CHUY£N §Ò Båi d ìng häc sinh giái m«n to¸n thcs CHñ §Ò T×M GI¸ TRÞ LíN NHÊT GI¸ TRÞ NHá NHÊT CñA BIÓU THøC §¹I Sè CHñ §Ò T×M GI¸ TRÞ LíN NHÊT GI¸ TRÞ NHá NHÊT CñA BIÓU THøC §¹I Sè PhÇn i Lý thuyÕt LÝ THUYẾT 1. Các bất đẳng thức giá trị tuyệt đối A B A B+ ≥ + A B A B− ≤ − A B A B− ≤ − 1.1 1.2 1.3 LÝ THUYẾT 2. Bất đẳng thức Cauchy (Cosi) 2 .a b a b+ ≥ 2.1 Áp dụng cho 2 số dương: Cho a > 0; b > 0 ta có: 1 2 3 1 2 3 . . n n n a a a a n a a a a+ + + + ≥ 2.2 Áp dụng cho n số dương: Cho a 1 ; a 2 ; a 3 ; …; a n > 0 ta có: Dấu “=” xảy ra khi a = b Dấu “=” xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = ….= a n LÝ THUYẾT 3. Bất đẳng thức Bunyakovsky (Bunhiacôpski) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 .ax by a b x y+ ≤ + + 3.1 Áp dụng cho 2 cặp số a, x; b,y. Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 . n n n n a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + + 3.2 Áp dụng cho n cặp số Cho a 1 ; a 2 ; a 3 ; …; a n và b 1 ; b 2 ; b 3 ; …; b n . Ta có: Dấu “=” xảy ra khi a b x y = Dấu “=” xảy ra khi 1 2 1 2 n n a a a b b b = = = LÝ THUYẾT 4. Đa thức bậc hai một biến P = ax 2 + bx + c P đạt giá trị lớn nhất khi a < 0 P đạt giá trị nhỏ nhất khi a > 0 Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 b b b b b P ax bx c a x x c a x c a a a a a     = + + = + + + − = + + −  ÷  ÷     Ta có: + Nếu a > 0 => 2 2 4 4 2 b b b P c MinP c Khi x a a a − ≥ − ⇒ = − = + Nếu a < 0 => 2 2 4 4 2 b b b P c MaxP c Khi x a a a − ≤ − ⇒ = − = Tæng hîp 1.3 1. Các bất đẳng thức giá trị tuyệt đối A B A B+ ≥ + 1.1 A B A B− ≤ − 1.2 A B A B− ≤ − 1.3 2. Bất đẳng thức Cauchy (Cosi) 2 .a b a b+ ≥ 2.1 Áp dụng cho 2 số dương: Cho a > 0; b > 0 ta có: Dấu “=” xảy ra khi a = b 1 2 3 1 2 3 . . n n n a a a a n a a a a+ + + + ≥ 2.2 Áp dụng cho n số dương: Cho a 1 ; a 2 ; a 3 ; …; a n > 0 ta có: Dấu “=” xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = ….= a n ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 .ax by a b x y+ ≤ + + 3. Bất đẳng thức Bunhiacôpski 3.1 Áp dụng cho 2 cặp số a, x; b,y. Ta có: Dấu “=” xảy ra khi a b x y = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 . n n n n a b a b a a b b+ + ≤ + + + + 3.2 Áp dụng cho n cặp số Cho a 1 ;…; a n và b 1 ; …; b n . Ta có: Dấu “=” xảy ra khi 1 2 1 2 n n a a a b b b = = = 4. Đa thức bậc hai một biến P = ax 2 + bx + c P đạt giá trị lớn nhất khi a < 0 P đạt giá trị nhỏ nhất khi a > 0 Đáp án: MinC = 11 khi 9 3 2 x≤ ≤ Bài 1: a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 5 3 2 9C x x x= + + − + − b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 3 2 1D x x= + − − Đáp án: MaxD = 4 khi 1 2 x ≥ Bài tập vận dụng [...]... Bi 2: a) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: A = 3x2 4x + 1 1 ỏp ỏn: MinA = 3 2 khi x = 3 b) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: 1 B= 2 x 6 x + 17 1 ỏp ỏn: MaxB = 8 khi x = 3 CHủ Đề TìM GIá TRị LớN NHấT GIá TRị NHỏ NHấT CủA BIểU THứC ĐạI Số Phần ii Bài tập vận dụng Bi tp vn dng Bi 1 Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc sau: a) A = x 2 + xy + y 2 3x 3 y + 2010 b) B = a 10a + 2011 100 10 ỏp ỏn: MinA = 2007 khi . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 1 6 17 B x x = − + Đáp án: MaxB = 1 3 8 khi x = Bài tập vận dụng Phần ii Bài tập vận dụng CHủ Đề TìM GIá TRị LớN NHấT GIá TRị NHỏ NHấT CủA BIểU THứC ĐạI. Đa thức bậc hai một biến P = ax 2 + bx + c P đạt giá trị lớn nhất khi a < 0 P đạt giá trị nhỏ nhất khi a > 0 Đáp án: MinC = 11 khi 9 3 2 x≤ ≤ Bài 1: a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 5. + − b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 3 2 1D x x= + − − Đáp án: MaxD = 4 khi 1 2 x ≥ Bài tập vận dụng Đáp án: MinA = 1 2 3 3 khi x − = Bài 2: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A