 Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian  LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI  Trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng gần đây, phần Hình học khơng gian được ra dưới dạng mà học sinh có thể giải được bằng cả phương pháp hình học thuần t và cả phương pháp tọa độ. Việc giải tốn Hình học khơng gian bằng phương pháp hình học thuần túy gây rất nhiều khó khăn cho học sinh vừa học xong lớp 12, vì phần lớn các em ít nhiều đã qn kiến thức, kỹ năng chứng minh, dựng hình trong khơng gian. Việc giải bằng phương pháp toạ độ có rất nhiều ưu việt, tuy nhiên học sinh cũng gặp khơng ít khó khăn. Bởi vì, phương pháp này khơng được đề cập nhiều trong các sách giáo khoa, học sinh phổ thơng ít được tiếp cận. Để giúp các em học sinh lớp 12 có thêm phương pháp giải tốn Hình học khơng gian, chuẩn bị cho kỳ thi cuối cấp. Trong phạm vi đề tài Sáng kiến kinh nghiệm của mình, tơi xin trình bày một số bài tốn cụ thể về hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình hộp và lăng trụ giải bằng phương pháp tọa độ. Trong q trình biên soạn đề tài tơi đã có nhiều cố gắng song khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và Hội đồng chun mơn của nhà trường để các đề tài sau của tơi được tốt hơn. Xin chân thành cảm ơn. Quảng Ngãi, tháng 03/2008 Người thực hiện đề tài Ngơ Văn Hải A. Cơ sở lý thuyết Để giải bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta thực hiện qua các bước sau: Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Đề-cac thích hợp. Sáng kiến kinh nghiệm Trang 1 GV: Ngô Văn Hải  Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian  Bước 2: Dựa vào các điều kiện của bài tốn để xác định tọa độ các điểm, phương trình của đường thẳng và mặt phẳng cần thiết; xác định điều kiện ràng buộc giữa các điểm, phương trình các đường và mặt. Bước 3: Sử dụng các kiến thức về hình học giải tích trong khơng gian để giải quyết bài tốn. Việc chọn một hệ trục tọa độ Đề – các thích hợp sẽ làm cho bài tốn trở nên quen thuộc và có hướng giải rõ ràng hơn. Thơng thường gốc và trục toạ độ gắn liền với điểm và các đường đặc biệt của bài tốn như: Tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, đỉnh của góc tam diện vng Ngồi ra, để sử dụng phương pháp này một cách hiệu qủa, học sinh cần nắm vững lý thuyết hình học lớp 12 về “ Phương pháp tọa độ trong khơng gian “ và một số khái niệm, định lý cơ bản của hình học khơng gian. Sau đây là một số bài tốn hình học khơng gian giải bằng phương pháp tọa độ mà trước đó nhiều tác giả đã giải bằng phương pháp hình học thuần t. B. Các ví dụ minh họa: I/ Các bài tốn về hình chóp tam giác: Bài tốn 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giac vng cân AB=AC=a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) và 2 2a SA = . a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC với I là trung điểm của cạnh BC.  Lời giải: Sáng kiến kinh nghiệm Trang 2 GV: Ngô Văn Hải  Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian  Do AB, AC, AS đơi một vng góc nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O )0;0;0(A≡ , B(a;0;0), C(0;a;0), ) 2 2 ;0;0( a S ( xem hình 1 ). a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC): Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến là )0;0;1(=i Mặt phẳng (SBC) có cặp vectơ chỉ phương: ) 2 2 ;;0(); 2 2 ;0;( a aSC a aSB −=−= Ta có [ ] )2;1;1( 2 2 ; 2 2 ; 2 2 , 2 2 22 a a aa SCSB =         = nên mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến )21;1(=n Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) ta có: 0 60 2 1 211 1 . . cos =⇒= ++ == ϕϕ ni ni b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC: Vì I là trung điểm của BC       ⇒ 0; 2 ; 2 aa I nên ta có: [ ] [ ] [ ] 2 488 , 4 2 ., 2 2 ;0;0, 2 ; 4 2 ; 4 2 ,, 2 2 ;;0,0; 2 ; 2 2444 3 222 aaaa SCAI a ASSCAI a AS aaa SCAI a aSC aa AI =++= =⇒         =         −=         −=       = Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC là: [ ] 2 2 . 4 2 , ., ),( 2 3 a a a SCAI ASSCAI SCAId ==       = Bài tốn 2: ( Trích đề thi Đại học khối A năm 2002 ) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích của tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC).  Lời giải: Sáng kiến kinh nghiệm Trang 3 GV: Ngô Văn Hải z x y A S B C I (Hình 1)  Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian  Gọi H là hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng (ABC) thì H là trọng tâm ( cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp ) của tam giác ABC. Giả sử SH = h. Gọi K là trung điểm của BC ta có: 6 3 ; 3 3 ; 2 3 a HK a AH a AK === Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: )0;0;0(HO ≡ ( xem hình 2 ) Ta có: )0; 2 ; 6 3 (),0; 2 ; 6 3 (),0;0; 3 3 ( aa C aa B a A −−−         − −         − − 2 ; 4 ; 12 3 , 2 ; 4 ; 12 3 ),0;0; 6 3 (),;0;0( haa N haa M a KhS Suy ra :         −−=         −= 2 ; 4 ; 12 35 2 ; 4 ; 12 35 haa AN haa AM Mặt phẳng (AMN) có vectơ pháp tuyến [ ]         == 24 35 ;0; 4 , 2 1 aah ANAMn .         −−−=         −−= h aa SCh aa SB ; 2 ; 6 3 ;; 2 ; 6 3 . Mặt phẳng (SBC) có véctơ pháp tuyến [ ]         −== 6 3 ;0;, 2 2 a ahSCSBn . Theo giả thiết: 0 48 5 4 0.)()( 422 21 =+−⇔=⇒⊥ aha nnSBCAMN 6 15a h =⇒ . Vậy [ ] [ ] 16 10 , 2 1 24 35 ;0; 24 15 , 222 a ANAMS aa ANAM AMN ==⇒         = ∆ * Bài tập tham khảo: 1) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). ( Trích đề thi Đại học khối D – năm 2002 ) 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vng góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu Sáng kiến kinh nghiệm Trang 4 GV: Ngô Văn Hải z x y A C B S K H N M ( Hình 2 )  Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian  vng góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.BCNM. ( Trích đề thi Đại học khối D – năm 2006 ) 3) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng 62 . Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AC và AB. Tính thể tích hình chóp S.AMN và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó. II/ Các bài tốn về hình chóp tứ giác: Bài tốn 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với aSAaADaAB === ;2; và SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) . Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích khối tứ diện ANIB. ( Trích đề thi Đại học khối B – năm 2006 )  Lời giải: Theo giả thiết ta có AS, AB, AD đơi một vng góc, nên ta chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho )0;0;0(AO ≡ , ( xem hình 3 ) Khi đó ta có: M là trung điểm của AD )0; 2 2 ;0( a M⇒ N là trung điểm của SC ) 2 ; 2 2 ; 2 ( aaa N⇒ I là giao điểm của AC và BM nên I là trọng tâm của tam giác ABD         ⇒ 0; 3 2 ; 3 aa I * Chứng minh )()( SBMSAC ⊥ Ta có : [ ] )0;;2(,)0;2;(),;0;0( 22 1 aaACASnaaACaAS −==⇒== [ ]         ==⇒−=−= 2 2 ;; 2 2 ,); 2 2 ;0(),;0;( 2 2 2 2 a a a SMSBna a SMaaSB mà 21 , nn lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBM) đồng thời 0 2 2 .0. 2 2 .2. 2 22 2 2 21 =++−= a aa a ann nên )()( SBMSAC ⊥ (đpcm). Sáng kiến kinh nghiệm Trang 5 GV: Ngô Văn Hải z S x B C y D N MA I ( Hình 3 ) );0;0(),0;2;(),0;2;0(),0;0;( aSaaCaDaB  Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian  * Tính ANIB V ? Ta có : [ ]         −=⇒         =         = 0; 6 ; 6 2 ,0; 3 2 ; 3 , 2 ; 2 2 ; 2 22 aa AIAN aa AI aaa AN )0;0;(aAB = Suy ra thể tích của khối chóp AINB là: [ ] 36 2 . 6 2 6 1 ., 6 1 32 a a a ABAIANV AINB =−== Bài tốn 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC và CD. Chứng minh rằng AM vng góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP. ( Trích đề thi Đại học khối A – năm 2007 )  Lời giải: Gọi H là trung điểm của AD, vì tam giác SAD đều nên SH ⊥ AD. Măt khác (SAD) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD). Suy ra HS, HA và HN đơi một vng góc. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho )0;0;0(HO ≡ (hình 4) Khi đó ta có : )0; 2 ; 2 ( ) 4 3 ; 2 ; 4 (),0;;0(),0;; 2 ( )0;; 2 (), 2 3 ;0;0(),0;0; 2 (),0;0; 2 ( aa P aaa MaNa a C a a B a S a D a A − − − * Chứng minh AM ⊥ BP: Ta có ) 4 3 ; 2 ; 4 ( aaa AM −= )0: 2 ;( a aBP −−= Suy ra : BPAMa aaaa aBPAM ⊥⇒=+−−−= 0 4 3 .0 2 . 2 ) 4 .(. (đpcm) * Tính thể tích khối chóp CMNP: Ta có: [ ] ) 4 ; 8 3 ;0(,) 4 3 ; 2 ; 4 (), 4 3 ; 2 ; 4 3 ( 22 aa MNMC aaa MN aaa MC −=⇒−−=−−= ) 4 3 ;0; 4 3 ( aa MP −−= Suy ra thể tích khối chóp CMNP: Sáng kiến kinh nghiệm Trang 6 GV: Ngô Văn Hải x z S C y N B M D H P A  Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian  [ ] 96 3 16 3 6 1 ., 6 1 33 aa MPMNMCV CMNP =−== . * Bài tập tham khảo: 1) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC.Chứng minh rằng MN vng góc với BD và tính ( theo a ) khoảng cách giữa MN và AC. ( Trích đề thi Đại học khối B – năm 2007 ) 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, aADaBCBABADABC 2,,90 0 ===== ∧∧ , cạnh bên SA vng góc với mặt đáy và 2aSA = . Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên SB . Chứng minh rằng tam giác SCD vng và tính ( theo a ) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). ( Trích đề thi Đại học khối D – năm 2007 ) 3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, Cạnh AB = a, AD = b, SA vng góc với mặt đáy và SA = 2a. Gọi N là trung điểm của SD . a. Tính d(A,(BCN)) và d(SB,CN) b. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC) c. Gọi M là trung điểm của SA. Tìm điều kiện của a và b để 3 1 cos = ∧ CMN , trong trường hợp đó tính V S.BCM III/ Các bài tốn về hình hộp và lăng trụ: Bài tốn 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 1 . Gọi I, J, K lần lượt là trung điển của các đoạn thẳng AA’, CD và A’D’. a) Tính thể tích khối tứ diện BIJK. b) Biết BK vng góc với mặt phẳng (A’C’D). Tính độ dài các cạnh của hình hộp . c) Tính giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường thẳng CI và A’J.  Lời giải: Gọi a,b,c là 3 kích thước của hình hộp chữ nhật, ta có a.b.c = 1. Xét hệ trục Đề –các vng góc Axyz với tọa độ các điểm là : Sáng kiến kinh nghiệm Trang 7 GV: Ngô Văn Hải x B B’ A’ z C’ D’ D y C A I J K  Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian  ); 2 ;0(),0;; 2 ( ) 2 ;0;0(),;;0('),;;('),;0;('),;0;0('),0;;0(),0;;(),0;0;(),0;0;0( c b Kb a J c IcbDcbaCcaBcAbDbaCaBA a) Gọi V là thể tích củan tứ diện BIJK ta có: [ ] [ ] 8 5 82 6.,6 ); 2 ;( ; 4 ; 2 ,)0;; 2 (), 2 ;0;( abc abc abcabc VBKBJBIV c b aBK ab acbc BJBIb a BJ c aBI =−−=⇔=⇒ −=       −−−=⇒−=−= Vậy 48 5 =V ( vì a.b.c =1 ) b) Ta có      = = ⇔      ⊥ ⊥ ⇔⊥ 0'. 0''. ' '' )''( DABK CABK DABK CABK DCAmpBK (1) Với );;0('),0;;(''),; 2 ;( cbDAbaCAc b aBK −==−= Thế vào hệ (1) ta được 6 2 2 2 2 2 1 2 0 2 0 2 ===⇔        =− =+− b ca c b b a , từ đó suy ra độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật. c) Gọi khoảng cách giữa hai đường thẳng CI và A’J là h , ta có; [ ] [ ] 222 222222 944 1 944 ', '.', bca caabcb abc JACI IAJACI h ++ = ++ == Ap dụng BĐT Cơ si với a.b.c = 1 ta có: 3 max 144.3 1 =h đạt được khi 3 12 1 322 === bca Bài tốn 6: Sáng kiến kinh nghiệm Trang 8 GV: Ngô Văn Hải  Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian  Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các mặt bên là hình vng cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, A’C’, C’B’. Tính khoảng cách giữa DE và A’F.  Lời giải : Xét hệ trục Đề –các vng góc A’xyz với tọa độ các điểm là : [ ] ) 8 3 ;0; 2 3 (', )0; 4 3 ; 4 ('),0; 2 3 ;0('); 4 3 ; 4 ( )0; 4 3 ; 4 ((),; 2 3 ;0(),0; 2 3 ;0(),0;0;0(' aa FAED aa EA a FAa aa ED aa Ea a D a FA −=⇒ ==−=⇒ Ta có : [ ] [ ] 17 64 3 0 4 3 8 3 ', '.', )',( 22 2 a aa a FAED EAFAED FADEd = ++ == Vậy khỏang cách giữa hai đường thẳng DE và A’F là 17 17a * Bài tập tham khảo: 1) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a, AA’ = b. Gọi M là trung điểm của CC’. a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b. b) xác định tỉ số b a để hai mặt phẳng (A’BD) và(MBD) vng góc với nhau. ( Trích đề thi Đại học khối A – năm 2003 ) 2) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a . a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D. b) Gọi M, N, P lẩn lượt là trung điểm của các cạnh BB’,CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N. ( Trích đề thi Đại học khối B – năm 2002 ) 3) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc .60 0 = ∧ BAD Gọi m, N lần lượt là trung điểm của AA’ và CC’. Chứng minh rằng B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vng. ( Trích đề thi Đại học khối B – năm 2003 ) Sáng kiến kinh nghiệm Trang 9 GV: Ngô Văn Hải  Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian  ---  --- Sáng kiến kinh nghiệm Trang 10 GV: Ngô Văn Hải [...]... Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian  Qua nhiều năm cơng tác, trực tiếp giảng dạy bộ mơn tốn lớp 12, tơi nhận thấy sử dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian là một phương pháp có nhiều tính ưu việt, phù hợp với đối tượng học sinh chuẩn bị thi vào các trường Đại học- Cao đẳng, đặc biệt là các kỳ thi gần đây khi... kỳ thi “Ba chung” Nên bản thân tơi cũng rất tâm huyết khi thực hiện đề tài này Trên đây là một số suy nghĩ và đề xuất của tơi, mong đóng góp cùng đồng nghiệp để giúp đỡ học sinh có thêm phương pháp giải tốn, rèn luyện tư duy, sáng tạo trong học tốn làm cơ sở cho các kỳ thi cuối cấp ---  --- Quảng Ngãi, Tháng 3 năm 2008 Sáng kiến kinh nghiệm Trang 11 GV: Ngô Văn Hải . thể giải được bằng cả phương pháp hình học thuần t và cả phương pháp tọa độ. Việc giải tốn Hình học khơng gian bằng phương pháp hình học thuần túy gây rất nhiều khó khăn cho học sinh vừa học.  Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian  LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI  Trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng gần đây, phần Hình học khơng gian được ra dưới dạng mà học. phương pháp tọa độ ta thực hiện qua các bước sau: Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Đề-cac thích hợp. Sáng kiến kinh nghiệm Trang 1 GV: Ngô Văn Hải  Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không