BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:……………………………… ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:……………………………… KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009 (Đợt 2) Môn thi: GIẢI TÍCH (Dành cho cao học) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. a. Cho dãy số thực      . Chứng minh rằng nếu chuỗi        hội tụ tại   thì nó sẽ hội tụ tại mọi   . b. Cho chuỗi hàm                   Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối và đều của chuỗi hàm    .  Tính tổng của chuỗi hàm    . Câu 2. Cho    là một không gian mêtric. Trên  ta định nghĩa                a. Chứng minh rằng   là một mêtric trên . b. Chứng minh rằng    là một không gian mêtric đầy đủ khi và chỉ khi     cũng là một không gian mêtric đầy đủ. Câu 3. Cho  là hai không gian định chuẩn trên cùng một trường cơ sở và  là một ánh xạ tuyến tính thoả mãn điều kiện: với mỗi dãy       hội tụ về  thì dãy        bị chặn. Chứng minh rằng  là ánh xạ tuyến tính liên tục. Câu 4. Xét không gian Hilbert phức   gồm tất cả các dãy số phức       sao cho          với tích vô hướng               . Giả sử      là một dãy số phức bị chặn. Cho     xác định bởi                  a. Chứng minh rằng  là toán tử tuyến tính liên tục. Tính chuẩn của . b. Chứng minh rằng nếu      là dãy số thực thì  là một toán tử tự liên hiệp. Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 2 NĂM 2009 Câu 1. (4đ) a. Ta có                    Nên chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Abel tại mọi    a. Ta có            nên ta chỉ cần xét chuỗi trong    . Với bất kỳ      ta có                              . Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối tại mọi  và hội tụ đều trên các khoảng                    . Do       khi  nên chuỗi không hội tụ đều trên khoảng    b. Chú ý           Do đó                               Vậy                           Câu 2. (2đ) a. (1đ) Kiểm tra 2 tiên đề đầu tiên về mêtric (0,5đ) Tiên đề còn lại chứng minh dựa vào hàm        đơn điệu tăng trên       . (0,5đ) b. (1đ)     cơ bản trong         cơ bản trong     (0,5đ)     cơ bản trong         cơ bản trong     (0,5đ) Câu 3. (2đ) Giả sử  không bị chặn trên mặt cầu đơn vị        khi đó tồn tại trên  dãy     mà        . Khi đó dãy        hội tụ về 0 nhưng                      Trái giả thiết. Câu 4. (2đ) a. Kiểm tra tính tuyến tính của  . (0,5đ)         ta có                            Vì dãy      bị chặn nên       . Do đó                   Vậy  liên tục và     Xét dãy        ta có                     nên         . Suy ra           b. (1đ)         ta có                         Vì   là số tực nên tổng của chuỗi này là một số thực. Vậy toán tử  là tự liên hợp. . sinh:……………………………… ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:……………………………… KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009 (Đợt 2) Môn thi: GIẢI TÍCH (Dành cho cao học) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. a. Cho dãy. số thực thì  là một toán tử tự liên hiệp. Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 2 NĂM 2009 Câu 1. (4đ) a. Ta có                    . dãy        hội tụ về 0 nhưng                      Trái giả thi t. Câu 4. (2đ) a. Kiểm tra tính tuyến tính của  . (0,5đ)         ta có                           