http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TỌA ĐỘ OXY Dạng Tọa độ vectơ Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vng góc Ox Oy với hai vectơ đơn vị i, j Điểm O gọi gốc tọa độ, Ox gọi trục hoành Oy gọi trục tung ( Kí hiệu Oxy hay O; i, j ) Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ + Trong hệ trục tọa độ O; i, j u = xi + yj cặp số ( x; y ) gọi tọa độ ( ) vectơ u , kí hiệu u = ( x; y ) hay u ( x; y ) x gọi hoành độ, y gọi tung độ vectơ u + Trong hệ trục tọa độ O; i, j , tọa độ vectơ OM gọi tọa độ điểm ( ) M , kí hiệu M = ( x; y ) hay M ( x; y ) x gọi hoành độ, y gọi tung độ điểm M Nhận xét: Gọi H, K hình chiếu M lên Ox Oy M ( x; y ) ⇔ OM = xi + yj = OH + OK Như OH = xi, OK = yj hay x = OH, y = OK Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác + Cho A(xA ; y A ), B(x B ; y B ) M trung điểm AB Tọa độ trung điểm xA + x B y + yB , yM = A 2 + Cho tam giác ABC có A(x A ; y A ), B(x B ; y B ), C ( xC ; yC ) Tọa độ trọng tâm M ( xM ; yM ) đoạn thẳng AB x M = G ( xG ; y G ) tam giác ABC xG = x A + x B + xC , yG = y A + y B + yC Biểu thứ tọa độ phép toán vectơ Cho u = (x; y) ; u' = (x'; y') số thực k Khi ta có :  x = x'  y = y' + u = u' ⇔  + u ± v = (x ± x'; y ± y ') + k.u = (kx; ky) x' = kx + u ' phương u ( u ≠ ) có số k cho   y' = ky 505 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh + Cho A(xA ; y A ), B(x B ; y B ) AB = ( x B − xA ; y B − y A ) Ví dụ Cho vectơ a = ( −2; ) , b = ( 1; −2 ) ,c = ( −3; −5 ) Tìm số m, n cho : c = ma + nb Tìm vectơ u cho : a.u = 15 b.u = −11 Lời giải Ta có ma = ( −2m; 3m ) , nb = ( n; −2n ) ⇒ ma + nb = ( −2m + n; 3m − 2n ) −2m + n = −3 m = 11 Vậy c = ma + nb ⇔  ⇔ 3m − n = −5  n = 19 Gọi u ( x; y ) a.u = 15 −2x + 3y = 15 x =  ⇔ ⇔ ⇒ u = ( 3;7 )  x − 2y = −11 y =  b.u = −11   Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy Cho A ( 2; ) , B ( 5; −2 ) Tìm trục hồnh điểm C để ∆ABC vng Tìm trục hồnh điểm A , cách B ( 2; −) ) , khoảng 3 Tìm trục tung điểm C cách điểm D ( −8;13 ) khoảng 17 Tìm điểm M trục tung cách điểm A ( −1; ) B ( 1; ) Lời giải Gọi C ( x0 ; ) ∈ Ox ⇒ AC = ( x0 − 2; −2 ) , BC = ( x0 − 5; ) , AB = ( 3; −4 )   * ∆ABC vuông A ⇔ AB ⊥ AC ⇔ AB.AC = ⇔ C  − ;     22  * ∆ABC vuông B ⇔ AB ⊥ BC ⇔ AB.BC = ⇔ C  ;    * ∆ABC vuông C ⇔ CA ⊥ CB ⇔ AC.CB = ⇔ C ( 1; ) ,C ( 6; ) Gọi A ( x0 ; ) ∈ Ox ⇒ AB = ( − x0 ; −3 ) , AB =  x = −2 2 ⇔ ( − x0 ) + ( −3 ) = 52 ⇔  ⇒ A ( −2; ) , A ( 6; )  x0 = Gọi C ( x0 ; y ) ∈ Oy : CD = ( −8;13 − y ) ,CD = 17 506 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh  y = −2 2 ⇔ ( 13 − y0 ) + ( −8 ) = 17 ⇒  ⇒ C ( 0; −2 ) ,C ( 0; 28 )  y0 = 28 Gọi M ( 0; y0 ) ∈ Oy Khi : MA = MB ⇔ MA = MB2 ⇔ ( −1) + ( − y0 ) = 12 + ( − y ) ⇒ y = 2  7 ⇒ M  0;   2 Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề vuông góc Oxy, cho điểm A ( 4; ) Tìm tọa độ điểm B cho ) ( OAB tam giác cân, ( OA; OB ) = 45 OAB tam giác đều, OA; OB = 600 Lời giải ( ) Ta có : tan ( Ox;OA ) = tan α + 600 = tan α + tan 600 − tan α.tan 600 1+ ⇒ tan ( Ox;OA ) = 2− 1+   1+  x0  Từ : ( OB ) : y =   x ⇒ B  x0 ;  2−    2)−     tan α =  1+  2 x  = 20 ⇔ x0 = − Khi OA = OB ⇔ x0 +   2− 0   ( Vì y0 > ⇒ x0 > ⇒ x0 = − ⇒ B − 3;1 + ( ) Tương tự tan ( Ox;OB ) = tan α + 450 = ( 3) ) tan α + tan 450 =3 − tan α.tan 450 ⇒ ( OB ) : y = 3x ( AB ) qua A vng góc OA nên ( AB ) có phương trình : ( x − ) + ( y − ) = ⇔ 2x + y − 10 =  y = 3x B giao điểm OB AB nên B :  ⇒ B ( 2; )  2x + y − 10 = Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho ∆ABC biết A ( 1;1) ; B ( −3; −2 ) ; C ( 0;1) Tìm tọa độ trực tâm H ∆ABC ; Tìm tọa độ chân đường cao A' vẽ từ A 507 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Lời giải  AH.BC =  Gọi H ( x; y ) trực tâm ∆ABC ⇔   BH.AC =  (I) AH = ( x − 1; y − 1) , BH = ( x + 3; y + ) , BC = ( 3; ) , AC = ( −1; )   x = −3  ( x − 1) + ( y − 1) = ⇔ ⇒ H ( −3; ) Khi ( I ) ⇔  y = − ( x + ) =  Gọi A' ( a; b ) chân đường cao AA' ⇔ AA'.BC = BA ' phương BC AA' = ( a − 1; b − 1) , BA ' = ( a + 3; b + ) , BC = ( 3; )   ( a − 1) + ( b − 1) = a =  3   Khi đó, ta có hệ:  ⇔ ⇒ A'  ;  3 ( b + ) − (a + 3) = 2 2  b =    Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho A ( 2;1) , B ( 3; −1) , C ( −2; ) Tìm điểm E ∈ Oy để ABEC hình thang có đáy AB CE với K giao điểm K AC BE ) Lời giải • Gọi E ( 0,e ) ∈ Oy (* ) AB = ( 1; −2 ) ,CE = ( 2; e + ) Thì ( * ) ⇔ e + + = ⇒ e = −7 = E ( 0; −7 ) ABEC hình thang có đáy AB CE ⇒ AB phương CE • AC ↑↑ AK  K = AC ∩ BE ⇒ A,C,K thẳng hàng B,E,K thẳng hàng ⇔   BE ↑↑ BK  AC = ( −4; −4 ) , AK = ( xK − 2; y K − 1) , BE = ( −3; −6 ) , BK = ( xK − 3; yK + 1) Khi −4 ( yK − 1) + ( xK − ) =   x − yK = x = ⇔ K ⇒ K 2xK − yK =  yK =   −3 ( y K +1) + ( xK − ) =  ( ∗ ∗) ⇔   ⇒ K ( 6; ) Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề vuông góc Oxy Cho A ( 3; ) C ( −4;1) đỉnh đối hình vng Tìm đỉnh cịn lại Cho A ( 2; −1) B ( −1; ) đỉnh liên tiếp hình vng Tìm đỉnh cịn lại 508 ( ∗ ∗) http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Cho A ( 2; ) ; B ( 1;1) Tính tọa độ C, D biết ABCD hình vng Lời giải  1 Gọi I  − ;  trung điểm AC , gọi B ( a; b )  2  BI.AC =  BI ⊥ AC 1   ⇒ Ta có  ( I ) , BI =  a + ; b −  , AC = ( −7;1)   BI = AC BI = AC2         1 −7  a +  + b − = 2  a = 0, y =   a + a = Từ ( I ) ⇔  ⇔ ⇔ 2 1  1  b = 7a + a = −1, b = −3    a +  +  b −  =     Vậy B ( 0; ) B ( −1; −3 ) ; D ( 0; ) D ( −1; −3 ) ( ) AB2 = BC2 AB = BC  Gọi C ( c; d ) đỉnh đối diện A Ta có  ⇔ ( II ) AB ⊥ BC  AB.BC =  AB = ( −3; ) , BC = ( c + 1; d − ) 2   c = 3,d =  c + + d − = 25 C ( 3; ) ) ⇔ ⇒ ( II ) ⇔ ( ) ( ) c = −5,d = C ( −5; ) −3 ( c + 1) + ( d − ) =   Vì ABCD hình vng AD = BC BC = ( 4; −3 )  x − =  ⇒ D ( 6; ) ⇒ AD = ( x − 2; y + 1)   y + =    x − = −4 BC = ( −4; −3 )  * C ( −5; ) , ta có: ⇒ D ( −2; −4 ) ⇒  AD = ( x − 2; y + 1)   y + = −3  * C ( 3; ) , ta có: Vậy, C ( 3; ) ; D ( 6; ) C ( −5; ) , D ( −2; −4 ) Gọi C ( x; y ) , ta có: BA = 10, BC = ( x − 1) + ( y − 1) 2    BA ⊥ BC 1 ( x − 1) + ( y − 1) = ABCD hình vng ⇒  ⇒ 2  BA = BC ( x − 1) + ( y − 1) = 10   x = x = −2  ⇔ y = y = TH1 : C ( 4; ) ⇒ AB = DC ⇒ D ( 5; ) 509 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh TH2: C ( −2; ) ⇒ AB = DC ⇒ D ( −1; ) Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho điểm M ( 1;1) , N ( 7; ) đường thẳng ( d ) : x + y − = Tìm điểm P ∈ ( d ) cho ∆PMN cân đỉnh P Tìm điểm Q ∈ ( d ) cho ∆QMN vuông đỉnh Q P ( x0 ; y0 ) ∈ ( d ) : x0 + y0 − = Lời giải ∆PMN cân đỉnh P ⇔ PM = PN ⇔ ( x0 − 1)2 + ( y0 − 1)2 = ( x0 − )2 + ( y0 − )2  x0 + y − =  x0 =   Ta có hệ :  ⇒ P ( 2; ) 2 2 ⇔  y0 =  ( x0 − 1) + ( y0 − 1) = ( x0 − ) + ( y0 − )  Q ( x1 ; y1 ) ∈ ( d ) : x1 + y1 − = QM = ( − x1 ;1 − y1 ) , QN = ( − x1 ; − y1 ) ∆QMN vuông đỉnh Q ⇔ QM ⊥ QN ⇔ ( − x1 )( − x1 ) + ( − y1 )( − y1 ) =  x1 + y1 − = x =   ) ⇔ ⇒ Q ( 7;1) Ta có hệ  − x1 )( − x1 ) + ( − y1 )( − y1 ) =  y1 = (   Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho ∆ABC biết A ( 3;1) , B ( 1; −3 ) trọng tâm G ∆ABC nằm Ox Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích ∆ABC Lời giải * G ( x; ) ∈ Ox , G trọng tâm ∆ABC ⇔ AG = AM ⇔ 3AG = 2AM ⇔ 2AG = 3AM ; AG = ( x − 3; −1) , AM = ( xM − 3; yM − 1)    x = ( x − 1) 1 3 3 ( x − ) = ( xM − )  M ⇔ ⇒ M  ( x − 1) ; −  2AG = 3AM ⇔  2 2 −3 = ( yM − 1) y = −   M  * Mặt khác M trung điểm BC 510 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh x B + xC + xC  3  xM =  ( x − 1) =    2 ⇔ xC = 3x − ⇒ C 3x − 4; ⇔ ⇔ 2 ( )   yC =   y = y B + yC − = −3 + yC  M  2    3 x B + xC + xC  xM =  ( x − 1) =    2 ⇔ xC = 3x − ⇒ C 3x − 4; ⇔ ⇔ 2 ( )   yC =   y = y B + yC − = −3 + yC  M  2   CA = ( − 3x; −1) ,CB = ( − 3x; −5 ) ( ) det CA,CB ⇔ = −5 ( − 3x ) + ( − 3x ) ⇔ 2x − = ⇔ x = x = S ∆ABC = ⇔ = Vậy, C ( 2; ) C ( 3; ) tọa độ cần tìm Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho hình thoi ABCD biết A ( 3;1) , B ( −2; ) giao điểm I đường chéo nằm Ox Hãy xác định tọa độ điểm C D Lời giải ) Gọi I ( x0 ; ) ∈ Ox ⇒ AI = ( x0 − 3; −1) , BI = ( x0 + 2; −4 ) I giao điểm đường chéo hình thoi ⇔ AI ⊥ BI ⇔ ( x − )( x + ) + ( −1)( −4 ) = ⇔ x = −1, x = ⇒ I ( −1; ) I' ( 2; ) x = 2x I − x A = −5  * I ( −1; ) I trung điểm AC ⇔  C ⇒ C ( −5; −1)  yC = 2yI − y A = −1  x = 2xI − x B =  ⇒ D ( 0; −4 ) I trung điểm BD ⇔  D  y D = 2yI − y B = −4  * I ( 2; ) ⇒ C ( 1; −1) , D ( 6; −4 ) Ví dụ 10 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy Cho tứ giác ABCD có A ( −2;14 ) , B ( 4; −2 ) ,C ( 6; −2 ) , D ( 6;10 ) Tìm tọa độ M giao điểm đường chéo AC BD Cho ∆ABC với A ( 3; ) , B ( −5;1) ,C ( 5; −9 ) Tính góc BAD , AD trung tuyến 511 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Lời giải  BM = ( x − 4; y + )  M M  ⇒ 12 ( xM − ) − ( y M + ) = ⇔ 6xM − y M − 26 =  BD = ( 2;12 )  CM = ( x − 6; y + )  M M ⇒ 16 ( xM − ) + ( yM + ) = ⇔ 2xM + yM − 10 =  CA = ( −8;16 )   6x − yM − 26 =  xM = 9   Ta có :  M ⇒ ⇒ M  ;1   2   2xM + yM − 10 =  y =  M D ( 1; −4 ) có AB = ( −8; −4 ) , AD = ( −3; −9 ) ) ( cos BAD = cos AB; AD = AB.AD 24 + 36 = = ⇒ BAD = 450 AB.AD 5.3 10 Ví dụ 11 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho điểm A ( a; b ) ( ) b 0; a − b với a, b ≠ Tìm điểm C trục Ox cho ∆ABC cân C Khi chứng tỏ ABC cịn tam giác Lời giải ) Gọi C ( x0 ; ) ∈ Ox Do ABC tam giác cân C ⇔ AB = BC ⇔ AC2 = BC2 ( ⇔ ( x0 − a ) + ( − b ) = ( x0 − ) + − a + b 2 ) ( ⇔ x0 = 3b − a ⇒ C b − a; ) AB2 = 4a − 4ab + 4b  Với C b − a; ⇒  ⇒ AB2 = AC ⇒ AB = AC AC = 4a − 4ab + 4b   Vậy ∆ABC tam giác ( ) Ví dụ 12 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy Cho điểm A ( −2; −6 ) , B ( 4; −4 ) ,C ( 2; −2 ) , D ( −1; −3 ) Chứng minh tam giác ABC vng tứ giác ABCD hình thang Cho M ( 1;1 − cosa ) , N ( 3; ) Tính OM,MN Tính giá trị lớn nhỏ y = cos2 a − cos a + + cos a + cos a + 13 Lời giải 512 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh  AC = ( 4; )   ⇒ AC.BC = ( −2 ) + 4.2 = ⇒ AC ⊥ BC hay ∆ABC vuông C  BC = ( −2; )  AB = ( 6; ) = ( 3;1)  ⇒ AB = 2DC ⇒ AB CD hay ABCD hình thang Ta có   DC = ( 3;1)   2 OM = + ( − cos a ) = cos a − cos a + 2  MN = ( − 1)2 + ( − + cos a )2 = cos a + cos a + 13  Vì ≤ − cos a ≤ nên M di động M1M với M1 ( 1; ) ,M ( 1; ) y = OM + MN ≥ ON ⇒ y = ON = 32 + = : O,M, N thẳng hàng OM1 + M1N = + ( − 1)2 + 42 = + OM + M N = 12 + 2 + 20 ( − 1)2 + ( − )2 = 5+ y = OM + MN ≤ OM1 + M1 N = + 20 = + ⇒ Max y = + Khi M ≡ M1 ( 1; ) Ví dụ 13 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy Cho ∆ABC có đỉnh A ( 2; ) , B ( −3; −4 ) ,C ( 5; ) Xác định tọa độ chân đường phân ) giác AD cho ∆ABC có A ( 5; ) , B ( −1;1) ,C ( 3; −2 ) ,M điểm di động thỏa α MA + βMB = (α ) + β2 > Xác định M để MA + MC nhỏ Lời giải AB = ( −5 )2 + ( −10 )2 = 5 , AC = ( )2 + ( −6 )2 = BD AB 5 = = ⇒ DB = − DC , D chia BC theo tỉ k = − DC AC 3  −3 +  =2 x D =  1+ 3   Vậy  ⇒ D  2; −  2   −4 + y = =−3  D 1+   513 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh  α+β  AB = − β MA β ≠  Nếu   ⇒ M nằm AB α≠0   AB = α + β MB  α  Gọi I trung điểm AC MA + MC = 2MI ⇒ MA + MB nhỏ 2MI nhỏ Do I cố định nên MI nhỏ M hình chiếu I AB x − yM − = ⇒ xM − 2yM + = AM AB ⇔ M −6 −3 IM ⊥ AB ⇒ IM.AB = 0; I ( 4;1) ⇔ 2xM + yM − = ( )  x − 2yM + =   x = ⇔ M ⇒ M ( 3; ) Vậy , tọa độ điểm M nghiệm hệ:  M  2xM + yM − =  yM =   Ví dụ 14 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho đường thẳng ( d ) : 2x − y + = điểm A ( 4; ) , B ( 0; −4 ) Tìm đường thẳng ( d ) điểm M cho vectơ : AM + BM có độ dài nhỏ Lời giải Gọi M ( x0 ; y ) ∈ ( d ) : 2x0 − y + = ⇒ y = 2x0 + ⇒ M ( x0 ; 2x0 + ) AM = ( x0 − 4; y0 − )  ) Ta có  ⇒ AM + BM = ( 2x0 − 4; 2y0 − )  BM = ( x0 ; y0 + )  ⇒ AM + BM = ( 2x0 − )2 + ( 2y0 − )2 = 20x0 − 32x0 + 20 Cách : f ( x0 ) = 20x0 − 32x0 + 20 hàm bậc 2, có hệ số a = > nên f ( x0 ) ⇔ x0 = x = − b 32 18  18  = = ⇒ y0 = ⇒ M ;  2a 20 5 5  Cách : Đặt f ( x0 ) = 20x0 − 32x0 + 20 có f ' ( x0 ) = 40x0 − 32 = ⇔ x0 = x0 −∞ f ' ( x0 ) f ( x0 ) − +∞ + +∞ ⇒ f ( x0 ) = 514 +∞ 36 36 18 x = ⇒ y0 = 5 5 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh  18  36 Vậy M  ;  độ dài AM + BM = đạt giá trị nhỏ = 5 5  Bài tập tự luyện Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy a Cho A ( 1; ) , B ( 3; −1) hình vng ABCD theo chiều dương Tìm tọa độ đỉnh C, D b Cho điểm A ( 4; ) , B ( 2; ) Tìm mặt phẳng điểm C để tam giác ABC tam giác vuông cân Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy a Cho tam giác ABC có A ( 1; −1) , B ( 5; −3 ) C ∈ Oy , trọng tâm G tam giác Ox Xác định tọa độ C G b Cho điểm A ( 3; ) , B ( 7; ) ,C ( 4; ) , D ( 2; ) Chứng minh ABCD hình thang vng Tính chu vi diện tích ABCD Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho điểm A ( −3; ) , B ( 4; ) a Tìm điểm M ∈ Ox cho ∆MAB vuông M ) b Gọi C điểm nằm Oy G trọng tâm ∆ABC Tìm tọa độ điểm C , biết G nằm Ox Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho điểm B ( 2;1) ,C ( 6;1) a Tìm điểm A ( x; y ) , ( x > 0, y > ) cho tam giác ABC b Tìm A' đối xứng với A qua C c Tìm tọa độ điểm D cho AD − 3BD + 4CD = d Tìm điểm M cho tứ giác ABCM hình bình hành Xác định tâm Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho tứ giác ABCD có A ( −2;14 ) , B ( 4; −2 ) ,C ( 5; −4 ) , D ( 5; ) Tìm tọa độ giao điểm đường chéo AC BD Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, tam giác ABC có trung điểm cạnh BC, AC, AB M ( 2; ) , N ( −3; ) ,P ( 2;1) a Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC b Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC ; chứng G trọng tâm tam giác MNP 515 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho điểm A ( 1; −2 ) , B ( 2; ) , C ( −1; −2 ) Tìm điểm D Oy cho ABCD hình thang có cạnh đáy AD Tìm giao điểm I đường chéo Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho điểm A ( −2; −3 ) , B ( 4; −1) , C ( 2;1) , D ( −1; ) a Chứng minh ABCD hình thang b Tìm giao điểm AB với Ox c Tìm điểm M đường thẳng CD , biết yM = Khi ABMD hình ? d Tìm giao điểm AC BD Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho ∆ABC , biết A ( 4; ) , B ( −4; ) ,C ( −1; −4 ) a Tìm tọa độ trực tâm H , trọng tâm G , tâm I bán kính R đường trịn ngoại tiếp ∆ABC b Kẻ đường cao AD Tìm tọa độ D c Tìm độ dài trung tuyến BE Bài tập 10 Trong mặt phẳng toạ độ đề vuông góc Oxy, cho A ( −2; ) , B ( 2; ) ) Đỉnh C nằm đường thằng x − 3y = Tâm I ( 1; ) đường tròn ngoại tiếp tam giác a Tìm tọa độ C b Tìm tọa độ trọng tâm G , trực tâm H Chứng minh : G,H,I thằng hàng Bài tập 11 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho điểm A ( 2;1) Tìm tọa độ điểm B biết đường thẳng AB cắt Oy C chia đoạn AB theo tỉ số 3 đường thẳng AB cắt Ox D chia đoạn AB theo tỉ số − Bài tập 12 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho điểm A ( −3; ) , B ( 1; −2 ) , C ( 6; ) a Chứng minh A, B,C đỉnh tam giác b Tìm tọa độ chân đường cao A' xuất phát từ A c Tính tọa độ trọng tâm G , trực tâm H tâm I tam giác ABC Có nhận xét điểm G,H,I ? Bài tập 13 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho điểm A ( 0; ) , 516 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh đường thẳng y = Tìm đường thẳng y = điểm B ( x B ; ) đường thẳng y = điểm C ( xC ; ) cho AB = AC tam giác ABC có diện tích 24 Bài tập 14 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, điểm A ( 3; ) , B ( 1; ) ,C ( 5;1) a Tìm tọa độ trọng tâm G , trực tâm H , tìm chân đường cao A' AA' b Xác định tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Chứng minh G,H,I thẳng hàng Bài tập 15 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho điểm A ( 3;1) , B ( −1; −1) , C ( 6; ) Tìm tọa độ đỉnh D hình thang cân cạnh đáy AB,CD Bài tập 16 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy a Cho điểm A ( a; ) ,C ( 2a; 3a ) Đường thẳng qua A vng góc với AC cắt đường thẳng x + 2a = điểm B Chứng minh tam giác ABC tam giác cân b Cho đường thẳng 3x − 4y + = 4x − 3y − = Tìm điểm M trục Oy cách đường thẳng c Cho ∆ABC với A ( 1; ) , B ( 0;1) ,C ( −4; −1) Tìm tọa độ chân đường cao H kẻ từ A d Tìm tọa độ A, B , biết đường thẳng ( d ) qua M ( −4; ) cắt trục hoành, trục ) tung A, B thỏa AM : MB = : Bài tập 17 Trong mặt phẳng toạ độ đề vuông góc Oxy a Cho điểm A ( 2; ) , B ( −1; ) ,C ( x; −2 ) Xác định hoành độ điểm C để tổng AC + CB đạt giá trị nhỏ b Cho điểm A ( 1; −1) , B ( 5; −3 ) đường thẳng ( ∆ ) : 5x − 12y + 32 = Tìm M để MA = MB khoảng cách từ M đến ( ∆ ) Bài tập 18 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho đường thẳng ( ∆ ) : 2x + y − = điểm A ( 8;1) , B ( −3; ) C (1; ) a Tìm ( ∆ ) điểm M để tổng MA + MB có độ dài nhỏ b Tìm ( ∆ ) điểm N để tổng NA + NC có độ dài nhỏ Bài tập 19 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy a Trên đường thẳng x − 2y + 10 = , tìm điểm M cho AM + BM có độ dài nhỏ ( ) ( nhất, với A 6; , B −4; ) 517 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh b Cho A ( 1; ) , B ( 2; ) Tìm trục hồnh điểm P cho ( AP + PB ) nhỏ c Cho đường thẳng ( d ) : x − 2y + = A ( 0; ) , B ( 2; ) Tìm ( d ) điểm M cho MA − MB lớn nhất; ( MA + MB ) nhỏ Bài tập 20 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho A ( 1; ) , B ( −3; −4 ) đường thẳng ( ∆ ) : 2x − y − = Tìm điểm M ( ∆ ) cho vectơ : AM + BM có độ dài nhỏ Bài tập 21 Trong mặt phẳng toạ độ đề vuông góc Oxy, cho ( ∆ ) : 2x + y + = , M ( 0; ) ,N ( 1; ) a Tìm I ∈ ∆ cho : ( IM + IN ) b Tìm J ∈ ∆ cho : JM − JN max Bài tập 22 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho đường thẳng ( T ) : 2x − y − = điểm A ( 0; −1) , B ( 2; ) ,C  ;  ,E (1; ) ,F ( −3; −4 )     a Tìm ( T ) điểm D cho điểm A, B,C, D lập thành hàng điểm điều hịa ) b TÌm điểm M ( T ) cho EM + FM có độ dài nhỏ Bài tập 23 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy a Cho điểm A ( 1; −3 ) , B ( 5; −1) Tìm M Ox cho AM + BM ngắn b Tìm trục hồnh cho tổng khoảng cách từ M đến điểm A ( 1; ) , B ( 3; ) nhỏ c Cho điểm A ( 0; ) , B ( 4;1) đường thẳng ( ∆ ) : x − 4y + = Tìm điểm C ( ∆ ) cho ∆ABC tam giác cân, đáy AB Bài tập 24 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho tam giác ABC , biết A ( 6; ) , B ( −4; −1) ,C ( 2; −4 ) a Tìm tọa độ chân đường phân giác AD góc A Tính độ dài AD b Tìm tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC Bài tập 25 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy 518 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh a Cho tam giác ABC với A ( 1; ) , B ( −4; −5 ) ,C ( 4; −1) Tìm tọa độ chân đường phân giác ngồi góc A Tìm tọa độ tâm đường trịn nội tiếp ∆ABC π c Cho điểm A ( 2;1) , B ( 0;1) ,C ( 3; ) , D ( −3; −1) Tính tọa độ đỉnh hình vng b Cho điểm A ( 4; −3 ) , B ( 3;1) Tìm điểm M trục Ox cho AMB = có cạnh song song qua A C , cạnh song song lại qua B D , biết tọa độ đỉnh hình vng dương Bài tập 26 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho ∆ABC có A ( −3; ) , B ( 1; −2 ) Đỉnh C có tọa độ thỏa xC − 2yC = Tâm đường tròn ngoại tiếp I ( 1; ) Tìm tọa độ đỉnh C bán kính nội tiếp ∆ABC Bài tập 27 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho ∆ABC, A ( 1; ) , B ( −4; −4 ) , C ( 4; ) Tìm tọa độ chân đường phân giác ngồi góc A tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC Hướng dẫn giải  AD = AB x = ⇒ AD = ( 3; ) ⇒  D ⇒ D ( 4; ) yD = AD ⊥ AB  Bài tập a AB = ( 2; −3 ) mà  x =  DC = AB ⇒  C ⇒ C ( 6;1)  yC =  )  CA ⊥ CB CA.CB = b * ∆ABC vuông cân C ⇔  ⇔ 2 CA = CB CA = CB  x + y − 6x − 8y + 23 =  ⇒ C ( 4; ) C' ( 2; ) ⇔ x − y + =  C ( 6; ) CA ⊥ BA  ⇔ * ∆ABC vuông A ⇔  CA = BA C' ( 2;1)  * ∆ABC vuông cân B ⇔ C ( 0; ) ,C' ( 4; ) Bài tập a Gọi G ( x; ) ,C ( 0; y ) Trung điểm I AB : ⇒ I ( 3; −2 )  −3 = ( x − )  x = G ( 2; )   Ta có IC = 3IG ⇔  ⇔ ⇒ y = C ( 0; ) y + = (0 + 2)     519 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh AB = 2DC  b AB = ,CD = AD = , BC = 10 ⇒  ⇒ ABCD hình thang AD.AB =  vng 15 P = AB + BC + CD + AD = + 10 ,S = ( AB + CD ) AD = 2 Bài tập a M ∈ Ox ⇒ M ( m; ) ⇒ MB = ( − m; ) ,MA = ( −3 − m; ) ∆MAB vuông M ⇔ MA.MB = ⇔ ( − m )( −3 − m ) + =  M ( 4; ) m = ⇔ m − m − 12 = ⇔  ⇒  m = −3  M ( −3; )  b C ∈ Oy ⇒ C ( 0; yC ) , G ∈ Ox ⇒ G ( xG ; )  3xG = x A + x B + xC   3xG = −3 +  xG = G trọng tâm ∆ABC , ta có  ⇔ ⇒ 3yG = y A + y B + yC 0 = + + y C    y = −5  C 1  ⇒ G  ;  ,C ( 0; −5 ) 3  ) 2   AB = BC ( x − ) + ( y − 1) = Bài tập 4.a Tam giác ABC ⇔  ⇔ 2 2 AC = BC ( x − ) + ( y − 1) =   x =  ⇔ ⇒ A 4;1 + y = +   x A + x A' xC =  b A' đối xứng A qua C ⇔ C ( 6;1) trung điểm A' ⇔  yA + yA ' y =  c  x A ' =  ⇒  y A' = −  ( ( ) ) c AD = x − 4; y − − , BD = ( x − 2; y − 1) ,CD = ( x − 6; y − 1) AD − 3BD + 4CD = ⇔ x = 11, y = −1 − ( ) d ABCM hình bình hành ⇔ AM = BC, AM = x − 4; y − − 2 , BC = ( 4; ) Vậy AM = BC ⇔ x = 8, y = + Gọi I tâm hình bình hành ABCM I trung điểm AC 520 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh x A + xC   xI =    xI = ⇔ ⇔ ⇒ I 5;1 +  yI = +  y = y A + yC   I  ( ) Bài tập Gọi I ( x; y ) giao điểm đường chéo AC, BD AI ↑↑ AC  ⇔  BI ↑↑ BD  AI = ( x + 2; y + ) , AC = ( 7; −18 )  với   BI = ( x − 4; y + ) , BD = ( 1;10 )  89   x = 22  89 17  7 ( y − 14 ) + 18 ( x + ) =  ⇔ ⇔ ⇒ I ;−  17  22 11  10 ( x − ) − ( y + ) = y = −   11  x A − = −3 −   x = −3 ⇔ A  yA − = −  y A = −3   Bài tập 6a Ta có PA = MN ⇔  : A ( −3; −3 ) ; B ( 7; ) ; C ( −3; )  1 5  − ( −3 ) = ( − x G ) b Gọi M trung điểm BC Ta có : AM = 3GM ⇔  ⇒ G ;  − ( −3 ) = ( − y G ) 3 3   ) GM + GN + GP = ⇒ G trọng tâm ∆MNP  AB = ( 1; )  Bài tập Ta có   AC = ( −2; )  không thẳng hàng D ( 0; y0 ) ∈ Oy ⇒ −2 ≠ ⇒ AB không phương AC Do A, B,C CB = ( 3; ) ; AD = ( −1; y0 + ) * ABCD hình thang có đáy AD ⇔ AD phương CD −11  −11  ⇔ ( y0 + ) − ( −1) = ⇒ y0 = ⇒ D  0;  3   Gọi I ( a, b ) giao điểm đường chéo AC BD  −20  Ta có : AC = ( −2; ) ; AI = ( a − 1; b + ) ; BD =  −2;  ; BI = ( a − 2; b − )   I giao điểm AC BD ⇔ A,I,C thẳng hàng B,I, D thẳng hàng ⇔ AC phương AI BD phương BI 521 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh  −2 ( b + ) − ( a − 1) =  1   a = ⇔ ⇔ ⇒ I  ; −2  20    −2 ( b − ) + ( a − ) =  b = −2   AB = ( 6; )  Bài tập 8a   DC = ( 3;1)  ⇒ AB = 2DC ⇒ AB, DC phương hay ABCD hình thang b ( AB ) ∩ Ox = N ( x0 ; ) ⇔ AN phương AB với AN = ( x0 + 2; ) ; AB = ( 6; ) AN AB ⇔ ( x0 + ) − 3.6 = ⇔ x0 = ⇒ N ( 7; ) c M ∈ ( CD ) ⇔ CM phương CD với CM = ( x − 2;1) ; CD = ( −3; −1) x−2 = ⇔ x = ⇒ M ( 5; ) ⇒ DM = ( 6; ) = AB −3 −1 ⇒ ABMD hình bình hành  −1  d Tương tự I  ;  3  Bài tập 9a * H ( x; y ) tọa độ trực tâm H ∆ABC , ta có  AH.BC = AH ⊥ BC  ⇔   BH ⊥ AC  BH.AC =  (I) )  AH = ( x − 4; y − )  BH = ( x + 4; y ) 3 ( x − ) − ( y − ) =    mà  ;  ( I ) ⇔   BC = ( 3; −4 )  AC = ( −5; −4 )  −5 ( x + ) − 10y =    x = −4 ⇔ ⇒ H ( −4; ) : H ≡ B ⇒ ∆ABC vuông B y = xG + x B + xC  =−  xG =  3 ⇒ G − ;  * Trọng tâm G :     3  y = y A + y B + yC = G  3  * Tọa độ tâm I ( a; b ) đường tròn ngoại tiếp ∆ABC giao điểm đường trung trực   xM = ( x A + x B ) =  Gọi M, N trung điểm AB, BC , ta có  y = ( y + y ) = B  M A  522 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh   x N = ( x B + xC )    ⇒ M ( 0; ) ; N  − ; −2     y = ( y + y ) C  N B  MI.AB = MI ⊥ AB  Theo toán ta có :  ⇔ NI ⊥ BC NI.BC =  MI = ( a; b − )  ( II ) mà    NI =  a + ; b +     AB = ( −8; −6 ) ; BC = ( 3; −4 ) 4a + ( b − ) =  3   a = Vậy ( II ) ⇔   ⇔ ⇒ I  ;1  5 3 a +  − ( b + 2) = 2   b =  2   5 AC = 2 AD ⊥ BD b Gọi D tọa độ chân đường cao :  AD ⊥ CD * Do ∆ABC vuông B nên R = x − 16 =   AD.BD = ( x − )( x + ) + y ( y − ) =  Ta có hệ  ⇔ ⇔   y = + x ( x − )( x + 1) + ( y + )( y − ) = AD.CD =  )  x = −4; y = 0; B ( −4; ) ⇒ ⇒ D ≡ B = ( −4; )  x = 4; y = 6; A ( 4; )  Cách khác : Do ∆ABC vuông B , nên D ≡ B  11  3  c E trung điểm BC nên E  ;1  ; E ≡ I BE =  ;1  ⇒ BE = =R   2  Chú ý : học sinh làm lại thay tọa độ A, B,C A ( 2; ) , B ( −5;1) ,C ( 3; −5 ) Bài tập 10 C ( xC ; yC ) ∈ x − 3y = ⇒ xC = + 3yC ⇒ C ( + 3yC ; yC ) a I tâm đường ngoại tiếp ∆ABC ⇔ IA = IC IA = 10, IC = ( + 3yC ) + ( yC − ) (1) (1) 2 ⇔ IA = IC ⇔ ( + 3yC ) + ( yC − ) = 10 ⇔ yC + 2yC + = 2 ⇔ y C = −1 ⇒ xC = ⇒ C ( 2; −1)   xG = 2 7  b Trọng tâm G :  ⇒ G ;  3 3 y =  G  523 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh   y =  AH.BC = 6 ( y H − ) = Trực tâm H : ⇔  ⇔ H ⇒ H ( 0; ) ⇔  xH =   BH.AC =  ( xH − ) − ( y H − ) =     1 IG =  − ;  = ( −1;1)    3  ⇒ GH = 2IG ⇒ I,H,G thẳng hàng  2 GH =  − ;  = ( −1;1)    3  Bài tập 11 Gọi C ( 0; c ) ∈ Oy, ta có : 2 − x B x A − k.x B = ⇒ xC = ⇔0= ⇒ xB = 3 1− k CB 1− y − ky B DA 4  D ( d; ) ∈ Ox , ta có: = − ⇒ yD = A ⇔ y B = − ⇒ B  3; −  DB 1− k 3  CA AB = ( 4; −8 )  Bài tập 12a  AC = ( 9; −3 )   BC = ( 5; )  b   BA ' = ( a − 1; b + ) ; A' ( a; b )  −8 ≠ ⇒ A, B,C không thẳng hàng −3 ) a − b +  = a =  BC BA'  ⇔ ⇔ ⇒ A' ( 3; ) Vì  b = AA'.BC = ( a + ) + ( b − ) =    AH.BC =    ( xH + ) + ( y H − ) = ⇔ ⇔ ⇒ H ( 2;1)  BH ⊥ AC  BH.AC = 9 ( xH − 1) + ( −3 )( yH + ) =   AH ⊥ BC c  x A + x B + xC  =  xG =  3 ⇒ G ;     3 3  y = y A + y B + yC =  G 3  I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ⇒ IA = IB = IC IA = IB2   x = ⇔ ⇔ I ⇒ I ( 1; ) 2  yI =  IA = IC  IH = ( 1; −2 )  Ta có :  ⇒ IG IH Hay G,H,I thẳng hàng  −2  1 IG =  ;  = ( 1; −2 ) = IH 3   524 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh   B ( xB ; ) ∈ y =  AB = x B + 16 ⇒ ⇒ AB = AC ⇔ x − xC = B C ( xC ; ) ∈ y = AC = x + 16   C  Bài tập 13 Với  AB = ( x B ; −4 ) , AC = ( xC ; ) ⇒ S = xB − = 24 ⇔ x B + xC = 24 xC − x2 − x2 =   B' ( −6; )   x = −6  B ( 6; )    x = C Vậy,  B  B  ⇒ ⇔ B xC = −6 C ( 6; ) xC =     C' ( −6; )  x B + x C = 14    Bài tập 14 a * Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC : x A + x B + xC  =3  xG =  8  G ⇒ G  3;   3  y = y A + y B + yC =  B 3  * H ( x; y ) tọa độ trực tâm tam giác ABC với  AH = ( x − 3; y − ) ; BC = ( 4; −1)    BH = ( x − 1; y − ) ; AC = ( 2; −4 )   17 AH.BC =  x =  17 19   4 ( x − ) + ( y − )( −1) =  Thỏa:  ⇔ ⇔ ⇒ H ;  19 㻐4 ( x − 1) + ( y − )( −ͽ ) =  7    y =   BH.AC =   * A' ( x; y ) chân đường cao AA' AA' ⊥ BC BC phương BA ' ( ∗) Với AA' = ( x − 3; y − ) ; BC = ( 4; −1) , BA' = ( x + 1; y − )   4x − y − =  37 99  4 ( x − ) − ( y − ) = ⇒ A'  ;  ⇔ ⇔  7  x + 4y − =  BC ↑↑ BA'   ( y − ) + ( x − 1) =  b * I ( x; y ) tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC AA'.BC = ( ∗) ⇔   23  2 2  IA = IB2 x =  23 37   ( x − ) + ( y − ) = ( x − 1) + ( y − )  ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ I ;  2 2 2  14   ( x − ) + ( y − ) = ( x − ) + ( y − )  y = 37 IA = IC    14    17 19   23 37  * G  3;  ,H  ;  ,I  ;     7   14    BH =  − ;          21    ⇒ GH.HI =  −  −  −    = 6    14   21   HI =  ; −   14     525 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh ⇒ GI HI phương hay G,H,I thẳng hàng Bài tập 15 Gọi D ( x; y ) CD = ( x − 6; y ) , BD = ( x + 1; y + 1) , AB = ( −4; −2 ) , AC = ( 3; −1) −2 x − ) + 4.y = CD AB x = −2   ( ⇔ ⇔ ⇒ D ( −2; −4 ) Bài toán ⇔  2   y = −4  ( x + 1) + ( y + 1) = 10  BD = AC  Bài tập 16.a B ( −2a; −a ) , AB2 = AC = 10a 3  b M ( 0;15 ) ,M'  0; −  7    AH ⊥ BC 8 9   ( a − 1) + ( b − ) = c Gọi H ( a; b ) , ta có :  ⇔ ⇔ H ;  ( a − ) − ( b − 1) = BH ↑↑ BC 5 5     d A ( a; ) , B ( 0; b ) MA : MB = : ⇔ 5AM = 3MB ) ( ( )  32  ⇔ OM − OA = OB − OM ⇒ 5OA + 3OB = 8OM ⇒ A  − ;  , B ( 0; )   Bài tập 17.a AC + CB nhỏ A, B,C thẳng hàng xC = 17  180 208  ; b M ( 4; ) ,M'    19 19  끀ο  12   7  Bài tập 18 a ( MA + MB )min A,M, B thẳng hàng ( ∆ ) ∩ ( AB ) = M  ;  40  b Gọi A' đối xứng A qua ( ∆ ) ( A'C ) ∩ ( ∆ ) = N  − ;   19 19  ( Bài tập 19.a AM + MB )   M  + ;  5  b Gọi P ( x0 ; ) , có AP + PB = ( x0 − 1)2 + + ( x0 − )2 + 16 Xét a = ( x0 − 1; ) , b = ( − x0 ; ) Ta có AP + PB = a + b ≥ a + b = 10 ⇒ ( AP + PM ) = 10 Khi a ↑↑ b ⇔ x0 − 2 = − x0 ⇔ x0 = 5  ⇒ P ;0 3     CA =  − ; −1  CA DA    =− Bài tập 22 a A, B,C, D lập thành điểm điều hòa ⇔ với  3  CB DB CB =  ; 3  2   526 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh x A − k.x B  = −1 x D =  1  1− k ⇒ = ;k =  ⇔  ⇒ D ( −1; −3 ) 3 DB   y = y A − k.y B = −3  D 1− k  b Gọi M ( x0 ; y ) ∈ ( T ) , 2x0 − y0 − = ⇔ y0 = 2x0 − DA EM = ( x − 1; y − )  0 ⇒ EM + FM = ( 2x0 + 2; 2y0 − )  FM = ( x0 + 3; y0 + )  ⇒ EM + FM = ( 2x0 + )2 + ( 2y0 − )2 = 2  3 16 ; y0 = 2x0 −  x0 −  + 5 25  Vậy EM + FM =  3 1 3  x0 −  = ⇔ x0 = ⇒ y0 = ⇒ M  ;  5 5  5 5 5  b M  ;  3  Bài tập 23 a M ( 4; )  8 c C ( 1; ) 20 b I ( 1; −1) Bài tập 24 a D  − ; −  , AD =  3  5   Bài tập 25 a  1;  , (16; ) , ( 1; )  11 + 33  b M  ;0         x B − k.xC 匀ς  D  1; −  x D =  2 1− k ⇒   Bài tập 27  ,   y = y B − k.xC  k = AB =  D  1− k  AC   x A − k'.x D I ( 1;1) x J =   − k' ⇒ E ( 16; ) ⇒  BA = −2  y = y A − k'.y D k' = BD   J − k'  527 ... Q ( x1 ; y1 ) ∈ ( d ) : x1 + y1 − = QM = ( − x1 ;1 − y1 ) , QN = ( − x1 ; − y1 ) ∆QMN vuông đỉnh Q ⇔ QM ⊥ QN ⇔ ( − x1 )( − x1 ) + ( − y1 )( − y1 ) =  x1 + y1 − = x =   ) ⇔ ⇒ Q ( 7 ;1) Ta... Bài tập 15 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy, cho điểm A ( 3 ;1) , B ( ? ?1; ? ?1) , C ( 6; ) Tìm tọa độ đỉnh D hình thang cân cạnh đáy AB,CD Bài tập 16 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy. .. hàng OM1 + M1N = + ( − 1) 2 + 42 = + OM + M N = 12 + 2 + 20 ( − 1) 2 + ( − )2 = 5+ y = OM + MN ≤ OM1 + M1 N = + 20 = + ⇒ Max y = + Khi M ≡ M1 ( 1; ) Ví dụ 13 Trong mặt phẳng toạ độ đề vng góc Oxy