CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TS. Lê Xuân Đại Trường Đại họ c Bách Khoa T P HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2011. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 1 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa 1 Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn là hệ có dạng:            a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1j x j + . . . + a 1n x n = b 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i1 x 1 + a i2 x 2 + . . . + a ij x j + . . . + a in x n = b i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a m1 x 1 + a m2 x 2 + . . . + a mj x j + . . . + a mn x n = b m (1) với a ij ∈ K , b i ∈ K , i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n; x 1 , x 2 , . . . , x n là các biến. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 2 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa 1 Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn là hệ có dạng:            a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1j x j + . . . + a 1n x n = b 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i1 x 1 + a i2 x 2 + . . . + a ij x j + . . . + a in x n = b i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a m1 x 1 + a m2 x 2 + . . . + a mj x j + . . . + a mn x n = b m (1) với a ij ∈ K , b i ∈ K , i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n; x 1 , x 2 , . . . , x n là các biến. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 2 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (a ij ) ∈ M m×n (K ) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận A B =       a 11 a 12 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i1 a i2 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 . . . a mj . . . a mn           b 1 . . . b i . . . b m       m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1). Nếu đặt X =      x 1 x 2 . . . x n      và B =      b 1 b 2 . . . b m      thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận A m×n X n×1 = B m×1 . Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B = 0. Hệ thuần nhất luôn có nghiệm  0 0 . . . 0  T và gọi là nghiệm tầm thường. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (a ij ) ∈ M m×n (K ) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận A B =       a 11 a 12 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i1 a i2 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 . . . a mj . . . a mn           b 1 . . . b i . . . b m       m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1). Nếu đặt X =      x 1 x 2 . . . x n      và B =      b 1 b 2 . . . b m      thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận A m×n X n×1 = B m×1 . Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B = 0. Hệ thuần nhất luôn có nghiệm  0 0 . . . 0  T và gọi là nghiệm tầm thường. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (a ij ) ∈ M m×n (K ) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận A B =       a 11 a 12 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i1 a i2 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 . . . a mj . . . a mn           b 1 . . . b i . . . b m       m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1). Nếu đặt X =      x 1 x 2 . . . x n      và B =      b 1 b 2 . . . b m      thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận A m×n X n×1 = B m×1 . Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B = 0. Hệ thuần nhất luôn có nghiệm  0 0 . . . 0  T và gọi là nghiệm tầm thường. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (a ij ) ∈ M m×n (K ) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận A B =       a 11 a 12 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i1 a i2 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 . . . a mj . . . a mn           b 1 . . . b i . . . b m       m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1). Nếu đặt X =      x 1 x 2 . . . x n      và B =      b 1 b 2 . . . b m      thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận A m×n X n×1 = B m×1 . Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B = 0. Hệ thuần nhất luôn có nghiệm  0 0 . . . 0  T và gọi là nghiệm tầm thường. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (a ij ) ∈ M m×n (K ) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận A B =       a 11 a 12 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i1 a i2 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 . . . a mj . . . a mn           b 1 . . . b i . . . b m       m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1). Nếu đặt X =      x 1 x 2 . . . x n      và B =      b 1 b 2 . . . b m      thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận A m×n X n×1 = B m×1 . Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B = 0. Hệ thuần nhất luôn có nghiệm  0 0 . . . 0  T và gọi là nghiệm tầm thường. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (a ij ) ∈ M m×n (K ) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận A B =       a 11 a 12 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i1 a i2 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 . . . a mj . . . a mn           b 1 . . . b i . . . b m       m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1). Nếu đặt X =      x 1 x 2 . . . x n      và B =      b 1 b 2 . . . b m      thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận A m×n X n×1 = B m×1 . Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B = 0. Hệ thuần nhất luôn có nghiệm  0 0 . . . 0  T và gọi là nghiệm tầm thường. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 2 Định nghĩa 2 Định nghĩa Véc-tơ α =      α 1 α 2 . . . α n      , α i ∈ K , i = 1, 2, . . . , n được gọi là 1 nghiệm của hệ (1) nếu Aα = B. Định nghĩa Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu nó có ít nhất 1 nghiệm và được gọi là hệ không tương thích nếu nó không có nghiệm. Định nghĩa Hệ (1) tương thích và chỉ có 1 nghiệm được gọi là hệ xác định, còn nếu nó có nhiều hơn 1 nghiệm gọi là hệ không xác định TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 29 [...]... HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 4 / 29 Hệ phương trình Cramer TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Định nghĩa CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 5 / 29 Hệ phương trình Cramer Định nghĩa Định nghĩa Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số ẩn, số phương trình bằng nhau và ma trận của hệ là không suy biến Tức là hệ có dạng TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH... Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 8 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 9 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép biến... chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj ) hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn 2 Nhân vào một phương trình của hệ một số λ = 0(hi → λhi ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 9 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ Xét hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình. .. CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 7 / 29 Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Ví dụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 8 / 29 Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Ví dụ Giải hệ phương trình   2x − 2y − z y +z  −x + y + z TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) = −1 = 1 = −1 CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 8 / 29 Hệ phương trình Cramer... Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj ) hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn 2 Nhân vào một phương trình của hệ một số λ = 0(hi → λhi ) 3 Cộng vào một phương trình của hệ một phương trình khác đã được nhân với một số (hi → hi + λhj ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 9 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tương đương... một phương trình của hệ một phương trình khác đã được nhân với một số (hi → hi + λhj ) thì ta sẽ được một hệ phương trình mới tương đương với hệ (1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 9 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Định lý Kronecker-Capelli Định lý Kronecker-Capelli TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH... hệ (hi ↔ hj ) hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 9 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ Xét hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và   a11 x1 + a12 x2 + + a1j xj + + a1n xn     ai1 x1 + ai2 x2 +... Xét hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và   a11 x1 + a12 x2 + + a1j xj + + a1n xn     ai1 x1 + ai2 x2 + + aij xj + + ain xn      am1 x1 + am2 x2 + + amj xj + + amn xn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH n ẩn = = = b1 bi bm TP HCM — 2011 9 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tương... TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 10 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Định lý Kronecker-Capelli Định lý Kronecker-Capelli Định lý Hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình, n ẩn (1) có nghiệm ⇔ r (A) = r (AB ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 10 / 29 ... ani a1n ain ann ⇒ |Ai | = a11 ai1 an1 a12 ai2 an2 CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH b1 bi bn a1n ain ann TP HCM — 2011 6 / 29 Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Chứng minh Hệ (2) ⇔ AX = B ⇔ X = A−1 B hay TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 7 / 29 Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Chứng minh Hệ (2) ⇔ AX = B ⇔ X = A−1 B hay  . CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 29 Hệ phương trình Cramer Định nghĩa Định nghĩa Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số ẩn, số phương trình bằng nhau. CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 5 / 29 Hệ phương trình Cramer Định nghĩa Định nghĩa Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số ẩn, số phương trình bằng nhau. CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 5 / 29 Hệ phương trình Cramer Định nghĩa Định nghĩa Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số ẩn, số phương trình bằng nhau