Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN GIANG  TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP TÀI LIỆU LUYỆN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn thi: Tốn ( Tái lần 3, có bổ sung) (e x I 1)2 e x y dx -1 O x -1 u n(ABC ) 3z [AB, BC ] 2 4 ; 1 2 ; 4 2 2iz ( 6; 18;12) 11i ( Lưu hành nội bộ, năm 2015) Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 Lời nói đầu Tài liệu nầy tổng hợp khái quát toán liên quan đến cấu trúc đề thi thpt quốc gian mơn tốn năm 2015 Sau cấu trúc đề thi: Như ta biết Cấu trúc đề thi đại học khối A A1 B D 2015 mơn Tốn có điều chỉnh cập nhật so với với năm vừa qua Có câu bất di bất dịch khung nội dung, nhiên có câu mà khung nội dung thay đổi Nội dung cụ thể cấu trúc đề thi đại học mơn Tốn 2015 (Dùng cho bạn ôn thi khối A, A1, B khối D) Câu I (2,0 điểm) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: chiều biến thiên hàm số; cực trị; giá trị lớn nhỏ hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số; tìm đồ thị điểm có tính chất cho trước, tương giao hai đồ thị (một hai đồ thị đường thẳng) (Nhận xét: Câu câu nhi đồng tất đề thi mơn tốn khối A B D từ trước đến Có lẽ câu nhằm mục đích có điểm cho thí sinh dự thi, có quà mang Tuy nhiên có nhiều sĩ tử học sinh giỏi rơi rụng câu này, cụ thể gãy câu b.) Câu II (1,0 điểm) - Cơng thức lượng giác, phương trình lượng giác - Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ, logarit Câu III (1,0 điểm): - Tìm giới hạn - Tìm nguyên hàm, tính tích phân - Ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay Câu IV (1,0 điểm): - Số phức - Tổ hợp, xác suất, thống kê Câu V (1,0 điểm): Phương pháp tọa độ không gian: - Xác định tọa độ điểm, vectơ - Đường trịn, Mặt cầu - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách hai đường thẳng; vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu VI (1,0 điểm): Hình học khơng gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vng góc đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh hình nón trịn xoay, hình trụ trịn xoay; thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón trịn xoay, khối trụ trịn xoay; tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Câu VII (1,0 điểm): Phương pháp tọa độ mặt phẳng: - Xác định tọa độ điểm, vectơ - Đường trịn, elip - Viết phương trình đường thẳng - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 Câu VIII (1,0 điểm): Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số Câu IX (1,0 điểm): - Bất đẳng thức; cực trị biểu thức đại số - Bài toán tổng hợp Mong tài liệu giúp em rèn luyện khả giải tập tốt Chúc bạn có kỳ thi quốc gia thật nhiều bội thu Tp HCM, ngày tháng 03 năm 2015 Tác giả Phạm Văn Tuấn  Liên hệ:  DĐ: 01694556550 Email: tuanhcmute@yahoo.com Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 PHẦN 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ I KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BIỆN LUẬN NGHIỆM * Dạng bản: x 6x 9x Câu 1: Cho hàm số: y 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho 2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x Câu 2: Cho hàm số: y x4 4x 6x 9x m 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho 2) Dựa vào (C ) , biện luận số nghiệm phương trình: x Câu 3: Cho hàm số: y x (4 4x 2m x 2) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho 2) Tìm điều kiện tham số b để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x4 4x log b Câu 4: Cho hàm số y 2x x Dựa vào đồ thị hàm số (C) biện luận nghiệm phương trình 4x   2m  2015  x 1 *Chú ý: Nhắc lại dạng đồ thị sau khảo sát * Dạng nâng cao: Câu 1: Cho hàm số y =2x3 + 3(m-1)x2 + 6(m-2)x – 1) Khảo sát hàm số ứng với m = 2) Định k để phương trình: 2x3 + 3x2 + k2013 = có ba nghiệm phân biệt Câu 2: Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m (1) có đồ thị (C), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = Tìm m để phương trình sau: x4 – 2x2 + + log2m = ( m > 0) có nghiệm Câu 3: Tìm m để phương trình x  x   log12 2014m có nghiệm Câu 4: Tìm m để phương trình x  x   m2013 có nghiệm thực phân biệt 2 Câu 5: Cho hàm số y = x3 -3x2 - mx + , có đồ thị (Cm), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =1 Biện luận số nghiệm phương trình 3x3 – 9x2 -3x + 2k + =0 Câu 6: Cho hàm số y  x  x  3mx  , m tham số 3 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m=1 Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x  x  x   2m  3 x 1  m  2014 vô nghiệm x 1 Câu 7: Tìm m để phương trình II BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN x3  x  x  có đồ thị (C ), Viết phương trình tiếp tuyến biết: Câu 1: Cho hàm số y = f(x) = a) Tiếp tuyến có hồnh độ -2 b) Tiếp tuyến có tung độ c) Tiếp tuyến có hệ số góc -4 d) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (∆): -x – 9y +1 =0 e) Tiếp tuyến qua ( xuất phát, kẻ từ) điểm A ( -8; 0) f) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (∆): x + y +2015 =0 x3 Câu 2: Cho hàm số: y 6x 9x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) giao điểm (C ) với trục hoành Câu 3: hàm số: y 2x 1)x (m (m 4)x m ( m = 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) giao điểm (C ) với trục tung Câu 4: Cho hàm số y  3x  có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm x 1 đồ thị (C) với trục tung Câu 5: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f ( x)  y  x  x  điểm M (x0 ; y0 ), biết f ' ' ( x0 )  x0  Câu 6: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  đẳng thức x2 điểm có tung độ y0 thoả mãn x 1 y0   x 3x 3x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y 3x Câu 7: Cho hàm số: y 2x Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) biết tiếp tuyến có hệ x Câu 8: Cho hàm số: y số góc – x (4 Câu 9: Cho hàm số: y song với d : y 16x Câu 10: Cho hàm số 𝑦 = x ) Tìm toạ độ điểm A thuộc (C ) biết tiếp tuyến A song 2011 𝑥+2 𝑥−1 (1) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = − x √2 Câu 11: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥−2 𝑥+1 ( KA – 2014) (1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (1) giao điểm đồ thị hàm số với y = -3x - Câu 12: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 − Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M ( xM; yM) thuộc (C) biết xM < yM = Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 x Câu 13: Cho hàm số: y x Viết phương trình tiếp tuyến (C ) điểm cực tiểu III BÀI TOÁN ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN ( SỰ BIẾN THIÊN) Câu 1: Cho hàm số y  (m  1) x  mx  (3m  2) x (1) a) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến tập xác định b) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) nghịch biến tập xác định Câu 2: Cho hàm số y  x  x  mx  (1) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến khoảng (; 0) Câu 3: Cho hàm số y  x3  (1  2m) x  (2  m) x  m  Tìm m để hàm đồng biến  0;   Câu 4: Cho hàm số y  mx  Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng ( -; 1) xm * Ứng dụng biến thiên hàm số để chứng minh bất đẳng thức x3 1/ x < sinx 2/ 2x   sinx 2x , với < x ≤ /2 4/ sin x  sin x   0x IV BÀI TOÁN CỰC TRỊ Câu 1: Cho hàm số y  x  3(m  1) x  x  m , với m tham số thực Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x2 cho x1  x  Câu 2: Cho hàm số y  x  (m  1) x  3(m  2) x  , với m tham số thực Xác định m để 3 hàm số cho đạt cực trị x1, x2 cho x1  x2  Câu 3: hàm số y  x3  3x  mx  có đồ thị (Cm).Tìm m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị song song với đường thẳng d: y  4 x  x3  (m  1) x  (2m  5) x  có hai cực trị Câu 5: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 3m +4 a/ Định m để hàm số có cực đại x = b/ Định m để hàm số có cực trị tị = -1 c/ Định m để hàm số có cực tiểu x = Câu 4: Tìm m để hàm số y  Câu 6: Cho hàm số y  x  mx  Tìm m để hàm số có cực trị: 2 1) có cực trị 2) có cực trị Câu 7: Cho hàm số: y x4 (m có điểm cực trị ( Đs: m 1)x 2m (1) Tìm giá trị tham số m để hàm số (1) ) Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 Câu 8: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 − 3𝑚𝑥 + 4𝑚3 ( m tham số) có đồ thị (Cm) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x ( HKI –TG 14.15) * Dạng nâng cao: Câu 9: Cho hàm số y  x  mx  (2m  1) x  (m tham số) có đồ thị (Cm) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía trục tung Câu 10: Cho hàm số y  x3  3x  mx  (m tham số) có đồ thị (Cm) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu cách đường thẳng y  x  Câu 11: Cho hàm số y   x  (2m  1) x  (m  3m  2) x  (m tham số) có đồ thị (Cm) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung Câu 12: Cho hàm số y  x  x  mx  m – (m tham số) có đồ thị (Cm) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hồnh Câu 13: Cho hàm số y  (m  2)x  3x  mx  , m tham số.Tìm giá trị m để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có hồnh độ số dương Câu 14: Cho hàm số y  x  3mx  3(m  1) x  m  m (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ Câu 15: Cho hàm số y   x  3mx  3(1  m ) x  m3  m2 (1) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) Câu 16: Cho hàm số y  x3  3x  mx  có đồ thị (Cm).Tìm m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị song song với đường thẳng d: y  4 x  Câu 17: Cho hàm số y  x  mx  2 (1) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại Câu 18: Cho hàm số y  f ( x)  x  2(m  2) x  m2  5m  (Cm ) Tìm giá trị m để đồ thị (Cm ) hàm số có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân Câu 19: Cho hàm số y  x  3x  mx  m  (1) với m tham số thực Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn 2 x12  x2  3x1  x2   12 V BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO Câu 1: Cho hàm số: y x Tìm giá trị tham số k để đường thẳng d: y x điểm phân biệt ( Đs: k 0, k ) kx cắt (C ) Câu 2: Cho hàm số y  x  3mx  3(m  1) x  (m  1) ( m tham số) (1).Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ dương Câu 3: Cho hàm số y  x  mx  x  m  có đồ thị (Cm ) Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành 3 điểm phân biệt có tổng bình phương hồnh độ lớn 15 Câu 4: Cho hàm số y  x  3x  x  m , m tham số thực Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Câu 5: Cho hàm số y  x4  2m2 x2  m4  2m (1), với m tham số.Chứng minh đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox hai điểm phân biệt, với m  Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 VI TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHÂT – NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Câu 1: Tìm GTLN-GTNN hàm số sau a) y  x3  x  3x  [ -4 ; 0] c) y = x – sin2x   ;       b) y  x  3x  [ 0; 2] x 1 d) y = cos2x + 2sinx –   ; 5     6  Câu 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x – ln(1-2x) đoạn [-2;0] Câu 3: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y  x 2  8 x Câu 4:Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y  sin6 x  cos6 x  sin x  2013 Câu 5: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: a   y  cos x  sin x đoạn 0;   2 b y   x   x đoạn [ ; ] x2  c y  x  x 1 d y   x  x   ( x  1)(5  x)  Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  x  3x  đoạn [-3;0] Câu 7: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  f ( x)  x ln x đoạn [1 ; e2] 1  Câu 8: Tìm GTNN-GTLN hàm số sau y = x(lnx-2) đoạn  ; e  e  Câu 9: Tìm GTNN-GTLN hàm số f(x) = x – ln(1-2x) đoạn [-2;0] Câu 10: Tìm GTNN-GTLN hàm số f(x) = 2x – e2x đoạn [ -1;2] Câu 11: Tìm GTNN-GTLN hàm số y  x   x ln x đoạn [ ;2] ln x Câu 12: Tìm GTNN-GTLN hàm số y  f ( x)  đoạn [1; e3] x Câu 13: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y e x (x Câu 14: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y x 1) đoạn [0;2] x2 2x đoạn [ x 1 ;2] Câu 15: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm soá 𝑓( 𝑥) = 𝑦 = 2√ 𝑥 + √5 − 𝑥 ( CĐ 2014) Câu 16: Giải toán cực trị a Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, biết chu vi khơng đổi 16cm b tìm độ dài bán kính đáy chiều cao hình trụ có V cho trước có Stp nhỏ c Tìm kích thước hình chữ nhật có diện tích lớn nội tiếp đường trịn có bán kính R cho trước d Tìm hai số biết hiệu chúng 10 tích chúng nhỏ e Cho tam giác vng có tổng cạnh góc vng cạnh huyền a có diện tích lớn ? f Chu vi tam giác 16 cm, độ dài cạnh tam giác cm, Tính độ dài cạnh cịn lại biết diện tích tam giác lớn Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang 10 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 Dạng 6: Phương trình dạng : a( cosx  sinx ) + b sinxcosx + c = t 1 Đặt t = cosx + sinx , điều kiện   t  sinxcosx = Ta đưa phưong trình cho phương trình bậc hai theo t Chú ý : phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 1 t2 Đặt t = cosx - sinx , điều kiện   t  sinxcosx = Bài tập : Giải phương trình sau : 3(sinx + cosx ) +2sin2x + = sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = cosx –sinx – 2sin2x – = Dạng 7: Các phương trình lượng giác khác Bài 1: Giải phương trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 4/ 2cos 2x + cosx = , 5/ 2tg2x + = 3/ – 4cos2x – 9sinx = 0, , 6/ 4sin4 +12cos2x = cos x Baøi : Giải phương trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) 2/ cos 4x  cos2 x HD : đặt t =sinx ÑS : x = k3 , x=   x x x 3/ 1+ sin sinx - cos sin2x = 2cos2 (  ) 2 5 +k3 ÑS: sinx =1 v sin x = HD : đặt t = tanx , ĐS : x = -  + k  4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x 5/ 2cos 2x – 8cosx + =  +k3 , x =  4 cos x 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ÑS : x = k2 , x =   +k2 ÑS : cosx = , cos 2x = 7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang 53 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 8/ cos 3x – cos 2x = 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan x 10/ sin2x+ 2tanx = 11/ sin2x + sin23x = 3cos22x 12/ tan3( x - HD :đặt t =cos 2x  ) = tanx - ÑS : x = k v x =  + k 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – HD : Đưa PT bậc hai theo sinx 14/ sin2x + cos 2x + tanx = ÑS : x =  + k 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = Dạng 8: PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX Giải phương trình sau : 1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) 5/ sin3(x -  k ÑS : x=  + ) = sinx ÑS : x = 6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x =  +k ÑS :x =    k + k v x= + 7/ 3sin4x +5cos4x – = 8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx Dạng 9: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG Giải phương trình sau : 1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 3/ + sin3x + cos3x = 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + = sin2x 5/ sin3x – cos3x = + sinxcosx 6/ 1 10   sin x  cos x  cos x sin x 7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang 54 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 8/ + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + = sin x 9/ + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx ) Dạng 10: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÁC Giải phương trình sau: 1/ sin 2x +2cos2x = + sinx –4cosx 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 5/ sin4 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + x x + cos4 = – 2sinx 2 7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 8/ sin4x + cos4x – cos2x = – 2sin2x cos2x 9/ 3sin3x - cos 9x = + 4sin3x x  11/ sin2 (  ) tan2x – cos2 10/ x =0 cos x  sin x  sin x  cos x 12/ cotx – tanx + 4sinx = 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 15/ 5(sin x  sin x 14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x) cos3 x  sin x )  cos x   sin x 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x (2  sin 2 x)sin x 18/ tan x   cos x 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – = x 19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan ) 20/ cotx – = cos x  sin x  sin x  tan x Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang 55 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 PHẦN 8: XÁC SUẤT – GIẢI TÍCH TỔ HỢP I NHỊ THỨC NIU-TƠN Chứng minh rằng: k k k k Câu 1: C6 Cn  C6 Cn 1   C6 Cn 6  Cn6    C    C   C Câu 3:  C    C     1  C    1 C Câu 4:  C    C    C     1  C  Câu 2: Cn n n 2 n 1 n 2 n n 2 n 1 n 2n n 2 n 1 n n n n 2n n 1 n  1 Câu 5: 5n  Cn  Cn  Cn   n Cn   6n 5   n 1 n 1  0  2000 Câu 6: C2001  32 C2001  34 C2001   32000 C2001  22000 22000  Khai triển nhị thức: 10 1  Câu 1: Tìm hệ số số hạng chứa x ,  x   x  n 28   n n n Câu 2: Trong khai triển  x x  x 15  Tìm số hạng khơng chứa x biết Cn  Cn 1  Cn 2  79   n   Câu 3: Cho khai triển  x3   Biết tổng ba số hạng đầu itên khai triển 631 x   Tìm hệ số số hạng có chứa x5 II XÁC SUẤT B.Xác suất Bài 1.Chọn ngẫu nhiên quân cỗ tú lơ khơ Tính xác suất để sấp Chứa hai đôi ( hai thuộc ,hai thuộc thứ 2,con thứ thuộc khác Giải 2 Chọn hai có C13 cách ,Mỗi có C4 cách có 2 C13 C4 C4 cách có 11 cách chon Mỗi cách chọn có cách chọn có 2 C13.C4 C4 11.4   A   C52 Bài Chọn ngẫu nhiên qn Tính xác suất để sấp ó quân lập thành Liên tiếp tức (A,2-3-4-5) (2-3-4-5-6) ….(10 –J-Q-K-A) Quân A vừ quân bé Quân lớn Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang 56 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 Giải   C52 Có 10 thỏa mãn tốn Mỗi có 4.4.4.4.4=1024  A  10240 Bài Một bình đựng 16 viên bi ,7 viên bi trắng ,6 viên bi đen,3 viên bi đỏ a)    b)   c) Giải lấy ngẫu nhiên ba viên bi Tính xác suất để : Lấy viên đỏ lấy ba viên bi không đỏ Lấy bi trắng ,1 bi đen ,1 bi đỏ Lấy ngẫu nhiện viên bi Tình xác suất để Lấy đứng viên bi trắng Lấy viên bi tráng Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi Tính xác suất lấy viên bi trắng ,3 bi đen,2 bi đỏ a) * b) C 143 7.6.3 1  * 13  *  3 C16 560 C16 280 C16 40 C7 C9 21 C72C92 27  *  C16 65 C16 65 C7 C6 C32 45 c)  10 C16 286 Bài Một hộp đựng thẻ đánh số thứ tự từ 1,2…,9 rút ngẫu nhiên hai thẻ nhân hai số Trên thẻ vói Tính xác suất để ? a) Tích nhân số lẻ b) Tích nhận số chẵn Giải a) Tích số lẻ thẻ số lẻ có C52 C92  P  A  C52 C92 b) P(B) =1-P(A) Bài Một hộp đựng thẻ đánh từ 1,2,3…9 Rút ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để a) Các thẻ ghi số 1,2,3 b) Có ba thẻ ghi 1,2,3 rút c) Không có thẻ ba thẻ rút Giải a) P  A  C6 C1C C5 b) P  B   c) P  C   5 C9 C9 C9 Bài 6.Chon ngẫu nhiên số từ tập 1, 2, ,10,11 a) Tính xác suất để tổng ba số chọn 12 b) Tính xác suất để tổng ba số đực chọn số lẻ Giải Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang 57 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 a) 12=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6=2+3+7=2+4+6=3+4+5 p  A  C11 C6C52  C6 C5 C11 Bài 7.Chọn ngẫu nhiên vé số số có chữ số tư đến Tính xác suất vé khơng có b) P  B   Khơng có chữ số chữ số Giải A biến cố khơng có chữ số 1,B biến cố khơng có chữ số P  A  P  B   99999   0,9  100000 P  A  B   P  A  P  B   P  A  B    0,9    0,8 5 Bài Một người du lịch mang hộp thịt,2 hộp ,3 hộp sữa Do trười mưa hộp bị nhãn Người chọn ngẫu nhiên hộp Tính xác suất để có hộp thịt hộp sữa , hộp Giải P  A  1 C3C2C3 C8 Bài Có hai xạ thủ I xạ tám xạ thủ II Xác suất bắn trúng I 0,9 ,Xác suất II 0,8 lấy ngẫu nhiên 10 xạ thủ ,bắn viên đạn Tính xác suất để viên đạn bắn trúng đích Giải Gọi Bi biến cố “Xạ thủ chọn lọa i ,i=1,2 A biến cố viên đạn trúng đích ta có P  Bi   , P  B2   & P  A / B1   0,9 P  A / B2   0,8 10 10 Nên P  A   P  B1  P  A / B1   P  B2  P  A / B2   8   0,82 10 10 10 10 Bài 10.bốn pháo cao xạ A,B,C,D bắn độc lập vào mục tiêu Biết xác xuất bắn trúng pháo tương ứng P  A   P  B   , P  C   , P  D   Tính xác suất để mục tiêu bị bắn trúng Giải Tính xác suất mục tiêu khơng bị bắn trúng 1 1 104 PH     Vậy xác suất trúng đích P  D    105 105 105 Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang 58 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 Bài 11.Gieo súc xắc Hãy tính xác suất biến cố a) Mặt chấm xuất b) Mặt chẵn xuất c) Mặt i xuất i≤3 Bài 12.Một hộp đựng 10 viên bi có viên bi đỏ ,3 viên bi xanh,2 viên bi vàng,1 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên bi tính xác suất biến cố a) viên lấy màu đỏ b) viên bi đỏ ,1 vàng c) viên bi màu Giải   C10 A biến cố a,B biến cố b,C biến cố c a)  A  C4  P  A  C4 C10 1 b) B  C4 C2  P  B   1 C4 C2  C10 45 c) Đ biến cố viên đỏ ,X biến cố viên xanh ,V biến cố viên vàng Đ ,X,V biến cố đôi xung khắc P  C   P  D   P  X   P V   C32 10     45 15 45 Bài 13.Geo súc xắc Tính xác suất để tổng số chấm mặt Giải 9=1+2+6=2+3+4=2+2+5=1+3+5=1+4+4=3+3+3 (1,2,6) Có 3! ,(1,3,5) Có 3! (2,3,4) có 3! ,(1,4,4) có (2,2,5) có (3,3,3) có  A      1  25&   6.6.6 216 Vậy P  A  A 25   0,1157  216 Bài 14 Gieo lần liên tiếp xúc xắc a) Tính xác suất biến cố “ Tổng số chấm xuất khơng nhỏ 16” b) Tính xác xuất để tổng số chấm nhỏ 16 Giải a)A biến cố “Tổng số chấm xuất không nhỏ 16” Tổng số chấm nhỏ 16 có nghĩa tổng số chấm 16,17,18 16=6+5+5=6+6+4 có 17=6+6+5 có 18=6+6+6 có   6.6.6  216 &  A 10  P  A   10  216 108 Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang 59 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 c) Biến cố E “Tổng số chấm nhỏ 16” A E hai biến cố đối 103 P  E   1  108 108 Bài 15.Gieo hai xúc xắc cách vơ tư.Tính xác suất biến cố “Các mặt xuất có số chấm nhau” Bài 16 Hai người bắn vào mục tiêu cách độc lập Xác suất trúng đích người thứ 0,6 người thứ 0,7 Tính xác suất để a) Cả hai người bắn trúng b) Mục tiêu bị bắn người Giải a) Gọi A biến cố nười thứ bắn trúng đích ,B iến cố người thứ hai bắn trúng đích H biến cố hai người bắn trúng đích H=AB P  H   P  A P  B   0,6.0,7=0,42 b) G biến cố người bắn trúng mục tiêu G  ( A  B) ( A  B)  ( A  B)     P  G   P A  B  P A  B  P  A  B   0,6.0,3  0, 4.0,7  0,6.0,7  0,18  0, 28  0, 42  0,88 Bài 17 Gieo ngẫu nhiên đồng xu Tính xác suất để hai đồng xu lật ngửa SNNN ,SNSN ,SNNS ,SNSS SSNN ,SSSN ,SSNS,SSSS NNNN,NNSN,NNNS,NNSS NSNN ,NSSN ,NSNS,NSSS   16,  A  11 Bài 18 Gieo ngẫu nhiên xúc xắc lần Tính xác suất để số lớn hay xuất lần lần gieo Giải A biến cố số lớn hay bẳng chấm lần gieo A xảy ,con xúc xắc xuất mặt ,chấm chấm ta có P  A    1 Trong lần gieo Xác suất để biến cố A xảy lân P  A A A A A A     3 Xác suất để lần xuất A lần không xuất A theo thứ tự 5 1   12   Vì có cách để biến cố xuất ,    3   729 12   13 Vậy xác xuất để A xuất lần    729   729 Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang 60 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 Bài 19 Một người bắn liên tiếp vào mục tiêu viên đạn trúng mục tiêu (các Phát súng độc lập ) Biết xác suất trúng mục tiêu lần bắn 0,6 Tính xác suất để bắn đến viên thứ ngừng bắn Giải Gọi Ai biến cố trúng đích lần thứ H biến cố bắn lần thứ ngừng H  A1  A2  A3  A4 P  H   0, 4.0, 4.0, 4.0,  0, 0384 Bài 20.Từ hộp đựng viên bi màu trắng viên bi đỏ Tính xác suất để lấy hai viên bi màu Giải   C10 A biến cố lấy viên bi trắng  A  C32 B biến cố lấy viên bi đỏ  B H biến cố lấy hai viên bi màu H  A  B P  H   P  A  P  B   C32  C7 C10 Bài 21 Hai cầu thủ sút phạt đền Mỗi nười đá lần với xác suất làm bàm tương ứng 0,8 0,7 Tính xác suất để có cầu thủ làm bàn Giải A bến cố cầu thủ thứ làm bàn B cầu thủ thứ hai lam bàn   H biến cố cầu thủ làm bàn H  ( A  B)  A  B   A  B  P  H   0,8.0,3  0, 2.0,7  0,8.0,7  0, 24  0,14  0,56  0,94 Bài 22 Gieo đồng xu đối xứng đồng chất Tính xác suất để có có mặt sấp xuất Giải B biến cố “ Có đồng sấp xuất hiện ”     2.2.2   B   P B  1  P  B  1  8 Bài 23 Từ hộp chứa viên bi màu trắng viên bi màu đen lấy ngẫu nhiên viên bi Tìm xác suất để lấy viên bi mau trắng viên bi mau đen Giải Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang 61 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015   C8  A  C32C5  P  A  C3C52 15  C8 56 Bài 24.Ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi Mỗi đề thi có câu Một học sinh học thuộc 80 câu Tính xác suất để học sinh rút ngẫu nhiên đề thi có câu học thuộc Giải Chọn câu làm đề   C100 Chọn  A  C80C20  P  A  C80C20 C100 Bài 26.Một phịng có 40 thí sinh xếp vào 20 bàn ,Mỗi bàn có đủ học sinhTính xác suất để Hai học sinh A B ngồi bàn Giải Chọn hai học sinh để xếp vào 20 bàn có   C40 Xếp học sinh vào bàn có P  A  20 có cách chọn A B có 20 cách C40 Bài 27.Gieo hai xúc xắc vơ tư Tính xác suất biến cố “Tổng số chấm hai mặt 6” Giải   6.6  36 A biến cố tổng số chấm hai mặt  A  1,1 , 1,  , 1,3 , 1,  ,  2,  ,  2,3  ,  10   A  26  P  A   26 13  36 18 Bài 28 Cho ba hộp giống ,mỗi hộp bút khác mầu sắc Hộp thứ :Có bút mầu đỏ,2 bút mầu xanh ,2 bút mầu đen Hộp thứ hai : Có bút mầu đỏ ,2 mầu xanh ,3 mầu đen Hộp thứ ba : Có bút mầu đỏ ,1 bút mầu xanh ,1 bút mầu đen Lấy ngẫu nhiên hộp ,rút hú họa từ hộp bút a) Tính xác suất để hai bút mầu xanh b) Tính xác suất hai bút khơng có mầu đen Giải a) Ai biến cố rút hộp thứ i ,i=1,2,3 P  Ai   A biến cố rút hộp thư i A  A1  A2  A3   C7 P  A1    P  A2  , P  A3   B biến cố bi mầu xanh C7 Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang 62 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015  1 P  B    2     C7  63 b)C biến cố “Hai bút chọn mầu đen có Cách chọn hộp Chọn hơp A1 Có P  A1   C52 C2 C2 , P  A2   , P  A3   2 C7 C7 C7  C  C4  C62  31 Vậy có P  C     3 C72  63 Bài 29.Xác suất sinh trai lần sinh 0,51 Tìm suất cho lần sinh Có trai Giải A biến cố ba lần sinh có trai A xác suất lần sinh toàn giái Bi biến cố lần thứ i sinh giái (i=1,2,3) A  B1  B2  B3   P  A   P A   P  B1  P  B2  P  B3     0, 49   0,88 Bài 30 Có thẻ ghi số từ đến Trên thẻ số thẻ khác ghi số khác Chon ngẫu nhiên đồng thời hai thẻ Tính xác suất tích hai thẻ chọn số chẵn Giải   C92 Để tích số chẵn có thẻ chẵn thẻ lẻ Hoặc thẻ chẵn A biến cố chọn thẻ số chẵn B biến cố chon thẻ số lẻ C biến cố tích số chẵn C   A  B    A  A P  C   P  A  B   P  A  A  1 C4 C5  C4 =26/36 C92 Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang 63 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 PHẦN 9: HÌNH HC GII TCH OXY Cõu 1: Trong mặt phẳng tọa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(2;1) , B(1; 2) , trọng tâm G tam 27 giác nằm đờng thẳng x y Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam gi¸c ABC b»ng Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y  = Tìm tọa độ đỉnh B C, biết điểm E(1; 3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A  1;  đường thẳng  d  : x  y   Tìm đường thẳng (d) hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông C AC  3BC A  2;1 Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng  d1  : x  y   0,  d2  : x  y   Tìm B   d1  , D   d2  C cho ABCD hình vng Câu 5: Trong mp với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giac PQR có đường cao hạ từ đỉnh P d: 2x+y+3=0 đường phân giác góc Q d': x-y=0 PQ qua điểm I(0;-1) RQ=2IQ Viết phương trình đường thẳng PR Câu 6: Trong mặt phẳng toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) đường thẳng :  : x  y   Tìm  hai điểm A B đối xứng qua I(2;5/2) cho diện tích tam giác ABC bằng15 ( Tài liệu ôn kỹ phần Oxy đính kèm) PHẦN 10: HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x   ( y  2011)(5  y )  y (1) Câu 1:  (2)  y ( y  x  2)  3x   x  y  xy   Câu 2:   x 1  2y 1    x3  y  Câu 3:  2  x y  xy  y   x  y   x  4( y  1) Câu 4:  2  x  y  xy  9 y (3x  1)  125 Câu 5:  2 45x y  75x  y (1) (2) (1) (2) 3 x  y  x  y  Câu 6:  x  y  x  y   (1) (2) PHƯƠNG PHÁP: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Loại 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang 64 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 - Hệ phương trình đại số chứa ẩn số x,y gọi hệ phương trình đối xứng loaị Nếu ta thay đổi vị trí x y phương trình hệ khơng thay đổi x  y  Ví dụ:  đối xứng laọi Cách giải: Tính S=x+y P=x.y Rồi dùng phương trình X2 x  y4   –SX+P=0 *Áp dụng: Giải hệ phương trình sau:  x  y 3 x  y  a  Giải: Ta có  2 ( x  y )  xy  x  y  … Đs: (1;2) ; (2;1)  x  y  yx  / b  2  x y  xy  / Đs: (2;1/2); (1/2;2) Loại 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI - Hệ phương trình đại số chứa ẩn số x,y gọi hệ phương trình đối xứng loại Nếu ta thay đổi vị trí x y phương trình hệ thay đổi Thì phương trình biến thành bình phương hệ thống Ví dụ áp dụng: x3   y a   y   2x Loại 3: HỆ PHUƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP - Hệ phương trình đẳng cấp: hệ phương trình đẳng cấp có dạng sau:  ax  by  cxy  d * Cách giải: đặt ẩn số phụ y = kx (nếu x≠0) x=ky (nếu y≠0) Thế vô  2 a' x  b' y  c' xy  d ' hệ để giải k suy x,y Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang 65 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 ĐỀ THI THỬ SỐ 1: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN GIANG ĐỀ THI TH Û LẦN 1THPT QUỐC GIA 2015 TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu ( 2,0 điểm) Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 + 3𝑥 , có đồ thị (C) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) Từ suy đồ thị 𝑦 = |𝑥| (3 𝑥 − 2|𝑥| + 3) Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ điểm A(3;0) Câu ( 1,0 điểm) 𝜋 Tính tích phân sau: ∫02 𝑠𝑖𝑛𝑥 ln(1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥) 𝑑𝑥 Giải phương trình sau: 2𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 − 2) + 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 − 4)2 = Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 𝑠𝑖𝑛3𝑥 − √3 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 Một lô hàng có 50 sản phẩm, có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng Tính xác suất để có phế phẩm sản phẩm lấy Câu ( 1,0 điểm) Thực hiệân phép tính 𝑧 = 3−4𝑖 4−𝑖 + (1 + 𝑖)10 từ tính |𝑧| Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 − treân [−4; 0] Câu (1,0 điểm) Trong khơng gian Oxyz , cho A(0;1;2), B( 2; 1; 2),C (2; 3; 3) Chứng minh ABC tam giác vng Tính diện tích tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng (ABC) Xác định toạ độ điểm D qua điểm B đồng thời vng góc với mặt phẳng cho tứ diện ABCD tích 14 Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AC = BC = a, góc A’B mặt phẳng (ACC’A’) 300 Gọi M trung điểm A’B Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ M đến mặt phẳng (A’BC) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB Biết điểm N(4; 2) thuộc đoạn CD thỏa mãn DN = 2NC Gọi M điểm đoạn BC cho BC = 4BM Tìm tọa độ điểm A biết phương trình đường thẳng AM : x 2y 18 0 Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau (x + 1)(𝑦 + 1) + = (𝑥 + 𝑥 + 1)(𝑦 + 𝑦 + 1) { 𝑥 + 3𝑥 + (𝑥 − 𝑦 + 4)√𝑥 − 𝑦 + = Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang 66 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 Caâu (1,0 điểm) Cho số thực x,y,z thoả mãn điều kiện x y z CMR : 9x 3x y z 9y y 3x z 9z 3z y 3x x 3y 3z Heát Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………………………… …… ; Số báo danh: ………………… Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang 67 ... tuanhcmute@yahoo.com Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học.. .Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015 Lời nói... )4 dx (TNTHPT năm 2006– 2007) (TNTHPT năm 2007– 2008) 1 Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015 Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang 23 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015