Chuyên đề tích phân và ứng dụng tài liệu lý thuyết và bài tập 2015

cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 1 Cung cấp bởicbook.vn Thư viện tài liệu trực tuyến cbook.vn Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 2 Cung cấp bởicbook.vn LỜI NÓI ĐẦU Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề Tích phân và ứng dụng” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông. Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương. Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn. Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh. Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng. Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với bộ tài liệu này. Các tác giả cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 3 Cung cấp bởicbook.vn MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ......................................................................................................................... 2 MỤC LỤC................................................................................................................................ 3 KIẾN THỨC BỔ TRỢ........................................................................................................... 5 CHƯƠNG 1: CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN ....................................................... 10 I. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN. ...................................................................................... 10 I.2 TÍCH PHÂN................................................................................................................... 13 VẤN ĐỀ 1: ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN .................................. 14 VẤN ĐỀ 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN SỐ ............................... 17 Dạng 1: Đổi biến số bằng cách đặt x = g(t) ..................................................................... 18 Một số trường hợp thường gặp ............................................................................................ 18 Dạng 2: Đổi biến số bằng cách đặt t = v(x) ..................................................................... 24 Dạng 3: Ứng dụng của phương pháp đổi biến ................................................................. 33 VẤN ĐỀ 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP................................................ 36 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN.......................................................................................... 36 VẤN ĐỀ 4: PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ .............................................................................. 49 VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN............................................................ 49 VẤN ĐỀ 5: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG ......................................................................... 50 PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ ............................................................... 50 VẤN ĐỀ 6: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ ........................................................... 52 VẤN ĐỀ 7: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ .............................................................. 73 VẤN ĐỀ 8: TÍCH PHÂN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC ...................................................... 92 VẤN ĐỀ 9: TÍCH PHÂN CÁC HÀM ĐẶC BIỆT........................................................... 111 VẤN ĐỀ 10: TÍCH PHÂN CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX....................... 116 VẤN ĐỀ 11: ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN ....................................................................... 117 VẤN ĐỀ 12: TÍCH PHÂN HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ......................... 120 VẤN ĐỀ 13: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN .............................................................. 123 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN .............................................................. 126 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 4 Cung cấp bởicbook.vn CƠ SỞ LÝ THUYẾT. ....................................................................................................... 126 BÀI TẬP VẬN DỤNG. .................................................................................................... 127 BÀI TẬP TỰ LUYỆN....................................................................................................... 129 BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: .................................................................... 132 TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP TÍCH PHÂN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT ........................... 134 KẾT LUẬN.......................................................................................................................... 214 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 5 Cung cấp bởicbook.vn KIẾN THỨC BỔ TRỢ Trong phần này, ta nhắc lại một số kiến thức cần thiết khi biến đổi các biểu thức lượng giác cần tính nguyên hàm, công thức tính đạo hàm của một số hàm số… A. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ I. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt 1. Cung đối nhau sin sin cos cos            cot cot tan tan           2. Cung bù nhau sin sin cos cos          cot cot tan tan           3. Cung phụ nhau sin cos 2        cos sin      2     tan cot 2        cot tan   2          4. Cung hơn kém 2 sin cos 2        cos sin      2      tan cot 2         cot tan   2            5. Cung hơn kém sin sin cos cos             cot cot tan tan           cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 6 Cung cấp bởicbook.vn II. Công thức lượng giác 1. Các hệ thức cơ bản 2 2 sin cos 1 tan .cot 1      sin tan cos     cos cot sin     2 2 1 1 tan cos     2 2 1 1 cot sin     2. Công thức cộng cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin   a b a b a b a b a b a b       sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin   a b a b a b a b a b a b       tan   tan tan 1 tan tan a b a b a b     tan   tan tan 1 tan tan a b a b a b     3. Công thức nhân đôi 2 2 2 2 4 4 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin cos sin         sin2 2sin cos    2 2tan tan2 1 tan      4. Công thức nhân ba 3 3 3sin sin3 sin3 3sin 4sin sin 4            3 3 3cos cos3 cos3 4cos 3cos cos 4            5. Công thức hạ bậc 2 1 cos2 sin 2     2 1 cos2 cos 2     2 1 cos2 tan 1 cos2       sin ,cos ,tan   tan 6. Công thức tính theo 2 t   cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 7 Cung cấp bởicbook.vn 2 2 sin 1 tt    2 2 cos 1 tt    2 2 tan 1 tt    7. Công thức biến đổi tích thành tổng cos cos cos cos1     2 a b a b a b      sin sin cos cos1     2 a b a b a b      sin cos sin sin1     2 a b a b a b      8. Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos cos 2 2 a b a b a b    cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b     sin sin 2sin cos 2 2 a b a b a b    sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b    sin  tan tan cos cos a b a b a b    sin  tan tan cos cos a b a b a b    9. Các công thức thường dùng khác sin cos 2sin 2 cos 4 4                      sin cos 2sin 2 cos 4 4                       B. CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM 1. Công thức tính đạo hàm của hàm số hợp cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 8 Cung cấp bởicbook.vn y y u u u x u x x y  . Cho là hàm số theo và là hàm số theo thì ta có: u u x v v x    2. Các quy tắc tính đạo hàm (ở đây ; ) u v u v   u v u v   u v u v u v. . .    2 u u v uv v v         u u x   3. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp (ở đây ) c c 0 ( là hằng số)  x  1   x x     .  1   2 1 1 , 0x x x            x x    2 0 1 x  , k u k u. .   u u u   . . 1   2 1 u , 0u u u           u u  2u u , 0  4. Đạo hàm của hàm lượng giác sin cosx x  cos sinx x    tan  12 cos x x  cot  12 sin x x   sin .cosu u u  cos .sinu u u    tan  2 cos u u u  cot  2 sin u u u   5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarít