DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 11A 11A Ch¬ng: III Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu về một phương pháp chứng minh nhiều khẳng định trong toán học liên quan tập hợp số tự nhiên đó là “ Phép quy nạp toán học.” Tiếp đó chúng ta sẽ nghiên cứu về “dãy số” và cuối cung các em sẽ được tìm hiểu một số vấn đề xung quanh 2 dãy số đặc biệt là “cấp số cộng” và “cấp số nhân.” Tiết 37: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Xét 2 mệnh đề chứa biến a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai? b. Với mọi thì P(n), Q(n) đúng hay sai? ( ) :"3 3 1"& ( ) :"2 ", * n n P n n Q n n n > + > ∈ ¥ *n ∈ ¥ Trả lời: a. P(n) Q(n) n ? 3n+1 1 2 3 4 5 3 n n ? n 1 2 3 4 5 2 n b. Với mọi P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn là đúng hay sai. *n ∈ ¥ 3 9 27 81 243 4 7 10 13 16 < > > > > 2 8 16 32 5 4 3 2 1 4 > > > > > Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ S Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC 1. Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi ta thực hiện theo các bước sau: *n ∈ ¥ 1n k= ≥ B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1 B2: Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết qui nạp-GTQN) Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1 2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ1 Ví dụ1 : Chứng minh rằng với mọi n : Chứng minh rằng với mọi n ∈ ∈ N*, ta có: N*, ta có: ( 1) 1 2 3 (1) 2 n n n + + + + + = Ví dụ1 Ví dụ1 : Chứng minh rằng với mọi n : Chứng minh rằng với mọi n ∈ ∈ N*, ta có: N*, ta có: ( 1) 1 2 3 (1) 2 n n n + + + + + = Lời giải: +) Với n = 1, ta có ,đẳng thức (1) đúng. 1(1 1) VT(1) 1 VP(1) 2 + = = = +) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là (GTQN) ( 1) 1 2 3 2 k k k + + + + + = Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh: ( 1)[( 1) 1] 1 2 3 ( 1) (2) 2 k k k k + + + + + + + + + = Thật vậy: (2) (1 2 3 ) ( 1)VT k k= + + + + + + ( 1) ( 1) 2 k k k + = + + [ ] ( 1) ( 1) 1 2 k k+ + + = (2)VP = Vậy với mọi n ∈N*, ta có: ( 1) 1 2 3 (1) 2 n n n + + + + + = Xét 2 mệnh đề chứa biến a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai? b. Với mọi thì P(n), Q(n) đúng hay sai? *n ∈¥ Trả lời: a. P(n) n ? 3n+1 1 2 3 4 5 3 n b. Với mọi P(n) sai; *n ∈¥ 3 9 27 81 243 4 7 10 13 16 < > > > > c. ( ):"3 3 1"& ( ) :"2 ", * n n P n n Q n n n > + > ∈ ¥ 2, : 3 3 1 n n n N n≥ ∀ ∈ > +cã c. Dự đoán kết quả tổng quát của P(n) §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC 1. Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi ta thực hiện theo các bước sau: *n ∈¥ 1n k= ≥ B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1 B2: Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết qui nạp-GTQN) Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1 2. Ví dụ áp dụng: Chú ý: (SGK- 82) HOẠT ĐỘNG NHÓM HOẠT ĐỘNG NHÓM : 2, : 3 3 1 n n n N n≥ ∀ ∈ > +CMR cã 2 :1.4 2.7 (3 1) ( 1)n n n n+ + + + = +CMR : * 13 1 6 n n n N u∀ ∈ = − MCMR cã ( ) * 2 : 1.4 2.7 (3 1) ( 1) 1n n n n n ∀ ∈ + + + + = + ¥CMR  Với n = 1, ta có VT(1) = 1.(3.1+1) =4 = 1.(1+1) 2 =VP(1), đẳng thức đúng  Giả sử đẳng thức đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: 2 1.4 2.7 (3 1) ( 1)k k k k+ + + + = + Ta phải chứng minh đúng với n = k+ 1, tức là : [ ] [ ] ( ) 2 1.4 2.7 (3 1) ( 1) 3( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 2k k k k k k+ + + + + + + + = + + + Thật vậy: [ ] (2) [1.4 2.7 (3 1)] ( 1) 3( 1) 1VT k k k k= + + + + + + + + [ ] 2 ( 1) ( 1) 3( 1) 1k k k k= + + + + + ( 1)[ ( 1) 3 4]k k k k= + + + + 2 ( 1)( 4 4)k k k= + + + 2 ( 1)( 2)k k= + + (2)VP= (GTQN) Vậy với mọi n ∈N*, ta có: ( ) 2 1.4 2.7 (3 1) ( 1) 1n n n n + + + + = + 2 ( 1)( 2)k k= + + : * 13 1 6 (2) n n n N u∀ ∈ = − MCMR cã 1 1 13 1 12 6u = − = M 1 1 13 1 6 k k u + + = − M  Với n = 1 ta có: (Mệnh đề (2) đúng)  Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k+ 1, tức là : Thật vậy: 13 1 6 k k u = − M 1 1 13 1 13.13 1 k k k u + + = − = − 13(13 1) 12 k = − + 13 12 6 k u = + M Vậy với mọi n ∈N*, ta có: 13 1 6 n n u = − M 3 3 1 k k > + ( ) : 2, : 3 3 1 3 n n n N n≥ ∀ ∈ > +CMR cã  Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (3) đúng  Giả sử bất đẳng thức (3) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k+ 1, tức là : Thật vậy: theo giả thiết qui nạp có: 1 3 3( 1) 1 k k + > + + 1 3 3 1 3 3(3 1) k k k k + > + ⇔ > + 1 3 9 3 k k + ⇔ > + 1 3 3 4 6 1 k k k + ⇔ > + + − 1 6 1 0 : 3 3 4 k k k + − > > + V × nª n Vậy: 2, : 3 3 1 n n n N n≥ ∀ ∈ > +cã . NHÂN 11A 11A Ch¬ng: III Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu về một phương pháp chứng minh nhiều khẳng định trong toán học liên quan tập hợp số tự nhiên đó là “ Phép quy nạp toán học. ” . 5 4 3 2 1 4 > > > > > Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ S Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC 1. Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi ta thực hiện theo các bước. 1 n n n N n≥ ∀ ∈ > +cã c. Dự đoán kết quả tổng quát của P(n) §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC 1. Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi ta thực hiện theo các bước