Đang tải... (xem toàn văn)
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (bài giảng giải tích 11) ================================================= HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (bài giảng giải tích 11) ================================================= HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (bài giảng giải tích 11) ================================================= HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (bài giảng giải tích 11) ================================================= HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (bài giảng giải tích 11) ================================================= HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (bài giảng giải tích 11)
1 HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC Chơng I HàM Số LƯợNG GIáC Và PHƯƠNG TRìNH LƯợNG GIáC BàI HọC 1: HàM Số LƯợNG GIáC A. Tóm tắt lí thuyết 1. Hàm số y = sinx a) TXĐ: D = R (Vì lấy bất kỳ giá trị nào của x, thay vào hàm số ta đều tính đợc y) Tập giá trị [ -1 ; 1 ] (Vì các giá trị tính đợc của y chỉ nằm trong đoạn [ -1 ; 1 ], nghĩa là 1 sinx 1 ) b) Hàm y = sinx là hàm số lẻ (Vì x D x D và sin(-x) = - sinx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O). Chu kỳ T = 2 (Vì sin(x 2 ) sinx+ = - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm 2 thì giá trị hàm số trở về nh cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ 2 - tính chất này giúp vẽ đồ thị đợc thuận tiện) c) Bảng biến thiên trên đoạn [ ] ; (trên 1 chu kỳ) d) Đồ thị hàm số Chú ý ! Nhờ tính chất tuần hoàn, ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = sinx trên R có dạng sau: (Ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên 1 đoạn có độ dài 2 , rồi tịnh tiến phần đồ thị vừa vẽ sang trái, phải các đoạn có độ dài 2 ;4 ;6 ; thì ta sẽ đợc toàn bộ đồ thị. *Nhận xét: + Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng ( k.2 ; k.2 ) 2 2 + + + Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ( k.2 ; k.2 ) k Z 2 2 + + + Có thể vẽ đồ thị hàm số y = sinx bằng cách khác nh sau: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ trên R, tuần hoàn với chu kỳ 2 . Do đó muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = sinx trên R, ra chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [ ] 0; (nửa chu kỳ) sau đó lấy đối xứng qua gốc tọa độ O ta đợc đồ thị trên đoạn [ ] ; (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu đợc sang trái, sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài 2 ;4 ;6 ; Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email: ng.huubien@gmail.com 2 2 0 10 -1 0y = sinx 0x 2 2 2 HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC 2. Hàm số y = cosx a) TXĐ: D = R (Vì lấy bất kỳ giá trị nào của x, thay vào hàm số ta đều tính đợc y) Tập giá trị [ -1 ; 1 ] (Vì các giá trị tính đợc của y chỉ nằm trong đoạn [ -1 ; 1 ], nghĩa là 1 cosx 1 ) b) Hàm y = cosx là hàm số chẵn (Vì x D x D và cos(-x) = cosx: đồ thị đối xứng qua trục tung Oy ). Chu kỳ T = 2 (Vì cos(x 2 ) cos x+ = - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm 2 thì giá trị hàm số trở về nh cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ 2 - tính chất này giúp vẽ đồ thị đợc thuận tiện: ) c) Bảng biến thiên trên đoạn [ ] ; (trên 1 chu kỳ) d) Đồ thị hàm số Chú ý ! Nhờ tính chất tuần hoàn, ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = cosx trên R có dạng sau: (Ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên 1 đoạn có độ dài 2 , rồi tịnh tiến phần đồ thị vừa vẽ sang trái, phải các đoạn có độ dài 2 ;4 ;6 ; thì ta sẽ đợc toàn bộ đồ thị. *Nhận xét: + Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng ( k.2 ;k.2 ) + + Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng (k.2 ; k.2 ) k Z + + Ta thấy sin(x ) cos( x) cos x 2 + = = nên đồ thị hàm số y = cosx có thể vẽ bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx sang trái một đoạn có độ dài 2 Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email: ng.huubien@gmail.com 2 2 -1 01 0 -1 y = cosx 0x 1 -1 2 2 2 0 3 HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC + Ngoài ra, có thể vẽ đồ thị hàm số y = cosx bằng cách khác nh sau: Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên R, tuần hoàn với chu kỳ 2 . Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = cosx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [ ] 0; (nửa chu kỳ), sau đó lấy đối xứng đồ thị qua trục Oy ta đợc đồ thị trên đoạn [ ] ; (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu đợc sang trái, sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài 2 ;4 ;6 ; 3. Hàm số y = tanx a) TXĐ: D R \ k / k Z 2 = + (Vì cos x 0 ) Tập giá trị: R b) Hàm y = tanx là hàm số lẻ (Vì x D x D và tan(-x) = - tanx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O). Chu kỳ T = (Vì tan(x ) tan x+ = - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm thì giá trị hàm số trở về nh cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ ) c) Bảng biến thiên trên đoạn [ ] ; (2 chu kỳ) Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email: ng.huubien@gmail.com 4 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC d) §å thÞ hµm sè 2 π - - π 0 +∞ −∞ y x t Giáo viên: Nguyễn Hữu Biển – Email: ng.huubien@gmail.com −π 2 π − 2 π π 0 00 y = tanx 0x +∞ +∞ −∞ −∞ 5 HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC *Nhận xét: + Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng ( k. ; k. ) k Z 2 2 + + + Hàm số không có khoảng nghịch biến. + Mỗi đờng thẳng vuông góc với trục hoành, đi qua điểm ( k. ;0) 2 + gọi là 1 đờng tiệm cận của đồ thị hàm số y = tanx (Đồ thị hàm số nhận mỗi đờng thẳng x k. 2 = + làm 1 đờng tiệm cận) + Có thể vẽ đồ thị hàm số y = tanx bằng cách nh sau: Hàm số y = tanx là hàm số lẻ trên R \ k / k Z 2 + , tuần hoàn với chu kỳ . Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn 0; 2 (nửa chu kỳ), sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O ta đợc đồ thị trên đoạn ; 2 2 (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu đợc sang trái, sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài ;2 ;3 ; Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email: ng.huubien@gmail.com 6 HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC 4. Hàm số y = cotx a) TXĐ: { } D R \ k / k Z= (Vì sin x 0 ) . Tập giá trị: R b) Hàm y = cotx là hàm số lẻ (Vì x D x D và cot(-x) = - cotx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O). Chu kỳ T = (Vì cot(x ) cot x+ = - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm thì giá trị hàm số trở về nh cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ ) c) Bảng biến thiên trên đoạn [ ] ; (2 chu kỳ) d) Đồ thị hàm số *Nhận xét: + Hàm số y = tanx nghịch biến trên mỗi khoảng (k. ; k. ) k Z + + Hàm số không có khoảng đồng biến biến. + Đồ thị hàm số nhận mỗi đờng thẳng x k. = làm 1 đờng tiệm cận + Có thể vẽ đồ thị hàm số y = tanx bằng cách nh sau: Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email: ng.huubien@gmail.com 2 2 y = cotx 0x + 0 + 0 2 - - 0 + y x t 0 2 3 2 2 2 y x 7 HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC Hàm số y = tanx là hàm số lẻ trên { } R \ k / k Z , tuần hoàn với chu kỳ . Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn 0; 2 (nửa chu kỳ), sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O ta đợc đồ thị trên đoạn ; 2 2 (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu đợc sang trái, sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài ;2 ;3 ; B. Giải toán I/ Vấn đề 1: Tìm tập xác định của hàm số lợng giác Phơng pháp + Hàm số y = sinx có TXĐ: D = R + Hàm số y = cosx có TXĐ: D = R + Hàm số y = tanx có TXĐ: D R \ k / k Z 2 = + (Vì cos x 0 ) + Hàm số y = cotx có TXĐ: { } D R \ k / k Z= (Vì sin x 0 ) Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau 2 5cos x sinx 7 a) y= 1 sinx + 2 cos x sinx 2 b) y= cos x + Hớng dẫn a) Hàm số 2 5cos x sinx 7 y= 1 sinx + xác định khi 1 sinx 0 sinx 1 x k.2 (k Z) 2 + Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email: ng.huubien@gmail.com 8 HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC Vậy TXĐ: D R \ k.2 ,k Z 2 = + b) Hàm số 2 cos x sinx 2 y= cos x + xác định khi cos x 0 x k. (k Z) 2 + Vậy TXĐ: D R \ k. ,k Z 2 = + Bài 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau a) 1 sinx y 1 cos x + = b) 2 1 cos x y cos x = Hớng dẫn a) Vì 1 s inx 0+ và 1 cos x 0 với mọi x nên 1 s inx 0 1 cos x + với mọi x thỏa mãn điều kiện 1 cos x 0 . Vậy hàm số 1 sinx y 1 cos x + = xác định khi 1 cos x 0 hay cos x 1 x k.2 . Vậy TXĐ: { } D R \ k.2 ,k Z= b) Vì 1 cos x 0 và 2 cos x 0 với mọi x nên 2 1 cos x 0 cos x với x thỏa mãn điều kiện cos x 0 x k. 2 + . Vậy TXĐ: D R \ k. ,k Z 2 = + Bài 3: Tìm tập xác định của các hàm số sau a) x 3 y 2 sin 3x 3cos x 2 + = + + b) 2x 2x y sin 5cos x 3 2x 1 = + Hớng dẫn a) Hàm số x 3 y 2 sin 3x 3cos x 2 + = + + xác định x 2 0 x 2 . Vậy TXĐ: { } D R \ 2= b) Hàm số 2x 2x y sin 5cos x 3 2x 1 = + xác định x 3 x 3 0 1 2x 1 0 x 2 + . Vậy TXĐ: 1 D R \ 3; 2 = Bài 4: Tìm tập xác định của các hàm số sau a) y t anx c otx= + b) y tan(2x ) 4 = + Hớng dẫn a) tanx xác định khi và chỉ khi x k. ,k Z 2 + , cotx xác định khi và chỉ khi x k. ,k Z . Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email: ng.huubien@gmail.com 9 HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC Vậy y t anx c otx= + xác định khi và chỉ khi x k. k. (k Z) hay x (k Z) 2 2 x k. + . TXĐ: k. D R \ ,k Z 2 = b) y tan(2x ) 4 = + xác định khi và chỉ khi k. 2x k. hay x (k Z) 4 2 8 2 + + + . Vậy TXĐ: k. D R \ ,k Z 8 2 = + Bài 5: Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) x y x x + = b) y x x= + + c) tgx y x + = + d) y tgx g x = + ữ Hớng dẫn a) Biểu thức x y x x + = có nghĩa khi và chỉ khi: x x x k Vậy tập xác định của hàm số là: { } D R k k = Ơ b) Do ( ) ( ) x x x x+ + = + + + > Do đó hàm số y x x= + + đợc xác định với mọi x . Vậy tập xác định của hàm số là: D R= c) Biểu thức tgx y x + = + có nghĩa khi và chỉ khi: x k x k x k x x k + + + + Vậy tập xác định của hàm số là: D R k k = + Ơ d) Biểu thức y tgx g x = + ữ có nghĩa khi và chỉ khi : x k x k x k x k + + + Vậy tập xác định của hàm số là: D D A B = với A x x k = + và B x x k = + . II/ Vấn đề 2: Tìm chu kỳ của hàm số lợng giác Phơng pháp + Hàm số y = sinx và y = cosx tuần hoàn với chu kỳ T 2= Mở rộng: Hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kỳ: 2 T a = + Hàm số y = tanx và y = cotx tuần hoàn với chu kỳ T = Mở rộng: Hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) tuầ Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email: ng.huubien@gmail.com 10 HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC n hoàn với chu kỳ T a = Bài 1: Chứng minh hàm số y = f(x) = sin2x tuần hoàn với chu kỳ T = , tức là: f(x ) f(x), x (*)+ = và T = là số dơng nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (*) Hớng dẫn HS y = f(x) = sin2x có TXĐ: D = R. x D , ta có: f(x ) sin 2(x ) sin(2x 2 ) sin 2x f(x)+ = + = + = = . Giả sử có số 0 T sao cho: 0 0 T< < và 0 f(x T ) f(x), x+ = . Cho x 4 = , ta đợc: 0 0 sin 2( T ) sin 2. sin( 2T ) sin 1 4 4 2 2 + = + = = 0 0 2T k.2 (k Z) T k. (k Z) 2 2 + = + = . Điều này trái với giả thiết 0 0 T< < Nghĩa là T = là số dơng nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện f(x T) f(x), x+ = . Vậy y = sin2x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = . Bài 2: Tìm chu kỳ của các hàm số sau a) 2 y 2 sin 3x= b) 2 y 4cos (5x ) 6 = + Hớng dẫn a) 2 y 2 sin 3x 1 cos6x= = . Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2 T 6 3 = = b) 2 y 4cos (5x ) 2 2cos(10x ) 6 3 = + = + + . Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2 T 10 5 = = Bài 3: Tìm chu kỳ của các hàm số a) y tan(3x 2)= b) y cot( 5x ) 4 = + Hớng dẫn a) y tan(3x 2)= là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T 3 = b) y cot( 5x ) 4 = + là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T 5 5 = = III/ Vấn đề 3 + Xét tính chẵn , lẻ . + Sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số lợng giác + Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lợng giác Phơng pháp Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email: ng.huubien@gmail.com [...]... GIC + Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D Hàm số f gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc D, ta có x cũng thuộc D (D là tập đối xứng) và f(-x) = f(x) + Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D Hàm số f gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc D, ta có x cũng thuộc D (D là tập đối xứng) và f(-x) = -f(x) + Ta có: 1 sin(ax + b) 1, x R 1 cos(ax + b) 1, x R Bài 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số a) y... a) Hàm số y = sin 2 x sin 2x có TXĐ: D = R Ta có x D x D x D, f( x) = sin 2 ( x) sin( 2x) = sin 2 x sin 2x = f(x) Vậy y = f(x) = sin 2 x sin 2x là hàm số lẻ b) Hàm số y = f(x) = x D, f( x) = c otx có TXĐ: D = R \ { k / k Z} Ta có x D x D 1 + cos 2 x cot( x) c otx = = f(x) Vậy f(x) là hàm số lẻ 2 1 + cos ( x) 1 + cos 2 x Bài 3: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, vẽ đồ thị của hàm số. .. ng.huubien@gmail.com 15 HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC BàI HọC 2: PHƯƠNG TRìNH LƯợNG GIáC I/ Các phơng trình lợng giác cơ bản A Tóm tắt lí thuyết Các phơng trình lợng giác cơ bản là các phơng trình có dạng: sinx = a; cosx = a; tanx = a; cotx = a 1 Phơng trình sinx = a a) Nếu a > 1 : Phơng trình vô nghiệm x = + k.2 b) Nếu a 1 : Đa phơng trình về dạng: sinx = sin (k Z) x = + k.2 * Các... 3sin x 2 là hàm số không chẵn cũng không lẻ c) Gọi f ( x ) = sin x cos x , hàm số có tập xác định D = R 1 3 ta có: f = sin cos = ữ 6 6 6 2 2 6 1 3 + Lấy x = ta có: f = sin cos = ữ ữ ữ 6 2 2 6 6 6 Suy ra: f ữ f ữ và f ữ f ữ 6 6 6 6 Vậy hàm số y = sin x cos x là hàm số không chẵn cũng không lẻ d) Gọi f ( x ) = sin x cos 2 x + tgx Hàm số có tập xác... x + sin 2 x Hớng dẫn a) Hàm số y = f(x) = x + cos5x có TXĐ: D = R Ta có x D x D x D, f( x) = x + cos(5x) = x + cos5x = f(x) Vậy f(x) là hàm số chẵn b) Hàm số y = f(x) = 3 cos x + sin 2 x có TXĐ: D = R Ta có x D x D x D, f( x) = 3cos( x) + sin 2 ( x) = 3 cos x + ( s inx) 2 = 3 cos x + sin 2 x = f(x) Vậy f(x) là hàm số chẵn Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số a) y = sin 2 x sin 2x... cos 2x + sin 2x = 2m 3 2 2 2 Phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi: ( 3) 2 ( + 12 2m 3 ) 2 32 m 2 Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = 3+2 2 cos x 2 sin x 2 sin x Hớng dẫn Vì 2 sin x 0 với mọi x nên hàm số đã cho có TXĐ: D = R Giả sử y 0 là một giá trị của hàm số, khi đó phải tồn tại x R sao cho: y 0 = cos x 2 sin x 2 sin x Nghĩa là phơng trình sau phải có nghiệm: cos x +... + k vào phơng trình (1) để xem nó có phải là nghiệm của phơng 2 trình không - Với x + k (Tức là cos x 0 ) Chia 2 vế của phơng trình (1) cho cos 2 x ta đợc phơng 2 trình: a tan 2 x + b tan x + c = 0 + Cách 2 Đa về phơng trình bậc nhất theo sin2x và cos2x bằng cách dùng các công thức: (1)sin 2 x = 1 cos 2x 1 + cos 2x 1 (2) cos 2 x = (3)sinxcosx= sin 2x 2 2 2 B Giải toán Bài 1: Giải phơng trình: ... x + = + k 2 x = + k 2 3 3 3 Vậy hàm số có GTLN là 5 và GTNN là 1 b) Hàm số: y = 1 sin ( x 2 ) 1 có tập xác định là D = R Với mọi x R ta luôn có: 1 1 sin ( x 2 ) 1 2 1 1 y 2 1 2 2 *) y = 2 1 xảy ra khi: sin ( x ) = 1 x = + k 2 ( k 1) 2 *) y = 1 xảy ra khi: sin ( x 2 ) = 1 x 2 = + k 2 ( k 0 ) 2 Vậy: hàm số có GTLN là 2 1 và GTNN là 1 c) Hàm số y = 4sin x có tập xác định là D... x , hàm số có tập xác định D = R Với mọi x R , ta có: x R f ( x ) = 2sin ( x ) = 2sin x = f ( x ) Vậy y = 2sin x là một hàm số lẻ Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email: ng.huubien@gmail.com 12 HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC b) Gọi f ( x ) = 3sin x 2 , hàm số có tập xác định D = R Lấy x = ta có: f ữ = 1 và f ữ = 5 2 2 2 Suy ra: f ữ f ữ và f ữ f ữ 2 2 2 2 Vậy hàm số y... Phơng trình đối xứng và phơng trình phản xứng A Tóm tắt lí thuyết 1) Phơng trình đối xứng: a(sinx + cosx) + b.sinxcosx + c = 0 (1) Phơng pháp Đặt t = sinx + cosx 2 Khi đó t = 2 sin x + ;t 2; 2 và t 2 = 1 + 2 sin x cos x sin x cos x = t 1 ữ 4 2 2 Thay vào (1) ta đợc: at + b t 1 + c = 0 bt 2 + 2at + (2c b) = 0 2 Giải phơng trình bậc hai này theo t với điều kiện: 2 t 2 4 Rồi sau đó giải