Đại Học Quốc Gia TP.HCM Trường Đại Học Công Nghệ Thơng Tin  BÀI THU HOẠCH MƠN TỐN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH Đề tài: LOGIC MỆNH ĐỀ VÀ LOGIC VỊ TỪ GVHD: GS.TS NGUYỄN PHI KHỨ Học viên: Phạm Phú Thanh Sang Mã số: CH1301050 TP.HCM 12/2013 Lớp: CHK8 Tốn Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ Lời cảm ơn Lời em xin chân thành cảm ơn Nguyễn Phi Khứ truyền đạt cho em học thật bổ ích với câu truyện đầy tính sáng tạo lý thú Cảm ơn nhà trường tạo điều kiện cho em bạn lớp học tập tiếp thu kiến thức Em chân thành cảm ơn bạn lớp chia sẻ cho tài liệu hiểu biết môn học để hồn thành tốt mơn học Trong thời gian vừa qua em cố gắng nhiều để hồn thành tốt đề tài mình, song chắn kết khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong cảm thơng tận tình bảo Thầy TP.Hồ Chí Minh Tháng 12/2013 Học viên thực Phạm Phú Thanh Sang Phạm Phú Thanh Sang Page | Tốn Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN Phạm Phú Thanh Sang Page | Toán Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ Lời mở đầu Trong sống ngày, hoạt động người thông qua tư họ Khác với hành động vật mang tính năng, hành động người ln mang tính tự giác Con người, trước bắt tay vào hoạt động thực tiễn cải tạo giới, có sẵn dự án đầu Sự khác biệt người có tư biết vận dụng sức mạnh tư vào việc thực mục đích Trong q trình hoạt động đó, người phát thao tác tư Nói đến tư logic nhân loại, châu Phi hay châu Âu, châu Á hay châu Mỹ, từ Albert Einstein người chúng ta, ai đầu có so sánh, phán đoán, suy lý, sở ý niệm, khái niệm tượng, vật xung quanh Nghĩa tự nhiên ban cho người não hoạt động tư với quy luật logic vốn có, khách quan tất người dân tộc Cùng với phát triển thực tiễn nhận thức, người ngày có hiểu biết đầy đủ hơn, sâu sắc hơn, xác thân tư nhận thức Chính q trình hiểu biết sở tạo phát triển logic học Các quy luật tư logic phổ biến cho toàn nhân loại Theo truyền thống, logic nghiên cứu nhánh triết học Kể từ kỉ 19, logic thường nghiên cứu toán học luật Ngày nay, tác động cách mạng khoa học - công nghệ đại, logic học (hình thức) phát triển mạnh mẽ dẫn đến hình thành loạt mơn logic học đại, logic học mệnh đề, logic học vị từ, logic học đa trị, logic học tình thái, logic học xác suất, v.v Các mơn cung cấp cho nhân loại công cụ sắc bén giúp tư người ngày sâu vào nhận thức bí mật giới khách quan Phạm Phú Thanh Sang Page | Toán Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ Mục lục I Logic Thế logic? Logic tốn gì? II Logic mệnh đề Biểu diễn tri thức Cú pháp ngữ nghĩa logic mệnh đề Dạng chuẩn tắc 13 Luật suy diễn 15 Luật giải, chứng minh bác bỏ luật giải 19 III Logic vị từ 22 Khái niệm vị từ 22 Không gian vị từ 23 Trọng lượng vị từ 23 Các phép toán vị từ 24 Các lượng từ 25 Công thức tương đương 29 Công thức chỉnh dạng 30 Quy tắc mơ hình suy diễn vị từ cấp 31 Dạng chuẩn tắc công thức logic vị từ - dạng chuẩn Prenex 34 10 Luật suy diễn 36 IV Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Phạm Phú Thanh Sang Page | Tốn Cho Khoa Học Máy Tính I GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ Logic Thế logic? Logic hay luận lý học, từ tiếng Hy Lạp cố điển óo; (logos), nghĩa nguyên thủy từ ngữ, điều nói, (nhưng nhiều ngơn ngữ châu Âu trở thành có ý nghĩa suy nghĩ lập luận hay lý trí) Logic thường nhắc đến ngành nghiên cứu tiêu chí đánh giá luận cứ, định nghĩa xác logic vấn đề bàn cãi triết gia Tuy nhiên môn học xác định, nhiệm vụ nhà logic học cũ: làm mạnh tiến việc phân tích suy luận có hiệu lực suy luận ngụy biện để người ta phân biệt luận hợp lý luận có chỗ khơng hợp lý Theo truyền thống, logic nghiên cứu nhánh triết học Kể từ kỉ 19 logic thường nghiên cứu toán học luật Gần logic áp dụng vào khoa học máy tính trí tuệ nhân tạo Là ngành khoa học hình thức, logic nghiên cứu phân loại cấu trúc khẳng định lý lẽ, hai thông qua việc nghiên cứu hệ thống hình thức việc suy luận qua nghiên cứu lý lẽ ngôn ngữ tự nhiên Tầm bao quát logic rộng, từ đề tài cốt lõi nghiên cứu lý lẽ ngụy biện nghịch lý, đến phân tích chuyên gia lập luận, chẳng hạn lập luận có xác suất lý lẽ có liên quan đến quan hệ nhân Ngày nay, logic sử dụng phổ biến lý thuyết lý luận Qua suốt trình lịch sử, có nhiều quan tâm việc phân biệt lập luận tốt lập luận không tốt, logic nghiên cún số dạng nhiều quen thuộc Logic Aristotle chủ yếu quan tâm đến việc dạy lý luận cho tốt, ngày dạy với mục đích đó, trong logic tốn học triết học phân tích (analytical philosophy) người ta nhấn mạnh vào logic đối tượng nghiên cứu riêng, logic nghiên cứu mức độ trừu tượng Phạm Phú Thanh Sang Page | Toán Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ Các quan tâm loại logic khác giải thích rang logic khơng phải nghiên cứu chân không Trong logic thường tự cung cấp thúc đẩy nó, mơn học phát triển tốt lý mà quan tâm đến logic đặt cách rõ ràng Cùng với phát triển mạnh mẽ logic học, người ta tiến hành phân loại hệ thống Logic học theo khác logic toán kết toán học hóa logic Logic tốn gì? Logic tốn ngành toán học nghiên cứu hệ thống hình thức việc mã hóa khái niệm trực quan đối tượng toán học chang hạn tập hợp số, chứng minh tốn học tính toán Ngành thường chia thành lĩnh vực lý thuyết mơ hình (model theory), lý thuyết chứng minh (proof theory), lý thuyết tập họp lý thuyết đệ quy (irecursion theory) Nghiên cứu lơgic tốn thường đóng vai trị quan trọng ngành sở toán học (foundations of mathematics) Các tên gọi cũ lơgic tốn lơgic kỷ hiệu (để đối lập với lơgic triết học) hay mêta tốn học Logic tốn khơng phải lơgic tốn học mà tốn học logic Ngành bao gồm phần lôgic mà mơ hình hóa nghiên cứu tốn học Nó bao gồm lĩnh vục túy tốn học lý thuyết mơ hình lý thuyết đệ quy, đó, khả định nghĩa trung tâm vấn đề quan tâm Logic toán xây dựng sở logic mệnh đề logic vị từ Phạm Phú Thanh Sang Page | Tốn Cho Khoa Học Máy Tính II GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ Logic mệnh đề Biểu diễn tri thức Con người sống mơi trường nhận thức giới nhờ giác quan (tai, mắt phận khác), sử dụng tri thức tích luỹ nhờ khả lập luận, suy diễn, người đưa hành động hợp lý cho công việc mà người làm Một mục tiêu Trí tuệ nhân tạo ứng dụng thiết kế tác nhân thông minh (intelligent agent) có khả người Chúng ta hiểu tác nhân thơng minh nhận thức mơi trường thơng qua cảm nhận (sensors) đưa hành động hợp lý đáp ứng lại môi trường thông qua phận hành động (effectors) Các robots, softbot (software robot), hệ chuyên gia, ví dụ tác nhân thông minh Các tác nhân thông minh cần phải có tri thức giới thực đưa định đắn Thành phần trung tâm tác nhân dựa tri thức (knowledge-based agent), gọi hệ dựa tri thức (knowledge-based system) đơn giản hệ tri thức, sở tri thức Cơ sở tri thức (CSTT) tập hợp tri thức biểu diễn dạng Mỗi nhận thơng tin đưa vào, tác nhân cần có khả suy diễn để đưa câu trả lời, hành động hợp lý, đắn Nhiệm vụ thực suy diễn Bộ suy diễn thành phần khác hệ tri thức Như hệ tri thức bảo trì CSTT trang bị thủ tục suy diễn Mỗi tiếp nhận kiện từ môi trường, thủ tục suy diễn thực trình liên kết kiện với tri thức CSTT để rút câu trả lời hành động hợp lý mà tác nhân cần thực Đương nhiên là, ta thiết kế tác nhân giải vấn đề CSTT chứa tri thức miền đối tượng cụ thể Để máy tính sử dụng tri thức, xử lý tri thức, cần biểu diễn tri thức dạng thuận tiện cho máy tính Đó mục tiêu biểu diễn tri thức Phạm Phú Thanh Sang Page | Tốn Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ Tri thức mô tả dạng câu ngôn ngữ biểu diễn tri thức Mỗi câu xem mã hóa hiểu biết giới thực Ngôn ngữ biểu diễn tri thức (cũng ngôn ngữ hình thức khác) gồm hai thành phần cú pháp ngữ nghĩa  Cú pháp ngôn ngữ bao gồm ký hiệu quy tắc liên kết ký hiệu (các luật cú pháp) để tạo thành câu (công thức) ngôn ngữ Các câu biểu diễn ngoài, cần phân biệt với biểu diễn bên máy tính Các câu chuyển thành cấu trúc liệu thích hợp cài đặt vùng nhớ máy tính, biểu diễn bên Bản thân câu chưa chứa đựng nội dung cả, chưa mang ý nghĩa  Ngữ nghĩa ngôn ngữ cho phép ta xác định ý nghĩa câu miền giới thực Chẳng hạn, ngôn ngữ biểu thức số học, dãy ký hiệu (x+y)*z câu viết cú pháp Ngữ nghĩa ngôn ngữ cho phép ta hiểu rằng, x, y, z, ứng với số nguyên, ký hiệu + ứng với phép tốn cộng, cịn * ứng với phép chia, biểu thức (x+y)*z biểu diễn q trình tính tốn: lấy số nguyên x cộng với số nguyên y, kết nhân với số nguyên z  Ngoài hai thành phần cú pháp ngữ nghĩa, ngôn ngữ biểu diễn tri thức cần cung cấp chế suy diễn Một luật suy diễn (rule of inference) cho phép ta suy công thức từ tập cơng thức Chẳng hạn, logic mệnh đề, luật modus ponens từ hai công thức A A B suy công thức B Chúng ta hiểu lập luận suy diễn trình áp dụng luật suy diễn để từ tri thức sở tri thức kiện ta nhận tri thức Như xác định: Ngôn ngữ biểu diễn tri thức = Cú pháp + Ngữ nghĩa + Cơ chế suy diễn Một ngơn ngữ biểu diễn tri thức tốt cần phải có khả biểu diễn rộng, tức mơ tả điều mà muốn nói Nó cần phải hiệu theo Phạm Phú Thanh Sang Page | Tốn Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ nghĩa là, để tới kết luận, thủ tục suy diễn địi hỏi thời gian tính tốn khơng gian nhớ Người ta mong muốn ngôn ngữ biểu diễn tri thức gần với ngôn ngữ tự nhiên Cú pháp ngữ nghĩa logic mệnh đề a Cú pháp Các ký hiệu - Hai logic True False - Các ký hiệu mệnh đề (còn gọi biến mệnh đề): P, Q, - Các kết nối logic , , , , - Các dấu mở ngoặc ( đóng ngoặc ) Các quy tắc xây dựng cơng thức - Các biến mệnh đề công thức - Nếu A B cơng thức thì: (A  B) (đọc “A hội B” “A B”) (A  B) (đọc “A tuyển B” “A B”) (A) (đọc “phủ định A”) (A  B) (đọc “A kéo theo B” “Nếu A B”) (A B) (đọc “A B kéo theo nhau”) công thức Sau ngắn gọn, ta bỏ cặp dấu ngoặc không cần thiết Chẳng hạn, thay cho ((A  B)  C) ta viết (A  B)  C Các công thức ký hiệu mệnh đề gọi câu đơn câu phân tử Các công thức câu đơn gọi câu phức hợp Nếu P ký hiệu mệnh đề P TP gọi literal, P literal dương, TP literal âm Câu phức hợp có dạng A1  Am Ai literal gọi câu tuyển (clause) b Ngữ nghĩa Phạm Phú Thanh Sang Page | Tốn Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ z = : T = P(, , z) = { +  = 1} mệnh đề sai Câu có dạng P(xl, x2, xn) gọi giá trị hàm mệnh đề P (xl, x2, xn) P gọi vị từ Phép toán vị từ Phép toán vị từ sử dụng phép toán logic mệnh đề mở rộng phép toán mệnh đề để thể rõ tri thức Ví dụ 6: Cần viết câu "nếu hai người thích người họ khơng thích nhau“ dạng logic vị từ - Trước viết câu ta tìm hiểu câu đơn giản viết sau:  "Nam thích Mai” viết theo phép tốn vị từ là: thích (Nam, Mai)  "Đơng thích Mai” viết theo phép tốn vị từ là: thích (Đơng, Mai) o Tổng quát khắng định viết sau: Thích (X, Z) AND thích (Y, Z)  NOT thích (X, Y)  (Thích (X, Z)  thích (Y, Z)  thích (X, Y) a Hằng Là giá trị xác định không gian vị từ ký hiệu chữ thường dùng để đặt tên đối tượng đặc biệt hay thuộc tính b Biến Dùng để lớp tổng quát đối tượng hay thuộc tính Biến viết ký hiệu bắt đầu chữ in hoa Vậy dùng vị từ có biến để thể vị từ tương tự Ví dụ 7: Vị từ "Quả bóng màu xanh” viết lại: "X màu Y" Quả bóng xanh xác định không gian vị từ X, Y biến c Các vị từ Phạm Phú Thanh Sang Page | 24 Tốn Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ Một kiện hay mệnh đề phép toán vị từ chia thành phần Vị từ tham số Tham số hay nhiều đối tượng mệnh đề, vị từ dùng để khẳng định đối tượng Ví dụ 8: Câu "X thích Y" có dạng thích (X, Y) Thích vị từ cho biết quan hệ đối tượng ngoặc Đối số ký hiệu thay cho đối tượng toán d Hàm Được thể ký hiệu, cho biết quan hệ hàm số Ví dụ 9: Hoa mẹ Mai, Đơng cha Cúc Hoa Đông bạn o Ta có hàm số viết đế thể quan hệ Mẹ (Mai) = Hoa Cha (Cúc) = Đông Bạn (Hoa, Đông) o Các hàm dùng vị tự là: Bạn (Mẹ (Mai), Cha (Cúc) Các lượng từ Trong vị từ xảy điều sau: vị từ cho với phần tử khơng gian xác định nó; với số phần tử khơng gian xác định nó, người ta gọi lượng hóa hay lượng từ hàm mệnh đề a Lượng từ tồn () Câu xác định “Tập hợp biến X làm cho P(x) không tập hợp rỗng” mệnh đề Hay “Tồn phần tử X không gian cho P(x) đúng” mệnh đề gọi lượng từ tồn P(x)  Ký hiệu: x P(x) b Lượng từ với () Phạm Phú Thanh Sang Page | 25 Toán Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ Câu xác định “Tập hơp X làm cho P(x) tất tập hợp E” mệnh đề Hay “P(x) với giá trị X không gian” mệnh đề gọi lượng từ với P(x)  Ký hiệu: x P(x) Ý nghĩa lượng từ “với mọi” lượng từ “tồn tại” rút bảng sau: Mệnh đề Khi sai Khi Có phần tử x để x P(x) x P(x) P(x) với phần tử x P(x) Có phần tử x để P(x) P(x) sai với phần tử x Ví dụ 10: Xét khơng gian số thực, ta có: Cho P(x) := “X + > x”, viết: x P(x) Cho P(x) := “2x = X + 1”, viết: x P(x) Ví dụ 11: Cho vị từ P(x) = {số nguyên tự nhiên X số chẵn} Xét chân trị hai mệnh đề x P(x) x P(x) Giải x P(x) = {tất số nguyên tự nhiên x số chẵn} mệnh đề sai x=5 x P(x) = {hiện hữu số nguyên tự nhiên X số chẵn} mệnh đề x=10 Chú ý: Cho P vị từ có khơng gian E Nếu E = {el, e2, en}, mệnh đề x P(x) tất mệnh đề P(e1), P(e2), P(en) Nghĩa x P(x)  P(el)  P(e2)   P(en) Phạm Phú Thanh Sang Page | 26 Toán Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ Tương tự x P(x) có mệnh đề P(el), P(e2), P(en) Nghĩa x P(x)  P(el)  P(e2)   P(en) Ví dụ 12: Cho P(a,b) = {cặp số nguyên tương ứng thỏa a + b = 5} Hãy xác định chân trị mệnh đề sau: (a, b) P(a, b) (a, b) P(a, b) {Tất cặp số nguyên tương ứng} F {Hiện hữu cặp số nguyên tương ứng (a, T b) cho a + b = 5} {Hiện hữu cặp số nguyên tương ứng b bA P(a, b) cho số nguyên tương ứng a ta có F a+b=5} ab P(a, b) {Mọi số nguyên tương ứng a, hữu T số nguyên tương ứng b cho a+b=5} { Hiện hữu cặp số nguyên tương ứng a ab P(a, b) cho số nguyên tương ứng b ta có T a+b=5} ba P(a, b) {Mọi số nguyên tương ứng b, hữu T số nguyên tương ứng a cho a+b=5} Các định lý Định lý 1: Cho vị từ P(a, b) có trọng lượng Khi đó: a ab P(a, b) ba P(a, b) có chân trị Nghĩa ab P(a, b) ba P(a, b) Ký hiệu: (a, b) P(a, b) b ab P(a, b) ba P(a, b) có chân trị Nghĩa ab P(a, b) ba P(a, b) Ký hiệu:  (a, b) P(a, b) Phạm Phú Thanh Sang Page | 27 Tốn Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ c Nếu ab P(a, b) ba P(a, b) điều ngược lại chưa Nghĩa ab P(a, b)  ba P(a, b) d Nếu ba P(a, b) ab P(a, b) điều ngược lại chưa Nghĩa ba P(a, b)  ab P(a, b) Định lý 2: (x P(x)) x (P(x)) có chân trị (x P(x)) x (P(x)) có chân trị Giải thích Phủ định với x P(x) nói tập hợp X làm cho P(x) không tất tập họp E Vậy nói hữu phần tử x  E mà chúng P(x) sai hay nói hữu phần tử X  E mà chúng P(x) x P(x) nói tập hợp X mà chúng P(x) là tập hợp rỗng Nghĩa là, tập hợp phần tử X mà chúng P(x) sai tập E hay phần tử làm P(x) Ta có x (P(x)) Ví dụ 13: Phủ định “Mọi số nguyên n chia chẵn cho 3” “Tồn số nguyên n không chia chẵn cho 3” Ví dụ 14: Hãy xét phủ định câu sau đây: “Tất sinh viên lớp học mơn Tốn rời rạc 2” o Câu câu sử dụng lượng từ với sau: x P(x) Trong P(x) = {X học mơn Tốn rời rạc 2} o Phủ định câu là: “Không phải tất sinh viên lớp học mơn Tốn rời rạc 2” Điều có nghĩa là: “Có sinh viên lớp chưa học Tốn rời rạc 2” Đây lượng từ tồn phủ định hàm mệnh đề ban đầu viết sau: x P(x) Ta có: x P(x)  x P(x) Phạm Phú Thanh Sang Page | 28 Tốn Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ x P(x)  x P(x) Phương pháp ứng dụng: Để đạt phủ định mệnh đề xây dựng liên kết biến vi từ với phương tiện định lượng, người ta thay định lượng  ,   sau thay vị từ phủ định vị từ Định lý 3: Cho P Q hai vị từ có khơng gian a Mệnh đề x (P(x)  Q(x)) (x P(x))  (x (Q(x)) có chân trị b Nếu mệnh đề x (P(x)  Q(x)) ta có mệnh đề: (x P(x))  (xỌ(x)) c Mệnh đề x (P(x)  Q(x)) (x P(x)  x Q(x)) có chân trị d Nếu mệnh đề x (P(x)  Q(x)) ta có mệnh đề xP(x)  x Q(x) đúng, điều ngược lại khơng ln ln Chú thích: Nếu P Q hai vị từ có khơng gian E Ta có: - Tập hợp AE : Tập hợp phần tử X thuộc E mà chúng P(x) - Tập hợp BE: Tập hợp phần tử X thuộc E mà chúng Q(x) Khi người ta lưu ý rằng, A  B tập hợp x thuộc E mà chúng mệnh đề P(x)  Q(x) Trong A  B tập hợp x E mà mệnh đề P(x)  Q(x) Công thức tương đương A tương đương B (A  B) A (B  A)  Ký hiệu: A  B |= (A  B)  (B  A) a Các phép tương đương  ~x W(x)  x ~W(x) Phạm Phú Thanh Sang Page | 29 Toán Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ  ~x W(x)  x ~W(x)  x (A(x)  B(x))  x A(x)  x B(x)  x (A(x)  B(x))  x A(x)  x B(x)  x (A(x)  B(x))  x A(x)  x B(x)  xy W(x, y)  yx W(x, y)  xy W(x, y)  yx W(x, y) b Các phép tương đương có giới hạn Các phép tương đương sau X không xuất biểu thức C: - Disjunction  x (C  A(x))  C  x A(x)  x (C  A(x))  C  x A(x) - Conjunction  x (C  A(x))  C  x A(x)  x (C  A(x))  C  x A(x) - Implication  x (C  A(x))  C  x A(x)  x (C  A(x))  C  x A(x)  x (A(x)  C)  x A(x)  C  x (A(x)  C)  x A(x)  C c Một vài điều kiện không tương đương  x W(x)  x W(x)  x A(x)  x B(x)  x (A(x)  B(x))  x (A(x)  B(x)  x A(x)  x B(x)  x (A(x) B(x))  (x A(x)  x B(x))  yx W(x, y)  xy W(x, y) Công thức chỉnh dạng (well – formed formulas) Phạm Phú Thanh Sang Page | 30 Tốn Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ Một tên vị từ theo sau danh sách biến như: p (x, y), P tên vị từ, x y biến, gọi công thức nguyên tử a Công thức chỉnh dạng (Wff) xây dựng sau  True, False Wff  Mệnh đề biến mệnh đề Wff  Nếu A B Wff A, A  B, A  B, A  B, A B Wff  Nếu A Wff x biến xA xA Wff  Cơng thức ngun tử Wff Ví dụ 15:  x A(x) Wff  “Thủ đô Việt Nam Hà Nội” Wff  x B(x)  x R(x) Rff  x B(x) R(x), B(x) không Wff b Từ Wff sang mệnh đề Ví dụ 16: P(x) Wff: x khơng âm  Wff T, miền giá trị (1, 3, 5), (2, 4, 6) số nguyên dương Nhưng khơng cịn T miền giá trị ( 1, 3, 5), hay số nguyên âm  Nếu giả thiết Q(x,y) “x > y” x Q(x,y) nhận giá trị T hay F tùy thuộc theo biến y o Từ ví dụ ta rút kết luận sau: o Wff gọi thỏa mãn tồn giải thích làm cho T Ví dụ 17: x P(x) thỏa mãn o Wff hợp lệ với giải thích Ví dụ 18: x P(x)  x P(x) hợp lệ với P giải thich o Wff không họp lệ không thỏa mãn khơng tồn giải thích làm Wff T Phạm Phú Thanh Sang Page | 31 Toán Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ Ví dụ 19: x (P(x)  P(x)) c Sự tương đương Hai Wff Wl, W2 tương đương W1 W2 với giải thích Ví dụ 20:  x P(x) xP(x) với P  x(P(x)  Q(x)), xP(x)  xQ(x) với P, Q Quy tắc mơ hình suy diễn logic vị từ cấp  Quy tắc suy diễn (rút gọn) o Công thức sở: (A  B)  A  o Mơ hình suy diễn: A B A  Quy tắc suy diễn o Công thức sở: A  (A  B)  o Mô hình suy diễn: A AB  Quy tắc suy diễn (khẳng định) o Công thức sở: (A  (A  B))  B  o Mơ hình suy diễn: A AB B  Quy tắc suy diễn (phủ định) o Công thức sở: ((A  B)  B)  A  o Mơ hình suy diễn: AB B  A Phạm Phú Thanh Sang Page | 32 Tốn Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ  Quy tắc suy diễn (bắc cầu) o Công thức sở: ((A  B)  (B  C))  (A  C)  o Mơ hình suy diễn: AB BC AC  Quy tắc suy diễn (tam đoạn luận chuyển) o Công thức sở: (A  (A  B))  B  o Mơ hình suy diễn: A AB B  Quy tắc suy diễn (mâu thuẫn) o Công thức sở: (A1  A2   An)  B  (A1  A2  …  An  B)   o Mơ hình suy diễn: A1 A1 A2 A2 … … An An B B  0  Quy tắc suy diễn (theo trường hợp) o Công thức sở: ((A  C)  (B  C))  ((A  B)  C)  o Mơ hình suy diễn: AC BC  (A  B)  C  Quy tắc suy diễn (đặc biệt hóa phổ dụng) Nếu mệnh đề x P(x) trường M thay x phần tử a M ta mệnh đề a o Công thức sở: x P(x)  P(a)  Phạm Phú Thanh Sang Page | 33 Tốn Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ o Mơ hình suy diễn: x P(x)  P(a)  Quy tắc suy diễn 10 (tổng quát hóa phổ dụng) Cho mệnh đề x P(x) trường M Khi đó, P(a) với phần tử a trường M mệnh đề x P(x) trường M o Công thức sở: P(a)  x P(x)  o Mơ hình suy diễn: P(a) x P(x) Với a phần tử M  Quy tắc suy diễn 11 o Công thức sở: ((x)(P(x)  Q(x))  P(a))  Q(a)  1, A  M mà Q(a) o Mô hình suy diễn: (x)(P(x)  Q(x)) P(a)  Q(a)  Quy tắc suy diễn 12 o Công thức sở: ((x)(P(x)  Q(x))  (x)(Q(x)  R(x)))  (x)(P(x)  R(x))  o Mơ hình suy diễn: (x)(P(x)  Q(x)) (x)(Q(x)  R(x))  (x)(P(x) R(x))  Quy tắc suy diễn 13 o Công thức sở: ((x  M1)P(x)  (x  M2)P(x)  …  (x  Mn)P(x))  (x  M)P(x) o Mơ hình suy diễn: (x  M1)P(x) (x  M2)P(x) Phạm Phú Thanh Sang Page | 34 Tốn Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ … (x  Mn)P(x)  (x  M)P(x) Dạng chuẩn tắc công thức logic vị từ - dạng chuẩn Prenex Chuyển chuẩn Prenex: F = (x) (p(x)  (x)(y) (q(y)  r(x))) F = (x) (p(x)  (x)(y) (q(y)  r(x)))  Đổi tên biến cục bộ: F = (x) (p(x)  (z)(y) (q(y)  r(z))) F = (x)(z)(y) (p(x)  (q(y)  r(z))) Quy tắc chuyển công thức dạng Prenex - Xóa phần tử “” - Chuyển lượng từ phía trước  Chuyển dạng Prenex tuyển F = (Q1 x1) … (Qn xn) (D1  …  Dk) Dk hội nhiều mệnh đề Ví dụ 21: F = (x)(z)(y) ((p(x)  q(y))  (q(y)  r(z))) Chuyển dạng Prenex hội F = (Q1 x1) … (Qn xn) (D1  …  Dk) Dk tuyển nhiều mệnh đề Ví dụ 22: F = (x)(z)(y) ((p(x)  q(y))  (q(y)  r(z))) Giải thuật chuyển công thức dạng chuẩn Prenex hội/tuyển - Đổi tên biến - Xóa tốn tử “” dùng A  B = A  D - Di chuyển () bên trái mệnh đề - Chuyển lượng từ bên trái công thức - Dùng luật phân bố kết hợp để chuyển dạng tương ứng (hội tuyển) Phạm Phú Thanh Sang Page | 35 Tốn Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ Ví dụ 23: Cho W = x A(x)  x B(x)  C(x)  x C(x) W  y A(y)  z B(z)  C(x)  t C(t) (Đổi tên biến)   (y A(y)  z B(z))  (C(x)  t C(t))(Xóa “”)  (y A(y)  z B(z))  (C(x)  t C(t))(Di chuyển )  (y A(y)  zB(z))  (C(x)  t C(t))  yzt ((A(y)  B(z))  (C(x)  C(t))) (Di chuyển ,) 10 Luật suy diễn Tên Luật suy diễn Universal Instantiation xP(x)  P(c) c giá trị universe Universal Generalization P(c)  x P(x) P(c) T với c universe xem xét Existential Instantiation x P(x)  P(c) c universe P(c) T Existential Generalization P(c)  x P(x) c universe Negation x P(x) x P(x) Ví dụ 24: Một hóa đơn trống chưa tốn (bằng tiền mặt) cho 30 ngày Hóa đơn A chưa toán cho 30 ngày Vì việc kiểm tra trống Bạn khơng thể tốn cho hóa đơn trống Do bạn khơng thể tốn cho hóa đơn A Bây có hóa đơn mà khơng thể toán Ta đặt:  C(x): X hóa đơn + T(x): X tốn 30 ngày  V(x): X trống  S(x): X tốn  A: hóa Phạm Phú Thanh Sang Page | 36 Toán Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ Vậy ta có: (x((C(x)  T(x)) - V(x)))  T(A)  V(A) x((C(x)  V(x)  S(x))  V(A)  S(A) C(A)  S(A)  x(C(x)  S(x)) IV KẾT LUẬN Sự đời logic mệnh đề đánh dấu bước nhảy vọt phát triển logic học, chuyển từ logic học truyền thống đến logic học đại Sử dụng toàn khái niệm logic mệnh đề kết hợp với khảo sát mệnh đề từ việc phân tích thành phần mệnh đề, người ta xây dựng hàm vị từ, đồng thời đưa vào sử dụng hai logic quan trọng, lượng từ toàn thể lượng từ phận Logic vị từ khắc phục hạn chế logic mệnh đề như: thiếu việc sử dụng lượng từ toàn thể phận, khơng phân tích kết cấu mệnh đề Sự khắc phục cho phép ta sâu vào phân tích ngữ nghĩa mệnh đề, tư tưởng nói chung, mở khả nghiên cún tính chân lý tư tưởng cách sâu sắc hơn, đầy đủ Mặc dù logic mệnh đề, logic vị từ số hạn chế, chưa ứng dụng nhiều logic mờ, chưa phải đỉnh cao logic học điều mà logic mệnh đề, logic vị từ cống hiến thực to lớn, sở logic chung tư xác, đặc biệt lĩnh vực toán học, khoa học thực nghiệm, luật học, kĩ thuật điều khiến từ xa v vv Có thể nói logic mệnh đề, logic vị từ tảng logic toán học đại Phạm Phú Thanh Sang Page | 37 Tốn Cho Khoa Học Máy Tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ Tài liệu tham khảo [1] GS.TS Nguyễn Phi Khứ – Bài giảng “Logic mệnh đề logic vị từ”, Đại học Công nghệ Thông tin TP.HCM [2] Nguyễn Quang Châu, ebook “Logic vị từ”, khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM [3] Trần Thọ Châu, ebook “Logic toán”, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2007 [4] http://vi.wikipedia.org/wiki/Logic Phạm Phú Thanh Sang Page | 38 ... vực toán học, khoa học thực nghiệm, luật học, kĩ thuật điều khiến từ xa v vv Có thể nói logic mệnh đề, logic vị từ tảng logic toán học đại Phạm Phú Thanh Sang Page | 37 Tốn Cho Khoa Học Máy Tính. .. mạng khoa học - công nghệ đại, logic học (hình thức) phát triển mạnh mẽ dẫn đến hình thành loạt mơn logic học đại, logic học mệnh đề, logic học vị từ, logic học đa trị, logic học tình thái, logic. .. Sự đời logic mệnh đề đánh dấu bước nhảy vọt phát triển logic học, chuyển từ logic học truyền thống đến logic học đại Sử dụng toàn khái niệm logic mệnh đề kết hợp với khảo sát mệnh đề từ việc