Trường đại học Thương Mại Nhóm 3 Lời mở đầu: Toán cao cấp là một trong những môn học chính ở những năm đầu bậc đại học Đặc trưng của nó là môn toán cơ sở mang tính hệ thống chặt chẽ, chính xác và trừu tượng Vì vậy để học tập và hiểu thật kỹ môn toán cao cấp là một thách thức đối với nhiều bạn sinh viên “Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Tính xác định dấu của dạng toàn phương” là một trong những nôi dung khá quan trọng và cần thiết trong chương trình học bộ môn toán cao cấp Để hiểu sâu hơn và chính xác hơn, cũng như để được cùng các bạn sinh viên và cô giáo trao đổi, thảo luận về nội dung này, chúng tôi đã chọn nội dung này làm đề tài thảo luận cho nhóm Đề tài gồm phần lý thuyết và phần bài tâp Phần lý thuyết đã trình bày một cách cô đọng các khái niệm cơ bản về dạng toàn phương và tập trung vào 2 nội dung cơ bản: biến đổi dạng toàn phương về dạng chính tắc và dấu hiệu để xác định dấu của dạng toàn phương Sau mỗi nội dung đều có ví dụ minh họa, cuối đề tài là phần bài tập gồm các bài tập có liên quan đã được giải một cách chi tiết bằng nhiều phương pháp để thấy được phương pháp nào là phù hợp nhất Qua đề tài này, hy vọng rằng nó sẽ phần nào cung cấp lại cho các bạn trong nhóm cũng như các bạn sinh viên trong lớp nội dung kiến thức: thế nào là dang toàn phương? Có những phương pháp nào để đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc, phương pháp nào thì phù hợp nhất đối với mỗi dạng toàn phương để đưa chúng về dạng chính tắc? Và tính xác định dấu của dạng toàn phương Cuối cùng, tuy nhóm chúng tôi đã chuẩn bị đề tai khá kỹ nhưng không thể tránh khỏi sai xót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các bạn và cô giáo để đề tài của chúng tôi hoàn thiện hơn 1 Trường đại học Thương Mại Nhóm 3 Đề tài 3: Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Tính xác định dấu của dạng toàn phương Lời mở đầu 1 A Lý thuyết: I> Một số khái niệm cơ bản: .3 1 Dạng toàn phương 3 2 Dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc 4 3 Giá trị riêng và véc tơ riêng 5 II> Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 5 1 Phương pháp giá trị riêng .5 2 Phương pháp Jacobi 6 3 Phương pháp Lagrange 8 III> Tính xác định dấu của dạng toàn phương 10 1 Định nghĩa và hệ quả 10 2 Dấu hiệu nhận biết tính xác định dấu 11 B Bài tập: Bài 5.2 .14 Bài 5.3 .17 Bài 5.4 .21 Bài 5.5 .22 Bài 5.6 .30 Kết luận: 2 Trường đại học Thương Mại Nhóm 3 A Lý thuyết: I> Một số khái niệm cơ bản: 1 Dạng toàn phương: Cho n biến thực x1,x2,…,xn Một biểu thức có dạng: (1) Trong đó aij là các số thực thỏa mãn aij= aji ∀ i,j = phương của các biến đó , gọi là một dạng toàn Ma trận A = (aij)nxn = gọi là ma trận của dạng toàn phương (1) Từ định nghĩa ta thấy ma trận A luôn là ma trận đối xứng, nghĩa là A = A’ = Cho véc tơ n chiều ở dạng cột X:= (x1,x2,…,xn)’ = 3 Trường đại học Thương Mại Nhóm 3 Khi đó dạng toàn phương trên trở thành F(X) = X’.A.X Chú ý: Thông thường dạng toàn phương được cho dưới dạng: nghĩa là hai số hạng bằng nhau aijxixj và ajixjxi được cho bởi tổng của chúng là bijxixj (ij) Khi đó các phần tử của A được xác định: aii = bii khi i = j aij = aji= khi i j 2 Dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc Dạng toàn phương nếu aij=0 ∀ i,j= có dạng chính tắc và i j Hay (2) Trong đó ki là hệ số , ki=aii Nếu ở dạng toàn phương chính tắc (2) các hệ số ki chỉ nhận giá trị 1, -1 hoặc 0 thì ta nói dạng toàn phương có dạng chuẩn tắc Ví dụ: F(x1, x2, x3) = 2x12 – 5x22 + x32 F(x1, x2, x3, x4) = x12 – 4x22 - x32 4 Trường đại học Thương Mại Nhóm 3 là các dạng toàn phương chính tắc F(x1, x2, x3) = x22 – x32 F(x1, x2, x3) = x12 + x22 – x32 là các dạng toàn phương chuẩn tắc 3 Giá trị riêng và véc tơ riêng: Cho A là ma trận vuông cấp n Gọi E là ma trận đơn vị cấp n Khi đó phương trình |A-kE| = 0 với k là ẩn số cần tìm, gọi là phương trình đặc trưng của A Phương trình đặc trưng trên có đúng n nghiệm phức Các nghiệm phức của phương trình đặc trưng gọi là các giá trị riêng của ma trận A Tồn tại véc tơ V 0 trong Rn thỏa mãn (A – kE).V=0  AV = kV thì véc tơ V là véc tơ riêng của ma trận A II> Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc, chuẩn tắc: 1 Phương pháp giá trị riêng: Xét phương trình đặc trưng: =0 (3) Giả sử k1, k2, , kn là các nghiệm kể cả nghiệm 0 và nghiệm bội của phương trình đặc trưng (3) Khi đó dạng toàn phương ban đầu được đưa về dạng chính tắc: = 5 Trường đại học Thương Mại Nhóm 3 Ví dụ: đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp giá trị riêng = Giải Ta có: Xét phương trình đặc trưng: =0 Vậy dạng toàn phương chính tắc là: Chú ý: chỉ nên dùng phương pháp giá trị riêng với vì nếu ta dùng phương pháp giá trị riêng sẽ dẫn đến phương trình bậc cao khó giải Đây chính là hạn chế của phương pháp nói trên Các phương pháp dưới đây có thể tránh được khó khăn đó 2 Phương pháp Jacobi: Giả sử A = (aij)n.n là ma trận của dạng toàn phương 6 Trường đại học Thương Mại Nhóm 3 A= Với các định thức con chính của A a11 a21 a12 a22 a11 a12 a13 ∆3 = a21 a22 a23 a31 a32 a33 ∆2 = a11 a12 a a22 ∆ n = 21   an1 an 2  a1n  a2 n = A    ann Định lí Jacobi : Nếu ∆i ≠ 0; ∀i = 1, n n G ( y ) = ∆1 y1 + ∑ i =2 thì ∆i yi2 ∆i −1 là dạng toàn phương chính tắc của (1) Nhận xét: - Δi≠0 là điều kiện bắt buộc - Khối lượng các phép tính ở đây là rất lớn nhưng phương pháp Jacobi vẫn được ưa chuộng vì có thể tránh được việc phải giải nhưng phương trình đại số bậc cao 7 Trường đại học Thương Mại Nhóm 3 - Ta có thể đổi thứ tự ký hiệu của các biến Khi đó các định thức con chính cũng thay đổi theo, tuy nhiên điều đó không ảnh hưởng đến kết quả của định lí Ví dụ: Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp Jacobi 2 F ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 2 x1 x2 − x3 (*) Có ma trận là : Các định thức con chính là : ∆1 = 1; ∆2 = 1 1 1 0 1 1 0 ; ∆3 = 1 0 0 = A =1 0 0 −1 Dạng toàn phương chính tắc của (*) là : 2 2 G ( y1 , y2 , y3 ) = y12 − y2 − y3 3 Phương pháp Lagrange: Nội dung phương pháp: là dùng các phép biến đổi không suy biến đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Cho dạng toàn phương: Trường hợp 1: aii 0 Giả sử a11 0 Khi đó, bằng phép biến đổi dưới đây sẽ làm mất tất cả các số hạng là tích chéo của biến số mới y1: 8 Trường đại học Thương Mại Nhóm 3 Bằng phép biến đổi trên ta đưa được dạng toàn phương trên về dạng: G(y1, y2, , yn) = a11y12 + G’(y2, y3, , yn) - Nếu G’ có dạng chính tắc thì ta dừng lại - Nếu G’ chưa có dạng chính tắc thì ta tiếp tục biến đổi , sau hữu hạn bước ta đưa được dạng toàn phương ban đầu về dạng chính tắc Trường hợp 2: aii 0 ∀ i = và aij 0 (ij) Giả sử a12 0 Khi đó thực hiện phép đổi biến: Ta đưa dươc trường hợp 2 về trường hợp 1 Và áp dụng thuật toán trong trường hợp 1 Nhận xét: - Các biến đổi bằng phương pháp Lagrange tuy chậm nhưng chắc chắn đưa được dạng toàn phương về dạng chính tắc 9 Trường đại học Thương Mại Nhóm 3 - Đối với các phép biến đổi tuyến tính là xét trong cùng 1 không gian, do đó trong quá trình biến đổi không được làm tăng số biến lên quá số chiều của không gian Ví dụ: Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc: F(x1, x2, x3) = - x22 – 8x32 + 2x1x2 + 4x1x3 Do khuyết x12 nên ta nhóm các số hạng liên quan đến x2 Ta có: F(x1, x2, x3) = - (x22 – 2x1x2 + x12) + x12 - 8x32 + 4x1x3 Tiếp tục ta có: F(x) = - (x2 – x1) 2 – (x12 - 4x1x3 + 4x32) – 4x32 Vậy ta được: F(x) = - (x2 – x1) 2 – (x1 - 2x3)2 – 4x32 Đặt ta được dạng toàn phương chuẩn tắc: G(y1, y2, x3) = - y12 – y22 – 4 y32 III> Tính xác định dấu của dạng toàn phương: 1 Định nghĩa và hệ quả: a) Định nghĩa: Cho dạng toàn phương F(X)= X’A.X Dạng toàn phương là: + Xác định dương nếu F(X)>0 ∀ X≠0 + Xác định âm nếu F(X)0 b) DTP nửa xác định dương   m=0 3 F(x1,x2,x3,x4)= mx12 + 7x22 + x32 + 7x42 + 2mx1x3 - 4x2x3 20 Trường đại học Thương Mại Nhóm 3 = 3m – 7m2 7(3m – 7m2) = a) DTP xác định dương   0