VÊn ®Ò1: Sai lÇm khi tÝnh tÝch ph©n 1. §æi biÕn sè nhng kh«ng ®æi cËn. VD1: tÝnh tÝch ph©n 4 2 0 1I x dx     Gi¶i: Lêi gi¶i sai: ®Æt sinx t suy ra dx=costdt 4 4 4 2 2 0 0 0 1 cos2 1 1 sin .cos . cos . 2 8 4 t I t t dt t dt dt               Lêi gi¶i ®óng: ĐÆt x = sint suy ra dx=costdt 0 0 sin 4 4 x t x t arc              arcsin arcsin arcsin 4 4 4 2 2 0 0 0 1 cos2 1 sin .cos . cos . 2 1 1 arcsin sin 2arcsin 2 4 4 4 t I t t dt t dt dt                      2. Khi ®æi biÕn kh«ng tÝnh vi ph©n VD2: tÝnh 1 5 0 (2 1) dx I x    Gi¶i: Lêi gi¶i sai: ®Æt t = 2x + 1 1 3 0 1 x t x t           3 4 5 4 1 3 1 1 20 1 1 4 4 3 81 dt t I t                Lêi gi¶i ®óng: ®Æt t= 2x+1 suy ra dt= 2dx 1 3 0 1 x t x t           3 4 5 4 1 3 1 1 10 1 1 2 8 8 3 81 dt t I t                www.vntoanhoc.com 3. Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức VD1: Tính 2 0 . x I x e dx Giải: * lời giải sai: đặt ' 1 ' x x u x u v e v e 2 2 0 2 1 0 x x I xe e dx e *Lời giải đúng: đặt x x u x du dx dv e v e 2 2 0 2 1 0 x x I xe e dx e Vấn đề 2: sai lầm khi chứng minh đẳng thức tích phân ví dụ 1: cho n N ; CMR 2 0 sin sin 0I x nx dx * Lời giải sai: xét f(x)=sin(sinx+nx) trên 0;2 ta có: f(x) là hàm liên tục trên 0;2 và f(-x) = sin(sin(-x)-nx) = - f(x) vậy f(x) là hàm lẻ I=0 *Nguyên nhân sai lầm: Học sinh hiểu sai định lý. Nếu hàm số f(x) là hàm lẻ,liên tục trên [-a;a] thì a a f x dx =0 * Lời giải đúng: Đặt x y 2 0 sin sin sin sinI x nx dx y ny n dx = 1 sin sin n ny y dx Mặt khác ta có: g(y)=sin(ny-siny) xác định trên , là hàm liên tục va g(-y)=sin(-ny-sin(-y))=-sin(ny-siny)=-g(y) g(y) là hàm lẻ. Vậy thì I=0 Ví dụ 2: cho hàm số f liên tục trên 0, . Hãy so sánh 0 sinI xf x dx và 0 sinJ f x dx *Lời giải sai: Tích phân từng phần: sin cos u x du dx dv f x dx v f x 0 cos cos 0 I xf x f x dx www.vntoanhoc.com Do f liên tục /[0; ] 0 cos 0 0 cosf f I f x dx (1) Mà 0 sin 2 J f x dx (2) Từ (1) và (2) ta có I J * Nguyên nhân sai lầm: Học sinh không hiểu về hàm liên tục, tích phân và vi phân. * Lời giải đúng: Đặt x t ta có: 0 0 sin sinI xf x dx t f t dt 0 0 sin sinf x dx xf x dx 0 0 2 sin sin 2 I f x dx I f x dx Vậy ta có I=J ví dụ 3: Cho hàm số f liên tục trên [a,b]. CMR tồn tại ít nhất 1 điểm ,C a b sao cho: c b a c f x f c dx f c f x dx * Lời giải sai. Do f liên tục trên [a,b] f(x)-f(c)/ [a,c] bằng f(x)-f(c) trên [b,c] vậy ta có: c c b a b c f x f c dx f x f c dx f c f x dx * Nguyên nhân sai lầm: Không hiểu về hàm liên tục lên tính tích phân sai. * Lời giải đúng: áp dụng định lí về giá trị trung bình của tích phân ít nhất một điểm ,C a b sao cho: b b a a f x dx f c b a f c dx 0 b c b a a c f x f c dx f x f c dx f x f c dx Hay ta có: c b a c f x f c dx f c f x dx (ĐPCM). Vấn đề: Sai lầm khi tính diện tích hình phẳng bằng tích phân I. Kiến thức chung - Cho hàm số y f x khả tích trên ;a b . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ox, y = f(x) , x = a, x = b là : b a S f x dx II. Những sai lầm thờng gặp 1. Sử dụng sai công thức www.vntoanhoc.com VD1: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 9 0; 1; 4 y x y x x Lời giải sai: Diện tích hình phẳng là: 4 2 3 1 4 1 (9 ) 9 7 1 3 S x dx x x Sai lầm: áp dụng sai công thứctính diện tích y Lời giải đúng: Diện tích hình phẳng là: 9 3 2 1 9S x dx 3 4 2 2 1 3 3 3 (9 ) 9 3 4 1 1 65 38 9 9 9 1 3 3 3 2 3 x dx x dx x x x x o 1 3 4 x 2. Xác định không chính xác hình cần tính giới hạn VD: tính diện tích hình giới hạn bởi: 2 0; 1 1; 0 y y y x x Lời giải sai: 2 1 1y x y x 0 1 1 2 y x y x Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 3 2 1 2 2 2 1 1 1 3 3 S x dx x Sai lầm: xác định sai hình cần tính diện tích do không vẽ đờng giới hạn Lời giải đúng: Vẽ hình giới hạn: Vậy diện tích hình giới hạn là: 1 2 S S S với : 2 1 1 1S 2 3 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 3 3 4 3 S x dx x x S 3. Xác định sai hình cần tính giới hạn. VD: Tìm diện tích hình giới hạn bởi: www.vntoanhoc.com 2 1 2 2 2 1 6 9 3 5 ; 2 2 y x x C y x x C x x y Lời giải sai: 1 2 2;1C C 1 2 3 x Vậy diện tích của hình giới hạn là: 5 2 2 2 2 3 2 2 3 3 1 3 2 5 1 1 2 1 3 3 3 3 2 2 1 1 1 1 7 3 24 24 3 12 S x dx x dx x x Sai lầm: Xác định sai hình cần tính giới hạn y=(x-1) 2 y=(x-3) 2 Lời giải đúng: 1 2 2;1C C Diện tích hình giới hạn là: 1 2 S S S 1 3 x 2 2 2 1 3 2 2 2 3 2 3 1 2 1 4 8 2 8 3 2 2 S x x dx x dx x x 5 2 2 2 2 2 5 2 2 2 1 3 5 1 2 4 8 (2 8 ) 2 2 S x x dx x dx x x Vậy S = 1 1 1 2 2 Vấn đề: Dự kiến sai lầm khi tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân. I, công thức: www.vntoanhoc.com 1 2 Cho hình phẳng giới hạn bởi 2 0 0 0 2 b b y f x Vox f x dx y x a Voy xf x dx x b Nếu hình phẳng giới hạn bởi 1 2 2 2 1 2 . 0 d c x f y x x g y x Voy x x dx c y d f y g y II, Một số sai lầm thờng gặp: 1. Sử dụng công thức bỏ giá trị tuyệt đối: ví dụ 1: Tính thể tích hình xuyến gây bởi hình tròn 2 2 2 0x y b a a b quay quanh trục 0x. * Lời giải sai: y Phơng trình đờng tròn (C): 2 2 2 x y b a có thể viết 2 2 2 1 2 2 2 2 2 y b a x C y b a x x a y b a x C Vậy thể tích của hình xuyến là: x 2 2 2 2 2 2 a a Vox b a x b a x dx 2 2 a b * Sai lầm: mặc dù kết quả đúng nhng sai công thức thể tích: 2 2 1 2 b a Vox y y dx mà 2 2 1 2 b a Vox y y dx . * Lời giải đúng: 2 2 2 2 2 2 2 2 a a Vox b a x b a x dx a b 2. Sử dụng nhầm Voy ví dụ: Tính Voy của hình 2 1 2 y x x x * Lời giải sai: 2 5 4 1 2 31 1 5 5 x Voy x dx * Sai lầm: Đã sử dụng công thức 2 b a Voy y dx đây là công thức tính diện tích Vox. Vởy lời giải bị sai. * Lời giải đúng. 2 2 1 15 2 . 2 Voy x x dx www.vntoanhoc.com www.vntoanhoc.com . dx (ĐPCM). Vấn đề: Sai lầm khi tính diện tích hình phẳng bằng tích phân I. Kiến thức chung - Cho hàm số y f x khả tích trên ;a b . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ox, y. f x dx II. Những sai lầm thờng gặp 1. Sử dụng sai công thức www.vntoanhoc.com VD1: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 9 0; 1; 4 y x y x x Lời giải sai: Diện tích hình phẳng là: 4 2. ) 2 2 S x x dx x dx x x Vậy S = 1 1 1 2 2 Vấn đề: Dự kiến sai lầm khi tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân. I, công thức: www.vntoanhoc.com 1 2 Cho hình phẳng giới hạn bởi