Chuyªn ®Ị gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hƯ ph¬ng tr×nh Chuyªn §Ị Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp hƯ ph¬ng tr×nh: A. Tãm t¾t lÝ thut; B íc 1 - Chän Èn sè vµ ®Ỉt ®iỊu kiƯn thÝch hỵp cho Èn sè; - BiĨu diƠn c¸c ®¹i lỵng cha biÕt theo Èn vµ c¸c ®¹i lỵng ®· biÕt. - Tõ ®ã lËp hƯ ph¬ng tr×nh biĨu thÞ sù t¬ng quan gi÷a c¸c ®¹i lỵng. B íc 2 Gi¶Ø hƯ ph¬ng tr×nh, ph¬ng tr×nh thu ®ỵc. B íc 3(Tr¶ lêi). KiĨm tra xem trong c¸c nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh, ph¬ng tr×nh nghiƯm nµo tho¶ m·n ®iỊu kiƯn cđa Èn, nghiƯm nµo kh«ng råi tr¶ lêi. C¸c bµi to¸n gi¶i b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hƯ ph¬ng tr×nh ngßai c¸c bíc c¬ b¶n ®· häc trong ch¬ng tr×nh cÇn nhí thªm: - Khi ®Ỉt Èn cÇn cã ®¬n vÞ vµ ®iỊu kiƯn cđa Èn. - §¹i lỵng nµo ®Ỉt Èn th× coi nh ®· biÕt. D¹ng 1: C¸c bµi to¸n chun ®éng. - Víi bµi to¸n chun ®éng cÇn nhí chØ cã mèi quan hƯ 3 ®¹i lỵng S, v, t víi c«ng thøc S = v.t - Bµi to¸n chun ®éng th«ng thêng gåm cã hai chun ®éng hc hai giai ®äan cđa cïng mét chun ®éng. - Khi gi¶i bµi to¸n nµy cÇn ®iỊn ®Çy ®đ c¸c ®¹i lỵng ( kĨ c¶ ®¹i lỵng cha biÕt ®· ®Ỉt lµ Èn ) trong quan hƯ S =v.t vµ tõ mèi quan hƯ ®· cho sÏ cã ph¬ng tr×nh, hƯ ph¬ng tr×nh. • Chó ý: Xu«i dßng níc hc xu«i giã th× céng vËn tèc cßn ngỵc th× trõ vËn tèc: VD: Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn B c¸ch nhau 300 km . ¤ t« thø nhÊt mçi giê ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai 10 km nªn ®Õn B sím h¬n « t« thø hai 1 giê . TÝnh vËn tèc mçi xe « t« . Hướng dẫn : Gọi vận tốc của ôtô thứ nhất là x (km/h. ĐK x > 0). Ta có : Vận tốc của ô tô thứ hai là : x – 10 (km/h). Do ôtô thứ nhất đến B sớm hơn ôtô thứ hai 1 giờ ta có phương trình : 1 x 300 - 10-x 300 = Giải ra ta được: x = - 50 (loại) ; x = 60. Đáp số : Vận tốc ôtô thứ nhất : 60 km/h Vận tốc ôtô thứ hai: 50 km/h Bài 1 : Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 50 km/h. Sau khi ®i ®ỵc 2/3 qu·ng ®êng víi vËn tèc ®ã, v× ®êng khã ®i nªn ngêi l¸i xe ph¶i gi¶m vËn tèc mçi giê 10 km trªn qu·ng ®êng cßn l¹i. Do ®ã « t« ®Õn B chËm 30 phót so víi dù ®Þnh. TÝnh qu·ng ®êng AB. Hướng dẫn : Gọi x là quảng đường AB (Km. ĐK x > 0). Theo giả thiết của bài toán ta có phương trình : 2 1 5040 3. x 50 . 3 2 +=+ xx . Giải ra ta được: x = 300 (tmđk). Vậy quảng đường AB là : 300km. Bài 2 : Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Ịn B trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh . NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 35 km/h th× ®Õn chËm mÊt 2 giê. NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 50 km/h th× Gi¸o viªn so¹n: Vò Thµnh Trung 1 Chuyªn ®Ị gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hƯ ph¬ng tr×nh ®Õn sím h¬n 1 giê . TÝnh qu·ng ®êng AB vµ thêi gian dù ®Þnh ®i lóc ®Çu . H íng dÉn : Gäi quảng đường AB là x (km), thời gian dự đònh là y(giờ) ĐK : x > 0, y > 0. Theo bài ra ta có hệ pt :    = =+ x 1) -50(y x 2)y (35 suy ra : 35y + 70 = 50y -50 ⇔ y = 8 (TMĐK) Thay vào hệ ta được x = 350 (TMĐK). Đáp số : Quảng đường AB : 350 (km). Thời gian dự đònh đi : 8 (giờ). • C¸c ®Ị thi vµo 10 THPT ( TØnh B¾c Giang ) Bµi 1 : ( N¨m häc 2001-2002) Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A vµ dù ®Þnh ®Õn B vµo mét giê ®· ®Þnh. Khi cßn c¸ch B 30 km, ngêi ®ã nhËn thÊy r»ng ®Õn B mn nưa giê nÕu gi÷ nguyªn vËn tèc ®ang ®i. Do ®ã ngêi ®ã t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h vµ ®Õn B sím h¬n nưa giê so víi giê ®· ®Þnh. TÝnh vËn tèc lóc ®Çu cđa ngêi ®i xe ®¹p. HD: Gäi vËn tèc dù ®Þnh cđa ngêi ®i xe ®¹p lµ x ( km/h) ( §K x >0 ) Theo bµi ra ta cã PT: 30 1 30 1 2 5 2x x − = + + Bµi tËp 2 ( N¨m häc 2002-2003) Mét ¤t« ®i qu·ng ®êng dµi 150 km víi vËn tèc dù ®Þnh. Nhng khi ®i ®ỵc 2 3 qu·ng ®êng xe bÞ háng ph¶i dõng l¹i sưa 15 phót. §Ĩ ®óng giê dù ®Þnh xe ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h trªn qu·ng ®êng cßn l¹i. TÝnh vËn tèc dù ®Þnh ®i. HD: Gäi vËn tèc dù ®Þnh ®i cđa ¤t« lµ x ( km/h) ( §K x > 0 ) §ỉi 15 phót = 1/4 h Theo bµi ra ta cã PT: 150 2 150 1 1 150 . . 3 4 3 10x x x = + + + 150 100 1 50 4 10x x x = + + + Bµi tËp 2.1: Mét ¤t« ®i qu·ng ®êng dµi 120 km víi vËn tèc dù ®Þnh. Nhng khi ®i ®ỵc 1 3 qu·ng ®êng xe bÞ háng ph¶i dõng l¹i sưa 20 phót. §Ĩ ®óng giê dù ®Þnh xe ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 8 km/h trªn qu·ng ®êng cßn l¹i. TÝnh vËn tèc dù ®Þnh ®i. HD: Gäi vËn tèc dù ®Þnh cđa «t« lµ x (km/h) ( x>0 ) Ta cã ph¬ng tr×nh 120 40 1 80 3 8x x x = + + + C2: 80 80 1 8 3x x − = + Bµi tËp 2.2: Mét ¤t« ®i qu·ng ®êng dµi 100 km víi vËn tèc dù ®Þnh. Nhng khi ®i ®ỵc 2 5 qu·ng ®êng, xe t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h nªn ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 10 phót. TÝnh vËn tèc ban ®Çu cđa ¤t«. Gi¸o viªn so¹n: Vò Thµnh Trung 2 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình Bài tập 2.3: Một Môtô đi quãng đờng dài 90 km với vận tốc dự định. Nhng khi đi đợc 1 3 quãng đờng xe bị hỏng phải dừng lại sửa 20 phút. Để đúng giờ dự định xe phải tăng vận tốc thêm 6 km/h trên quãng đờng còn lại. Tính vận tốc dự định đi. Bài tập 2.4 Một Ôtô đi quãng đờng dài 150 km với vận tốc dự định. Nhng khi đi đợc 1 2 quãng đờng xe bị hỏng phải dừng lại sửa 10 phút. Để đúng giờ dự định xe phải tăng vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đờng còn lại. Tính vận tốc dự định đi. Bài tập 3 ( Năm học 2003-2004) Một ôtô đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 165 km. Trong một thời gian nhất định sau khi đi đợc 1h ôtô phải dừng lại 10 phút để mua xăng. Do vậy để đến B đúng hẹn ôtô phải tăng vận tốc thêm 5km/h. Tính vận tốc ban dầu và thời gian dự định của ôtô. HD: Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) ( ĐK 0 < x < 165 ) Theo bài ra ta có phơng trình 165 1 165 1 6 5 x x x = + + + => x = 55 Thời gian dự định 165: 55 = 3 (h) Bài tập 4: ( 2007- 2008) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 50 km. Một canô đi xuôi dòng từ bến A đến bến B, rồi ngợc dòng trở lại bến A. Thời gian cả đi và về tổng cộng hết 4h10. Hãy tìm vận tốc của canô trong nớc yên lặng, biết vận tốc của nớc chảy là 5 km/h. HD: Đổi 4h10 = 25 6 (h) Gọi vận tốc của canô trong nớc yên lặng là x ( km/h) ( ĐK x>5) Theo bài ra ta có phơng trình: 50 50 25 5 5 6x x + = + => x = 25 Các bài tập tự luyện: Bài 1: Hai ngời đi xe đạp xuất phát cùng một lúc từ A đến B. Vận tốc của họ hơn kém nhau 3km/h nên họ đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc của mỗi ngời. Biết rằng quãng đờng AB dài 30 km. HD: Gọi vận tốc của ngời đi chậm là x (km/h) ( x>0 ) Theo bài ra ta có phơng trình: 30 x - 30 3x + = 1 2 => x = 12 Bài 2. Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đờng dài 120 km. Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nếu để đến B đúng giờ xe phải tăng vận tốc 2 km/h trên quãng đờng còn lại. Tính thời gian xe chạy. HD: Gọi vận tốc dự định của xe là x (km/h) (x>0 ). Đổi 3 phút = 1 20 (h) Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung Quãng đ- ờng (km) Vận tốc Km/h Thời gian(h) Ngời đi chậm 30 x 30 x Ngời đi nhanh 30 x + 3 30 3x + 3 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình Theo bài ra ta có phơng trình: 2 120 60 1 60 20 2 2 2400 0 x x x x x = + + + + = x= 48 ; x = -50 (loại ) Thời gian xe chạy là 120 1 48 20 = 2 giờ 27 Bài 3. Hai vật chuyển động trên một đờng tròn có đơng kính 2m , xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm . Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động ngợc chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật. Lời Giải Gọi vận tốc của Vật I là x ( m/s).(x> 0). Gọi vận tốc của Vật II là y ( m/s).(y> 0), (x>y). Sau 20 s hai vật chuyển động đợc quãng đờng là 20x, 20y ( m ). Vì nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau do đó ta có phơng trình: 20x 20y = 20 Sau 4 s hai vật chuyển động đợc quãng đờng là 4x, 4y ( m ). Vì nếu chúng chuyển động ngợc chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau do đó ta có phơng trình: 4x + 4y = 20 Theo bài ra ta có hệ phơng trình: =+ = 2044 202020 yx yx Giải hệ PT ta đợc: = = 2 3 y x ; Vậy vận tốc của hai vật là: 3 (m/s) và 2 (m/s). Bài 4. Một ngời dự định đi từ A đến B với thời gian đẵ định. Nếu ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Nếu ngời đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ. Tính vận tốc, thời gian dự định đi và độ dài quãng đờng AB. Lời Giải : Gọi vận tốc dự định đi từ A đến B của ngời đó là x ( km/h).(x> 0). Gọi thời gian dự định đi từ A đến B của ngời đó là y (h).(y> 0). Ta có độ dài của quãng đờng AB là x.y. Vì nếu ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ do đó ta có PT (1): (x + 10).(y-1) =xy. Vì nếu ngời đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ do đó ta có PT (2) (x - 10).(y+2) =xy. Theo bài ra ta có hệ phơng trình: =+ =+ xyyx xyyx )2)(10( )1)(10( ;giải hệ phơng trình ta đợc = = 4 30 y x Vậy vân tốc dự định là 30 km/h, thời gian dự định là 4 giờ, Quãng đờng AB là 120 km. Baứi 5 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B tr- ớc xe thứ hai 12 phút. Tính vận tốc mỗi xe. Giải : Gọi vận tốc của xe thứ hai là x (km/h). ĐK x > 0. Theo gt bài ra ta có pt : 5 1 6 108 x 108 = + x x 2 + 6x 3240 = 0 ( ' = 57 ) Giải ra ta đợc : x = - 60 (loại) ; x = 54. Đáp số : Vận tốc xe thứ nhất là : 60 (km/h) Vận tốc xe thứ hai là : 54 (km/h) Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung 4 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình Bài 6: Một ca nô xuôi dòng 42km rồi ngợc dòng trở lại là 20km mát tổng cộng 5giờ. Biết vận tốc của dòng chảy là 2km/h. Tìm vận tốc của ca nô lúc dòng nớc yên lặng. Giải : Gọi x là vận tốc của ca nô lúc nớc yên lặng ( km/h ; ĐK : x > 2) Theo gt bài toán ta có pt : 5 2 -x 20 2 x 42 =+ + 5x 2 - 62x + 24 = 0 ( ' = 29) Giải ra ta đợc : x = 5 2 (loại) ; x = 12. Đáp số : Vậy vận tốc của ca nô lúc nớc yên lặng : 12 (km/h). Bài 7: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một xuồng máy đi xuôi dòng từ bến A đến bến B, nghỉ 30 phút tại bến B rồi quay trở lại đi ngợc dòng 25 km để đến bến C. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất cả là 8 giờ. Tính vận tốc xuồng máy khi nớc yên lặng, biết rằng vận tốc nớc chảy là 1 km/h. ( Huế 2007-2008) Giải: + Gọi x (km/h) là vận tốc của xuồng khi nớc yên lặng. Điều kiện: x > 1. + Thời gian xuồng máy đi từ A đến B: 60 (h) 1x + , thời gian xuồng ngợc dòng từ B về C : 25 (h) 1x + Theo giả thiết ta có phơng trình : 60 25 1 8 1 1 2x x + + = + + Hay 2 3 34 11 0x x + = Giải phơng trình trên, ta đợc các nghiệm: 1 11x = ; 2 1 3 x = + Vì x > 1 nên x = 11 . Vậy vận tốc của xuồng khi nớc đứng yên là 11km/h. Bài 8 Mt xe la i t Hu ra H Ni. Sau ú 1 gi 40 phỳt, mt xe la khỏc i t H Ni vo Hu vi vn tc ln hn vn tc ca xe la th nht l 5 km/h. Hai xe gp nhau ti mt ga cỏch H Ni 300 km. Tỡm vn tc ca mi xe, gi thit rng quóng ng st Hu - H Ni di 645 km. ( Huế 2006-2007 ) Giải: Gi x (km/h) l vn tc ca xe la th nht i t Hu n H Ni. Khi ú, x > 0 v vn tc ca xe la th hai i t H Ni l: x + 5 (km/h). Theo gi thit, ta cú phng trỡnh: 300 5 345 5 3x x + = + ( ) ( ) 2 900 5 5 1035 5 22 1035 0x x x x x x + + = + = Gii phng trỡnh ta c: 1 23x = (loi vỡ x > 0) v 2 45 0x = > . Vy vn tc xe la th nht l: 45 km/h v vn tc xe la th hai l: 50 km/h B i 9: Mt ngi i xe mỏy t A n B vi vn tc trung bỡnh 30km/h. Khi n B, ngi ú ngh 20 phỳt ri quay tr v A vi vn tc trung bỡnh 25km/h. Tớnh quóng ng AB, bit rng thi gian c i ln v l 5 gi 50 phỳt. HD: Gi di quóng ng AB l x km (x > 0). Ta cú phng trỡnh: x x 1 5 5 30 25 3 6 + + = . Gii ra ta c: x = 75 (km) Bi 10: Hai canụ cựng khi hnh mt lỳc v chy t bn A n bn B. Canụ I chy vi vn tc 20km/h, canụ II chy vi vn tc 24km/h. Trờn ng i, canụ II dng li 40 phỳt, sau ú tip tc chy vi vn tc nh c. Tớnh chiu di quóng sụng AB, bit rng hai canụ n bn B cựng 1 lỳc. Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung 5 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình HD: Gi chiu di quóng sụng AB l x km (x > 0) Ta cú phng trỡnh: x x 2 20 24 3 = . Gii ra ta c: x = 80 (km) Bi 11: Mt ụtụ d nh i t tnh A n tnh B vi vn tc trung bỡnh 40km/h. Lỳc u ụtụ i vi vn tc ú, khi cũn 60km na thỡ i c mt na quóng ng AB, ngi lỏi xe tng thờm vn tc 10km/h trờn quóng ng cũn li, do ú ụtụ n tnh B sm hn 1gi so vi d nh. Tớnh quóng ng AB. HD: Gi di quóng ng AB l x km (x > 120) Ta cú phng trỡnh: x x x 60 : 40 60 : 50 1 2 2 40 + + = ữ ữ . Gii ra ta c: x = 280 (km) Bi 12: Mt tu thy chy trờn mt khỳc sụng di 80km, c i ln v mt 8gi 20phỳt. Tớnh vn tc ca tu thy khi nc yờn lng, bit rng vn tc ca dũng nc l 4km/h. HD: Gi vn tc ca tu thy khi nc yờn lng l x km/h (x > 0) Ta cú phng trỡnh: 80 80 1 8 x 4 x 4 3 + = + . Gii ra ta c: 1 4 x 5 = (loi), x 2 = 20 (km) Bi 13: Mt ca nụ v mt bố g xut phỏt cựng mt lỳc t bn A xuụi dũng sụng. Sau khi i c 24 km ca nụ quay tr li v gp bố g ti mt a im cỏch A 8 km. Tớnh vn tc ca ca nụ khi nc yờn lng bit vn tc ca dũng nc l 4 km / h. HD: Gi vn tc canụ khi nc yờn lng l x km/h (x > 4) Ta cú phng trỡnh: 24 16 2 x 4 x 4 + = + . Gii ra ta c x 1 = 0 (loi), x 2 = 20 (km/h) Bi 14: Mt ngi i xe p t tnh A n tnh B cỏch nhau 50 km. Sau ú 1 gi 30 phỳt, mt ngi i xe mỏy cng i t A v n B sm hn 1 gi. Tớnh vn tc ca mi xe, bit rng vn tc xe mỏy gp 2,5 ln vn tc xe p. HD: Gi vn tc xe p l x km/h (x > 0) Ta cú phng trỡnh: 50 50 (1,5 1) x 2,5x = + + . Gii ra ta c: x = 12 (tha món) Bài 15. Mt ngi d nh i xe p t nh n ni lm vic cỏch nhau 30km vi vn tc khụng i. Tuy nhiờn sau khi i na on ng thỡ xe b h phi dng li mt 20 phỳt, do ú phi tng tc thờm 3km/h on ng cũn li v n ni lm vic chm hn so vi d nh l 10 phỳt. Tớnh vn tc d nh lỳc ban u ca ngi i xe p. ( Tiền Giang 2007) B ài 16: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 50 km. Một canô đi xuôi dòng từ bến A đến bến B, rồi ngợc dòng trở lại bến A. Thời gian cả đi và về tổng cộng hết 4 h10. Hãy tìm vận tốc của canô trong nớc yên lặng, biết rằng vận tốc của nớc chảy là 5km/h. ( Bắc Giang 2007 -2008 ) Dạng 2: Toán về công việc chung riêng Cần nhớ: 1) Cần phân biệt rõ thời gian của ngày toán học và ngày lao động. Một ngày tóan học là 24 giờ còn ngày lao động có số giờ thay đổi. VD: Đội A lao động 8 giờ một ngày. Đội B lao động 9 giờ một ngày. 2) Quan hệ giữa thời gian làm riêng và làm chung với cùng một công việc là : 1 2 1 1 1 c t t t + + = 3) Riêng với bài toán vòi nớc chảy vào1 bể ta cũng dùng hai phơng trình cơ bản trên nhng cần chú ý: Vòi chảy vào dùng dấu (+), vòi chảy ra dùng dấu (-) Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung 6 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình VD1: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ và ngời thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó trong mấy giời thì xong? Giải : Gọi x, y (giờ) lần lợt là thời gian mỗi ngời làm một mình hoàn thành công việc. ĐK x, y > 0. Theo gt bài ra ta có hpt : =+ =+ 4 1 y 63 16 1 y 11 x x = = 48 y 24 x (TMĐK) Đáp số : Ngời thứ nhất hoàn thành công việc trong : 24 giờ. Ngời thứ hai hoàn thành công việc trong : 48 giờ. VD2: Hai vũi nc cựng chy vo mt b thỡ sau 1 gi 20 phỳt b y. Nu m vũi th nht chy trong 10 phỳt v vũi th hai trong 12 phỳt thỡ y 2 5 b. Hi nu mi vũi chy mt mỡnh thỡ phi bao lõu mi y b. HD: Gi thi gian chy mt mỡnh y b ca vũi I, II ln lt l x, y phỳt (x, y > 80) Ta cú h: 80 80 1 x 120 x y 10 12 2 y 240 x y 15 + = = = + = Bài tập 1.1.Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm trong 3 giờ, ngời thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm đợc 25% khối lợng công việc. Hỏi mỗi ngời thợ làm một mình công việc đó trong bao lâu. Lời Giải: Gọi thời gian để Ngời thứ nhất làm một mình xong công việc là x, ( giờ), x > 16. Gọi thời gian để Ngời thứ hai làm một mình xong công việc là y, ( giờ), y > 16. Trong 1 giờ Ngời thứ nhất và ngời thứ hai làm đợc khối lợng công việc tơng ứng là: x 1 , y 1 . Vì hai ngời làm chung trong 16 giờ thì xong KLCV do đó ta có phơng trình ( 1) : x 1 + y 1 = 16 1 Sau 3 giờ Ngời thứ nhất làm đợc 3. x 1 ( công việc ) Sau 6 giờ Ngời thứ hai làm đợc 6. y 1 (công việc ) Vì ngời thứ nhất làm trong 3 giờ, ngời thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm đợc 25% khối lợng công việc do đó ta có phơng trình: x 3 + y 6 = 4 1 . Theo bài ra ta có hệ phơng trình: =+ =+ . 4 163 16 111 yx yx , giải hệ phơng trình ta đợc: = = 48 24 y x Vậy thời gian để Ngời thứ nhất làm một mình xong công việc là: 24 ( giờ ). Thời gian để Ngời thứ hai làm một mình xong công việc là: 48 ( giờ) . Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung 7 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình Bài tập 1.2.Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành một công việc đã định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm công việc khác, tổ thứ hai làm một mình phần công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai nếu làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc. Lời Giải: Gọi thời gian tổ hai làm một mình hoàn thành công việc là x, ( giờ), x> 12. Trong 1 giờ tổ hai làm đợc khối lợng công việc: x 1 ( KLCV ). Sau 4 giờ hai tổ đẵ là chung đợc khối lợng công việc là: 12 4 = 3 1 ( công việc ) Phần công việc còn lại tổ hai phải làm là: 1 - 3 1 = 3 2 ( công việc ) Vì tổ hai hoàn thàmh khối lợng công việc còn lại trong 10 giờ nên ta có phơng trình: 3 2 : x = 10. Giải PTBN ta đợc x= 15. Vậy thời gian tổ hai làm một mình hoàn thành khối lợng công việc là: 15 giờ. Bài 1.3 : Hai đội công nhân I và II đợc giao sửa một đoạn đờng. Nếu cả hai đội cùng làm thì sau 4 giờ là hoàn thành công việc. Nếu đội I làm một mình trong 2 giờ, sau đó đội II tiếp tục làm một mình trong 3 giờ thì họ đã hoàn thành đợc 7 12 công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì sẽ hoàn thành công việc sau bao lâu? Bài 1.4: Hai bạn Sơn và Hùng cùng làm một công việc trong 6 giờ thì xong. Nếu bạn Sơn làm 5 giờ và Hùng làm 6 giờ thì cả hai bạn chỉ hòan thành đợc 9 10 công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi bạn hoàn thành công việc đó trong bao lâu? ( Bắc Giang 2007 -2008 ) VD 3: Hai tổ học sinh tham gia lao động nếu làm chung sẽ hoàn thành công việc trong 4 giờ. Nếu mỗi tổ làm một mình thì tổ 1 cần ít thời gian hơn tổ 2 là 6 giờ. Tính xem mỗi tổ làm một mình thì bao lâu sẽ hòan thành công việc ? ( Bắc Giang 2000- 2001) HD: Gọi thời gian làm một mình xong công việc của tổ 2 là x ( giờ ) ( x> 4) +Thời gian làm một mình xong công việc của tổ 1 là x+6 ( giờ) + Trong 1h: - Tổ 1 làm đợc: 1 6x + ( công việc) - Tổ 2 làm đợc: 1 x ( công việc) - Cả hai tổ làm đợc: 1 4 ( công việc ) Theo bài ra ta có phơng trình: 1 1 1 6 4x x + = + => 2 2 24 0x x = x=6; x=-4 ( lọai) Bài 2.1.: Hai đội công nhân làm chung một công việc thì sẽ hoàn tất sau 12 ngày. Nếu làm riêng thì thời gian để hoàn tất công việc nói trên của đội I nhiều hơn thời gian của đội II là 10 ngày. Tính thời gian mỗi đội làm riêng hoàn tất công việc nói trên ? HD:Gọi thời gian làm một mình xong công việc của đội II là x ( ngày ) (x> 12 ) Theo bài ra ta có phơng trình: 1 1 1 10 12x x + = + Bài 2.2 Hai lớp 9 A và 9B cùng tu sửa khu vờn thực nghiệm của nhà trờng trong 4 ngày thì xong. Nếu mỗi lờp tu sửa một mình, muốn hòan thành công việc ấy thì lớp 9A cần ít thời gian hơn lớp 9B là 6 ngày. Hỏi mỗi lớp làm một mình cần thời gian là bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc ? ( Bắc Giang 2002-2003) Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung 8 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình Bài 2.3 * Có hai vòi nớc ngời ta mở vòi thứ nhất cho nớc chảy đầy một bể cạn rồi khóa lại. Sau đó mở vòi thứ hai cho nớc chảy ra hết với thời gian lâu hơn so với vòi I chảy là 4 h. Nếu cùng mở cả 2 vòi thì đầy sau 19h15 . Hỏi vòi thứ nhất chảy trong bao lâu mới đầy bể khi vòi II khóa lại. HD: 19h15 = 77 4 (h) Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là x(h) ( x> 0) Thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể là x + 4 (h) Theo bài ra ta có phơng trình 1 1 4 4 77x x = + => x = 7; x = -11 (loại ) Vậy thời gian vòi I chảy đầy bể là 7 (h) Bài 2.4 * Có hai vòi nớc, vòi I chảy vào và vòi 2 chảy ra. Thời gian 1 mình vòi I chảy đầy bể nhiều hơn thời gian vòi 2 chảy cạn bể là 2 (h). Bể đang chứa 1 3 nớc và nếu mở cả hai vòi cùng một lúc thì trong 8 (h) bể cạn. Hỏi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể khi vòi II khóa? HD: Gọi thời gian vòi I chảy đầy bể là x (h) ( x> 2) Theo bài ra ta có phơng trình 1 1 1 8. 8. 2 3x x = . GPT : x= 8 (h) Bài 2.5 ( Nghệ An 2008-2009) Hai ngời thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà trong 2 ngày thì xong công việc. Nếu ngời thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ và ngời thứ hai làm tiếp trong 1 ngày thì xong công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình thì bao lâu xong công việc? Dạng 3 toán năng suất Cần nhớ: Nếu cùng làm chung một công việc thì PT năng suất là: Năng suất I + Năng suất II + .= Năng suất chung Ví du: Một đội xe dự định chở 200 tấn thóc. Nếu tăng thêm 5 xe và số thóc phải chở giảm 20 tấn thì mỗi xe phải chở nhẹ hơn dự định 1 tấn. Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc ? ( Bắc Giang 200-2001 ) Giải: Gọi số xe lúc đầu của đội xe là x ( chiếc ) ( x> 5, x N ) Theo bài ra ta có phơng trình 200 x - 200 20 5x = 1 Bài 1.1 Một đội xe phải chở 168 tấn thóc. Nếu tăng thêm 6 xe và chở thêm 12 tân thóc thì mỗi xe chở nhẹ hơn lúc đầu 1 tấn. Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc ? HD: Gọi số xe lúc đầu của đội xe là x ( chiếc ) ( x> 0, x N ) Theo bài ra ta có phơng trình 168 x - 168 12 6x + + = 1 Bài 1.2: Nh trng t chc cho 180 hc sinh khi 9 i tham quan di tớch lch s. Ngi ta d tớnh: Nu dựng loi xe ln chuyờn ch mt lt ht s hc sinh thỡ phi iu ớt hn nu dựng loi xe nh 2 chic. Bit rng mi xe ln cú nhiu hn mi xe nh l 15 ch ngi. Tớnh s xe ln, nu loi xe ú c huy ng Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung Số thóc chở ( tấn ) Số xe (chiếc) Mỗi xe chở ( tấn ) Dự định 200 x 200 x Thc hiện 200-20 x- 5 200 20 5x 9 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình HD: Gi s xe ln l x (x Z + ). Ta cú PT: 180 180 15 x x 2 = + x 1 = 4; x 2 = 6 (loi) Bi 1.3 : Mt i xe cn chuyờn ch 100 tn hng. Hụm lm vic, cú hai xe c iu i lm nhim v mi nờn mi xe phi ch thờm 2,5 tn. Hi i cú bao nhiờu xe? (bit rng s hng ch c ca mi xe l nh nhau) HD: Gi x (xe) l s xe ca i (x > 2 v x N) Ta cú phng trỡnh: 100 100 5 x 2 x 2 = . Gii ra ta c: x 1 = 8 (loi), x 2 = 10 (tha món) Bài 1.4 Một lớp có 45 học sinh tham gia trồng tất cả 216 cây. Tổng số cây các bạn Nam trồng bằng tổng số cây các bạn nữ trồng. Tính số nam và số nữ của lớp đó. Biết rằng mỗi bạn nam trồng nhiều hơn bạn nữ là 2 cây. HD: Gọi số học sinh nam của lớp là x ( học sinh ) ( 1< x < 45, x N ) Ta có phơng trình : 108 108 2 45x x = Bài 1.5 Thực hiện kế họach mùa hè xanh lớp 8B đợc phân công trồng 420 cây xanh. Lớp dự định chia đều số cây cho mỗi học sinh trong lớp. Đến buổi lao động 5 bạn vắng mặt. Do phải đi làm việc khác, vì vậy mỗi bạn có mặt phải trồng thêm 2 cây mới hết số cây trồng. Tính tổng số học sinh của lớp 8 B ( Bắc Giang 2006-2007) HD: Gọi số học sinh của lớp là x ( học sinh ) ( 5< x, x N ) Ta có phơng trình : 420 420 2 5x x = Bài 1.6 Một phòng họp có 360 chỗ ngồi đợc chia thành các dãy và có chỗ ngồi bằng nhau nếu thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng họp không thay đổi. Hỏi ban đầu trong phòng đợc chia thành bao nhiêu dãy ? ( Bắc Ninh 2002 -2003) Giải: Gọi số ban đầu của phòng họp là x (dãy) ( x> 3 , x N ) Ta có phơng trình: 360 3x - 360 x = 4 Bài 1.7 Một phòng họp có 120 chỗ ngồi nhng số ngời đến họp là 160 ngời. Do đó ngời ta phải kê thêm 3 dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm một ngời ngồi. Hỏi phòng họp có bao nhiêu dãy ghế, biết rằng phòng họp không có quá 20 dãy ghế, Bài 1.8: Một phòng họp có 360 chỗ ngồi đợc chia thành các dãy và có chỗ ngồi bằng nhau Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng họp lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế? Dạng 4. Các bài toán có nội dung toán học Kiến thức: 1) Số: abc =100a +10b+c với a, b, c N; 0 < a 9, 0 b, c 9 2) Số chẵn: 2k ; Số lẻ 2k + 1, với k Z 3) a: b d r => a =b.k +r 4) Các công thức về chu vi, diện tích các hình đã học, Định lí Pitago, các tam giác đồng dạng. VD1: Tìm độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông biết rằng số do 3 cạnh của tam giác là 3 số chẵn liên tiếp. Giải: Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác vuông là 2x; 2x + 2; 2x + 4 => cạnh huyền là 2x + 4 ( x> 0, đơn vị độ dài ) Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung Số chỗ ngồi ( chỗ) Số dãy (dãy) Số chỗ ngồi Một dãy ( ghế ) Dự định 360 x 360 x Thay đổi 360 x- 3 360 3x 10 [...]... 2008-20 09) T×m tÝch cđa hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng 17 NÕu t¨ng sè thø nhÊt lªn 3 ®¬n vÞ vµ sè thø hai lªn 2 ®¬n vÞ th× tÝch cđa chóng t¨ng lªn 45 ®¬n vÞ Bµi2.6: T×m hai sè biÕt hiƯu cđa chóng b»ng 7 vµ tỉng c¸c b×nh ph¬ng cđa chóng b»ng 2 89 HD: Gäi sè nhá lµ x th× sè lín lµ x + 7 Ph¬ng tr×nh ( x + 7 ) 2 + x 2 = 2 89 => x= 15 vµ x = 8 VËy hai sè ph¶i t×m lµ 15 vµ 8, hc -15 vµ -8 Bµi2.7: ( Kh¸nh Hßa 20 09- 2010)... TÝnh c¸c kÝch thíc cđa m¶nh vên.Bµi 2.4 ( Ninh B×nh 2008-20 09) Mét thưa rng HCN cã chu vi lµ 300m TÝnh diƯn tÝch cđa thưa rng, biÕt rµng nÕu chiỊu dµi gi¶m ®i 3 lÇn vµ chiỊu réng t¨ng gÊp 2 lÇn th× chu vi cđa thưa rng kh«ng thay ®ỉi Bµi 2.4: ( B¾c Giang 2008-20 09) TÝnh diƯn tÝch HCN cã chiỊu dµi trõ chiỊu réng b»ng 18m vµ chiỊu dµi gÊp 3 lÇn chiỊu réng HD: Gäi chiỊu dµi, chiỊu réng cđa h×nh ch÷ nhËt... Bµi 1.6: ( TiỊn Giang 2008-20 09) Mét miÕng ®Êt h×nh tam gi¸c vu«ng cã c¹nh hun b»ng 15 m Hai c¹nh gãc vu«ng h¬n kÐm nhau 3m TÝnh diƯn tÝch cđa miÕng ®Êt VD2: Mét khu ®Êt HCN cã chiỊu dµi h¬n chiỊu réng 10 m Ngêi ta lµm mét ®êng ®i xung quanh khu ®Êt cã chiỊu réng lµ 2m th× diƯn tÝch phÇn ®Êt cßn l¹i lµ 5304 m 2 TÝnh chiỊu dµi, chiỊu réng cđa khu ®Êt? HD: Gäi chiỊu réng cđa khu ®Êt lµ x ( m) ( x> 4)... tÝch (m 2 ) (x-4)(x+6) = 5304 Bµi 2.1: TÝnh c¸c kÝch thíc cđa mét h×nh ch÷ nhËt biÕt chu vi b»ng 120m, diƯn tÝch b»ng 875m 2 Bµi 2.2: TÝnh c¸c kÝch thíc cđa mét h×nh ch÷ nhËt biÕt chu vi b»ng 69m, diƯn tÝch b»ng 252 m 2 Bµi 2.3: Mét HCN cã diƯn tÝch 240m 2 NÕu t¨ng chiỊu réng thªm 3 m vµ gi¶m chiỊu dµi 4m th× diƯn tÝch kh«ng ®ỉi TÝnh chu vi cđa HCN ban ®Çu Bµi 2.31: ( Th¸i B×nh 2005-2006) Mét HCN cã... ( 2 x ) 2  x = −1 ⇔ x2 − 2x − 3 = 0 ⇔  ( lo¹i ) x = 3 VËy sè ®o 3 c¹nh cđa tam gi¸c vu«ng lµ 6, 8, 10 ( ®¬n vÞ ®é dµi ) Bµi 1.1 Mét tam gi¸c vu«ng cã chu vi b»ng 30m, c¹nh hun lµ 13m TÝnh mçi c¹nh gãc vu«ng Bµi 1.2 Mét tam gi¸c vu«ng cã chu vi b»ng 60m, c¹nh hun lµ 25m TÝnh mçi c¹nh gãc vu«ng Bµi1.3: T×m c¸c c¹nh gãc vu«ng cđa mét tam gi¸c vu«ng, biÕt ®é dµi c¹nh hun lµ 5m vµ ®é dµi hai c¹nh gãc... T×m c¸c c¹nh gãc vu«ng cđa mét tam gi¸c vu«ng, biÕt ®é dµi c¹nh hun lµ 5m vµ ®é dµi hai c¹nh gãc vu«ng h¬n kÐm nhau 1m Bµi1.4 Mét tam gi¸c vu«ng cã ®ä dµi mét c¹nh gãc vu«ng lµ 6 m, ®é dµi h×nh chiÕu cđa c¹nh gãc vu«ng cßn l¹i trªn c¹nh hun lµ 6,4m TÝnh ®é dµi c¹nh hun? HD: Gi¶ sư tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH Gäi ®é dµi c¹nh hun lµ x (m) ( x > 6,4 ) => BH = x -6,4 Ta cã AB 2 = BH BC hay 62 . TÝnh vËn tèc ban ®Çu cđa ¤t«. Gi¸o viªn so¹n: Vò Thµnh Trung 2 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình Bài tập 2.3: Một Môtô đi quãng đờng dài 90 km với vận tốc dự định tốc Km/h Thời gian(h) Ngời đi chậm 30 x 30 x Ngời đi nhanh 30 x + 3 30 3x + 3 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình Theo bài ra ta có phơng trình: 2 120 60 1 60 20 2 2 2400 0 x x x x x =. xe thứ hai là : 54 (km/h) Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung 4 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình Bài 6: Một ca nô xuôi dòng 42km rồi ngợc dòng trở lại là 20km mát tổng