1 GIỚI THIỆU Ngay từ thời cổ đại, con người đã băn khoăn với những câu hỏi cơ bản về tự nhiên, về xã hội, về tri thức, về văn hóa Đó là những câu hỏi rất cơ bản, rất nền tảng, gọi là những câu hỏi triết học. Ngày nay các Triết gia vẫn phải hỏi và trả lời những câu hỏi nền tảng đó. Họ tìm câu trả lời bằng nhiều cách khác nhau. Trong đó, một số người tin rằng, có thể dùng phương pháp toán học để trả lời các câu hỏi này và rút ra các kết luận một cách rõ ràng. Các khái niệm của triết học vì thế cũng có thể được phân tích bởi các khái niệm và mô hình của Toán học. Nếu triết học nghiên cứu về sự vận động và phát triển của sự vật và hiện tượng thì toán học nghiên cứu về những đối tượng và các tính chất bất biến của nó. Điều đó cho thấy rằng toán học và triết học có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Bài luận này phân tích mối liên hệ giữa triết học và toán học một cách khái quát, ngắn gọn, được tổng hợp, tóm tắt dựa trên một số tài liệu, kết quả nghiên cứu của những người đi trước. Bài tiểu luận được thực hiện trong thời gian ngắn nên còn nhiều thiếu xót. Tiểu luận được chia làm ba phần: - Phần I: Vai trò của triết học đối với sự phát triển của toán học. - Phần II: Vai trò của toán học đối với sự phát triển của triết học. - Phần III: Kết luận mối quan hệ giữa triết học với toán học. 2 PHẦN I: VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI SỰ PHÁT TRIỂN CỦA TOÁN HỌC Mỗi khoa học có thế giới quan và phương pháp luận riêng. Toán học được xem là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình dạng và logic trong thế giới khách quan hay là khoa học nghiên cứu vế cấu trúc số lượng mà người ta có thể trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề. Triết học là khoa học về những quy luật chung nhất của sự vận động, phát triển của tự nhiên, xã hội và tư duy. Sau đây ta sẽ minh họa vai trò thế giới quan và phương pháp luận của triết học duy vật biện chứng đối với việc nghiên cứu toán học thể hiện ở các nguyên lý, một số quy luật và cặp phạm trù cơ bản. 1. Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến: Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến giúp cho các nhà toán học thấy rõ mối liên hệ, tác động qua lại của tất cả các khái niệm, định lý, công thức toán học. Chúng không tồn tại một cách độc lập mà liên hệ chặt chẽ, thống nhất, bổ sung cho nhau. Nhìn ở một khía cạnh nhỏ nào đó, chẳng hạn việc định nghĩa một khái niệm, chứng minh một định lý đều phải dựa trên các khái niệm, định lý đã có từ trước; giải một bài tập hình học đôi khi cũng cần phải sử dụng các phép tính của đại số, các hàm số lượng giác… Toán học càng phát triển, tất cả các chuyên ngành của toán học càng gắn bó khăng khít, liên thông với nhau đến mức thật khó phân biệt ranh giới giữa chúng. Ví như, sự xuất hiện ngành tôpô đại số - hình học, hình học vi phân là sự liên thông của hình học với các ngành giải tích, đại số… Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến đòi hỏi chúng ta phải có một quan điểm toàn diện khi nghiên cứu toán học. Quan điểm này phải được nhận thức, vận dụng bất kỳ lúc nào. Khi giải một bài toán hình học, phải nhìn một điểm, một đường thẳng trong mối liên hệ với các điểm, đường thẳng khác trong sự thống 3 nhất với cả hình vẽ. Khi xét một bài toán có thể dùng tất cả các phương pháp của đại số, hình học, lượng giác trong mối liên hệ thống nhất để tìm ra lời giải tổng hợp… 2. Nguyên lý về sự phát triển: Nguyên lý về sự phát triển cho chúng ta thấy rằng sự phát triển một lý thuyết toán học hay cả lĩnh vực toán học nói chung là một tiến trình khách quan, không phụ thuộc ý muốn cá nhân nào. Đó là quá trình giải quyết những mâu thuẫn nảy sinh trong bản thân nội bộ toán học và giải quyết những nhu cầu của thực tiễn. Nguyên lý về sự phát triển đòi hỏi chúng ta phải có quan điểm lịch sử cụ thể trước các vấn đề toán học. Chẳng hạn, nhiều học sinh sau khi được đọc nội dung và cách chứng minh định lý Pythagore, định lý về tổng ba góc trong của một tam giác thì thấy quá đơn giản và coi thường nó. Nhưng kì thực, việc phát minh ra chúng ở cái thời đại của ông quả thật là vĩ đại và đã được áp dụng đến tận ngày nay. 3. Quy luật thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập: Thực tiễn cuộc sống là vô cùng đa dạng và đặt ra vô số vấn đề cần giải quyết mà những kiến thức toán học ở từng thời kỳ chưa cho phép giải quyết ngay được. Mâu thuẫn giữa lý luận toán học và thực tiễn cuộc sống là động lực thúc đẩy toán học phát triển để đáp ứng nhu cầu của cuộc sống. Vô số mẩu chuyện lịch sử có thể chứng minh điều này. Ví dụ, nhu cầu phân chia lại ruộng đất sau mỗi trận lũ của sông Nil (Ai Cập) đã thúc đẩy hình học phát triển; nhu cầu so sánh các tập hợp như tập hợp người lao động với tập hợp các công cụ lao động đã làm nảy sinh ra phép đếm; nhu cầu nghiên cứu cơ học đã làm nảy sinh ra phép tính vi phân; nhu cầu nghiên cứu đỏ đen trong canh bạc đã làm nảy sinh bộ môn xác suất… Trong một số trường hợp, động lực thúc đẩy cho lý luận toán học phát triển là mâu thuẫn trong nội bộ lý luận. 4 Sự ra đời của hình học Lobasepxki xuất phát từ băn khoăn của Lobasepxki về việc tại sao loài người trải qua hơn 2000 năm đeo đuổi việc chứng minh tiên đề V của Euclide mà vẫn thất bại nên ông có nghi vấn: “Hay là tiên đề Euclide không phải là hệ quả logic của các tiên đề khác?”. Nghiên cứu của ông trước hết là nhằm sáng tỏ nghi vấn trên. Số ảo cũng ra đời từ mối băn khoăn tại sao những phương trình bậc 3 có 3 nghiệm rõ ràng như 3 0xx nhưng nếu giải bằng phương pháp Cacdano lại dẫn đến một phương trình bậc 2 vô nghiệm thực 2 1 0. 27 x  Nếu cứ theo logic ấy, dựa theo quy luật mâu thuẫn, có thể dự đoán rằng rồi sẽ có những lý thuyết nảy sinh từ mối băn khoăn rằng tại sao phương trình Diophante n n n x y z lại không có nghiệm khi n > 2 ? Như vậy là, quy luật mâu thuẫn, hạt nhân của phép biện chứng đã thể hiện tính đúng đắn của nó ngay trong toán học. Mâu thuẫn chính là nguồn gốc, động lực phát triển toán học. Quy luật mâu thuẫn cũng đã góp phần thay đổi thế giới quan và định hướng phương pháp luận cho các nhà toán học. Họ thấy rõ sự thống nhất biện chứng giữa những khuynh hướng phát triển khoa học trái ngược nhau (chẳng hạn đặc biệt hóa và khái quát hoá), những trường hợp khác nhau (chẳng hạn n 4 và n > 4 )… để tìm ra con đường giải quyết mâu thuẫn, thúc đẩy sự phát triển tiến lên của toán học. 4. Quy luật phủ định của phủ định: Đây là quy luật phát triển vô cùng phổ biến của tự nhiên, lịch sử và tư duy. Nó vạch ra xu hướng tất yếu đi lên của mọi sự vận động, phát triển cũng như vạch ra xu hướng phát triển toán học. Engen đã đánh giá tầm quan trọng của quy luật phủ định của phủ định đối với khoa học tự nhiên: “Vậy phủ định của phủ định là cái gì? Là quy luật phát 5 triển của tự nhiên, của lịch sử và của tư duy vô cùng phổ biến và chính vì vậy mà có một tầm quan trọng và một ý nghĩa vô cùng lớn, một quy luật có giá trị đối với động vật và thực vật, đối với địa chất học, toán học, lịch sử…” 1 Engen đã mô tả quy luật phủ định của phủ định trong toán học: “Hãy lấy một số đại số nào đó, ví dụ a chẳng hạn, phủ định nó đi thì ta có a . Phủ định cái phủ định này đi bằng cách nhân a với a thì ta sẽ có 2 a , tức là số dương như trước nhưng ở bậc cao hơn, ở lũy thừa bậc hai. Bởi vì cái phủ định bị phủ định đã gắn rất chặt trong 2 a khiến cho 2 a trong mọi trường hợp đều có 2 số căn bậc hai tức là a và a và việc không thể gạt bỏ cái phủ định bị phủ định, không thể gạt bỏ số căn âm chứa trong bình phương ấy có một ý nghĩa rất rõ rệt trong các phương trình bậc hai” 2 Quy luật phủ định của phủ định chỉ rõ xu hướng phát triển của toán học. Toán học trải qua những lần phủ định liên tiếp trong đó quá trình phủ định biện chứng xảy ra khách quan trên cơ sở kế thừa những nền toán học đã có từ trước và những phát minh toán học ra đời không phải là sự phủ định sạch trơn mà trên cơ sở những phát minh, những kết quả đã có từ lâu của các nhà toán học tiền bối. Quy luật của phủ định của phủ định cũng cho chúng ta thấy rằng trong quá trình phủ định một kết quả toán học, chúng ta phải biết kế thừa có chọn lọc, tiếp thu những cái tích cực của chúng để mở rộng, phát triển lên. 5. Cặp phạm trù bản chất - hiện tượng: Bản chất là phần cơ bản nhất, sâu xa nhất, bền vững nhất trong nội dung. Bản chất có ý nghĩa quyết định đối với sự vật nghĩa là bản chất không còn thì sự vật không còn là nó nữa mà thành một sự vật khác. Ví dụ khi nói về nội dung của hình học thì những tính từ đi theo hai chữ “hình học” như “Ơclit”, “Lôbasepki” nói lên bản chất của hình học mà ta đang đề 1 C. Mác và Ph. Engen: Toàn tập, Nhà xuất bản Chính trị Quốc gia, Hà Nội, năm 1004, tập 20, trang 200 2 www.marxists.org Engen chống Duyhring, phần 13 Biện chứng phủ định cái phủ định 6 cập đến. Cái làm nên bản chất đó là tiên đề Ơclit hay là tiên đề Lôbasepki. Nếu bỏ tiên đề Ơclit đi thì hình học Ơclit ko còn nữa. Hoặc khi nói về nội dung của đại số thì tính từ “tuyến tính” chẳng hạn cũng nói lên bản chất của đại số mà ta đang đề cập đến. Cái làm nên bản chất đó chính là tính chất:           j u v j u j v j ku kj u          ur ur ur ur ur ur (k là số thực) của các phép biến đổi  mà ta xét trong đó. Mất tính chất này thì đại số không còn là đại số tuyến tính nữa. Hiện tượng là sự biểu hiện ra bên ngoài của bản chất. Hiện tượng cũng là hình thức nhưng là hình thức có tính chất đặc trưng, bền vững, chỉ mất đi khi bản chất không còn. Ví dụ, hình học Ơclit có thể biểu hiện ra bên ngoài bằng định lý “Tổng các góc trong một tam giác bằng 180 o ” hay bằng định lý Pitago đối với tam giác vuông; những định lý đó sẽ không còn đúng nữa nếu ta phủ định tiên đề Ơclit. Theo quan điểm triết học, bản chất là tổng hợp những mặt, những mối liên hệ tất nhiên, tương đối ổn định bên trong sự vật, quy định sự vận động và phát triển của sự vật còn hiện tượng là biểu hiện ra bên ngoài của bản chất. Sự thống nhất giữa bản chất và hiện tượng còn thể hiện ở chỗ bản chất và hiện tượng về căn bản là phù hợp với nhau. Như vậy, quan điểm đúng đắn này cũng được thể hiện rõ trong toán học Về mặt phương pháp luận, cặp phạm trù này cho chúng ta nhận thức rằng, muốn nhận thức bản chất các khái niệm, định lý trong toán học phải xuất phát từ các hiện tượng, phân tích, tổng hợp sự biến đổi của nhiếu hiện tượng, nhất là hiện tượng điển hình. Tuy vậy, không thể dựa hoàn toàn các hiện tượng mà kết luận về bản chất của sự vật. Không thể dựa vào một mệnh đề đúng với n 1, 2, 3 7 thậm chí đến n 1000 mà quy nạp mệnh đề đúng n , không thể thử một vài giá trị và thấy hàm số gần số 0 mà kết luận hàm số có giới hạn là 0 PHẦN II:VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ PHÁT TRIỂN CỦA TRIẾT HỌC Ở thời kì cổ đại, toán học mới chỉ ở giai đoạn toán học sơ cấp mộc mạc và cùng với nó là triết học duy vật thô sơ, chất phác. Những kiến thức toán học mới chỉ là những phát kiến rời rạc, hầu như chưa có hệ thống đang hòa lẫn trong kho tàng các kiến thức triết học. Đó là hình học của Euclide, là những kiến thức về đại số (số thực, số phức, cách giải phương trình bậc 3, bậc 4, dùng công cụ logarit để tính toán gần đúng), về số học (số nguyên tố, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, phương trình Diophante), lượng giác. Lúc này triết học và toán học gắn bó tới mức khó phân biệt ranh giới giữa chúng. Các nhà triết gia cũng đồng thời là các nhà toán học: Thales, Pythagore, Zenon…Những tư tưởng, quan niệm toán học đã ảnh hưởng đến thế giới quan triết học của các ông, dù còn nhiều hạn chế nhưng ít nhiều chứa đựng những quan điểm duy vật biện chứng khá sâu sắc. Ở thời kỳ đầu này, toán học đã góp phần hình thành cơ sở của logic hình thức nhờ vậy tư duy có lập luận chính xác, chặt chẽ. Điều đó góp phần hình thành nên các nguyên tắc của tư duy khoa học, ví dụ từ quan hệ ab và bc suy ra ac . Toán học từ chỗ “toán học kinh nghiệm” tức là mới dừng lại ở đong, đo trực tiếp hoặc ước lượng bằng kinh nghiệm đã tiến lên trình độ lý luận. Hình học xuất hiện lý luận về so sánh hình dựa trên sự so sánh một số đoạn thẳng hay góc nào đó, quy tắc tính diện tích, thể tích một số hình đơn giản. Đại số xuất hiện các công thức, phương trình để tìm các ẩn số theo các số đã biết. Tuy những lý luận này mới chỉ hạn chế ở chỗ phát hiện ra những mối liên hệ có tính quy luật (được phát biểu bằng các định lí, các công thức) trong những sự vật, hiện tượng tĩnh tại, 8 riêng lẻ nhưng đây cũng là bước tiến rất lớn từ cái đơn nhất, ngẫu nhiên lên cái phổ biến, tất nhiên. Cũng ở thời kỳ này, những thành tựu của số học, hình học cũng đã tạo ra mối liên hệ đầu tiên với những quan niệm của phép biện chứng. Chẳng hạn, mối quan hệ giữa số thực và số ảo, giữa vô hạn và hữu hạn… Như vậy là, toán học đã có những đóng góp nhất định vào sự hình thành và phát triển một số yếu tố biện chứng, tuy chỉ dừng lại ở việc góp phần hình thành và củng cố thế giới quan duy vật siêu hình máy móc. Thời kỳ Phục hưng, nhu cầu nghiên cứu các vận động cơ học, vật lý đẩy toán học sang một giai đoạn mới. Trọng tâm của toán học hướng vào nghiên cứu sự biến thiên của các hàm số, sự nghiên cứu đạo hàm rồi nguyên hàm, tích phân cùng với phương pháp tọa độ của Decartes ra đời làm nền tảng cho lý thuyết các hàm số thực và phức, lý thuyết các phương trình vi phân thực và phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết các chuỗi hình học giải tích, hình học vi phân cùng với các phép biến đổi hình học. Vận động thực sự tràn vào toán học. Như Ph. Engen đánh giá: “Đại lượng biến đổi của Decartes đã đánh dấu bước ngoặt trong toán học. Nhờ đó, vận động và biện chứng đã đi vào toán học và phép tính vi phân và tích phân lập tức trở thành cần thiết.” 3 Toán học cũng đã giáng một đòn mạnh mẽ vào thế giới quan siêu hình “mà điểm trung tâm là quan niệm về tính bất di bất dịch tuyệt đối của tự nhiên”. 4 Nó đã tạo cho các nhà khoa học một phương tiện mới trong nhận thức về các hiện tượng, sự vật. Toán học đã góp phần phát hiện ra định luật vạn vật hấp dẫn ở thế kỷ XVII, quy luật truyền sóng và truyền nhiệt ở thế kỷ XVIII, thuyết tương đối của Einstein cũng là nhờ sự phát triển từ trước của hình học phi Euclide. Vậy là, một cách gián tiếp, toán học đã thông qua vật lý học đóng góp vào cuộc cách 3 Ph. Engen. Phép biện chứng của tự nhiên, NXB Sự thật, Hà Nội, 1963, trang 417 4 Ph. Engen. Phép biện chứng của tự nhiên, NXB Sự thật, Hà Nội, 1963, trang 44 Nguồn: Nguyễn Kim Yến – Tạp chí Triết học 9 mạng thế giới quan thay chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc dựa trên cơ học Newton bằng chủ nghĩa duy vật biện. Trong thời kỳ này, sự ra đời của tư tưởng xác suất – thống kê. Đây là một thành tựu khá quan trọng. Tư tưởng này khẳng định sự tồn tại khách quan của cái ngẫu nhiên bên cạnh cái tất nhiên và mối quan hệ biện chứng giữa chúng. Tư tưởng xác suất – thống kê cho ta một quan niệm mới về sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các sự vật, hiện tượng, quá trình. Nó vượt hẳn quan điểm coi sự phụ thuộc, liên hệ giữa các sự vật chỉ là đơn tại chặt chẽ và tính tất nhiên thống trị tuyệt đối trong giới tự nhiên. Như vậy, các tư tưởng vận động, liên hệ và xác suất – thống kê đã góp phần hình thành tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng. Sự rà soát lại tác phẩm “Cơ bản” của Euclide đã làm nảy sinh ra phương pháp tiên đề hiện đại. Khi muốn tiên đề hóa một lý thuyết toán học nào đó, người ta chọn ra trong các khái niệm của lý thuyết đó một số vừa đủ khái niệm không định nghĩa gọi là khái niệm cơ bản, từ đó mọi tính chất khác đều phải chứng minh chặt chẽ bằng suy luận logic dựa trên các tiên đề và các tính chất đã được chứng minh trước đó. Do các khái niệm cơ bản không được định nghĩa nên muốn tưởng tượng chúng thế nào cũng được miễn là thỏa mãn hệ tiên đề cho trước nên hệ tiên đề đặc trưng một cái gì đó trừu tượng gọi là cấu trúc toán học như cấu trúc “không gian Euclide”, “không gian Lobasepxki”, cấu trúc “nhóm”, “vành”, “trường”… Như vậy, toán học hiện đại đóng vai trò nền tảng trong quá trình nhất thể hóa khoa học. Nó góp phần quan trọng vào sự nhận thức những cơ sở nền tảng của sự tổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội dung thế giới quan, phương pháp luận sâu sắc. Đồng thời nó là một trong những cơ sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng về sự thống nhất vật chất của thế giới. 10 Như vậy ta có thể mạnh dạn khẳng định từ khi mới hình thành và trong quá trình phát triển của mình, toán học luôn tạo ra cơ sở thế giới quan duy vật biện chứng bằng cách trực tiếp hay gián tiếp. PHẦN III: KẾT LUẬN Tóm lại, nếu nhìn một cách phiến diện bề ngoài, triết học dường như chẳng có một vai trò đáng kể nào đối với toán học. Không có triết học, toán học vẫn có những phát minh, vẫn đạt được nhiều thành tựu to lớn và phát triển. Tuy vậy, kỳ thực, theo tôi, quan điểm ấy là chưa toàn diện. Với vai trò là thế giới quan và phương pháp luận chung nhất cho các khoa học trong đó có toán học, triết học đã đi trước toán học trên nhiều lĩnh vực và bằng những tư tưởng chỉ đạo đúng đắn, bằng những dự kiến thiên tài, triết học đã không ngừng vạch đường cho toán học tiến lên và giúp cho toán học phương hướng và công cụ nhận thức để khắc phục những khó khăn, trở ngại vấp phải trên đường đi của mình, thay vì phải tự tìm đường đi một cách mò mẫm, không tự giác. Qua sự phân tích ở trên ta thấy rằng toán học trong quá trình phát triển đã góp phần rất quan trọng vào sự phát triển tiến lên của triết học. Đó là toán học đã cung cấp cho triết học những dữ kiện, dữ liệu giúp cho triết học xây dựng nên lý luận cho mình; những thành tựu của toán học là minh chứng hùng hồn cho sự đúng đắn của các học thuyết triết học duy vật tiến bộ, làm phong phú, sâu sắc thêm những tư tưởng triết học. Có thể nói, toán học góp phần hình thành, phát triển và củng cố, hoàn thiện chủ nghĩa duy vật biện chứng – cơ sở phương pháp luận của thế giới quan khoa học. . trò của toán học đối với sự phát triển của triết học. - Phần III: Kết luận mối quan hệ giữa triết học với toán học. 2 PHẦN I: VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI SỰ PHÁT TRIỂN CỦA TOÁN HỌC Mỗi. nó. Điều đó cho thấy rằng toán học và triết học có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Bài luận này phân tích mối liên hệ giữa triết học và toán học một cách khái quát, ngắn gọn, được tổng hợp, tóm. của số học, hình học cũng đã tạo ra mối liên hệ đầu tiên với những quan niệm của phép biện chứng. Chẳng hạn, mối quan hệ giữa số thực và số ảo, giữa vô hạn và hữu hạn… Như vậy là, toán học đã