LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình Tốn trung học phổ thơng, tốn tìm đạo hàm, nguyên hàm tích phân hàm số khơng thể thiếu Đây lớp tốn quan trọng, có liên quan mật thiết với Tính thành thạo đạo hàm hàm số, giúp suy luận để hướng tới kết tốn tìm ngun hàm, kiểm tra tính đắn kết Ngược lại, tìm thành thạo ngun hàm, giúp ta tính nhiều tích phân đơn giản hàm số khác nhau… Tuy nhiên, với nhiều học sinh, việc tìm nguyên hàm hàm số lại vấn đề đơn giản Chính lẽ đó, tơi xin đưa số phương pháp tìm ngun hàm nói chung, phương pháp tìm nguyên hàm số lớp hàm số nói riêng Đề tài mang tên “Rèn kỹ tìm nguyên hàm cho học sinh” – hy vọng giúp bạn học sinh tạo kỹ cần thiết tìm nguyên hàm hàm số Nội dung đề tài Trình bày phương pháp tìm ngun hàm với ví dụ minh họa cụ thể Đề tài gồm chương: Chương Kiến thức bổ trợ Chương nhắc lại số công thức lượng giác cần nhớ, cần thiết cho trình biến đổi hàm số; cơng thức quy tắc tính đạo hàm; vi phân hàm số… Chương Các phương pháp tìm nguyên hàm Chương trình bày số phương pháp tìm nguyên hàm: Phương pháp đổi biến số; Phương pháp nguyên hàm phần; Nguyên hàm hàm hữu tỉ; Nguyên hàm hàm lượng giác… Nội dung chương, trình bày thành bài: §1 Định nghĩa nguyên hàm §2 Một số phương pháp tìm ngun hàm §3 Ngun hàm hàm hữu tỉ §4 Nguyên hàm hàm lượng giác Tuy nhiên, biết rằng, tốn tìm ngun hàm phức tạp Cho nên, đòi hỏi học sinh khả áp dụng sáng tạo phương pháp tìm nguyên hàm Và thường khi, gặp nhiều phép biến đổi khơng theo khn mẫu có sẵn cả, tất nhiên khơng trình bày phần nội dung phương pháp tìm nguyên hàm Từ đó, lại thấy rõ cần thiết hình thành kỹ biến đổi hàm số để tìm nguyên hàm cho học sinh! NỘI DUNG CHƯƠNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ Trong Chương này, ta nhắc lại số kiến thức cần thiết biến đổi biểu thức lượng giác cần tính ngun hàm, cơng thức tính đạo hàm số hàm số… A CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ I Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt Cung đối sin ( −α ) = − sin α tan ( −α ) = − tan α cos ( −α ) = cos α cot ( −α ) = − cot α Cung bù sin ( π − α ) = sin α tan ( π − α ) = − tan α cos ( π − α ) = − cos α cot ( π − α ) = − cot α Cung phụ π  sin  − α ÷ = cos α 2  π  tan  − α ÷ = cot α 2  π  cos  − α ÷ = sin α 2  π  cot  − α ÷ = tan α 2  Cung π π  sin  + α ÷ = cos α 2  π  tan  + α ÷ = − cot α 2  π  cos  + α ÷ = − sin α 2  π  cot  + α ÷ = − tan α 2  Cung π sin ( π + α ) = − sin α tan ( π + α ) = tan α cos ( π + α ) = − cos α cot ( π + α ) = cot α II Công thức lượng giác Các hệ thức sin α + cos α = sin α tan α = cos α 1 + tan α = cos α Công thức cộng tan α.cot α = cos α cot α = sin α + cot α = sin α cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b tan a + tan b tan ( a + b ) = − tan a tan b cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b tan a − tan b tan ( a − b ) = + tan a tan b Công thức nhân đôi cos 2α = cos α − sin α = 2cos α − = − 2sin α = cos α − sin α sin 2α = 2sin α cos α tan α tan 2α = − tan α Công thức nhân ba 3sin α − sin 3α 3cos α + cos3α cos3α = 4cos3 α − 3cos α ⇒ cos3 α = sin 3α = 3sin α − 4sin 3α ⇒ sin α = Công thức hạ bậc − cos 2α sin α = + cos 2α cos α = − cos 2α tan α = + cos 2α Cơng thức tính sin α,cos α, tan α theo t = tan 2t 1+ t2 2t cos α = 1− t2 2t tan α = 1− t2 sin α = Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos a cos b = cos ( a − b ) + cos ( a + b )   2 sin a sin b = cos ( a − b ) − cos ( a + b )   2 sin a cos b = sin ( a − b ) + sin ( a + b )   2 Công thức biến đổi tổng thành tích α a+b a −b cos 2 a+b a −b cos a − cos b = −2sin sin 2 a+b a −b sin a + sin b = 2sin cos 2 a+b a −b sin a − sin b = 2cos sin 2 sin ( a + b ) tan a + tan b = cos a cos b sin ( a − b ) tan a − tan b = cos a cos b Các công thức thường dùng khác π π   sin α + cos α = sin  α + ÷ = cos  α − ÷ 4 4   π π   sin α − cos α = sin  α − ÷ = − cos  α + ÷ 4 4   cos a + cos b = 2cos B CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM Cơng thức tính đạo hàm hàm số hợp ' ' ' Cho y hàm số theo u u hàm số theo x ta có: y x = yu u x Các quy tắc tính đạo hàm (ở u = u ( x ) ; v = v ( x ) ) ( u + v ) ' = u '+ v ' ( u − v ) ' = u '− v ' ( u.v ) ' = u '.v + u.v ' '  u  u ' v − uv '  ÷= v2 v Đạo hàm số hàm số thường gặp (ở u = u ( x ) ) c ' = ( c số) ' ' ( x) = ( k u ) = k u ' (x ) α ' = α.x α−1 ( α ∈ ¡ (u ) ) α ' ' ' 1  ÷ = − ,( x ≠ 0) x  x ' x = , ( x > 0) x Đạo hàm hàm lượng giác = α.u α−1.u ' u' 1  ÷ = − ,( u ≠ 0) u u ' u' u = ,( u > 0) u ( ) ( ) ( sin x ) ' = cos x ( cos x ) ' = − sin x ( sin u ) ' = u '.cos u ( cos u ) ' = −u '.sin u cos x ( cot x ) ' = − sin x ( tan u ) ' = ( tan x ) ' = u' cos u u' ( cot u ) ' = − sin u Đạo hàm hàm số mũ hàm số lơgarít ( a ) ' = a ln a (e )'=e x x ( log a x ) ( a ) ' = a u '.ln a ( e ) ' = u '.e x u x ' = ( ln x ) ' = u u x.ln a ( log a u ) x u ' ( ln u ) ' = = u' u.ln a u' u C VI PHÂN Nhớ lại: y = f ( x ) ⇒ dy = d ( f ( x ) ) = f ' ( x ) dx Vậy có: 1 • d ( ax + b ) = a.dx • d ữ = dx x x ã d ( sin x ) = cos xdx • d ( cot x ) = − dx sin x • d ( cos x ) = − sin xdx x x • d ( e ) = e dx •d ( x ) = 2dxx dx cos x dx • d ( ln x ) = x • d ( tan x ) = CHƯƠNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM Trong chương trình Tốn trung học phổ thơng, tốn tìm đạo hàm, nguyên hàm tích phân hàm số khơng thể thiếu Đây lớp tốn quan trọng, có liên quan mật thiết với Tính thành thạo đạo hàm hàm số, giúp suy luận để hướng tới kết toán tìm ngun hàm, kiểm tra tính đắn kết Ngược lại, tính thành thạo nguyên hàm, giúp ta tính nhiều tích phân đơn giản hàm số khác nhau… Tuy nhiên, với nhiều học sinh, việc tìm nguyên hàm hàm số lại vấn đề đơn giản Chính lẽ đó, tơi xin đưa số phương pháp tìm ngun hàm nói chung, phương pháp tìm nguyên hàm số lớp hàm số nói riêng Nội dung chương, trình bày thành bài: §1 Định nghĩa nguyên hàm §2 Một số phương pháp tìm ngun hàm §3 Ngun hàm hàm hữu tỉ §4 Nguyên hàm hàm số lượng giác Tuy nhiên, biết rằng, toán tìm ngun hàm phức tạp Cho nên, địi hỏi học sinh khả áp dụng sáng tạo phương pháp tìm nguyên hàm Và thường khi, gặp nhiều phép biến đổi không theo khuôn mẫu có sẵn cả, tất nhiên khơng trình bày phần nội dung phương pháp tìm ngun hàm §1 ĐỊNH NGHĨA NGUN HÀM A ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT Định nghĩa  F ( x ) = x3  VD1 Cho   f ( x ) = 3x   F ( x ) = cos x  VD2 Cho   f ( x ) = − sin x  Ta thấy hai ví dụ có F ' ( x ) = f ( x ) Ta gọi F ( x ) nguyên hàm f ( x ) Vì với C số bất kỳ, ta có ( F ( x ) + C ) = F ' ( x ) = f ( x ) nên ' F ( x ) nguyên hàm f ( x ) F ( x ) + C nguyên hàm f ( x ) Ta gọi F ( x ) + C , ( C − const ) Họ nguyên hàm f ( x ) Ký hiệu: ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C VD: ∫ x dx = x + C ; ∫ cos xdx = sin x + C Tính chất • (∫ ) ' f ( x ) dx = f ( x ) • ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx , k số • ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx   • ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx   Sự tồn nguyên hàm Mọi hàm số liên tục đoạn [ a; b ] có nguyên hàm đoạn [ a; b ] B BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP ∫ dx = x + C ∫ x dx = α + x α α +1 ∫ du = u + C ∫ u du = α + u α +C dx α +1 +C du ∫ x = ln x + C ( x ≠ ) ∫ e dx = e + C ax ∫ a dx = ln a + C ( < a ≠ 1) ∫ cos xdx = sin x + C ∫ u = ln u + C ( u ≠ ) ∫ e du = e + C au ∫ a du = ln a + C ( < a ≠ 1) ∫ cos udu = sin u + C x x u x u ∫ sin xdx = − cos x + C dx ∫ cos x dx ∫ sin x u ∫ sin udu = − cos u + C du = tan x + C ∫ cos = − cot x + C ∫ sin u du C MỘT SỐ NGUYÊN HÀM HAY DÙNG dx x−a = ln ∫ x − a 2a x + a + C dx x −1 +C Đặc biệt ∫ 2 = ln x −1 x +1 dx = ln x + a + x + C ∫ x + a2 dx = ln x − a + x + C ∫ 2 x −a dx x = ln tan + C ∫ sin x u = tan u + C = − cot u + C dx x π ∫ cos x = ln tan  + ÷ + C   xdx = ln x + a + C +a xdx = ln x − a + C ∫ 2 x −a xdx = x2 + a2 + C ∫ x + a2 xdx = x2 − a2 + C ∫ 2 x −a x a x + a + ln x + x + a + C 10 ∫ x + a dx = 2 x a x − a − ln x + x − a + C 11 ∫ x − a dx = 2 ∫x §2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM Trong này, tìm hiểu số phương pháp tìm nguyên hàm, như: Áp dụng công thức nguyên hàm số hàm số thường gặp; Phương pháp đổi biến số; Phương pháp nguyên hàm phần… I PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG CƠNG THỨC NGUN HÀM CƠ BẢN Ví dụ Tìm nguyên hàm: • I = ∫ x dx = x + C dx 1 −5 x −5+1 + C = − x −4 + C • I = ∫ = ∫ x dx = x −5 + 4 • I = ∫ ( x + x ) dx = ∫ ( x + x + x ) dx = x + x + x + C dx dx = = ln x + C •I = ∫ 2x ∫ x • I = ∫ e2 x dx = ∫ e x d ( x ) = e x + C 1 • I = ∫ e4 x dx = ∫ e x d ( x ) = e x +C 4 1 • I = ∫ cos xdx = ∫ cos xd ( x ) = sin x + C 2 1 • I = ∫ sin xdx = ∫ sin xd ( x ) = − cos x + C 2 2 1 • I = ∫ x.e x dx = ∫ e x d ( x ) = e x + C 2 d ( cos x ) sin x • I = ∫ tan xdx = ∫ dx = − ∫ = − ln cos x + C cos x cos x d ( sin x ) cos x • I = ∫ cot x = ∫ dx = ∫ = ln sin x + C sin x sin x sin x d ( cos x ) • I = ∫ tan xdx = ∫ dx = − ∫ = − ln cos x + C cos x cos x cos x d ( sin x ) • I = ∫ cot xdx = ∫ dx = ∫ = ln sin x + C sin x sin x 2 • I = ∫ sin x.cos xdx = ∫ sin xd ( sin x ) = sin x + C 3 2 • I = ∫ cos x.sin xdx = − ∫ cos xd ( cos x ) = − cos x + C 4 • I = ∫ sin x.cos xdx = − ∫ cos xd ( cos x ) = − cos x + C 4 • I = ∫ cos x.sin xdx = ∫ sin xd ( sin x ) = sin x + C 2 • I = ∫ ( − 3sin x ) cos xdx = ∫ ( − 3sin x ) d ( sin x ) = ∫ d ( sin x ) − ∫ 3sin xdx = sin x − sin x + C 2 • I = ∫ cos xdx = ∫ cos x.cos xdx = ∫ ( − sin x ) cos xdx = ∫ ( − sin x ) d ( sin x ) = sin x − sin x + C 3 2 • I = ∫ sin xdx = ∫ sin x.sin xdx = − ∫ ( − cos x ) d ( cos x ) = cos x − cos x + C − cos x 1 1 dx = ∫ dx − ∫ cos xdx = x − sin x + C • I = ∫ sin xdx = ∫ 2 2 + cos x 1 1 dx = ∫ dx + ∫ cos xdx = x + sin x + C • I = ∫ cos xdx = ∫ 2 2 − cos x 1 x dx = ∫ dx − ∫ cos xdx = − sin x + C • I = ∫ sin xdx = ∫ 2 2 + cos x 1 x dx = ∫ dx + ∫ cos xdx = + sin x + C • I = ∫ cos xdx = ∫ 2 2 2 sin x − cos x dx dx = ∫ dx = ∫ − dx = tan x − x + C • I = ∫ tan xdx = ∫ cos x cos x cos x ∫ cos x − sin x dx dx = ∫ − ∫ dx = − cot x − x + C • I = ∫ cot xdx = ∫ dx = ∫ sin x sin x sin x Ví dụ Tìm ngun hàm: Trong Ví dụ cần ý: d ( tan x ) = dx = ( + tan x ) dx cos x 3 • B1 = ∫ tan xdx = ∫ ( tan x + tan x − tan x ) dx = ∫  tan x ( tan x + 1) − tan x  dx   = ∫ tan x ( tan x + 1) dx − ∫ tan xdx = ∫ tan xd ( tan x ) − ∫ sin x dx cos x = tan x + ln cos x + C 4 2 2 • B2 = ∫ tan xdx = ∫ ( tan x + tan x − tan x ) dx = ∫ tan x ( tan x + 1) dx − ∫ tan xdx = ∫ tan xd ( tan x ) − ( tan x − x ) + C = tan x − tan x + x + C 5 3 • B3 = ∫ tan xdx = ∫ ( tan x + tan x − tan x − tan x + tan x ) dx = ∫ tan x ( tan x + 1) dx − ∫ tan x ( tan x + 1) dx + ∫ tan xdx 1 = ∫ tan xd ( tan x ) − ∫ tan xd ( tan x ) + ∫ tan xdx = tan x − tan x − ln cos x + C 6 4 2 • B4 = ∫ tan xdx = ∫ ( tan x + tan x − tan x − tan x + tan x ) dx 10 Ta tìm A, B, C cho: x − 26 x + 26 A B C = + + ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) x − x − x − ⇒ x − 26 x + 26 = A ( x − ) ( x − 3) + B ( x − 1) ( x − 3) + C ( x − 1) ( x − ) Cho x giá trị 1, 2, ta tìm A = 3; B = 2; C = Từ đó:   J = ∫ + + ÷dx = 3ln x − + 2ln x − + ln x − + C  x −1 x − x −  • K =∫ x −8 x −8   dx = ∫ dx = ∫  − ÷dx = 2ln x + − ln x − + C x2 − x − ( x + ) ( x − 3)  x + x −3 3x + 13x + 11 3x + 13 x + 11 dx = ∫ dx • L=∫ x + 5x2 + 8x + ( x + 1) ( x + ) Ta tìm A, B, C cho: x + 13 x + 11 A B C = + + 2 ( x + 1) ( x + ) x + x + ( x + ) ⇒ 3x + 13x + 11 = A ( x + ) + B ( x + 1) ( x + ) + C ( x + 1) ⇒ 3x + 13x + 11 = ( A + B ) x + ( A + 3B + C ) x + ( A + B + C ) 3 = A + B A =1   ⇒ 13 = A + 3B + C ⇒  B = 11 = A + B + C C =   Từ đó:   L = ∫ + + dx +C ÷ = ln x + + 2ln x + −  x + x + ( x + 2) ÷ x+2    x3 − x + x − 1   dx = ∫ x ã M = ữdx = ∫  x − x − 3x + x − 3x +  ( x − 1) ( x − )    ÷dx  1   = ∫  2x − + dx ÷ = x − ln x − + ln x − + C x − x −1  d ( x3 − x + x + 5) 3x − x + • N =∫ dx = ∫ = ln x − x + x + + C 2 x − 2x + 2x + x − 2x + 2x + Nguyên hàm dạng I = ∫ dx ( x + a) ( x + b) 2 Ta xét số ví dụ: 21 •I = ∫ dx ( x + 3) ( x + 1) 2 Ta phân tích: 2  ( x + 3) − ( x + 1)   1  =  −  =  ÷ 2 ( x + 3) ( x + 1)  ( x + 3) ( x + 1)   x + x +  =  1 1 1 1  + − + + −  =   2 2  ( x + 1) ( x + 3) ( x + 1) ( x + 3)   ( x + 1) ( x + 3) x + x +      Từ đó:  1 1  I = ∫ + + − dx 2 x + x + 1 ( x + 3)  ( x + 1)   1 1 1 =− − + ln x + − ln x + + C x +1 x + 4 •J = ∫ dx ( x − 3) ( x + ) 2 Ta phân tích: ( x − 3) ( x + ) 2  ( x + ) − ( x − 3)    =  − +    = 49  ( x − 3) ( x + )  49  ( x − 3) ( x − 3) ( x + ) ( x + )    Từ đó: 1 1 J= ∫ dx − ∫ dx + ∫ dx 49 ( x − 3) 49 ( x − 3) ( x + ) 49 ( x + ) 1 1  1  − − ∫  x − − x + ÷dx 49 x − 49 x + 343   1 1 x −3 =− − − ln +C 49 x − 49 x + 343 x + =− 22 §4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC Trong này, tìm hiểu số tốn tìm ngun hàm hàm lượng giác có dạng đặc biệt dx sin ( x + a ) sin ( x + b ) Phương pháp tính Dùng đồng thức: sin ( a − b ) sin ( x + a ) − ( x + b )  sin ( x + a ) cos ( x + b ) − cos ( x + a ) sin ( x + b )  = 1= = sin ( a − b ) sin ( a − b ) sin ( a − b ) Từ suy ra: sin ( x + a ) cos ( x + b ) − cos ( x + a ) sin ( x + b ) I= dx sin ( a − b ) ∫ sin ( x + a ) sin ( x + b ) I Dạng I = ∫  cos ( x + b ) cos ( x + a )  −  dx sin ( a − b ) ∫  sin ( x + b ) sin ( x + a )  ln sin ( x + b ) − ln sin ( x + a )  + C =  sin ( a − b )  = Chú ý Với cách này, ta tìm nguyên hàm: dx sin ( a − b ) •J = ∫ cách dùng đồng thức = cos ( x + a ) cos ( x + b ) sin ( a − b ) •K = ∫ dx cos ( a − b ) cách dùng đồng thức = sin ( x + a ) cos ( x + b ) cos ( a − b ) Ví dụ áp dụng dx π  • sin x sin  x + ÷ 6  π sin  x + π  − x  ÷ sin  6    = sin  x + π  cos x − cos  x + π  sin x  6= Ta có: = ÷  ÷    π 6 6     sin   π π    π   sin  x + ÷cos x − cos  x + ÷sin x   cos x cos  x + ÷       dx =    Từ đó: I = 2∫ ∫  sin x −  π  dx π  sin x sin  x + ÷ sin  x + ÷   6 6     I =∫ 23   π  d  sin  x + ÷÷ d ( sin x )  sin x  = 2∫ − 2∫  = 2ln +C π π sin x   sin  x + ÷ sin  x + ÷ 6 6   dx I =∫ π  • cos3 x cos  x + ÷ 6  Ta có: π sin  x + π  − x  ÷ sin   6   = sin  x + π  cos3 x − cos  x + π  sin x  6= 1= ÷  ÷    π 6 6     sin Từ đó:   π π   π  sin  x + ÷ sin  x + ÷cos3 x − cos  x + ÷sin x  sin x 6      dx =  I = 2∫  dx − ∫ dx ∫  π π cos3 x  cos3 x cos  x + ÷ cos  x + ÷ 6 6    π   d  cos  3x + ÷÷   d ( cos3 x ) cos3 x  =− ∫  + ∫ = ln +C π π  cos3 x  cos  x + ÷ cos  x + ÷ 6 6   dx I =∫ ã sin x + ữcos  x + ÷ 3  12   π cos  x + π  −  x + π   ÷  ÷ cos  3  12     4= Ta có: = π cos   π π π  π    = cos  x + ÷cos  x + ÷+ sin  x + ÷sin  x + ÷ 3 12  3  12       π π π  π    cos  x + ÷cos  x + ÷+ sin  x + ÷sin  x + ÷ 3 12  3  12     dx Từ đó: I = ∫ π π   sin  x + ÷cos  x + ÷ 3 12    π π   cos  x + ÷ sin  x + ÷ 3 12    = 2∫ dx + ∫ dx π π   sin  x + ÷ cos  x + ÷ 3 12    24   π   π   π  d  sin  x + ÷÷ d  cos  x + ÷÷ sin  x + ÷  12   3    = 2∫  − 2∫  = ln +C π π π    sin  x + ÷ cos  x + ÷ cos  x + ÷ 3 12  12     II Dạng I = ∫ tan ( x + a ) tan ( x + b ) dx Phương pháp tính sin ( x + a ) sin ( x + b ) Ta có: tan ( x + a ) tan ( x + b ) = cos ( x + a ) cos ( x + b ) = sin ( x + a ) sin ( x + b ) + cos ( x + a ) cos ( x + b ) cos ( a − b ) −1 = −1 cos ( x + a ) cos ( x + b ) cos ( x + a ) cos ( x + b ) dx −1 cos ( x + a ) cos ( x + b ) Đến ta gặp tốn tìm ngun hàm Dạng Từ đó: I = cos ( a − b ) ∫ Chú ý Với cách này, ta tính nguyên hàm: • J = ∫ cot ( x + a ) cot ( x + b ) dx • K = ∫ tan ( x + a ) tan ( x + b ) dx Ví dụ áp dụng π  π  • I = ∫ cot  x + ÷cot  x + ÷dx 3  6  Ta có: π  π  cos  x + ÷cos  x + ÷ π  π  3  6  Ta có: cot  x + ÷cot  x + ÷ = π  π 3  6   sin  x + ÷sin  x + ÷ 3  6  π  π π  π   cos  x + ÷cos  x + ÷+ sin  x + ÷sin  x + ÷ 3  6 3  6   = −1 π  π  sin  x + ÷sin  x + ÷ 3  6   π  π  cos  x + ÷−  x + ÷ 3    = −1 = −1 π  π π  π   sin  x + ÷sin  x + ÷ sin  x + ÷sin  x + ÷ 3  6 3  6   25 dx − ∫ dx = I1 − x + C Từ đó: π  π  sin  x + ÷sin  x + ÷ 3  6  dx I1 = ∫ π  π  Tính sin  x + ÷sin  x + ÷ 3  6  π sin  x + π  −  x + π   ÷  ÷ sin  3     6= Ta có: = π sin   π  π π  π   = sin  x + ÷cos  x + ÷− cos  x + ÷sin  x + ÷ 3  6 3      π π π  π    sin  x + ÷cos  x + ÷− cos  x + ÷sin  x + ÷ 3 6 3  6    dx Từ đó: I1 = 2∫ π  π  sin  x + ÷sin  x + ÷ 3  6  π π π    cos  x + ÷ cos  x + ÷ sin  x + ÷ 6 3 6    = 2∫ dx − 2∫ dx = 2ln +C π π π    sin  x + ÷ sin  x + ÷ sin  x + ÷ 6 3 3    π π   sin  x + ÷ sin  x + ÷ 6 6   2ln − x + C = ln − x+C Suy ra: I = π π   sin  x + ÷ sin  x + ÷ 3 3   I= ∫ π  π  dx • K = ∫ tan  x + ÷cot  x + ÷ 3  6  π π   sin  x + ÷cos  x + ÷ π  π  3 6   Ta có: tan  x + ÷cot  x + ÷ = π  π 3  6   cos  x + ÷sin  x + ÷ 3  6  π π π  π    sin  x + ÷cos  x + ÷− cos  x + ÷sin  x + ÷ 3 6 3  6    = +1 π  π  cos  x + ÷sin  x + ÷ 3  6   π  π  sin  x + ÷−  x + ÷ 3   1  = +1 = +1 π  π π  π   cos  x + ÷sin  x + ÷ cos  x + ÷sin  x + ÷ 3  6 3  6   26 1 dx + ∫ dx = K1 + x + C π  π  Từ đó: cos  x + ÷sin  x + ÷ 3  6  Đến đây, cách tính Dạng 1, ta tính được: π  sin  x + ÷ dx 6  K1 = ∫ = ln +C π  π  cos  x + π  cos  x + ÷sin  x + ÷  ÷ 3  6 3   π  sin  x + ÷ 6  ln + x+C Suy ra: K = π  cos  x + ÷ 3  K= 2∫ dx a sin x + b cos x Phương pháp tính III Dạng I = ∫  a b 2  sin x + cos x ÷ Có: a sin x + b cos x = a + b  2 a2 + b2  a +b  ⇒ a sin x + b cos x = a + b sin ( x + α ) ⇒I= dx x+α = ln tan +C 2 ∫ sin x + α ( ) a + b2 a +b Ví dụ áp dụng 2dx dx dx I =∫ =∫ =∫ π π • sin x + cos x sin x cos + cos x sin sin x + cos x 6 2 π  π dx+ ÷ x+ dx 6 + C = ln tan  x + π  + C =∫ =∫  = ln tan  ÷ π π    12  sin  x + ÷ sin  x + ÷ 6 6   dx dx J =∫ = ∫ • cos x − sin x cos x − sin x 2 π  d  − 2x ÷ dx dx  = ∫ = ∫ =− ∫  sin π cos x − cos π sin x π  π  sin  − x ÷ sin  − x ÷ 6 6  6  π − 2x 1 π  = − ln tan + C = − ln tan  − x ÷ + C 4  12  27 dx a sin x + b cos x + c Phương pháp tính 2dt  dx =  1+ t2  sin x = 2t  x 1+ t2 tan = t ⇒  Đặt 2 cos x = − t  1+ t2  2t  tan x = 1− t2  Ví dụ áp dụng dx •I = ∫ 3cos x + 5sin x + 2dt  dx =  1+ t2  x 2t  Đặt tan = t ⇒ sin x = 1+ t2   1− t2 cos x = 1+ t2  2dt 2dt 2dt 1+ t2 =∫ =∫ Từ đó: I = ∫ 2 1− t 2t − 3t + 10t + + 3t 10t + +5 +3 1+ t2 1+ t2 d ( 5t + 3) 1 x = ∫ = ln 5t + + C = ln 5tan + + C 5t + 5 2dx •J = ∫ 2sin x − cos x + 2dt  dx =  1+ t2  x 2t  Đặt tan = t ⇒ sin x = 1+ t2   1− t2 cos x = 1+ t2  2dt 4dt 4dt dt 1+ t2 =∫ =∫ = 2∫ Từ đó: J = ∫ 2 2t 1− t 4t − + t + + t 2t + 4t t ( t + 2) − +1 2 1+ t 1+ t  x x 1 = ∫ − dt = ln t − ln t + + C = ln tan − ln tan + + C ÷ 2 t t +2 IV Dạng I = ∫ 28 dx sin x + tan x 2dt  dx = + t  x 2t  Đặt tan = t ⇒ sin x = 1+ t2  2t   tan x = − t  2dt 1− t2 dt 1+ t2 K =∫ = ∫ dt = ∫ − ∫ tdt Từ đó: 2t 2t t t + 2 1+ t 1− t 1 x x = ln t − t + C = ln tan − tan + C 2 •K = ∫ dx a.sin x + b.sin x cos x + c.cos x Phương pháp tính dx I =∫ ( a tan x + b tan x + c ) cos2 x V Dạng I = ∫ Đặt tan x = t ⇒ Ví dụ áp dụng dx dt = dt Suy I = ∫ 2 cos x at + bt + c dx dx • I = ∫ 3sin x − 2sin x cos x − cos x = ∫ 3tan x − tan x − cos x ( ) dx = dt cos x dt dt ⇒I =∫ =∫ 3t − 2t − ( t − 1) ( 3t + 1) Đặt tan x = t ⇒   dt d ( 3t + 1) − −  ÷dt = ∫ ∫  t − 3t +  t − ∫ 3t + 1 t −1 tan x − = ln + C = ln +C 3t + 3tan x + dx dx J =∫ =∫ • sin x − 2sin x cos x − 2cos x ( tan x − tan x − ) cos2 x = dx = dt cos x d ( t − 1) dt ⇒J =∫ =∫ t − 2t − ( t − 1) − Đặt tan x = t ⇒ ( ) 29 = ln t −1 − +C t −1+ = ln tan x − − +C tan x − + a1 sin x + b1 cos x dx a2 sin x + b2 cos x Phương pháp tính Ta tìm A, B cho: a1 sin x + b1 cos x = A ( a2 sin x + b2 cos x ) + B ( a2 cos x − b2 sin x ) Ví dụ áp dụng 4sin x + 3cos x dx •I = ∫ sin x + 2cos x Ta tìm A, B cho: 4sin x + 3cos x = A ( sin x + 2cos x ) + B ( cos x − 2sin x ) VI Dạng I = ∫  A − 2B =  A = ⇒ 4sin x + 3cos x = ( A − B ) sin x + ( A + B ) cos x ⇒  ⇔ 2 A + B =  B = −1 ( sin x + 2cos x ) − ( cos x − 2sin x ) dx Từ đó: I = ∫ sin x + 2cos x d ( sin x + 2cos x ) = ∫ dx − ∫ = x − ln sin x + 2cos x + C sin x + 2cos x 3cos x − 2sin x dx •J = ∫ cos x − 4sin x Ta tìm A, B cho: 3cos x − 2sin x = A ( cos x − 4sin x ) + B ( − sin x − 4cos x ) ⇒ 3cos x − 2sin x = ( A − B ) cos x + ( −4 A − B ) sin x 11  A=   A − 4B =  17 ⇒ ⇔ 4 A + B =  B = − 10  17  11 10 ( cos x − 4sin x ) − ( − sin x − 4cos x ) Từ đó: J = 17 17 dx ∫ cos x − 4sin x 11 10 d ( cos x − 4sin x ) 11 10 = ∫ dx − ∫ = x − ln cos x − 4sin x + C 17 17 cos x − 4sin x 17 17 30 Chú ý a1 sin x + b1 cos x Nếu gặp I = ∫ dx ta tìm A, B cho: ( a2 sin x + b2 cos x ) a1 sin x + b1 cos x = A ( a2 sin x + b2 cos x ) + B ( a2 cos x − b2 sin x ) a1 sin x + b1 cos x + c1 dx ta tìm A, B cho: a2 sin x + b2 cos x + c2 a1 sin x + b1 cos x + c1 = A ( a2 sin x + b2 cos x + c2 ) + B ( a2 cos x − b2 sin x ) + C Chẳng hạn: 8cos x I =∫ dx • sin x + cos x Nếu gặp I = ∫ ( Ta tìm A, B cho: 8cos x = A ( ) ) sin x + cos x + B ( ) ( ( cos x − sin x ) ) ⇒ 8cos x = A − B sin x + A + B cos x A − B = A =   ⇒ ⇔ B = A + B =   Từ đó: I = ∫ = 2∫ ( ) sin x + cos x + ( ( cos x − sin x sin x + cos x ( ) ) dx ) d sin x + cos x dx + 3∫ = I1 − +C sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x ( ) dx dx dx = ∫ = ∫ sin x cos π + cos x sin π Tìm sin x + cos x sin x + cos x 6 2 π  π dx+ ÷ x+ dx 6 + C = ln tan  x + π  + C = ∫ = ∫  = ln tan  ÷ π π 2   2  12  sin  x + ÷ sin  x + ÷ 6 6   x π +C Vậy I = ln tan  + ÷ − sin x + cos x  12  8sin x + cos x + dx • J =∫ 2sin x − cos x + Ta tìm A, B, C cho: 8sin x + cos x + = A ( 2sin x − cos x + 1) + B ( 2cos x + sin x ) + C ⇒ 8sin x + cos x + = ( A + B ) sin x + ( − A + B ) cos x + A + C I1 = ∫ 31 2 A + B = A =   ⇒ − A + B = ⇔  B = A + C = C =   ( 2sin x − cos x + 1) + ( 2cos x + sin x ) + dx 2sin x − cos x + 2cos x + sin x dx = 3∫ dx + ∫ dx + 2sin x − cos x + 2sin x − cos x + = 3x + 2ln 2sin x − cos x + + J1 dx Tìm J1 = ∫ 2sin x − cos x + 2dt  dx =  1+ t2  x 2t  Đặt tan = t ⇒ sin x = 1+ t2   1− t2 cos x = 1+ t2  2dt dt dt 1  1+ t2 ⇒ J1 = ∫ =∫ =∫ = ∫ − dt ÷ 2t 1− t t + 2t t ( t + 2)  t t +  − +1 1+ t2 1+ t2 x tan t +C = ln + C = ln t+2 tan x + 2 x tan +C Vậy: J = x + 2ln 2sin x − cos x + + ln x tan + 2 VII Dạng Biến đổi đưa nguyên hàm dạng • I = ∫ cos3 x cos xdx = ∫ ( cos x + cos7 x ) dx 1 1 = ∫ cos xdx + ∫ cos7 xdx = sin x + sin x + C 2 14 • I = ∫ cos x sin x cos3 xdx = ∫ sin x ( cos x + cos x ) dx 1 = ∫ sin x cos xdx + ∫ sin x cos xdx 2 1 = ∫ sin xd ( sin x ) + ∫ ( − sin x + sin x ) dx 4 1 = sin x + cos x − cos x + C 8 24 Từ đó: J = ∫ 32 π  π  • I = ∫ tan x tan  − x ÷tan  + x ÷dx 3  3  π  π  sin x sin  − x ÷sin  + x ÷ π  π  3  3  Ta có: tan x tan  − x ÷tan  + x ÷ = 3  3  cos x cos  π − x  cos  π + x   ÷  ÷ 3  3  2π  1   sin x  cos x − cos ÷ sin x 1 − 2sin x + ÷  2   = = 2π  1   cos x  cos x + cos ÷ cos x  2cos x − − ÷  2   sin x ( − 4sin x ) 3sin x − 4sin x sin x = = = cos x ( 4cos x − 3) 4cos3 x − 3cos x cos3x sin x d ( cos3x ) dx = − ∫ = − ln cos3x + C cos3 x cos3 x 3 • I = ∫ sin x sin 3xdx 3sin x − sin x Ta có: sin x = 3sin x − 4sin x ⇒ sin x = 3sin x − 4sin x ⇒ sin x sin x = sin x 3 = sin x sin x − sin x = ( cos x − cos x ) − ( − cos x ) 4 8 3 1 = cos x − cos x + cos6 x − 8 8 1 3 dx Từ đó: I = ∫  cos x − cos x + cos6 x − ÷ 8 8 8 3 1 = sin x − sin x + sin x − x + C 16 32 48 3 • I = ∫ ( sin x cos 3x + cos x sin x ) dx Từ đó: I = ∫ 3sin x − sin x 3cos x + cos 3x cos3 x = 3sin x − sin x 3cos x + cos x cos x + sin x Suy ra: sin x cos 3x + cos x sin x = 4 3 = sin x cos 3x − sin x cos x + cos x sin x + cos x sin x 4 4 3 = sin ( −2 x ) + sin x  + sin ( −2 x ) − sin x  = − sin x   8  3 Vậy I = − ∫ sin xdx = cos x + C Ta có: sin x = 33 dx dx 1 dx dx =∫ =∫ =∫ ( + tan x ) cos x 2 sin x cos x tan x cos x tan x cos x cos x tan x dx Đặt tan x = t ⇒ = dt cos x t +t dt 2 ⇒I =∫ dt = ∫ tdt + ∫ = t + ln t + C = tan x + ln tan x + C 2 t t dx cos xdx =∫ • I =∫ sin x cos x sin x cos x Đặt sin x = t ⇒ cos xdx = dt dt 1− t4 + t4 1+ t2 dt ⇒I =∫ =∫ dt = ∫ dt + ∫ 2 t 1− t2 t (1− t ) t (1− t ) • I =∫ =∫ dt dt dt 1 t −1 +∫ −∫ = − t −3 − − ln +C t t t t +1 ( t − 1) ( t + 1) 1 sin x − − − ln +C 3sin x sin x sin x + sin 3x sin x sin x sin x I =∫ dx = ∫ dx = ∫ sin x cos x cos xdx sin x • tan x + tan x cos x cos x 1 = ∫ ( sin x + sin x ) cos xdx = ∫ sin x cos xdx + ∫ sin x cos xdx 2 1 = ∫ ( sin x + sin x ) dx + ∫ ( sin x + sin x ) dx 4 1 1 = − cos x − cos x − cos x − cos x + C 28 20 12 dx • I =∫ sin x  cos x  u = sin x  du = − dx ⇒ sin x Đặt  dx  dv = v = − cot x   sin x  cot x cot x.cos x cot x ⇒I =− −∫ dx = − − I1 sin x sin x sin x cos x − sin x dx dx x dx = ∫ − ∫ = I − ln tan + C Tính I1 = ∫ dx = ∫ sin x sin x sin x sin x cot x cot x x ⇒I =− − I1 = − − I + ln tan + C sin x sin x x cot x x cot x ⇒ I = ln tan − + C ⇒ I = ln tan − +C sin x 2 2sin x =− • I =∫ dx  tan x  x π = =  + ln tan  + ÷  + C cos x  cos x 2 4 34 KẾT LUẬN Trong đề tài trình bày số phương pháp để tìm nguyên hàm hàm số nhiều ví dụ minh họa chi tiết… Mặc dù có nhiều cố gắng, song điều kiện thời gian lực thân có hạn nên chắn đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi kính mong nhận góp ý thầy giáo bạn đọc để đề tài xác, đầy đủ có ích cho bạn học sinh tìm hiểu lớp tốn ngun hàm – tích phân Xin trân trọng cảm ơn! 35 ... pháp tìm nguyên hàm nói chung, phương pháp tìm ngun hàm số lớp hàm số nói riêng Nội dung chương, trình bày thành bài: §1 Định nghĩa ngun hàm §2 Một số phương pháp tìm ngun hàm §3 Nguyên hàm hàm... Nguyên hàm hàm hữu tỉ §4 Nguyên hàm hàm số lượng giác Tuy nhiên, biết rằng, tốn tìm ngun hàm phức tạp Cho nên, đòi hỏi học sinh khả áp dụng sáng tạo phương pháp tìm nguyên hàm Và thường khi, gặp... PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Trong này, tìm hiểu số phương pháp tìm nguyên hàm, như: Áp dụng công thức nguyên hàm số hàm số thường gặp; Phương pháp đổi biến số; Phương pháp nguyên hàm phần… I PHƯƠNG