⇒sibling(X,Y) Ta có thể suy luận: parent(eve,abel) parent(eve,cain) parent(adam,abel) parent(adam,cain) sibling(abel,cain) sibling(cain,abel) sibling(abel,abel) sibling(cain,cain) ! Không có nghĩa 8 #$%&'()*+,*,*-   !" 5. Phép tính vị từ bậc nhất (First – order predicate calculus) Phép tính vị từ bậc nhất cho phép các biến lượng giá tham chiếu đến các đối tượng trong miền của vấn đề đang đề cập nhưng không được tham chiếu đến các vị từ và hàm. Thí dụ 1: Ví dụ không hợp lệ: ∀(Likes) Likes(helen, ice-cream) Ví dụ hợp lệ: Nếu ngày mai trời không mưa, Tom sẽ đi biển. ¬weather(rain, tomorrow) ⇒go(tom, sea) Tất cả các cầu thủ bóng rổ đều cao. ∀X (basketball_player(X) ⇒tall(X) ) Có người thích coca-cola. ∃X person(X) ∧likes(X, coca-cola) Không ai thích thuế. ¬ ∃X likes(X, taxes) Hầu hết bất kỳ câu đúng ngữ pháp nào cũng có thể biểu diễn trong phép tính vị từ bậc nhất bằng cách sử dụng các ký hiệu, các phép kết nối và ký hiệu biến. 6. Các luật suy diễn Ngữ nghĩa của phép tính vị từ cung cấp một cơ sở cho lý thuyết hình thức về suy diễn logic. Khả năng suy ra những biểu thức đúng mới từ một tập hợp các khẳng định đúng là một đặc trưng quan trọng của phép tính vị từ. Logic vị từ dùng các luật suy diễn sau : 6.1. Luật Modus Ponens (MP): P P ⇒Q Q Ví dụ: Nếu ta có quan sát sau đây “nếu trời mưa thì sân ướt” (P ⇒Q) và “trời đang mưa” (P) thì ta dễ dàng suy ra được “sân ướt” (Q). 6.2. Luật Modus Tollens (MT): P ⇒Q ¬Q ¬P 6.3. Luật triển khai phổ biến (Universal Instantiation): 9 #$%&'()*+,*,*-   !" ∀X P(X) a thuộc miền xác định của X P(a) Ví dụ: Cho trước: (1) ∀X (man(X) ⇒ mortal(X)) (2) man(socrates) => (3) man(socrates) ⇒mortal(socrates) từ (1),(2) bằng luật UI. (4) mortal(socrates) từ (3) và (2) bằng luật MP. III. LOGIC MỜ - Logic mệnh đề và logic vị từ (hay còn gọi là logic truyền thống) chỉ quan tâm đến 2 giá trị tuyệt đối (đúng hoặc sai). Logic truyền thống luôn tuân theo 2 giả thuyết. Một là tính thành viên của tập hợp: Với một phần tử và một tập hợp bất kỳ, thì phần tử hoặc là thuộc tập hợp đó, hoặc thuộc phần bù của tập đó. Giả thiết thứ hai là định luật loại trừ trung gian, khẳng định một phần tử không thể vừa thuộc một tập hợp vừa thuộc phần bù của nó. Ví dụ: Nếu nhiệt độ trên 35 độ C thì nóng, ngược lại là không nóng. Hình bên dưới minh họa tập hợp “NÓNG” gồm tất cả các nhiệt độ từ 35 độ C trở lên ]N8 ab.3IcK - Từ hình vẽ ta thấy logic truyền thống không thể hiện được sự khác biệt giữa các thành viên trong cùng một tập hợp. Giữa hai nhiệt độ 45 và 55 độ C, logic này không thể hiện được nhiệt độ nào nóng hơn nhiệt độ nào. - Ngoài ra, logic này còn có một nhược điểm khác quan trọng hơn đó là chúng không thể biểu diễn được các dữ kiện mang tính mơ hồ, không chính xác mà trong thực tế lại có rất nhiều phát biểu bằng ngôn ngữ tự nhiên ở dạng này; chẳng hạn như: Chiến sĩ công an thì khá cao => như vậy chiến sĩ công an có thuộc tập hợp những người cao hay không? Hoặc: Nữ an ninh thì rất cao => như thế nào là rất cao? 10 #$%&'()*+,*,*- [...]... trường ĐHCSND KẾT LUẬN Tiểu luận đã khái quát được các vấn đề cơ bản liên quan đến Logic mệnh đề, Logic vị từ và Logic mờ Từ đó đưa ra ý tưởng ứng dụng logic mờ để giải quyết bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm với độ dài các cung được biểu diễn dưới dạng số mờ Để giải quyết yêu cầu đối với công tác trực ban tại trường ĐH CSND Tiểu luận mới chỉ dừng lại ở mặt lý thuyết và nêu ra ý tưởng,... bài toán tìm đường đi ngắn nhất với dữ liệu mờ dạng khoảng – Phan Như Minh – Học viện Kỹ thuật Quân sự - Lý thuyết tập mờ và logic mờ - Thư viện Học liệu mở Việt Nam - Logic vị từ - Nguyễn Quang Châu – Khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM - Logic mệnh đề - TS Trần Văn Hoài – Đại học Bách Khoa Tp HCM 29 Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012 Tiểu luận Môn Toán học cho khoa học máy tính 30 Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012 GVHD: PGS.TS.. .Tiểu luận Môn Toán học cho khoa học máy tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ - Vì vậy, logic truyền thống không thể hỗ trợ cho những suy luận trên những thông tin mang tính mơ hồ, thiếu chính xác như vậy 1 Khái niệm logic mờ Để khắc phục khuyết điểm của logic truyền thống, Lotfi Zadeh đã đưa ra lý thuyết mới về logic gọi là logic mờ (fuzzy logic) Lý thuyết của Zadeh biểu diễn tính mờ hay tính thiếu... Hạnh – CH1301012 Tiểu luận Môn Toán học cho khoa học máy tính 1− A 1 = 1− a−x α x −b β 0 GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ x ∈[a − α , a) x ∈ [ a, b ] x ∈ (b, b + β ] other - Hàm thuộc được xác định như sau: 1 a- a b+ _ b~ l = ( l , l ,α , β ) − Thường được biểu diễn qua bộ 4 số: Hình: Biểu diễn số mờ dạng hình thang 23 Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012 Tiểu luận Môn Toán học cho khoa học máy tính GVHD: PGS.TS... quyết bài toán a Phép toán thực hiện trên số mờ tam giác Trình bày khái niệm về độ tương tự giữa hai số mờ tam giác và một giải thuật tìm đường đi ngắn nhất dựa trên các phép toán đã định nghĩa * Tổng hai số mờ: ~ Giả sử có 2 số mờ dạng tam giác L1 = (a1 , b1 , c1 ) 26 Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012 ~ và L2 = (a 2 , b2 , c 2 ) Tiểu luận Môn Toán học cho khoa học máy tính ~ Khi đó: GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi... xét: Logic mờ không tuân theo các luật về tính bù của logic truyền thống: μ ¬A∨A(x) ≡1 và μ ¬A ∧A(x) ≡0 Ví dụ: μ ¬A∨A(x) = max (0.8, 0.2) = 0.8 μ ¬A ∧A(x) = min( 0.8, 0.2) = 0.2 18 Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012 Tiểu luận Môn Toán học cho khoa học máy tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ 3 Suy luận xấp xỉ dựa trên logic mờ Suy diễn xấp xỉ hay còn gọi là suy luận mờ đó là quá trình suy ra những kết luận dưới... CH1301012 Tiểu luận Môn Toán học cho khoa học máy tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ µ(x) Một tập mờ với ít nhất một phần tử có độ phụ thuộc bằng 1 được gọi là tập mờ chính tắc tức là h =1 ngược lại một tập mờ A với h < 1 được gọi là tập mờ không chính tắc Bên cạnh khái niệm về độ cao mỗi tập mờ A còn có hai khái niệm quan trọng khác là: miền xác định và miền tin cậy Định nghĩa 2: Miền xác định của tập mờ. .. khiển mờ thông thường các hàm liên thuộc kiển S hay được thay gần đúng bằng một hàm tuyến tính từng đoạn Một hàm liên thuộc có dạng tuyến tính từng đoạn được gọi là hàm liên thuộc có mức chuyển đổi tuyến tính Hàm liên thuộc µ A ( x) 12 Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012 như ở hình vẽ với m1=m2 và m3=m4 Tiểu luận Môn Toán học cho khoa học máy tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ chính là hàm thuộc của một tập... xấp xỉ Xét lược đồ lập luận mờ đa điều kiện sau: Bảng điều kiện suy diễn xấp sỉ Tiên đề 1 if X = A1 then Y = B1 Tiên đề 2 if X = A2 then Y = B2 : : : : Tiên đề n if X = An then Y = Bn Tiên đề n+1 if X = An+1 then Y = Bn+1 Kết luận Y = B0 19 Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012 Tiểu luận Môn Toán học cho khoa học máy tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ Trong đó Ai và Bi là các điều kiện mờ, mô hình này mô tả quan... Đó là các “tiên đề cho phép giao A∩B, phép hợp và phép bù 2.1 Phép hợp hay toán tử OR Hợp của hai tập mờ (A∪B) thể hiện mức độ một phần tử thuộc về một trong hai tập là bao nhiêu Công thức: μ A∨B(x) = max (μA(x) , μB(x) ) Ví dụ: μTre(An) = 0.8 và μTrung niên(An) = 0.3 => μTre ∨Trung Niên(An) = max( 0.8, 0.3) = 0.8 17 Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012 Tiểu luận Môn Toán học cho khoa học máy tính GVHD: PGS.TS . I MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LOGIC MỆNH ĐỀ, LOGIC VỊ TỪ VÀ LOGIC MỜ I. LOGIC MỆNH ĐỀ 1. Khái niệm mệnh đề Mệnh đề là một phát biểu có thể khẳng định tính ./ hoặc 0. Mệnh đề sơ cấp là mệnh đề. TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LOGIC MỆNH ĐỀ, LOGIC VỊ TỪ VÀ LOGIC MỜ. ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN  BÀI TIỂU LUẬN MÔN TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC. II. LOGIC VỊ TỪ 1. Khái niệm logic vị từ bậc nhất - Tương tự như logic mệnh đề, nhưng ở logic vị từ có bổ sung các lượng từ như: Tất cả (), tồn tại () để xác định các biến vị từ. - Logic vị từ