Tài liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015 Phần HÀM SỐ CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN CẦN NẮM 1) Góc hai đường thẳng: Cho đường thẳng có phương trình tổng qt d1 : A1x  B1y  C1  0;d : A2x  B2y  C  Các đường thẳng d1 ,d có véc tơ pháp tuyến     n1  A1; B1  ,n  A2 ; B2  Gọi  góc tạo đường thẳng d1, d2 Ta có    n1n A1A2  B1B2 Cos       n1 n A12  B12 A22  B Nếu d1 : y  k1x  b1;d : y  k 2x  b2 , tan   k1  k  k1k    Chú ý: Nếu đường thẳng d1 ,d có véc tơ phương v1  a1;b1  , v  a ;b2  ,   v1v a1a  b1b2 Cos      2 v1 v a1  b12 a  b2 2) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát Ax  By  C  điểm M (x ; y ) Khoảng cách từ điểm M (x ;y ) đến đường thẳng d d  M ,d   Ax  By  C A2  B 3) Phương trình đường thẳng qua điểm A(x1;y1 ), B (x ; y ) x  x1 y  y1  (phương trình tắc) x  x1 y  y1 Đặc biệt A(a ;0), B (0;b ),ab  0, phương trình đường thẳng (AB ) x y   (phương trình đường thẳng đoạn chắn) a b 4) Hệ số góc đường thẳng a) Nếu đường thẳng d có phương trình y  ax  b , hệ số góc đường thẳng d k  a b) Nếu đường thẳng d có phương trình tổng quát Ax  By  C  0, hệ số góc đường thẳng d A k   , B  B c) Nếu đường thẳng d qua hai điểm A(x 1; y1 ), B(x ; y2 ), hệ số góc đường thẳng y1  y , x  x  x1  x 5) Điều kiện để hai đường thẳng song song, vng góc với Cho đường thẳng có phương trình theo hệ số góc d1 : y  k1x  b1;d : y  k2x  b2 k k  k + d1 || d   , b1  b2 + d1  d  k1k  1     + Nếu đường thẳng d1 ,d có véc tơ pháp tuyến n1, n2 véc tơ phương v1, v2     d1  d  n1.n  v1 v2  6) Phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai ax  bx  c  0(1), (a  0) Khi đó: Ths.Hồng Huy Sơn Tài liệu ôn thi Đại học môn Toán Phần HÀM SỐ Năm 2015    + Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt S  P      + Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt S  P   + Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu P  P  + Phương trình (1) có nghiệm nghiệm dương  S  P  + Phương trình (1) có nghiệm nghiệm âm  S  Định lý Viet: Nếu phương trình bậc hai ax  bx  c  có hai nghiệm x 1, x b c S  x1  x   ; P  x1x  a a Một số đẳng thức quen thuộc: 2 + x 12  x  x  x   2x 1x  S  2P 3 + x  x  x  x   3x1x x  x   S  3PS 2 2 + x 14  x  x12  x   2x12x  S  2P   2P 2 + x1  x   x  x   4x 1x  S  4P I HÀM SỐ BẬC BA Tóm tắt lý thuyết: Khảo sát hàm số bậc ba y  f (x )  ax  bx  cx  d (a  0) theo bước sau: + TXĐ: D   + Chiều biến thiên: y   3ax  2bx  c - Hàm số có cực trị phương trình y   có nghiệm phân biệt  y   a   - Hàm số đồng biến   y   x      y     a   - Hàm số nghịch biến   y   x      y     + Giới hạn: lim y   (a  0); lim y   (a  0) x  x  + Lập bảng biến thiên  b b b    I  ; f ( ) điểm uốn đồ thị    3a  3a 3a   + Vẽ đồ thị (Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng) Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y   x  2x  (2m  1)x  3m  nghịch biến  Giải: Hàm số cho nghịch biến  y   x  4x  2m   0, x       2m   m   + y   6ax  2b, y    6ax  2b   x   Ths.Hồng Huy Sơn Tài liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015 Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y  x  (m  1)x  (m  4)x  đồng biến  Giải: Hàm số cho đồng biến  y   3x  2(m  1)x  m   0, x       (m  1)  3(m  4)   2m  2m  13  1  3 1  3 m  2 Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y  2x  3x  mx  nghịch biến nửa khoảng (;1] Giải: y   6x  6x  m Hàm số cho nghịch biến nửa khoảng (;1]  y   0, x  m  6x  6x  m  0, x   m  6x  6x , x   m  Min (6x  6x ) x 1 Xét hàm số f (x )  6x  6x , x  Ta có f (x )  12x    x   Bảng biến thiên: x 1  f'    12 f  x  3 Dựa vào bảng biến thiên ta Min (6x  6x )   Vậy, giá trị m cần tìm là: m   x 1 2 Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y  x  3x  (m  1)x  2m đồng biến nửa khoảng 2; ) Giải: y   3x  6x  m  Hàm số cho đồng biến nửa khoảng 2; )  y   0, x    3x  6x  m   0, x   m  3x  6x  1, x   m  Max (3x  6x  1) x 2 Xét hàm số f (x )  3x  6x  1, x  Ta có f (x )  6x    x  1 Lập bảng biến thiên hàm số y  3x  6x  với x  ta Max (3x  6x  1)  25 Vậy, x 2 giá trị cần tìm m  25 Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y  x  3x  mx  nghịch biến khoảng (0; ) Giải: y   3x  6x  m Hàm số cho nghịch biến khoảng (0; )  y   0, x   3x  6x  m  0, x   m  3x  6x , x  Lập bảng biến thiên hàm số y  3x  6x với x  ta giá trị cần tìm m  Chú ý: Hàm số y  3x  6x không tồn giá trị nhỏ khoảng (0; ) Ví dụ 6: Tìm m để hàm số y  x  3(2m  1)x  (12m  5)x  đồng biến khoảng (; 1) (2; ) Giải: Yêu cầu toán thỏa y   3x  6(2m  1)x  12m   0, x  3x  6x   12m, x  x 1 3x  6x  3x  6x   12m, x  1 Xét hàm số g(x )  , ta có x 1 x 1 y   3x  6(2m  1)x  12m   0, x  1 Biến đổi đưa tới g (x )  3x  6x  3 3 0x  x  Lập bảng biến thiên hàm số 3 (x  1) Ths.Hoàng Huy Sơn Tài liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015 3x  6x  g(x )  khoảng xét ta kết cần tìm   m  x 1 12 12 Ví dụ 7: Tìm m để hàm số y  2x  3mx  2m  nghịch biến khoảng (1;2) Giải: Hàm số cho nghịch biến khoảng (1;2)  y   6x  6mx  0, x  (1;2)  x (x  m )  0, x  (1;2)  x  m  0, x  (1;2) m  x , x  (1;2)  m  2 Ví dụ 8: Cho hàm số y  x  (m  1)x  (2m  1)x  a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m   b) Tìm m để hàm số cho có cực trị hai điểm cực trị đồ thị có hồnh độ dương Giải: b) y   x  2(m  1)x  2m  1, yêu cầu toán thỏa phương trình y   có hai nghiệm dương phân biệt      m  m   m        S  x  x   m  1        m   P  x x          m       Ví dụ 9: Tìm m để hàm số y  x  mx  x  m  có khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị nhỏ Giải: y   x  2mx  có   m   0, m nên ln ln có nghiệm phân biệt với m suy hàm số ln có cực trị Gọi x 1, x hai nghiệm y  theo Viet ta có x  x  2m, x 1x  1 Hai giá trị cực trị hàm số y1  3 2 x  mx  x  m  1, y2  x  mx  x  m  Gọi A, B 3 điểm cực trị đồ thị, ta có AB  (x  x )2  (y2  y1 )2 Theo Viet ta có x  x  2m, x 1x  1 Suy (x  x )2  (x  x )2  4x 1x  4m  1  2  (y2  y1 )   x  mx  x  m   x  mx  x  m  1   3    2 1  4 2    (x  x )  (x  x )2  x 1x  m(x  x )  1  (4m  4)  m       3    3   3     2     m      13  AB  (x  x )  (y2  y1 )  (4m  1) 1    3  3      AB nhỏ m  Ví dụ 10: Cho hàm số y  x  3mx  3(m  2m  3)x  Tìm m để hàm số có cực trị hai điểm cực trị đồ thị hàm số nằm hai phía trục tung Giải: y   3x  6mx  3(m  2m  3), yêu cầu tốn thỏa phương trình y   có 2 2 nghiệm trái dấu  P   m  2m    3  m  Ví dụ 11: Cho hàm số y  x  3x  4m ( m tham số) a) Chứng minh hàm số ln ln có cực trị Xác định m để hai điểm cực trị đồ thị nằm trục hoành Ths.Hoàng Huy Sơn Tài liệu ôn thi Đại học môn Toán Phần HÀM SỐ Năm 2015 b) Xác định m để khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị đến trục hoành x   y  4m Giải: a) y   3x  6x    Vì phương trình y   ln có nghiệm phân biệt x   y  4m   nên hàm số ln có cực trị với m Hai điểm cực trị đồ thị m  A(0; 4m ), B(2; 4  4m )  A  B  Ox   m  4  4m  m  b) B điểm cực tiểu, d(B,Ox )  yB  4  4m      4  4m  4 m0   Ví dụ 12: Cho hàm số y  x  3mx  a) Xác định m để hàm số có cực trị đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị qua điểm M (1; 1) b) Xác định m để cosin góc tạo đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị đường thẳng 10 x  y  10 c) Chứng minh với m  điểm cực đại đồ thị hàm số cho nằm đường thẳng y  x  x   y  Giải: a) y   3x  6mx    x  2m  y  4m  Phương trình y   có nghiệm phân biệt  m  với m  hàm số có cực trị Ta có   điểm cực trị đồ thị A(0;1), B(2m; 4m  1), AB  (2m; 4m )  2m(1; 2m ) x y 1   2m 2x  y   2m Đường thẳng qua điểm M (1; 1) nên 2m    m  1 Đường thẳng qua điểm A, B có phương trình b) Gọi  góc tạo đường thẳng qua điểm cực trị A, B đường thẳng x  y  Ta có   n1n2   cos     , n1  (2m ;1), n2  (1;1) véc tơ pháp tuyến đường thẳng n1 n   2m  n1n 10 cos        4m  5m    m  1; m   10 n1 n2 4m  c) Với m  điểm cực đại đồ thị hàm số cho điểm A(0;1) Rõ ràng điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình đường thẳng y  x  Ví dụ 13: Cho hàm số y  2x  3(2m  1)x  6m (m  1)x  Tìm m để hàm số có cực trị hai điểm cực trị đồ thị đối xứng qua đường thẳng y  x  Giải: y   6x  6(2m  1)x  6m (m  1), y    x  (2m  1)x  m (m  1)  x  m  y  2m  3m    A(m ; 2m  3m  1), B (m  1; 2m  3m ) điểm cực trị đồ thị x  m   y  2m  3m  Ta có AB  (1; 1) véc tơ phương đường thẳng qua điểm cực trị A, B Đường thẳng   y  x  có véc tơ pháp tuyến n  (1; 1)  véc tơ phương d v  (1;1) Ta thấy   1 AB v   d  (AB ) Gọi I trung điểm AB  I (m  ;2m  3m  ) 2 Ths.Hoàng Huy Sơn Tài liệu ôn thi Đại học môn Toán Phần HÀM SỐ Năm 2015 Hai điểm cực trị đồ thị đối xứng qua đường thẳng y  x   I  d 1 1  17  m    2m  3m  m    m  1  m  2 Ví dụ 14: Cho hàm số y  x  3mx  3m (1), m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m  b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho OAB có diện tích 48 x   y  3m Giải: b) y   3x  6mx  3x (x  2m )    Hàm số có cực trị  m  x  2m  y  m điểm cực trị đồ thị A(0; 3m ), B(2m; m ) Kẻ BH  Ox  BH đường cao  2m  3m  1 OAB  S OAB  OA.BH  3m 2m  3m Theo đề ta có 3m  48  m  2 (Nhận) 2 2 Ví dụ 15: Cho hàm số y  x  mx  3m  x  (1), m tham số thực 3 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m  b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x x cho x 1x  x  x         Giải: b) y   x  mx  3m   , y    x  mx  3m   Hàm số có cực trị   phương trình y   có   13m    m  2 13 13 m  Theo Viet ta có 13 13 x  x  m, x 1x   3m  x 1x  x  x     3m  2m   m   m  Ta nhận m  3 x  (m  1)x  m  2 x  có điểm cực đại, cực tiểu lần 3 lượt x 1, x thỏa mãn x  2x  Ví dụ 16: Tìm m để hàm số y  Giải: y   x  2(m  1)x  m  2 Hàm số có cực trị    (m  1)2  3(m  2)   m  5m    m   Khi phương trình y   có hai nghiệm phân biệt x  m   m  5m  7; x  m   m  5m  điểm cực đại điểm cực tiểu hàm số Theo đề ta có   m   m  5m   m   m  5m    m  5m    3m     4  3m        m  m     m  5m   4  3m     m  5m   4  3m  8m  19m           19  73 m  16 BÀI TẬP Bài 1: Tìm m để hàm số y  x  3x  3mx  3m  đồng biến  Bài 2: Tìm m để hàm số y  x  3x  (m  1)x  4m nghịch biến khoảng (1;1) Bài 3: Tìm m để hàm số y  (m  1)x  2mx  x đồng biến khoảng (0;1) Ths.Hoàng Huy Sơn Tài liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015 1 x  mx  (2m  1)x  m  nghịch biến khoảng (2; ) Bài 5: Tìm m để hàm số y  x  mx  có cực trị Chứng minh đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị qua điểm cố định Bài 6: Tìm m để đồ thị hàm số y  mx  3mx  (2m  1)x   m có cực trị Chứng minh đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị qua điểm cố định Bài 7: Cho hàm số y  x  mx  m Tìm m để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm 2 số tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích ĐS: m =  Bài 8: Tìm điểm cố định họ đường cong y  x  mx  (m  2)x  2m ĐS: M ( 1; 3), N (2;12) Bài 4: Tìm m để hàm số y  Bài 9: Cho hàm số y  x  3x  m có đồ thị (C m ) Tìm m để (C m ) tồn hai điểm đối xứng qua gốc toạ độ ĐS: m  Bài 10: Cho hàm số y  x  3x  Tìm đồ thị (C ) tất cặp điểm đối xứng qua gốc toạ 3 3 ; );(  ;  ) 9 Bài 11: Cho hàm số y  x  3x  Tìm đồ thị (C ) hàm số cho cặp điểm đối xứng qua điểm I (2;18) ĐS: M (1;2), N (3;34) Bài 12: Cho hàm số y  x  6x  9x có đồ thị (C ) Với giá trị m , đường thẳng y  x  m  m qua trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm cực đại cực tiểu (C ) ĐS: m  0;m  Bài 13: Cho hàm số y  x  (m  1)x  m  4m  x Tìm m để hàm số cho có cực trị Tìm giá trị lớn biểu thức A  x 1x  2(x  x ) Trong x 1, x điểm cực trị hàm số độ ĐS: (   Bài 14: Cho hàm số y  x  3mx  3(m  1)x  m  m (1) a) Tìm m để hàm số (1) có cực trị Giả sử A B điểm cực đại cực tiểu đồ 2 thị, tìm m để x A  2x B ĐS: m  3  2, m  3  2 b) Tìm m để OA  OB , với O gốc tọa độ A, B xác định câu a) ĐS: m  Bài 15: Tìm m để hàm số y  x  mx  mx  đạt cực trị x 1, x thỏa mãn x  x  ĐS: ĐS: MaxA   65 Bài 16: Cho hàm số y  x  3x  mx  m Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng có độ dài lớn m 15 Bài 17: Tìm m để đồ thị hàm số y  x  mx  7x  có đường thẳng qua điểm cực trị vng góc với đường thẳng y  3x  Bài 18: Cho hàm số y  x  3x  Tìm điểm M thuộc đường thẳng y  3x  tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị đồ thị nhỏ HD: Gọi A, B hai điểm cực trị đồ thị, AM  BM  AB  AM  BM nhỏ dấu "  " xảy tức A, B, M thẳng hàng ĐS: m   Ths.Hồng Huy Sơn Tài liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015 II HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG Tóm tắt lý thuyết: Khảo sát hàm số trùng phương y  f (x )  ax  bx  c (a  0) theo bước sau: + TXĐ: D   x    4ax  2bx  2x (2ax  b), y   0(1)   + Chiều biến thiên: y 2ax  b  0(2) - Hàm số có cực trị phương trình y   có nghiệm phân biệt  (2) có nghiệm phân biệt khác    - Hàm số có cực trị phương trình y   có nghiệm  (2) có   + Giới hạn: lim y   (a  0); lim y   (a  0) x  x  + Lập bảng biến thiên + Vẽ đồ thị (Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng) Một số ví dụ 2 Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  2m x  a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị ba đỉnh cực trị đồ thị hàm số tạo thành ba đỉnh tam giác vuông cân c) Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị ba đỉnh cực trị đồ thị hàm số tạo thành ba đỉnh tam giác x  Giải: b) y   4x  4m 2x  4x (x  m ), y    x (x  m )  0(1)   2 x  m  0(2) Hàm số có ba điểm cực trị (1) có nghiệm phân biệt  (2) có    m  0(*) Ta có x  x   y  4  (1)      A(0;1); B(m ;1  m );C (m ;1  m ) x  m  x  m  y   m Tam giác ABC luôn cân A với m  đồ thị hàm số trùng phương đối xứng qua trục tung,    ABC vng đỉnh A  AB  AC  AB.AC        m  4 AB  (m; m ); AC  (m; m )  AB.AC   m  m    m  1 So với điều kiện (*) ta chọn m  1 c) Tam giác ABC luôn cân A với m  nên để ABC AB  BC Ta có m      AB  (m; m ); BC  (2m; 0)  AB  BC  AB  BC  m  m  4m   m   Ta nhận m   Ví dụ 2: Cho hàm số y  x  2(m  1)x  m a) Tìm giá trị tham số m để hàm số cho có ba điểm cực trị b) Gọi A, B ,C ba điểm cực trị đồ thị hàm số cho, A điểm cực trị thuộc trục tung, B ,C hai điểm cực trị lại, tìm m cho OA  BC , O gốc tọa độ c) Tìm m cho ABC có diện tích x  Giải: a) y   4x  4(m  1)x  4x (x  m  1); y    x (x  m  1)  0(1)   x  m   0(2) Hàm số có ba điểm cực trị (2) có    m  1(*) b) Ta có Ths.Hồng Huy Sơn Tài liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015 x   y  m y      A(0; m ); B( m  1; m  m  1); x   m   y  m  m  C ( m  1; m  m  1) OA   m ; BC  (2 m  1)2   0A  BC  m  4(m  1)  m   2 Cả giá trị thỏa điều kiện (*) c) Gọi H giao BC trục Oy, H (0; m  m  1) H trung điểm BC đồng thời AH đường cao ABC Ta có S ABC  1 BC AH  4(m  1) (m  1)4 Theo đề 2 4(m  1) (m  1)4   (m  1)5   m  (nhận) Ví dụ 3: Cho hàm số y  x  8x  5m  có đồ thị (C m ) Tìm m để khoảng cách từ điểm A(1;1) đến ta có S ABC   145 29 Giải: Thay x  vào hàm số ta y  5m   M (1;5m  5) Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm M y  f (1)(x  1)  5m  y   4x  16x  f (1)  12  y  12(x  1)  5m   12x  5m   12x  y  5m   tiếp tuyến đồ thị (C m ) điểm M có hồnh độ x  Theo ta có  5m  145 11   5m   m   m  29 5 122  Ví dụ 4: Cho hàm số y  x  (m  2)x  m  có đồ thị (C m ) Chứng tỏ (C m ) luôn qua điểm cố định A, B Tìm m để hai tiếp tuyến (C m ) A B vng góc với Giải: Giả sử (x ; y ) tọa độ điểm cố định họ đường cong (C m ) ta có y  x  (m  2)x  m  với m x    2  y  x  mx  2x  m  2, m  (x  1)m  x  2x   y , m   x  2x   y  x  x  1    A(1; 3), B (1; 3) hai điểm cố định họ đường cong (C m ) y  3 y  3 Hai tiếp tuyến (C m ) A B vuông góc với  f (1)f (1)  1 y   4x  2(m  2)x  f (1)  2m , f (1)  2m Do f (1)f (1)  1  4m  1  m   BÀI TẬP 1 Bài 1: Cho hàm số y  x  mx  2 1) Xác định m để hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại ĐS: m  2) Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác: a) Đều ĐS: m  12 b) Vng ĐS: c) Có diện tích ĐS: Bài 2: Cho hàm số y  x  2(m  1)x  m 2(1), với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m  b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông Ths.Hồng Huy Sơn Tài liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015 ĐS: m  Bài 3: Cho hàm số y  x  2(m  1)x  m a) Tìm giá trị tham số m để hàm số cho có ba điểm cực trị b) Gọi A, B ,C ba điểm cực trị đồ thị hàm số cho, A thuộc trục tung Tìm m cho tứ giác ABOC có diện tích 6, O gốc tọa độ Bài 4: Cho hàm số y  x  2(m  1)x  2m  có đồ thị (C m ) Tìm m để đồ thị (C m ) Ox : a) Có bốn điểm chung ĐS: m  0;m   b) Có ba điểm chung ĐS: m   c) Có hai điểm chung ĐS: m  0;m   III HÀM PHÂN THỨC ax  b Tóm tắt lý thuyết: Khảo sát hàm số biến y  , ad  bc  theo bước sau: cx  d  d   + TXĐ: D   \      c     ad  bc Nếu ad  b  hàm số đồng biến khoảng xác định Nếu ad  b  (cx  d )2 hàm số nghịch biến khoảng xác định Hàm số khơng có cực trị + Tiệm cận: d - Tiệm cận đứng x   , lim y  , lim y  ,(ad  bc  0) c d d x  x  + y  c - Tiệm cận ngang y  c a a , lim y  x  c c + Bảng biến thiên + Vẽ đồ thị (Đồ thị nhận giao điểm đường tiệm cận làm tâm đối xứng) Một số ví dụ 2mx  Ví dụ 1: Cho hàm số y  x m a) Tìm m để hàm số ln tăng khoảng xác định ĐS:   m  b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H ) hàm số m = Giải: Hàm số luôn tăng khoảng xác định 2m   y    2m      m  (x  m )2 3x  Ví dụ 2: Cho hàm số y  (1) 2x  a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b) Xác định tọa độ điểm thuộc (C ) cho khoảng cách từ đến trục hồnh gấp lần khoảng cách từ đến tiệm cận đứng (C ) Giải: b) Gọi M điểm cần tìm thuộc đồ thị (C )  M (x ; Ths.Hoàng Huy Sơn 3x  2x  ) Ta có d(M ;Ox )  3x  2x  10 Tài liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015 x   y  14 f (x )  24  3x  6x  24   x  2  y  22 Phương trình tiếp tuyến (4;14) y  24x  82 Phương trình tiếp tuyến (2; 22) y  24x  26 d) Gọi M (x ;y ) tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm, phương trình tiếp tuyến M (x ;y ) 2 y  f (x )(x  x )  y , với y  x  3x  Suy y  (3x  6x )(x  x )  x  3x  Vì tiếp tuyến qua A(4;14) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình tiếp tuyến ta x   y  14 14  (3x  6x )(4  x )  x  3x   2x  15x  24x  16    x    y   23   23 Phương trình tiếp tuyến (4;14) y  24x  82 Phương trình tiếp tuyến ( ;  ) 15 y  x  3 Ví dụ 2: Cho hàm số y  f (x )  x  2x  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  x  11 24 Giải: Tiếp tuyến đồ thị (C ) vng góc với đường thẳng y  x  11 nên có hệ số góc 24 24 Gọi M (x ;y ) tiếp điểm, ta có 3 f (x )  24  4x  4x  24  x  x    x   y  10 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y  24(x  2)  10  24x  38 Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x 4 biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng x 1  Giải: Gọi M (x ;y ) tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm, phương trình tiếp tuyến M (x ;y ) y  f (x )(x  x )  y Phương trình viết lại dạng phương trình tổng quát f (x ).x  y  x f (x )  y  Hay k x  y  x k  y  Trong k  f (x ) Đường thẳng y  2x  có phương trình tổng qt 2x  y   Theo ta có k  2k   cos    3k  8k     k   k   x   y  Với k   f (x )    3  (x  1) x   y  2 Phương trình tiếp tuyến điểm (0;4);(2; 2) y  3x  4;y  3x  1 1 Trường hợp k   bị loại phương trình f (x )    vô nghiệm 3 (x  1) x 1 Ví dụ 4: Cho hàm số y  (C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến cắt x 2 trục Ox ,Oy A, B cho tam giác OAB vuông cân y  2x  góc có số đo Ths.Hồng Huy Sơn 18 Tài liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015 x0 1 ) tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm, phương trình tiếp tuyến x0  x 1 1 x 1 1 x0 x 1 M y  f (x )(x  x )   (x  x )   x   2 x  (x  2) x  (x  2) (x  2) x  Giải: Cách 1: Gọi M (x ; 1 x0 x 1 1 x  2x  x   x Gọi A, B giao tiếp tuyến với trục (x  2)2 (x  2) x  (x  2) (x  2)  x  2x   Ox ,Oy Tọa độ điểm A(x  2x  2;0), B  0;  Tam giác OAB vuông cân (x  2)2     x  2x  2 O OA  OB  x A  yB  x  2x    x  2x    0 2  (x  2)  (x  2)  x   x   y    x   1 x   y  Phương trình tiếp tuyến M (3;2) y  x  Phương trình tiếp tuyến M (1;0) y  x  Cách 2: Tiếp tuyến tạo với trục Ox ,Oy tam giác vng cân nên tiếp tuyến có hệ số góc 1 Khi ta có f (x )  1 Từ tìm x  1; x  viết phương trình tiếp tuyến Cách 3: (Dùng phương trình đường thẳng đoạn chắn) Giả sử tiếp tuyến cắt trục Ox ,Oy x y A(a ;0), B (0;b ),ab  Khi phương trình tiếp tuyến có dạng   (1) (phương trình đường thẳng a b đoạn chắn) Vì tam giác OAB vng cân nên a  b  a  b  a  b + Xét trường hợp a  b Khi (1) trở thành hệ số góc 1 Suy  x y    x  y  a  y  x  a Suy tiếp tuyến có a a  1  (x  2)2   x   x   Từ viết phương (x  2)2 trình tiếp tuyến + Xét trường hợp a  b Khi (1) trở thành x y    x  y  a  y  x  a Suy tiếp tuyến có hệ a a  Vô nghiệm (x  2)2 Chú ý: Nếu tốn u cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với Ox ,Oy tam giác OAB thỏa OA  kOB với k giá trị cụ thể lập luận theo cách tìm hệ số góc tiếp tuyến x 1 Ví dụ 5: Cho hàm số y  (1) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) hàm số (1) biết tiếp tuyến cắt x 2 trục Ox ,Oy A, B cho OA  3OB Giải: Giả sử tiếp tuyến cắt trục Ox ,Oy A(a ;0), B (0;b ),ab  Khi phương trình tiếp x y tuyến có dạng   (1) (phương trình đường thẳng đoạn chắn) a b Vì OA  3OB nên a  b  a  3b  a  3b + Xét trường hợp a  3b Khi (1) trở thành x y 1    x  3y  3b  y   x  b  f (x )      (vn) 3b b 3 (x  2) x y + Xét trường hợp a  3b Khi (1) trở thành    x  3y  3b  y  x  b, Suy tiếp 3b b số góc Suy  Ths.Hồng Huy Sơn 19 Tài liệu ôn thi Đại học môn Tốn Phần HÀM SỐ tuyến có hệ số góc Năm 2015 x   y  Từ ta phương trình tiếp tuyến    (x  2) x  5  y  1 11 y  x  , y  x  3 3 mx  Ví dụ 6: Cho hàm số y  Tìm m cho tiếp tuyến đồ thị hàm số cho M có hồnh độ x m x  cắt trục Oy điểm A thỏa OA  mx   m 2 hàm số biến với m Ta có M  1,  Phương trình tiếp tuyến x m  m 1  2 m  m  2 m  m   m2  m  M y  f (1)(x  1)   (x  1)   x  m  m  12 m  m  12 m  1 m  Giải: Hàm số y   m  2 m  1 x m 4 m  1  m    A  0;   m  12     m   1  13  m 1 1 m    m  OA  1    m   m  1  1 m  1  13     m  1  Ví dụ 7: Cho hàm số y  (1  m )x  (m  1)x  Xác định m để tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm M có hồnh độ x  2 cắt trục tung điểm có tung độ 10 Giải: Thay x  2 vào hàm số cho ta y  8(1  m )  4(m  1)   8m   4m    4m  10 Suy M ( 2;4m  10) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm M y  f ( 2)(x  2)  4m  10 f (x )  3(1  m )x  2(m  1)x  f ( 2)  12  12m  4m   8m  16 Phương trình tiếp tuyến y  ( 8m  16)(x  2)  4m  10  ( 8m  16)x  12m  22 Tiếp tuyến cắt trục tung điểm có tung độ 10 nên thay x  0, y  10 vào phương trình tiếp tuyến ta 10  12m  22  m  BÀI TẬP 1 Bài 1: Cho hàm số y  x  mx  2x  2m  (1) ( m tham số) 3 b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  4x  26 73 ĐS: y  4x  ; y  4x  Bài 2: Cho hàm số y = x – x + (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  x  ĐS: y  6x  10 Bài 3: Cho hàm số y = x  x  có đồ thị (C ) Tìm (C ) điểm mà tiếp tuyến 3 (C ) vng góc với đường thẳng y =  x  ĐS: (2;0);(2; ) 3 3 Bài 4: Cho hàm số y  x  3x  4x  có đồ thị (C ) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số m = Ths.Hồng Huy Sơn 20 Tài liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015 a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) A thuộc (C ) có x A  ĐS: y  x + b) Chứng minh đồ thị (C ) không tồn hai điểm cho tiếp tuyến (C ) hai điểm vng góc với Bài 5: Cho hàm số y  x  3mx  (m  1)x  a) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ 1 qua điểm A(1;2) ĐS: m  b) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ 2 vng góc với đường thẳng y   x  Viết phương trình tiếp tuyến ĐS: m  1;y  2x  Bài 6: Cho hàm số y = x  3mx  có đồ thị (C m ) Tìm m để góc tạo tiếp tuyến đồ thị (C m ) điểm có hồnh độ 1 đường thẳng d : x  y   45 ĐS: m   2x  Bài 7: Cho hàm số y  Viết phương trình tiếp tuyến (C ) biết khoảng cách từ điểm I (1, 2) đến x 1 tiếp tuyến ĐS: y  x  5,y  x  x 1 x 2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị C  hàm số cho Bài 8: Cho hàm số y  b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C  biết tiếp tuyến cắt hai đường tiệm cận C  hai điềm A, B cho AB  2 ĐS: y  x  1; y  x  II CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Giao điểm hai đồ thị Cho hàm số y  f (x ), y  g (x ) có đồ thị (C ),(C ) f (x )  g (x )(1) gọi phương trình hồnh độ giao điểm (C ),(C ) + Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C ),(C ) + Nghiệm phương trình (1) hồnh độ giao điểm (C ),(C )  f (x )  g (x ) + (C ) tiếp xúc với (C ) hệ phương trình   f (x )  g (x ) có nghiệm Nghiệm hệ hồnh độ tiếp điểm chung Một số ví dụ 2x  Ví dụ 1: Cho hàm số y  có đồ thị (C ) Tìm k để đường thẳng y  kx  2k  cắt đồ thị (C ) x 1 hai điểm phân biệt A B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành Giải: Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng d : y  kx  2k  2x   kx  2k   2x   (kx  2k  1)(x  1) (do x  1 không nghiệm) x 1  kx  (3k  1)x  2k  0(1) Điều kiện để đường thẳng d cắt đồ thị (C ) điểm phân biệt (1) có k  k   nghiệm phân biệt    k   2  k   2   k  6k    Giả sử A(x1 ;kx1  2k  1), B (x ; kx  2k  1) giao điểm, khoảng cách từ A B đến trục hoành nên Ths.Hoàng Huy Sơn 21 Tài liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015 kx  2k   kx  2k  y A  yB  kx  2k   kx  2k    kx1  2k    kx  2k  1  x  x   k (x  x )  4k   3k  Do x  x nên ta chọn trường hợp k (x1  x )  4k    k  4k    k  3 (nhận) k 2x  Ví dụ 2: Cho hàm số y  có đồ thị (C ) Tìm m để đường thẳng y  mx  cắt đồ thị (C ) x 1 điểm M , N cho tam giác OMN vuông O Giải: Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng d : y  mx  2x   mx   2x   (x  1)(mx  3) (vì x  khơng nghiệm phương trình) x 1  2x   mx  3x  mx   mx  (1  m )x   0(1) Điều kiện để đường thẳng d cắt đồ thị (C ) điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt m     m  m        (*)   (1  m )  16m  m  14m   m  7   m  7           Giả sử M (x1 ; mx  3), N (x ;mx  3) giao điểm, tam giác OMN vng O    OM ON   x1x  (mx  3)(mx  3)   (1  m )x1x  3m (x1  x )   (2) Vì x , x hai m 1 nghiệm (1) nên theo định lý Viet ta có x  x  ; x1x   Thay vào (2) ta m m 4 m 1 (1  m )  3m    m  6m    m   (thỏa điều kiện (*)) m m x  Ví dụ 3: Cho hàm số y  có đồ thị (C ) Chứng minh với m đường thẳng y  x  m 2x  cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A B Gọi k1 , k hệ số góc tiếp tuyến với (C ) A B Tìm m để tổng k1  k đạt giá trị lớn Giải: Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng (d ) : y  x  m x  1  x  m  x   (2x  1)(x  m ) (vì x  khơng nghiệm phương trình) 2x   2x  2mx  m   0(1)   m  2m   0, m Suy (C ) (d ) cắt hai điểm phân biệt với m Gọi x , x hai nghiệm (1) ta có 4(x  x )2  8x 1x  4(x  x )  1 k1  k2     (2) Theo định lý Viet ta có (2x  1)2 (2x  1)2 4x 1x  2(x  x )  1  m  Thay vào (2) ta k1  k2  4m  8m   4(m  1)2   2 Suy k1  k2 lớn 2 m  1 x  x  m; x 1x  Ví dụ 4: Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị (C ) Tìm m để đường thẳng y  m(x  1) cắt đồ thị (C ) điểm phân biệt M ( 1,0), A, B cho MA  2MB Giải: Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng y  m (x  1) x  3x   m (x  1)  x  3x  mx  m    (x  1)(x  4x  m  4)  0(1) Ths.Hồng Huy Sơn 22 Tài liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015 x  1  đồ thị cắt điểm phân biệt M ( 1,0), A, B (2) có x  4x  m   0(2)     m  m  nghiệm phân biệt khác 1 Điều kiện   (*) Tọa độ m  9 g ( 1)  ( 1)  4( 1)  m   điểm A, B A(x1 , m (x1  1)); B (x , m (x  1)) MA  (x  1)2  m (x  1)2  (x  1)2 (m  1); MB  (x  1)2 (m  1) Theo ta có MA  2MB  (x  1)2 (m  1)  (x  1)2 (m  1)  (x  1)2 (m  1)  4(x  1)2 (m  1) x   2(x  1) x  2x  2 (x  1)2  4(x  1)2     x   2(x  1) x  2x  3   + TH: x  2x  Do x 1, x nghiệm phương trình x  4x  m   nên theo định lý Viet ta x  2x  x        có x  x  4; x 1x  m  4, ta có hệ x  x   x   m  1     x x  m  3  m        x  2x  3 x  11       x  x  + TH: x  2x  3 Ta có hệ   x  7  m  81    x x  m  77  m        Vậy, giá trị cần tìm m  1  m  81 (Thỏa điều kiện(*)) Ví dụ 5: Cho hàm số y  x  mx  m  (1) Tìm m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt có hồnh độ lớn 2 Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số cho với trục hoành x  mx  m   (1) Đặt t  x  0, ta có phương trình t  mt  m   (2) Đồ thị hàm số cho cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lớn 2 (2) có nghiệm dương phân biệt t1 , t2 ,(t1  t ) 2   t   t1  t1  t Điều thỏa    m  4m        m   2  m   2 m   2  m   2    S  m       m    m    P  m          m  4m    m   t  2  m  17         17  22 m  Ví dụ 6: Cho hàm số y  x  3x  Tìm m để đồ thị C  cắt đường thẳng y  m 2x  3m  ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn 1 Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng cho x  x  3x   m x  3m    x  m  x  3   x  m  x  m  2 C  cắt đường thẳng y  m x  3m  ba điểm phân biệt có hoành độ lớn 1 2 Ths.Hoàng Huy Sơn 2 23 Tài liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015 m  3 m  1  1  m     m  1 m  m   Ví dụ 7: Cho hàm số y  x  2x Tìm m để đồ thị C  cắt Parabol y  m 2x  2m bốn điểm phân biệt với hồnh độ có giá trị tuyệt đối lớn Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) Parabol y  m 2x  2m x   x  2x  m 2x  2m  x  2x  m 2x  2m   x    m  x  2m    x  m m    Yêu cầu toán thỏa  m 1  Ví dụ 8: Cho hàm số y  x  m  1 x  m  1 x  , với m tham số thực Chứng tỏ với giá trị khác m , đồ thị hàm số cho luôn cắt trục hoành điểm phân biệt A, B ,C B ,C có hồnh độ phụ thuộc tham số m Tìm giá trị m để trung điểm BC nằm Parabol y  x  Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số cho với trục hoành x  x  m  1 x  m  1 x    x  1 x  mx  1    x  mx   1 Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt   m   khác 1,   m  Vậy, với giá trị khác m , đồ thị hàm số cắt 1m 1   trục hoành điểm phân biệt A, B ,C B ,C có hoành độ phụ thuộc tham số m nghiệm 1  phương trình (1) Gọi I trung điểm đoạn BC , tọa độ I   x B  x c  ;0  Theo định lý Viet 2  m  ta có x B  xC  m , I  ;0  Điểm I nằm Parabol y  x  nên 2  m       m   m  2  m    Ví dụ 9: Cho hàm số y  x  3mx  m  Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm M có hồnh độ x  1 cắt trục Ox ,Oy A, B (A  B ) cho OA  OB Giải: Thay x  1 vào hàm số cho ta y   2m Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm M y  f ( 1)(x  1)   m  (3  6m )(x  1)   2m  ( 3  6m )x  4m   4m   Tiếp tuyến cắt trục Ox ,Oy điểm A  ;0  , B  0;4m  1 Theo ta có  6m   Ths.Hoàng Huy Sơn 24 Tài liệu ôn thi Đại học môn Toán Phần HÀM SỐ 4m   4m  1 4m  OA  OB   4m    4m     6m  3 2m   2m   Năm 2015  m    m   m  Vì A  B nên ta loại trường hợp m  Ví dụ 10: Cho hàm số y  3x  Tìm m để đường thẳng (d ) : y  x  m cắt (C ) hai điểm A, B 2x  phân biệt cho AB  2 Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng (d ) 3x  1  x  m  3x   2x  2mx  x  m (vì x  khơng nghiệm phương trình) 2x   2x  m  2 x  m   0(1) Đồ thị (C ) đường thẳng (d ) có hai điểm chung phân biệt   (m  2)2  2(m  1)   m  4m   2m    m  2m    m   Giả sử A(x ; x  m ); B(x ; x  m ) Ta có AB  (x  x )2  (x  x )2  x  x Theo ta có (1  m ) 4   4m  m   2m   m  2m      m   x  x  2  x  x   (x  x )2  4x 1x   (2  m )2  2x  có đồ thị (C ) Tìm trục tung điểm M cho qua M kẻ x 1 đường thẳng song song với đường thẳng d : y  x  đồng thời cắt (C ) hai điểm phân biệt đối xứng qua M Ví dụ 11: Cho hàm số y  Giải: Gọi  đường thẳng qua điểm M (0;b ) Oy ,  song song với đường thẳng d nên có phương trình dạng y  x  b ,b  Xét phương trình hồnh độ giao điểm  (C ) 2x   x  b  2x   (x  1)(x  b ) (do x  khơng nghiệm phương trình) x 1  x  (b  3)x  b   0(1)  cắt (C ) điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Điều kiện   (b  3)2  4( b  1)   b  2b  13   b   Gọi A, B giao  (C ) Theo A, B đối xứng qua M nên M trung điểm đoạn x  xB thẳng AB Từ A  x M   b  Vậy, điểm cần tìm M (0;3) Ví dụ 12: Cho hàm số y  x  m  1 x  m ( m tham số) Xác định m để đồ thị hàm số cho cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có điểm có hồnh độ dương điểm có hồnh độ âm Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số cho với trục hoành x  x  m  1 x  m   (x  1)(x  mx  m )  0(1)   x  mx  m    Ths.Hồng Huy Sơn 25 Tài liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015 Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm phân biệt có điểm có hồnh độ dương điểm có hồnh độ âm, (2) có nghiệm trái dấu khác 1, m  P  m     1  2m  m    3x  Tìm m để đường thẳng d : y  2x  m  cắt (C ) hai điểm phân 2x  biệt A, B thỏa yA  yB  10 Ví dụ 13: Cho hàm số y  Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng d 3x  1  2x  m   3x    2x  1  2x  m  1 (do x  không nghiệm phương trình) 2x   4x   2m   x   m  0(1) Đường thẳng d cắt (C ) hai điểm phân biệt A, B (1) có hai nghiệm phân biệt      2m    16   m    4m  28m  49  32  16m   4m  12m  17   m   Ta có yA  yB  10   2x  m  1   2x  m  1  10  x1  x   2m   10   2m 17  2m  12  m  2 Ví dụ 14: Tìm m để đồ thị hàm số y  x  (m  1)x  2m x  m cắt trục hồnh điểm phân biệt Giải: Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  x  m  1 x  m với trục hoành x  x  (m  1)x  2m x  m   ( x  1)(x  m x  m )  0(1)   x  m x  m  0(2) Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm phân biệt (2) có nghiệm phân biệt khác 1 Điều thỏa   m  4m     S  m  m  4  m        m  4  P  m  m      1     x Ví dụ 15: Cho hàm số y  1x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho Tìm giá trị m để đường thẳng y  x  m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B cho góc hai đường thẳng OA,OB 600 (O gốc tọa độ) Giải: Phương trình hồnh độ giao điểmcủa (C ) đường thẳng y  x  m x  x  m  g(x )  x  mx  m  (1)(x  khơng nghiệm phương trình) 1x Đường thẳng y  x  m cắt (C ) điểm phân biệt  Pt (1) có nghiệm phân biệt Ths.Hồng Huy Sơn 26 Tài liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015   m  4m  m    (*)    g (1)  m     x  x  m    Gọi x 1, x nghiệm (1), ta có: x 1x  m   g (x )  g(x )        OA  x ; x  m   1 Các giao điểm A(x ; x  m ); B(x ; x  m )     OB  x ; x  m   2       2x 1x  m(x  x )  m Khi cos60 = cos OA,OB = 2x 12  2mx  m 2x 2  2mx  m    2m  2g(x )  m  2m 2g(x )  m  2m m  2 2m      2 m 2 m  2m m  Kết hợp với (*) ta có m  2  m  Ví dụ 16: Cho hàm số y  2x  3(1  m )x  6mx   m , m tham số thực Chứng minh phương  trình x  3(1  m )x  6m x   m  (1) có nghiệm thực phân biệt m  Giải: Trước hết xét hàm số y  f (x )  2x  3(1  m )x  6mx   m Ta có f (x )  6x  6(1  m)x  6m  x  (1  m )x  m  ; f (x )   x  1  x  m   f ( 1)  4m ; f (m )  m  3m  m  Với m  hàm số f (x ) có cực trị, đạt cực đại x  1, đạt cực tiểu x  m  Hai giá trị cực trị trái dấu f ( 1)  4m  0; f (m )  m  3m  m   Mặt khác f (0)  m   với m  Vậy đồ thị hàm số f (x ) cắt trục hoành điểm phân biệt, có điểm có hồnh độ âm hai điểm có hồnh độ dương Suy đồ thị hàm số y  x  3(1  m )x  6m x   m cắt trục hoành điểm phân biệt, hay phương trình (1) có nghiệm thực phân biệt Ví dụ 17: Tìm m để phương trình 2x  3(m  1)x  6mx  2m  có ba nghiệm phân biệt Giải: Phương trình 2x  3(m  1)x  6mx  2m  có ba nghiệm phân biệt đồ thị hàm số y  2x  3(m  1)x  6mx  2m cắt trục hoành ba điểm phân biệt Điều kiện hàm số y  2x  3(m  1)x  6mx  2m có cực trị hai giá trị cực trị trái dấu Ta có y   x  (m  1)x  m  , y    x   x  m    y  m   y  m  3m  2m Như vậy, yêu cầu toán thỏa m  m        m   m   (m  1)(m  3m  2m )  m   m       Ths.Hoàng Huy Sơn 27 Tài liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015 BÀI TẬP Bài 1: Cho hàm số y  x  mx  m  (1) Tìm m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt ĐS: m  1, m  Bài 2: Cho hàm số y  x  (2m  1)x  (8m  3)x  6m  Tìm m để đồ thị hàm số cho cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hai điểm có hồnh độ âm ĐS:   m   3 Bài 3: Cho hàm số y  x  3x (1) a) Tìm m để phương trình x  3x  m  3m  có nghiệm phân biệt ĐS: (1  m  3; m  0;m  2) b) Tìm m để phương trình: x x   m có nghiệm phân biệt ĐS:  m  2x  có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng y  2x  m cắt đồ thị (C) điểm x 1 phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích ĐS: m  2 Bài 5: Cho hàm số y  x   3m   x  3m C m  Với giá trị tham số m , đường thẳng y  1 Bài 4: Cho hàm số y  cắt đồ thị C m  bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ   m  1, m  3 Bài 6: Cho hàm số y  x  (m  2)x  mx  2m (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành 9 4 điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ ĐS:  m   m  4, m  Bài 7: Cho hàm số y  x  2x  1  m  x  m Tìm m để đồ thị hàm số cho cắt Ox ba điểm phân 2 biệt có hồnh độ thỏa mãn điều kiện x 12  x  x  ĐS:   m  m  Bài 9: Cho hàm số y  (4  x )(x  1)2 có đồ thị (C ) Gọi I giao điểm (C ) với trục Oy (d ) đường thẳng qua I với hệ số góc k a) Tìm k để (d ) cắt (C ) ba điểm phân biệt I ,J , K ĐS: (k  0;k  9) b) Tìm toạ độ trung điểm đoạn thẳng JK ĐS (3;3 k + 4) Bài 10: Cho hàm số y  2x  mx  4mx (1) Bài 8: Tìm m để phương trình x  3mx   có ba nghiệm phân biệt ĐS: m  Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt đồ thị hàm số y  x điểm O(0; 0), A, B phân biệt Với giá trị m trung điểm I đoạn thẳng AB nằm đường thẳng y  13x ĐS: m = Bài 11: Cho hàm số y  x  3mx  3(m  2)x  3 a) Tìm m để hàm số có cực trị điểm cực trị thoả x  x  26 ĐS: m = b) Tìm m để đồ thị hàm số cho cắt đường thẳng y = x + ba điểm A(0; 1), B, C phân biệt Với giá trị m trung điểm I đoạn thẳng BC nằm Parabol 17 y  x  ĐS: m = 1; m = Bài 12: Cho hàm số y  2x  3x (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đường thẳng y = m có điểm chung có hồnh độ dương ĐS: m  1 Bài 13: Cho hàm số y  x  mx  có đồ thị (C m ) Xác định m để đường cong (C m ) tiếp xúc với đường thẳng (d ) : y  Khi tìm giao điểm cịn lại đường thẳng ( d ) với (C m ) ĐS: m  3, M (1; 5) Ths.Hoàng Huy Sơn 28 Tài liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Bài 14: Cho hàm số y  Năm 2015 x 2 (1) đường thẳng (d ) : y  x  m 2x  Tìm m để (d ) cắt đồ thị hàm số (1) A, B phân biệt thỏa OA  OB  37 ĐS: m  2;m   2 x 1 (1) Chứng minh với m  đồ thị hàm số (1) luôn cắt x đường thẳng y  mx  2m hai điểm phân biệt có giao điểm có hồnh độ dương Bài 16: Tìm m để đồ thị hàm số y  x  m (x  1)  tiếp xúc với trục hoành ĐS: m  3;m  4 Bài 17: Cho hàm số y  x  8x  Tìm m để đường thẳng y  mx  tiếp xúc với đồ thị hàm số cho ĐS: m  Bài 15: Cho hàm số y  2x  Tìm trục tung điểm M cho qua M kẻ đường thẳng vng x 1 góc với đường thẳng d : y  x  đồng thời cắt đồ thị (C ) hàm số cho hai điểm phân biệt đối xứng qua M ĐS: M (0;1) Bài 18: Cho hàm số y  Bài 19: Tìm m để đồ thị hàm số y  x  2(m  1)x  (m  3m  1) x  m  m cắt trục hoành điểm phân biệt ĐS: m  0, m  2x  Gọi (d ) đường thẳng qua A(1; 1) có hệ số góc k Tìm k cho 1 x (d) cắt (C) hai điểm M, N phân biệt MN  10 Bài 20: Cho hàm số y  ĐS: 3  k  3  41 3  41  k  16 16 BÀI TẬP ÔN TẬP x 1 (1) x 1 a) Tìm m để đường thẳng y  2x  m cắt đồ thị (C ) hàm số (1) điểm M , N cho tiếp tuyến (C ) M , N song song ĐS: m  1 b) Tìm (C ) điểm A cho khoảng cách từ tâm đối xứng (C ) đến tiếp tuyến (C ) ĐS: A1  2;3 ; A2  3;  ; A3  0; 1 ; A4  1;0  A 2mx  Bài 2: Cho hàm số y  Tìm m để khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị hàm số mx  ĐS: m  1 tiếp tuyến đồ thị giao đồ thị với trục tung 10 x 2 Bài 3: Cho hàm số y  có đồ thị (C ) Tìm điểm M (C ) biết tiếp tuyến (C ) M tạo với x 1 đường thẳng y  2x  góc có cosin 10 Bài 1: Cho hàm số y  7 ), (1  7;1  ) 7 x 2 Bài 4: Cho hàm số y  (C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến cắt trục 2x  Ox ,Oy A, B cho tam giác OAB cân gốc O ĐS: y  x  ĐS: (2;0),(0; 2), (1  7;1  Ths.Hoàng Huy Sơn 29 Tài liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015 2x  có đồ thị (C ) Tìm điểm M  C  có x M  cho tiếp tuyến (C ) x 1 289 M tạo với trục Ox ,Oy tam giác có diện tích (đvdt) ĐS: M (2;7), M ( ; 4) 10 2x  Bài 6: Cho hàm số y  có đồ thị (C ) Tìm điểm M  C  có hồnh độ lớn cho khoảng x  cách từ đến tiếp tuyến (C ) điểm A(0;1) ngắn ĐS: M (2; 5) 2x  Bài 7: Cho hàm số y  có đồ thị (C ) Tìm (C ) điểm M cho tiếp tuyến M x 2 (C ) cắt hai tiệm cận (C ) A, B cho AB ngắn ĐS: M (3,3), M (1,1) 2x  Bài 8: Cho hàm số y  (C ) Tìm m để đường thẳng y  2x  m cắt đồ thị (C ) điểm A, B x 1 cho AB  ĐS: m  10, m  2 x  Bài 9: Cho hàm số y  (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ), biết tiếp tuyến qua giao 2x  1 điểm đường tiệm cận đứng trục Ox ĐS: y   x  12 24 2x  Bài 10: Cho hàm số y  Xác định m để đường thẳng y  x  m cắt đồ thị hàm số cho hai x 1 điểm A, B cho tam giác OAB vuông gốc tọa độ O ĐS: m  2 Bài 5: Cho hàm số y  Bài 11: Tìm m để đồ thị hàm số y  x   m   x  m x  2m cắt trục hoành điểm phân biệt Bài 12: Cho hàm số y  x  3x  Xác định m để đường thẳng y  mx  2m cắt đồ thị hàm số cho điểm phân biệt M ( 2;0), N , P cho tiếp tuyến đồ thị hàm số cho N , P vng góc  35 Bài 13: Cho hàm số y  x  3x  mx  có đồ thị (Cm); (m tham số) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y  ba điểm phân biệt C(0;1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vuông ĐS: m   65 Bài 14: Cho hàm số y  x  3x  (m  1)x  m  có đồ thị (C m ) góc với ĐS: m  a) Tìm m để đồ thị (C m ) cắt Ox ba điểm phân biệt A  1, 0 , B ,C Khi chứng minh A trung điểm đoạn thẳng BC m  2 b) Tìm m để BC  m  1 m Bài 15: Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C m ) Tìm m để tiếp tuyến (C m ) điểm M 3 thuộc (C m ) có hồnh độ – song song với đường thẳng 5x  y  ĐS: m  Bài 16: Cho hàm số y  x  3x  3mx  a) Tìm m để hàm số cho có cực trị ĐS: m  1 b) Gọi A, B hai đỉnh cực trị đồ thị, với m độ dài AB ĐS: m  Bài 17: Cho hàm số y  x  3x  a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho b) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y  m cắt đường biểu diễn y  x  3x  Ths.Hồng Huy Sơn 30 Tài liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015 điểm phân biệt ĐS: 3  m  Bài 18: Cho hàm số y  x  3x  m  có đồ thị (C m ) Tính cơsin góc tạo đường thẳng qua hai điểm cực trị (C m ) đường thẳng x  y   ĐS: cos   10 10 Bài 19: Cho hàm số y  x  (1  2m )x  (2  m )x  m  a) Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số cho có tiếp tuyến tạo với đường thẳng y  x  góc  có cos   26  k  k 1  ;(k  f (x )) Khi giá trị m cho phương HD: cos     k  26 k 1   trình f (x )  ; f (x )  có nghiệm giá trị cần tìm b) Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị x 1, x thỏa x1  x  ĐS:   m  1,  m  4 Bài 20: Cho hàm số y  x  3x  4x  Tìm a để đồ thị có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng y  ax Giả sử M, N hai tiếp điểm, chứng minh trung điểm đoạn thẳng MN cố định ĐS: a  Bài 21: Cho hàm số y  x  mx  m  ( m tham số) Chứng minh tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm uốn qua điểm cố định m thay đổi Bài 22: Chứng minh đường thẳng y  mx  2m  16 cắt đồ thị hàm số y  x  3x  điểm cố định Bài 23: Cho hàm số y  x  3x  a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m b) Tìm m để phương trình x  2x   có nghiệm phân biệt ĐS: 2  m  x 1 Bài 24: Cho hàm số y  x  3x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho b) Tìm m để phương trình x  3x  m có nghiệm phân biệt ĐS:  m  c) Tìm m để phương trình: x x    m  có nghiệm phân biệt ĐS: 1  m  d) Tìm m để phương trình: x  x   m  có nghiệm phân biệt ĐS: 1  m  Bài 25: Cho hàm số y  x  x  x  có đồ thị (C ) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho b) Tìm giá trị tham số m để phương trình x  1 x   m có nghiệm phân biệt có nghiệm âm nghiệm dương ĐS:  m  1 11 Bài 26: Cho hàm số y   x  x  3x  có đồ thị (C ) Tìm đồ thị (C ) hai điểm M , N đối 3  16   16  xứng qua trục tung  3;  ,  3;  3  3  Bài 27: Cho hàm số y  x  4x  a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho 31 Ths.Hồng Huy Sơn Tài liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015 b) Tìm giá trị tham số m để phương trình x  4x   log m có nghiệm phân biệt ĐS:  m  8, m  Bài 28: Cho hàm số y  x  2mx  m  Tìm giá trị tham số m để hàm số có ba cực trị ba điểm cực trị đồ thị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông cân ĐS: m  x2  x 1 Bài 29: Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y  2x  m cắt đồ thị hàm số y  x hai điểm A, B phân biệt cho trung điểm đoạn AB thuộc trục tung ĐS: m  x2 1 Bài 30: Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y  x  m cắt đồ thị hàm số y  x hai điểm A, B phân biệt cho AB  ĐS: m  2 Bài 31: Tìm giá trị tham số m để góc hai tiệm cận đồ thị hàm số mx   3m   x  y 450 ĐS: m  1 x  3m mx  m  1 x  Bài 32: Cho hàm số y  (1) Tìm giá trị tham số m để tiếp tuyến đồ thị x 1 hàm số (1) điểm M thuộc đồ thị có x M  vng góc với tiệm cận xiên ĐS: m   2 x  mx  Bài 33: Cho hàm số y  Tìm giá trị tham số m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số x 1 tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích 4(đvdt) ĐS: m  1  2 ………………………………………………………………………………………… An Giang, ngày 28/01/2015 Hoàng Huy Sơn Ths.Hoàng Huy Sơn 32 ... đồ thị hàm số y  f (x ) ứng với y  2) Từ đồ thị hàm số y  f (x ) suy đồ thị hàm số y  f ( x ) Ta có hàm số y  f ( x ) hàm số chẵn, mặt khác x  y  f ( x )  f (x ) Do đồ thị hàm số y ... thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015 ĐS: m  Bài 3: Cho hàm số y  x  2(m  1)x  m a) Tìm giá trị tham số m để hàm số cho có ba điểm cực trị b) Gọi A, B ,C ba điểm cực trị đồ thị hàm số. .. liệu ơn thi Đại học mơn Tốn Phần HÀM SỐ Năm 2015 u (x ) 3x   v (x ) 2x  a) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị (C ) hàm số cho Ví dụ 3: Cho hàm số y  f (x )  b) Từ đồ thị (C ) suy đồ thị hàm số y