Đang tải... (xem toàn văn)
Một bài toán có nhiều cách giải, nhưng ta phải chọn một cách tiếp cận, một cách giải hợp lí nhất. Để tiến tới cách giải hay nhất đôi khi phải trải qua quá trình thử sai nhiều cách giải, hoặc kết hợp nhiều phương pháp giải khác nhau. Quá trình này không hề đơn giản, đòi hỏi người giải toán phải nắm vững kiến thức cơ bản và có hướng đi đúng cho từng bài toán cụ thể. Mỗi phương pháp đều có cái hay và thế mạnh riêng đối với một lớp bài toán nhất định. Trong đề tài này chúng tôi trình bày “Nghiên cứu hướng giải quyết bài toán chứng minh bằng phương pháp phản chứng ở bậc THPT” hướngĐây là phương pháp hay dùng trong lập luận toán học, thể hiện sự chặt chẽ, lý luận hợp lôgic của người giải toán. Điều quan trọng của phương pháp này là tìm ra mệnh đề phủ định của điều cần chứng minh, từ đó dẫn đến sự vô lý với giả thiết bài toán hay mâu thuẫn với kiến thức toán học đã biết. Trong quá trình nghiên cứu các bài toán giải bằng phương pháp phản chứng, chúng tôi phân thành các dạng sau: 1. Suy luận và loại trừ. 2. Sự vô lý suy ra từ những kiến thức đã biết. 3. Sự vô lý suy ra từ giả thiết bài toán.
1|Page LỜI GIỚI THIỆU Một tốn có nhiều cách giải, ta phải chọn cách tiếp cận, cách giải hợp lí Để tiến tới cách giải hay đơi phải trải qua q trình thử sai nhiều cách giải, kết hợp nhiều phương pháp giải khác Q trình khơng đơn giản, địi hỏi người giải tốn phải nắm vững kiến thức có hướng cho tốn cụ thể Mỗi phương pháp có hay mạnh riêng lớp toán định Trong đề tài chúng tơi trình bày “Nghiên cứu hướng giải toán chứng minh phương pháp phản chứng bậc THPT” hướngĐây phương pháp hay dùng lập luận toán học, thể chặt chẽ, lý luận hợp lôgic người giải tốn Điều quan trọng phương pháp tìm mệnh đề phủ định điều cần chứng minh, từ dẫn đến vơ lý với giả thiết toán hay mâu thuẫn với kiến thức toán học biết Trong q trình nghiên cứu tốn giải phương pháp phản chứng, phân thành dạng sau: Suy luận loại trừ Sự vô lý suy từ kiến thức biết Sự vô lý suy từ giả thiết tốn Trong giới hạn cho phép chúng tơi đưa số tốn đặc trưng cho dạng số đề tham khảo tương ứng Đề tài chưa nêu hết 2|Page hay đầy đủ dạng toán phương pháp phản chứng Bài tập đưa thể phần cho dạng nêu Những kinh nghiệm đưa rút từ thân nên cịn nhiều thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy bạn MỞ ĐẦU I.Tên đề tài: 3|Page Tên đề tài: “Những toán chứng minh phương pháp phản chứng phổ thông” Người thực hiện: Sv Mai Vũ Huy Sv Nguyễn Thị Thúy Lam II Lý chọn đề tài: Phương pháp phản chứng phương pháp hay, vận dụng để giải nhiều toán phổ thông Nhưng SGK số lượng tập giải phương pháp khơng nhiều Trong q trình giảng dạy, giáo viên thường trọng đến phương pháp phản chứng việc giải tốn Chúng tơi chọn đề tài “ Những toán chứng minh phương pháp phản chứng phổ thông” với mong muốn bạn sinh viên sư phạm học sinh thấy hay quan trọng phương pháp giải tốn phổ thơng Từ đó, vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng phổ biến giải tốn THCS III Mục đích đề tài: Chúng nghiên cứu đề tài nhằm đánh giá số lượng toán áp dụng phương pháp chứng minh phản chứng SGK Ngoài ra, việc nghiên cứu tập tài liệu khác nhằm thể hay quan trọng phương pháp việc giải toán phổ thông IV Đối tượng phạm vi nghiên cứu: 4|Page Đối tượng nghiên cứu: Những toán chứng minh phương pháp phản chứng Phạm vi nghiên cứu: - Bộ SGK 6, 7, 8, - Một số sách tham khảo khác V Nhiệm vụ đề tài: Tìm hiểu sở lơgic phương pháp chứng minh phản chứng Phân loại toán chứng minh phương pháp chứng minh phản chứng thành dạng Nghiên cứu tập SGK 6, 7, 8, chứng minh phương pháp phản chứng số tập sách tham khảo khác Khai thác số tốn, dự đốn sai lầm học sinh mắc phải rút số kinh nghiệm cho bạn sinh viên sư phạm VI Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu lý luận: *Phương pháp đọc sách nghiên cứu tài liệu a Mục đích: Chúng tơi sử dụng phương pháp nhằm tìm hiểu sở lôgic phương pháp chứng minh phản chứng b Cách tiến hành: Chúng tiến hành đọc sách, tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài này, chúng liệt kê phần “ Tài liệu tham khảo” 5|Page Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: a Mục đích: Chúng tơi sử dụng phương pháp nhằm tìm hiểu mức độ vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng việc giải tốn phổ thơng b Cách tiến hành: Nghiên cứu toán cụ thể SGK 6, 7, 8, số sách tham khảo khác chương trình THCS 6|Page CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÔGIC CỦA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG I Cơ sở lôgic: Dựa vào hiểu biết lơgic mệnh đề Trong sử dụng phép liên kết lôgic chủ yếu * Phép liên kết lôgic gì? Phép liên kết lơgic hay cịn gọi phép tốn lơgic, cho phép từ mệnh đề sơ cấp cho trước xây dựng mệnh đề ngày phức tạp Các phép liên kết bao gồm: Phép phủ định ( ) Phép tuyển ( ∨ ) Phép hội ( ∧ ) Phép kéo theo ( ⇒ ) *Phương pháp chứng minh phản chứng mơ tả q trình lập luận sau: Cần chứng minh mệnh đề A ⇒ B Để chứng minh A ⇒ B đúng, ta xây dựng giả thiết : A đúng, A ⇒ B sai Bởi A ⇒ B sai, mà A nên B phải có giá trị sai nghĩa B Từ B thông qua số phép biến đổi tương đương dẫn đến A 7|Page Từ giả thiết qua trình lập luận ta có A A đồng thời đúng, dẫn đến mâu thuẫn Điều chứng tỏ giả thiết B sai Vậy B Hay A ⇒ B (điều phải chứng minh) II Các bước suy luận phản chứng: Phương pháp chứng minh phản chứng sử dụng nào? Gặp toán khẳng định hệ thức đúng, khẳng định nghiệm phương trình, hệ phương trình bất đẳng thức… đại số, hình học, số học người ta hay dùng phương pháp phản chứng Các bước suy luận phản chứng: Bước 1: Giả sử điều cần chứng minh sai ( phủ định lại mệnh đề cần chứng minh ) Bước 2: Từ điều giả sử ta suy số tính chất quan hệ mới, mà tính chất mâu thuẫn với điều cho trái với tính chất ta biết Bước 3: Ta kết luận điều giả sử ban đầu sai Vậy toán chứng minh •Chú ý: Trong hai bước suy luận phản chứng nêu trên, bước quan trọng cần tạo mệnh đề phủ định điều cần chứng minh phải xác III Tìm mệnh đề phủ định điều cần chứng minh: Tìm mệnh đề phủ định: * C ác dạng mệnh đề: 1.1 Mệnh đề tồn tại: 8|Page Một mệnh đề ký hiệu P(x) xác định miền X Mệnh đề tồn thường có dạng: Tồn x ∈ X cho T(x) Hay thường viết: ∃ x∈ X: T(x) Mệnh đề tồn có mệnh đề mệnh đề sai Ví dụ: • Mệnh đề tồn đúng: “ Tồn số thực x cho x chia hết cho 3.” x ≡∃ x ∈ R: (1) • Mệnh đề tồn sai: “ Tồn số thực x nghiệm phương trình x 2+x+1= 0.” ≡∃ x0∈ R: x02 +x0 +1= (2) 1.2.Mệnh đề tổng quát: Một mệnh đề ký hiệu P(x) xác định miền X Mệnh đề tổng quát thường có dạng: Với số thực x thuộc X cho T(x). Hay thường viết: ∀x∈ X, T(x) Mệnh đề tổng quát có mệnh đề mệnh đề sai Ví dụ: • Mệnh đề tổng qt sai: “Với số thực x chia hết cho 3.” x ≡ ∀x ∈ R, 3 (3) • Mệnh đề tổng quát đúng: 9|Page “Với số thực x khơng nghiệm phương trình: x2+x+1= 0.” ≡ ∀x ∈ R, x2+x+1≠ (4) * Phủ định mệnh đề tồn mệnh đề tổng quát: • ( ∃ x∈ X: T(x)) ≡ ∀x∈ X, T(x) • ( ∀x∈ X, T(x)) ≡ ∃ x∈ X: T(x) Như hai mệnh đề (∀x∈ X, T(x))và (∃ x∈ X: T(x)) phủ định Ví dụ: • Mệnh đề phủ định (1) là: “Với số thực x x khơng chia hết cho 3.” ≡ ∀x ∈ R, x khơng chia hết cho • Mệnh đề phủ định (2) (4) Mệnh đề phủ định điều cần chứng minh: Ở phần ta xét số ví dụ cụ thể quan tâm đến việc lập mệnh đề phủ định Ví dụ 1: Chứng minh với số tự nhiên n, ta có n5 - n chia hết cho Mệnh đề cần chứng minh: ∀n ∈N, n5 - n chia hết cho Mệnh đề phủ định điều cần chứng minh: ∃n ∈N: n5 - n không chia hết cho Ví dụ 2: Chứng minh không tồn số nguyên m, n cho : m2 – n2 =2002 Mệnh đề cần chứng minh: (∃m, n ∈Z: m2-n2 = 2002) 10 | P a g e Mệnh đề phủ định điều cần chứng minh: ∃ m, n ∈Z: m2-n2=2002 10 31 | P a g e III Dạng 3: Sự vô lý suy từ giả thiết toán Bài tập 1: Cho x số hữu tỷ khác 0, y số vô tỷ Chứng tỏ x+y x.y số vô tỷ (Bài 115 trang 19 Sách tập tập I) 1.1 Lời giải: Giả sử x + y =z số hữu tỷ Ta có: y = z - x Nhưng hiệu hai số hữu tỷ số hữu tỷ hay z - x = y số hữu tỷ Điều trái với giả thiết y số vô tỷ Vậy x + y số vô tỷ Giả sử x.y = z số hữu tỷ Ta có: y = z : x Nhưng thương số hữu tỷ số hữu tỷ số hữu tỷ hay z : x = y số hữu tỷ Điều trái với giả thiết y số vô tỷ Vậy x.y số vô tỷ Bài tập 2: Cho góc nhọn xOy, tia Ox lấy hai điểm A A’ Trên tia Oy lấy điểm B Lấy điểm C thuộc miền góc xOy Qua A’ kẻ đường song song với AB cắt Oy B’ Đường thẳng song song với AC kẻ qua A’ cắt đường thẳng song song với BC kẻ qua B’ C’ Chứng minh ba đường AA’, BB’, CC’ đồng quy 2.1 Phân tích tìm lời giải: 31 32 | P a g e Từ giả thiết toán AA’ BB’ cắt O Muốn giải toán ta cần CC’ qua O Để làm điều ta giả sử CC’ giao với Ox điểm O’ khác O Qua trình lập luận ta điều vô lý Nên O’ trùng O, hay AA’, BB’ CC’ đồng quy O 2.2 Lời giải: y B z B ' O C ' Góc nhọn xOy, C A, A’∈ Ox, B∈ Oy, GT C thuộc miền góc xOy, A ' A AB//A’B’(B’∈ Oy),AC//A’C’, x BC//B’C’ KL AA’, BB’, CC’ đồng quy Ta có: AB//A’B’ AC//B’C’ AC//A’C’ Suy ra: ∆ ABC ∼ ∆A’B’C’ Vậy ta được: (1) AB AC = A' B ' A' C ' OA OB = O' A' O' B' 32 33 | P a g e Vì AB//A’B’ nên (2) Giả sử CC’ giao Ox điểm O’ khác O Vì AC//A’C’ nên (3) OA AC = O' A' A' C ' OA O ' A = OA' O ' A' Từ (1), (2), (3) suy ra: (4) Áp dụng tính chất dãy tỷ số cho (4) ta được: OA − OA' O ' A − O ' A' = OA' O' A' hay A' A A' A = OA' O ' A' (5) Suy OA’ = O’A’ Hai điểm O O’ nằm phía A’ tia Ox Kết hợp với (5) ta suy O trùng O’ Hay CC’ qua O Vậy AA’, BB’, CC’ đồng quy O 1.3 Khai thác: Ta giữ lại giả thiết toán thay đổi cách hỏi: Chứng minh ba điểm O, C, C’ thẳng hàng Chứng minh tỷ số AA' BB ' CC ' = = AO BO CO 33 34 | P a g e Ta thay đổi giả thiết để có tốn mới: Bài 1: Cho góc nhọn xOy, cạnh Ox lấy hai điểm A A’ Trên Oy lấy điểm B Lấy C thuộc miền góc xOy Qua A’ kẻ A’B’ song song với AB (B’∈ Oy), kẻ A’C’ song song với AC (C’∈ OC) Chứng minh B’C’ song song với BC Bài 2: Cho góc nhọn xOy.Tia Oz nằm góc xOy.Trên cạnh Ox lấy hai điểm A A’ Trên Oy lấy hai điểm B B’ Trên Oz lấy hai điểm C C’ Gọi H, T, L giao điểm cặp cạnh AB A’B’; AC A’C’; BC B’C’ Chứng minh H, T, L thẳng hàng 1.3 1.3.1 Bài học kinh nghiệm: Sai lầm học sinh: - Trong chứng minh học sinh lệ thuộc vào trực quan nên nhiều học sinh xem CC’ qua O mà chứng minh toán dễ dàng - Từ biểu thức (4) học sinh suy O trùng O’ 1.3.2 Chú ý giảng dạy - Hướng dẫn học sinh vẽ hình cách xâm nhập vào tốn để tìm hướng giải - Làm cho học sinh thấy đâu giả thiết cho đâu yêu cầu cần chứng minh toán - Cần ý nhiều tới sai lầm hay mắc phải học sinh.Ví dụ cụ thể từ (4), nhiều học sinh suy O trùng O’, người dạy nên cho học sinh thấy 34 35 | P a g e được: Để chứng minh O trùng O’ ta cần O’A = OA O’A’ = OA’ Nhận thấy (4) tỷ lệ thức nên sử dụng tính chất tỷ lệ thức dãy tỷ số Bài tập 3: Cho tam giác ABC có góc A>900 Chứng minh khơng thể có đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhọn vừa đường phân giác góc 3.1 Phân tích tìm lời giải: B ∆ABC, góc A>90 GT A AM = MC ( M∈ AC) C M KL ∧ ∧ ∧ B1 ≠ B2 Muốn ∧ B1 ≠ B2 ta có cách sau: - Số đo hai góc (1) - Sử dụng quan hệ cạnh góc tam giác ( thơng qua góc trung gian ) (2) - Giả sử B1 = B2 ta chứng minh điều giả sử vô lý 35 (3) 36 | P a g e Nhận thấy cách (1) không phù hợp ta chứng minh cho tam giác Nếu áp dụng cách giải (2) ta cần phải tạo góc hai góc nằm tam giác với góc cịn lại ( hai góc ta xét nằm hai tam giác khác ) Với giả thiết đề cho cách làm phức tạp, đơi bế tắc u cầu tốn gợi cho ta nghĩ đến việc chứng minh phương pháp phản chứng Tức giả sử BM vừa trung tuyến, vừa phân giác tam giác ABC điều vô lý 3.2 Lời giải: 36 37 | P a g e Vì ∆ ABC có Â >90 nên BC > AB Trên BC lấy D cho BD = BA Giả sử BM phân giác góc B B Xét hai tam giác ABM DBM có: D BM: cạnh∧ chung, ∧ ABM = DBM , A BA = DB M C Suy : ∆ABM = ∆DBM ( c.g.c) Suy : AM = DM, Mà AM = MC nên MD = MC ∧ ∧ MDC = MCD Vậy ∆ DMC cân M, hay ∧ ∧ (1) ABM = DBM (vì ∆ABM = ∆DBM ) Mặt khác: Ta có: ∧ (2) ∧ BDM + MDC = 180 ( hai góc kề bù ) ∧ ∧ BAM + ACB = 180 Kết hợp (1) (2) ta Điều vô lý ABC tam giác Vậy BM khơng thể phân giác góc B.( điều phải chứng minh ) 3.3.Khai thác: 37 38 | P a g e - Giữ nguyên giả thiết toán thay đổi cách hỏi sau: Chứng minh khơng thể có đường phân giác xuất phát từ đỉnh góc nhọn vừa trung tuyến góc - Bài toán áp dụng với tam giác vng - Xây dựng tốn mới: Bài tốn: Chứng minh tam giác có đường trung tuyến vừa phân giác xuất phát từ đỉnh tam giác cân đỉnh Lời giải: A Giả sử tam giác ABC khơng cân A Khơngmất tính tổng quát xem AC > AB Trên AC lấy D cho AB = AD Gọi L giao điểm BD AH L B ( với AH đường trung tuyến ) Xét hai tam giác ABL ALD có: AL: cạnh chung, ∧ ∧ LAD = LAB, AB = AD Suy : ∆ABL = ∆ADL (c.g.c ) Suy : BL = DL Trong ∆BDC có: BL = DL, 38 H D C 39 | P a g e BH= HC Nên HL đường trung bình ∆ BDC Suy HL // DC hay AH // AC (vô lý) Vậy tam giác ABC cân A 3.4 Bài học kin nghiệm: 3.4.1 Sai lầm học sinh: - Học sinh thường chứng minh sau: ∆ABC vừa có đường trung tuyến đường phân giác nên ∆ABC cân B (1) Mặt khác ∆ABC có Â > 900 nên BC > AB (2) Từ (1) (2) ta suy điều vô lý *Người dạy cần lưu ý cho học sinh điều (1) nêu toán phải chứng minh ( trình bày trên) khơng thể suy - Học sinh thường nhầm lẫn chứng minh sau: A Xét hai tam giác ABM ACM ta có: AM : cạnh chung, ∧ ∧ BAM = CAM , BM = CM B M Suy ∆ABM = ∆ACM (c.g.c ) 39 C 40 | P a g e 3.4.2 Chú ý giảng dạy: Trong trình giảng dạy người dạy cần phải: - Đối với sai lầm thứ nhất, người dạy phải yêu càu học sinh chứng minh điều vừa kết luận để sai học sinh - Đối với sai lầm thứ hai, người dạy vẽ hình ý cho học sinh vị trí góc cạnh tương ứng trường hợp tam giác Một số tập khác: Bài 1: Cho a b hai số nguyên tố Chứng minh a a + b nguyên tố Hướng dẫn: Giả sử a a+b không nguyên tố Như tồn số p, q1, q2 thuộc Z thỏa: a = p.q1 (1) a+b = p.q2 (2) Từ (2) ta được: b = p.q2 – a = p.q2 –p.q1 (kết hợp (1)) = p.( q2 – q1) = p.q (3) Từ (1) (3) ta kết luận a b không nguyên tố Trài với giả thiết 40 41 | P a g e Bài 2: Cô giáo chủ nhiệm phân phối 102 tập cho 50 em học sinh lớp 6A Chứng minh có em nhận nhiếu hai tập Hướng dẫn: Giả sử không học sinh nhận nhiều hai tập Như tối đa có 100 tập cho 50 học sinh Trong giáo viên cần phân phối 102 tập Điều vô lý p q Bài 3: Cho phân số p+q q tối giản Chứng minh phân số tối giản Hướng dẫn: Tham khảo Bài 4: Chứng minh : Nếu độ dài cạnh tam giác thỏa mãn bất đẳng thức a2 + b2 > 5c2 c độ dài cạnh nhỏ tam giác Hướng dẫn: Giả sử c cạnh nhỏ tam giác Khơng tínhư tổng qt, giả sử a ≤ c, a2 ≤ c2 Theo bất đẳng thức tam giác, ta có b< a+c nên b2 < (a+c)2 Do a ≤ c nên (a + c)2 ≤ 4c2, suy b2 ≤ 4c2 Từ ta có a2 + b2 ≤ 5c2 Điều trái với giả thiết Vậy c cạnh nhỏ tam giác 41 42 | P a g e Bài 5: Tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH, trung tuyến BI, phân giác CK cắt ba điểm phân biệt D, E, F Tam giác DEF tam giác hay không? Hướng dẫn: Giả sử DEF tam giác ∧ Ta có: F = 60 ⇒ C1 = 30 ∧ HAC = 30 Suy ra: BI ⊥ AC Vậy tam giác ABC Suy D, E, F trùng Điều trái với giả thiết 42 43 | P a g e KẾT LUẬN Đề tài viết theo chương trình THCS, dùng cho học sinh, sinh viên sư phạm việc nhiên cứu tham khảo Nó bổ ích việc hình thành khả tư duy, lý luận chặt chẽ toán học ngành khoa học khác Chứng minh toán phương pháp phản chứng dạng toán hay giúp ta giải toán với tính đắn thấy mà cách chứng minh khác làm Trong đề tài, đưa sở lý thuyết, phân loại dạng toán với đề xuất, học rút trình nghiên cứu toán Ngoài ra, có tổng hợp phân loại cho khối lớp THCS Tuy nhiên, đề xuất, mở rộng mang tính cá nhân nên nhiều hạn chế Cuối cùng, chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp bổ ích, với khích lệ, động viên tinh thần thầy cô, đặc biệt thầy hướng dẫn Nguyễn Chính, thầy Tạ Quang Sơn Nha Trang, ngày 07 tháng 05 naêm 2006 43 44 | P a g e TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hồng Xn Sính (chủ biên), Tập hợp lôgic, Nhà xuất giáo dục, năm 1999 [2] Nguyễn Hữu Điển, Những phương pháp điển hình giải tốn phổ thơng, Nhà xuất giáo dục [3] Nguyễn Vĩnh Cận, Phương pháp chứng minh hình học, Nhà xuất giáo dục [4] Vũ Dương Thụy (chủ biên), Thực hành giải toán, Nhà xuất giáo dục [5] Vũ Dương Thụy (chủ biên), Toán nâng cao chuyên đề hình học 7, Nhà xuất giáo dục, năm 2005 [6] Trần Diên Hiển, Các toán suy luận lôgic, Nhà xuất giáo dục, năm 2001 [7] Nguyễn Vĩnh Cận, Tốn hình học nâng cao THCS, Nhà xuất Đại học Sư phạm, năm 2003 [8] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Sách giáo khoa tậpI, tập II, Nhà xuất giáo dục,năm 2003 [9] Tôn Thân (chủ biên), Sách tập tập I, Nhà xuất giáo dục, năm 2003 [10] Tôn Thân (chủ biên), Sách tập tập I, Nhà xuất gióa dục, năm 2003 [11] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Sách giáo khoa tập I, tập II, Nhà xuất giáo dục, năm 2003 [12] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Sách tập tập II, Nhà xuất giáo dục, năm 2003 44 45 | P a g e [13] Nguyễn Vũ Thanh (Chủ biên), Số học, Nhà xuất giáo dục [14] Vũ Hữu Bình, Nâng cao phát triển tốn tập I, tập II, Nhà xuất giáo dục, năm 2005 [15] Vũ Hữu Bình, Nâng cao phát triển tốn tập I, tập II, Nhà xuất giáo dục, năm 2005 45 ... VI Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu lý luận: *Phương pháp đọc sách nghiên cứu tài liệu a Mục đích: Chúng tơi sử dụng phương pháp nhằm tìm hiểu sở lôgic phương pháp chứng minh phản. .. pháp chứng minh phản chứng Phân loại toán chứng minh phương pháp chứng minh phản chứng thành dạng Nghiên cứu tập SGK 6, 7, 8, chứng minh phương pháp phản chứng số tập sách tham khảo khác Khai... nghiên cứu: Những toán chứng minh phương pháp phản chứng Phạm vi nghiên cứu: - Bộ SGK 6, 7, 8, - Một số sách tham khảo khác V Nhiệm vụ đề tài: Tìm hiểu sở lơgic phương pháp chứng minh phản chứng