Pham ngoc hung Một số bài toán khó Câu 1:Với giá trị nguyên nào của a thì đa thức (x-a)(x-10)+1 có thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên Bài Làm Giả sử ta có : (x-a)(x-10)+1 =(x-m)(x-n) Với m,n ∈ Z Vì m,n ∈ Z nên: 10 1 11 10 1 11 10 1 9 10 1 9 m m n n m m n n  − =  =       − = =     ⇒ ⇒   − = − =       − = − =       Thay vào (1) ta được: 11 11 10 11.11 10 1 12 8 9 9 10 9.9 10 1 a a a a a a  + = +    = + =    ⇒   = + = +     = +    Vậy với 12 8 a a =   =  thì đa thức (x-a)(x-10)+1 có thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên Câu 2:Chứng tỏ rằng nếu ta có: x a b c = = ²- yz y²- xz z²- xy thì có thể suy ra được: x y z = = a²- bc b²- ca c²- ab Bài Làm Đặt: a b c = = x²- yz y²- xz z²- xy =k (k ∈ R) ; ;a b c k k k ⇒ = = = x²- yz y²- xz z²- xy k k k x x       ÷  ÷ ÷      ⇒ = x²- yz y²- xz z²- xy ²- a²- bc ax+10a+1= 10( ) 100 10 (1) 10 1 10( ) 99 10 10 99 10 10 100 1 ( 10) 10( 10) 1 ( 10)( 10) 1 x x x x n m a mn a m n mn mn m n mn m n m n n m n ⇒ ⇔ + = +   ⇒ ⇔   = +   ⇒ + − = ⇒ − − = − ⇒ − − + = ⇒ − − − = ⇒ − − = ²- 10x- ²- nx- mx+mn ²- (10+a)x +10a+1= ²- (n+m)x +mn n+m=10+a mn=10a+1 Pham ngoc hung ³ ³+z³-3xyz ² x y x k + ⇔ = a²- bc (1) Tương tự ta có: ³ ³+z³-3xyz ² x y y k + = b²- ac (2) ³ ³+z³-3xyz ² x y z k + = c²- ab (3) Từ (1),(2),(3) ⇒ đpcm Câu 3:Biết rằng ax+by+cz=0, hãy tính gt của biểu thức : R ax = bc(y- z)²+ca(z- x)²+ab(x- y)² ²+by²+cz² Bài Làm Ta có: ax+by+cz=0 ²x²+b²y²+c²z²+2abxy+2acxz+2bcyz=0 ²x²+b²y²+c²z²=-2abxy-2acxz-2bcyz (1) a a ⇔ ⇔ Khai triển tử thức ta có: ( )²+ac(z-x)²+ab(x-y)² bc(y²-2yz+z²)+ca(z²-2xz+x²)+ab(x²-2xy+y²) bcy²-2bcyz+bcz²+caz²-2caxz+cax²+abx²-2abxy+aby² bcy²+bcz²+caz²+cax²+abx²+aby²+ ²x²+b²y²+c²z² y²(bc+ab+b²)+z²(bc+ac+c²)+x²(ac+ab+a²) bc y z a − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ²b(c+a+b)+z²c(b+a+c)+x²a(c+b+a) ( ²b+z²c+x²a)(a+b+c) ( ²b+z²c+x²a)(a+b+c) R= +b+c y y y a ax ⇔ ⇔ ⇒ = ²+by²+cz² Vậy R=a+b+c Câu 4:Cho hai số thực x và y thỏa mãn: xy =1, x >y. Chứng minh rằng: ²+y² 2 2 x x y ≥ − (Đề thi thử chuyển cấp vào lớp 10 trường trung học cơ sở kỳ long ) Giải Ta có thể viết : Pham ngoc hung ²+y²-2 2( ) ²+y²-2 2( ) 2 2 ²+y²+2 2 2 2 2 2 ( 2)² 0 x x y x x y xy x xy x y x y − = − + − = − − + = − − ≥ Do đó: ²+y² 2 2( )x x y≥ − . Vì x>y nên x-y>0 Ta suy ra: ²+y² 2 2 x x y ≥ − Vậy nếu x.y=1 và x y> thì ²+y² 2 2 x x y ≥ − Câu 5: Giải phương trình: 2 2 2 1 1 2x x x x x x+ − + − + + = − + ĐK: 5 1 5 1 2 2 x − + ≤ ≤ Đặt: (1;1)a → = 2 2 ( 1; 1)b x x x x → = + − − + + 2 2 . 1 1 . 2. 2 2 1 a b x x x x a b x x x → → → → ⇒ = + − + − + + = = ≤ + Mà 2 2 . . 1 1 1a b a b x x x x x → → → → ≤ ⇔ + − + − + + ≤ + 2 2 2 2 1 2 1 0 ( 1) 0 1 x x x x x x x ⇔ − + ≤ + ⇔ − + ≤ ⇔ − ≤ ⇒ = . ÷ ÷      ⇒ = x²- yz y²- xz z²- xy ²- a²- bc ax+10a+1= 10( ) 100 10 (1) 10 1 10( ) 99 10 10 99 10 10 100 1 ( 10) 10( 10) 1 ( 10) ( 10) 1 x x x x n m a mn a m n mn mn m n mn m n m n n m n ⇒ ⇔ +.    Thay vào (1) ta được: 11 11 10 11.11 10 1 12 8 9 9 10 9.9 10 1 a a a a a a  + = +    = + =    ⇒   = + = +     = +    Vậy với 12 8 a a =   =  thì đa thức (x-a)(x -10) +1. (x-a)(x -10) +1 có thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên Bài Làm Giả sử ta có : (x-a)(x -10) +1 =(x-m)(x-n) Với m,n ∈ Z Vì m,n ∈ Z nên: 10 1 11 10 1 11 10 1 9 10 1