Bài 8: Hình cầu trong hình học không gian – Khóa LTðH ðảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI HÌNH CẦU TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=c; AC=BD=b; AD=BC=c. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Giải: Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của BC và AD. Vì ABC DBC AM DM MN AD ∆ = ∆ ⇒ = ⇒ ⊥ . Tương tự: MN BC ⊥ Vậy MN là ñoạn vuông góc chung của AD và BC. Hay MN là ñường trung trực của AD và BC.  Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện sẽ là trung ñiểm của MN. Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 b c a b c a AM DM MN AM AN + + − = = − ⇒ = − = 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 2 2 MN a b c R OA AN + + ⇒ = = + = Vậy: 2 2 2 2 2 2 2 1 4 . . ( ) 4 2 2 4 a b c a b c R S π π π + + = = + + = Bài 2: Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có tất cả các cạnh ñáy và cạnh bên ñều bằng a. Gọi A’, B’, C’, D’lần lượt là trung ñiểm của SA,SB,SC,SD. a) CMR: Các ñiểm A,B,C,D,A’,B’,C’,D’ cùng thuộc một mặt cầu (C). b) Tính bán kính mặt cầu này. Giải: a) Gọi O, O’ lần lượt là tâm các hình vuông ABCD, A’B’C’D’. Khi ñó OO ' ( ) à OO ' ( ' ' ' ') ABCD v A B C D ⊥ ⊥ và OO’ là trục ñường tròn ngoại tiếp các hình vuông ấy. ⇒ Tâm I của hình cầu cần tìm thuộc OO’ và nằm ngoài OO’. ðặt: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . ' ' ' ( ) ( ) ( OO') ; 2 4 2 2 OO' 2 4 4 a a OI x Do IA IA OI OA OI OA x x SO a a x = = ⇒ + = + ⇔ + = + + = = ⇒ = Vậy 8 ñiểm A,B,C,D, A’,B’,C’,D’ cùng thuộc mặt cầu tâm I. Bài 8: Hình cầu trong hình học không gian – Khóa LTðH ðảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. Page 2 of 3 b) Bán kính : 2 2 10 8 2 4 a a a R IA= = + = Bài 3: Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt bên (SAB) và (SAD) cung vuông góc với ñáy, SA=a. Tính bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp. Giải: Vì ( ) ( ) ( ) ( ) SAB ABCD SAB ABCD AB AD SA AD AB ⊥   ∩ = ⇒ ⊥   ⊥  . Tương tự AB SA ⊥ . Ta hoàn toàn chứng minh ñược à SB BC v SD DC ⊥ ⊥ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 2) a a a a SAB SAD SBC SCD ABCD a TP a S S S S S S ⇒ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + = + + + + = + □ Mà 3 1 1 2 . . . óp 3 3 3 a V SA S ABCD a a ch = = =□ và 3 (2 2) 2 TP V a r S r − ⇒ = = Bài 4: Cho tứ diện ABCD có 4 chiều cao kẽ từ 4 ñỉnh lần lượt là h 1 , h 2 ,h 3 ,h 4 . Gọi r là bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện. CMR: 1 2 3 4 1 1 1 1 1 h h h h r + + + = Giải: Gọi diện tích các mặt ñối diện với các ñỉnh lần lượt là S 1 ,S 2 ,S 3 ,S 4 ta có: 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 1 3 3 3 3 ; ; ; 3 3 3 3 1 1 1 1 1 3 3 TP V V V V V h S h S h S h S h h h h S S S S S S S S S h h h h V V r = = = = ⇒ = = = = + + + ⇒ + + + = = = Bài 5: Cho tam giacs cân ABC có 0 120 BAC∠ = và ñường cao 2 AH a = . Trên ñường thẳng ∆ vuông góc với (ABC) tại A lấy 2 ñiểm I,J ở 2 bên ñiểm A sao cho: IBC là tam giác ñều, JBC là tam giác vuông cân. a) Tính các cạnh của ∆ ABC. b) Tính AI, AJ và chứng minh các tam giác BIJ và CIJ là các tam giác vuông. Bài 8: Hình cầu trong hình học không gian – Khóa LTðH ðảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. Page 3 of 3 c) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC, IABC. Giải: a) Các bạn tự tính ra ta ñược: 2 2; 2 6 AB AC a BC a = = = b) Các bạn sẽ tính ñược AI=4a và AJ=6a. Ta thấy IJ=AI+AJ=2a+4a=6a và IB 2 + JB 2 =24a 2 +12a 2 = 36a 2 . ðiều này chứng tỏ tam giác BIJ vuông tại B, tương tự ta cũng chứng minh ñược tam giác CIJ vuông tại C. c) Ta có: 0 90 IBJ ICJ∠ = ∠ = ðiều này chứng tỏ B,C nằm trên mặt cầu ñường kính IJ, bán kính 1 IJ 6 3 2 2 a R a = = = . Vì tam giác ABC cân t ạ i A nên ñườ ng cao Ah c ũ ng là ñườ ng trung tr ự c. ⇒ Tâm A’ c ủ a ñườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác ABC n ằ m trên AH. ðị nh lý hàm s ố sin cho ta: 2 2 2 2 sin BC R R a AH A = ⇒ = = nên A’ ñố i x ứ ng v ớ i A qua BC. G ọ i K là trung ñ i ể m c ủ a AI, Tâm L c ủ a m ặ t c ầ u ngo ạ i ti ế p t ứ di ệ n IABC là giao ñ i ể m c ủ a tr ụ c A’x c ủ a ñườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác ABC và trung tr ự c c ủ a ñ o ạ n Az n ằ m trong mp (AIH). Bán kính m ặ t c ầ u ñ ó là: 2 2 2 2 2 2 2 4 4 8 2 3 4 AI R LA AK LK AH a a a = = + = + = + = ………………….Hết………………… Nguồn: Hocmai.vn . Bài 8: Hình cầu trong hình học không gian – Khóa LTðH ðảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI HÌNH CẦU TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN . thuộc mặt cầu tâm I. Bài 8: Hình cầu trong hình học không gian – Khóa LTðH ðảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. Page 2 of 3 b) Bán kính : 2 2 10 8 2 4 a a a R IA= = + = Bài 3: Cho hình chóp. CIJ là các tam giác vuông. Bài 8: Hình cầu trong hình học không gian – Khóa LTðH ðảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. Page 3 of 3 c) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC, IABC.