Đang tải... (xem toàn văn)
Tuyển chọn các dạng bài tập điển hình thuộc chuyên đề “các quy tắc đếm” ôn thi đại học. Tài liệu được biên soạn công phu, chi tiết và rõ ràng, tất cả các bài đều có kèm đáp án chi tiết. Đây là tài liệu hữu ích cho các học sinh tự luyện để chuẩn bị thi ĐH sắp tới.
Chuyên đề 4: GIẢI TÍCH TỔ HỢP Phần 1: PHÉP ĐẾM Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN CHỌN VẬT - CHỌN NGƯỜI Bài 1: Một hộp đựng 40 viên bi đỏ, viên bi trắng, viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy khơng có đủ màu ? HƯỚNG DẪN + TH1: Chọn viên bi tồn màu trắng có C cách + TH2: Chọn viên bi tồn màu vàng có C cách + TH3: Chọn viên bi tồn màu đỏ có C4 cách 40 + TH4: Chọn viên bi toàn màu đỏ màu trắng có C4 − C4 + C4 cách 45 40 ( ) (Giải thích: làm theo phương pháp phần bù: B1: Chọn viên bi 45 viên (cả đỏ trắng) có C4 cách 45 B2: Chọn viên bi khơng thỏa mãn u cầu: (có TH) - Chọn viên tồn đỏ có: C4 cách 40 - Chọn viên tồn trắng có: C4 cách) + TH5: Chọn viên bi toàn màu đỏ màu vàng có C4 − C4 + C4 cách 46 40 ( ) 4 + TH6: Chọn viên bi tồn màu trắng vàng có C11 − C5 + C4 cách ( ) Kết luận: số cách chọn viên bi thỏa mãn yêu cầu đề : 4 4 4 4 C4 + C4 + C4 + C45 − C40 + C5 + C46 − C40 + C6 + C11 − C5 + C6 = 221100 cách 40 Bài 2: Một hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng a) Có cách lấy viên bi đủ màu, có viên bi màu xanh nhiều viên bi đỏ b) Có cách lấy viên bi có đủ màu ? ( ) ( ) ( ) HƯỚNG DẪN a) Vì bắt buộc phải có bi xanh nên có TH sau : 3 + TH1: Chọn bi đỏ + bi xanh + bi vàng có C1 C7 C4 cách + TH2: Chọn bi đỏ + bi xanh + bi vàng có C5 C7 C4 cách 3 Vậy có C1 C7 C4 + C5 C7 C4 = 2800 cách b) Sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn viên bi tổng số 16 viên bi có C16 cách * Bước 2: Chọn viên bi khơng thỏa mãn u cầu (khơng có đủ màu) : + TH1: Chọn viên bi xanh + đỏ có C12 + TH2: Chọn viên bi xanh + vàng có C11 cách + TH3: Chọn viên bi đỏ + vàng có C8 cách 8 Đáp số: Vậy có C16 - ( C12 + C11 + C8 ) = 12201 cách Cẩm nang ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang Chuyên đề 4: GIẢI TÍCH TỔ HỢP Bài 3: Một hộp đựng 15 viên bi khác gồm bi đỏ, bi trắng bi vàng Tính số cách chọn viên bi từ hộp cho khơng có đủ màu HƯỚNG DẪN 4 + TH1: Chọn bi toàn đỏ có C cách + TH2: Chọn bi tồn trắng có C4 cách + TH3: Chọn bi tồn vàng có C4 cách + TH4: Chọn bi đỏ trắng có C4 − C4 + C4 cách ( ) + TH5: Chọn bi đỏ vàng có C − ( C + C ) cách + TH6: Chọn bi trắng vàng có C − ( C + C ) cách 10 4 11 6 Cộng kết TH nêu ta có đáp số 645 cách Bài 4: Có cách xếp 15 viên bi vào hộp đựng bi ? HƯỚNG DẪN + viên bi có cách chọn hộp ⇒ 15 viên bi có 315 cách xếp Bài 5: Có cầu xanh đánh số từ đến 6, cầu đỏ đánh số từ đến 5, cầu vàng đánh số từ đến Hỏi có cách lấy cầu vừa khác màu, vừa khác số ? HƯỚNG DẪN + Để lấy cầu vừa khác màu vừa khác số, ta phải chọn lấy từ cầu có số lượng để tránh trùng lặp + Chọn cầu vàng có cách + Chọn cầu đỏ có - = cách (do khơng chọn lại có số với vàng) + Chọn cầu xanh có - = cách (do loại cầu xanh trùng với số cầu vàng cầu xanh trùng với số cầu đỏ chọn trước đó) Vậy có 4.4.4 = 64 cách chọn Bài 6: Từ hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ (các hồng xem đơi khác nhau), người ta muốn chọn bó hoa gồm bơng : a) Có cách chọn bó hoa có bơng đỏ ? b) Có cách chọn bó hoa có vàng đỏ ? HƯỚNG DẪN a) Có khả xảy : *TH1 : đỏ + trắng + vàng *TH2: đỏ + trắng + vµng ⇒ VËy cã C1 C3 C3 + C1 C2 C4 + C1 C1 C5 = 112 c¸ch 5 *TH3: đỏ + trắng + vàng (Hoc C1 C8 = 112 ) b) Có khả xảy : *TH1 : vµng + đỏ + trắng *TH2: vàng + đỏ 3 3 ⇒ VËy cã C4 C5 C1 + C5 C4 + C4 C4 = 150 c¸ch *TH3: vàng + đỏ (khơng có trường hợp vàng) Cẩm nang ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang Chuyên đề 4: GIẢI TÍCH TỔ HỢP Bài 7: Có tem bì thư Chọn tem để dán vào bì thư, bì thư dán tem Hỏi có cách dán ? HƯỚNG DẪN + Chọn tem có C cách + Chọn bì thư có C5 cách + Số cách dán 3! cách 3 Vậy có C8 C5 3! = 3360 cách Bài 8: Có bưu thiếp khác nhau, bì thư khác Chọn bưu thiếp bỏ vào bì thư, bì thư bưu thiếp gửi cho người bạn, người bạn bưu thiếp Hỏi có cách ? HƯỚNG DẪN + Chọn bưu thiếp từ bưu thiếp có C cách + Chọn bì thư từ bì thư có C6 cách + Ghép bưu thiếp với bì thư có 3! cách + Trao bì thư (đã có bưu thiếp bên trong) cho người có 3! cách 3 Vậy có C5 C6 3!.3! = 7.200 cách Bài 9: Tại thi “Theo dòng lịch sử”, BTC sử dụng thẻ vàng thẻ đỏ, đánh dấu loại theo số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Hỏi có cách xếp tất thẻ thành hàng cho thẻ màu không nằm cạnh ? HƯỚNG DẪN Hai thẻ màu không nằm liền tức nằm xen kẽ nhau, ta có TH sau : + TH1: Xếp thẻ vàng vị trí lẻ : - Xếp thẻ vàng thứ có cách - Xếp thẻ vàng cịn lại có 6! cách - Xếp thẻ đỏ xen kẽ vào chỗ trống có 7! cách + TH2: Xếp thẻ đỏ vị trí lẻ : - Xếp thẻ đỏ thứ có cách - Xếp thẻ đỏ cịn lại có 6! cách - Xếp thẻ vàng xen kẽ vào chỗ trống có 7! cách Đáp số: Vậy có 7.6!.7! + 7.6!.7! = 50.803.200 cách (Hoặc 2.7!.7! = 50.803.200 ) Bài 10: Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu TB, câu khó Người ta chọn 10 câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, TB, khó Hỏi lập đề kiểm tra ? HƯỚNG DẪN Sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn 10 câu tùy ý 20 câu có C10 cách 20 * Bước 2: Chọn 10 câu không thỏa mãn yêu cầu, ta có TH sau: + TH1: Chọn 10 câu dễ TB 16 câu có C10 cách 16 + TH2: Chọn 10 câu dễ khó 13 câu có C10 cách 13 + TH3: Chọn 10 câu TB khó 11 câu có C10 cách 11 Kết luận: có C10 − C10 + C10 + C10 = 176451 đề kiểm tra thỏa mãn yêu cầu 20 16 13 11 ( ) Cẩm nang ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang Chuyên đề 4: GIẢI TÍCH TỔ HỢP (Chú ý: 9; 7; < 10 nên khơng có TH đề kiểm tra có loại câu hỏi) Bài 11: Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu TB câu khó Người ta chọn câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ - TB - khó Hỏi có cách lập đề kiểm tra ? HƯỚNG DẪN Sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn câu 20 câu ta có C7 cách chọn 20 * Bước 2: Chọn câu không thỏa mãn yêu cầu, có trường hợp sau + TH1: câu tồn dễ có C7 cách + TH2: câu tồn TB có C7 cách 7 7 + TH3: câu dễ TB có C16 − C9 + C7 cách ( ) (Giải thích: Sử dụng phương pháp phần bù B1: Chọn câu 16 câu có C16 cách B2: Chọn câu khơng thỏa mãn u cầu có TH + TH1: câu tồn dễ có C7 cách + TH2: câu tồn TB có C7 cách 7 7 Vậy để chọn câu dễ TB có C16 − C9 + C7 cách ) ( ) + TH4: câu dễ khó có C13 − C7 cách (Giải thích: Sử dụng phương pháp phần bù B1: Chọn câu 13 câu có C13 cách B2: Chọn câu khơng thỏa mãn u cầu chọn câu tồn dễ có C7 cách Vậy để chọn câu dễ khó có C13 − C7 cách ) 7 + TH5: Chọn câu TB khó có C11 − C7 cách (Giải thích: Sử dụng phương pháp phần bù B1: Chọn câu 11 câu có C11 cách B2: Chọn câu không thỏa mãn yêu cầu chọn câu tồn khó có C7 cách 7 Vậy để chọn câu TB khó có C13 − C7 cách ) 7 7 Kết luận: có C7 − C7 + C7 + C16 − C7 + C7 + C13 − C7 + C11 − C7 = 64071 đề kiểm tra 20 9 Chú ý: Bài tập đề kiểm tra có câu (7 = 7; < 9) nên lập đề tồn câu dễ, tồn câu TB Bài 12 (KB - 2004): Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm khó, 10 TB, 15 dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, TB, dễ) số câu hỏi dễ khơng ? ( ) HƯỚNG DẪN + Vì đề có câu gồm đủ loại (khó, TB, dễ), số câu dễ khơng ⇒ số câu dễ 2; (khơng thể 4), ta có TH sau : 2 - TH1: Chọn câu dễ, TB, khó có C15 C10 C1 cách 2 - TH2: Chọn câu dễ, TB, khó có C15 C10 C5 cách - TH3: Chọn câu dễ, TB, khó có C15 C10 C1 cách 2 2 Vậy có C15 C10 C1 + C15 C10 C5 + C15 C10 C1 = 56.875 đề kiểm tra 5 Cẩm nang ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang Chuyên đề 4: GIẢI TÍCH TỔ HỢP Bài 13: Đội tuyển HSG trường gồm 18 em, em khối 12, em khối 11, em khối 10 Tính số cách chọn em đội tuyển dự trại hè cho khối em chọn HƯỚNG DẪN Sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn em ta có: C18 cách * Bước 2: Chọn em không thỏa mãn yêu cầu, có TH sau: + TH1: em tồn khối 12 có C6 cách + TH2: em tồn khối 11 có C6 cách 6 6 + TH3: em toàn khối 12 khối 11 có C13 − C7 + C6 cách ( ) (Giải thích: sử dụng phương pháp phần bù B1: Chọn em có C13 cách B2: Chọn em khơng thỏa mãn u cầu có TH sau: + TH1: em tồn khối 12 có C6 cách + TH2: em toàn khối 11 có C6 cách 6 6 Vậy chọn em tồn khối 12 khối 11 có C13 − C7 + C6 cách ) ( 12 11 ) 6 + TH4: em toàn khối 12 khối 10 có C − C cách + TH5: em toàn khối 11 khối 10 có C − C cách 6 6 Kết luận: có C18 − C6 + C6 + C13 − C6 + C6 + C12 − C6 + C11 − C6 = 15470 cách chọn 7 Bài 14: Từ nhóm gồm 30 học sinh (15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, học sinh khối C), chọn 15 học sinh cho có học sinh khối A có học sinh khối C Tính số cách chọn ? ( ) HƯỚNG DẪN : sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn học sinh khối C, 13 học sinh lại tùy ý từ 25 học sinh (thuộc khối A B) có C5 C13 25 cách * Bước 2: Chọn học sinh khối C, 13 học sinh lại chọn từ 25 học sinh (thuộc khối A B) không thỏa mãn yêu cầu : + TH1: Chọn học sinh khối C, học sinh khối A, học sinh khối B có C5 C15 C10 cách + TH2: Chọn học sinh khối C, học sinh khối A, 10 học sinh khối B có C5 C13 C10 cách 10 (các TH chọn học sinh khối A, 11 học sinh khối B khơng tồn 11 > 10 …) 2 Đáp số: có C5 C13 - ( C5 C15 C10 + C5 C13 C10 ) = 51.861.950 cách 25 10 Bài 15: Từ nhóm gồm 12 học sinh (4 học sinh khối A, học sinh khối B, học sinh khối C) chọn học sinh cho khối học sinh Tính số cách chọn HƯỚNG DẪN: sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn học sinh tùy ý 12 học sinh có C12 cách * Bước 2: Chọn học sinh khơng thỏa mãn u cầu tốn: + TH1: học sinh gồm khối A B có C5 cách + TH2: học sinh gồm khối A C có C5 cách + TH3: học sinh gồm khối B C có C5 cách Đáp số: Vậy có C12 - C5 = 624 cách Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang Chuyên đề 4: GIẢI TÍCH TỔ HỢP Bài 16: (ĐHKD - 2006) Đội niên xung kích trưởng phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh tham gia trực tuần, cho học sinh khơng q lớp nói Hỏi có cách chọn ? HƯỚNG DẪN: sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn học sinh 12 học sinh có C12 = 495 cách * Bước 2: Chọn học sinh không thỏa mãn yêu cầu đề (đủ lớp) có 2 C1 C1 C3 + C1 C4 C1 + C5 C1 C1 = 270 cách 5 Đáp số: Vậy có 495 - 270 = 225 cách Bài 17: Một đội văn nghệ có 20 người 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn người cho có nam có nữ ? HƯỚNG DẪN: sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn người 20 người có C5 cách 20 * Bước 2: Chọn người không thỏa mãn yêu cầu : + TH1: Chọn người tồn nữ có C10 cách + TH2: Chọn người tồn nam có C10 cách + TH3: Chọn nam nữ có C1 C10 cách 10 5 Đáp số: Vậy có C5 - ( C10 + C10 + C1 C10 ) = 12.900 cách 20 10 3 (Hoặc C10 C10 + C10 C10 + C10 C1 = 12.900 ) 10 Bài 18: Lớp 11A Tuấn có 11 học sinh nam 18 học sinh nữ a) Có cách chọn đội văn nghệ gồm 10 người đủ nam nữ b) Chọn đội trực nhật gồm 13 người, có tổ trưởng Hỏi có cách chọn Tuấn ln có mặt tổ thành viên ? HƯỚNG DẪN a) Sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn 10 người 29 người có C10 cách 29 * Bước 2: Chọn 10 người không thỏa mãn yêu cầu : + TH1: Chọn 10 người tồn nam có C10 cách 11 + TH2: Chọn 10 người tồn nữ có C10 cách 18 Đáp số: Vậy có C10 - ( C10 + C10 ) = … cách 29 11 18 b) + Chọn Tuấn ln có mặt đội có cách + Chọn tổ trưởng có C1 cách 28 + Chọn 11 thành viên cịn lại có C11 27 Vậy có C1 C11 = 216332480 cách 28 27 Bài 19: Một trường trung học có thầy dạy Tốn, thầy dạy Lý thầy dạy Hóa Chọn từ thầy dự đại hội Hỏi có cách chọn để có đủ môn ? HƯỚNG DẪN: sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn thầy 17 thầy có C17 cách * Bước 2: Chọn thầy khơng thỏa mãn yêu cầu : Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang Chuyên đề 4: GIẢI TÍCH TỔ HỢP 5 + TH1: Chọn thầy dạy Tốn + Lý có C13 − C7 + C6 cách ( 11 ) + TH2: Chọn thầy dạy Toán + Hóa có C − C cách + TH3: Chọn thầy dạy Lý + Hóa có C10 − C5 cách + TH4: Chọn thầy dạy Tốn có C5 cách + TH5: Chọn thầy dạy Lý có C5 cách 5 5 5 Đáp số: Vậy có C17 - [ C13 − C7 + C6 + C11 − C7 + C10 − C5 + C5 ] = … cách ( ) Bài 20 (KB - 2005): Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội giúp đỡ tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ ? HƯỚNG DẪN + Có tỉnh miền núi, ta gọi A, B, C + Tất có 15 người, chia cho tỉnh, tỉnh người + Chọn đội niên tình nguyện cho tỉnh A có C12 C1 cách + Chọn đội niên tình nguyện cho tỉnh B có C12 C1 cách + Chọn đội niên tình nguyện cho tỉnh C có C12 C1 cách 4 Vậy có ( C12 C1 ).( C12 C1 ).( C12 C1 ) = 207.900 cách Bài 21: Có nhà Tốn học nam, nhà Toán học nữ, nhà Vật lý nam Muốn lập đồn cơng tác có người gồm nam lẫn nữ, cần có nhà Tốn học lẫn Vật lý Hỏi có cách thành lập đồn cơng tác ? HƯỚNG DẪN + TH1: Chọn nhà Toán học nam + nhà Toán học nữ + nhà Vật lý nam có C1 C1 C1 cách + TH2: Chọn nhà Toán học nữ + nhà Vật lý nam có C2 C1 cách + TH3: Chọn nhà Toán học nữ + nhà Vật lý nam có C1 C4 cách Vậy có C1 C1 C1 + C2 C1 + C1 C4 = 90 cách 4 Bài 22: Một đội văn nghệ có 15 người gồm : 10 nam nữ Hỏi có cách lập đội văn nghệ gồm người cho có nữ ? HƯỚNG DẪN : sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn người 15 người có C15 cách * Bước 2: Chọn người không thỏa mãn yêu cầu (tức nữ) + TH1: Chọn khơng có nữ (tồn nam) có C10 cách + TH2: Chọn nữ có C1 C10 cách + TH3: Chọn nữ có C5 C10 cách 8 Vậy có C15 - ( C10 + C1 C10 + C5 C10 ) = 3.690 cách Bài 23: Lớp 11A Tiến có 30 học sinh a) Hãy chọn lớp Tiến tổ trực nhật có 11 người có tổ trưởng, cịn lại thành viên Hỏi có cách chọn Tiến ln có mặt tổ ? b) Hãy chọn lớp Tiến đội văn nghệ có người, có đội trưởng, thư ký thành viên Hỏi có cách chọn Tiến ln có mặt đội ? Cẩm nang ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang Chuyên đề 4: GIẢI TÍCH TỔ HỢP HƯỚNG DẪN a) Khi Tiến ln có mặt tổ Tiến tổ trưởng thành viên + TH1: Nếu Tiến tổ trưởng : - Chọn Tiến làm tổ trưởng có cách - Chọn 10 thành viên cịn lại có C10 cách 29 + TH2: Nếu Tiến thành viên : - Chọn Tiến thành viên có cách - Chọn tổ trưởng có C1 cách 29 - Chọn thành viên cịn lại có C9 cách 28 Vậy tất có C10 + C1 C9 = 220.330.110 cách 29 29 28 b) Khi Tiến ln có mặt tổ Tiến tổ trưởng, thư ký thành viên + TH1: Nếu Tiến tổ trưởng : - Chọn Tiến làm tổ trưởng có cách - Chọn thư ký có C1 cách 29 - Chọn thành viên cịn lại có C6 cách 28 + TH2: Nếu Tiến thư ký : - Chọn Tiến thư ký có cách - Chọn tổ trưởng có C1 cách 29 - Chọn thành viên cịn lại có C6 cách 28 + TH3: Nếu Tiến thành viên : - Chọn Tiến thành viên có cách - Chọn tổ trưởng có C1 cách 29 - Chọn thư ký có C1 cách 28 - Chọn thành viên cịn lại có C5 cách 27 Vậy tất có C1 C6 + C1 C6 + C1 C1 C5 = 87.403.680 cách 29 28 29 28 29 28 27 Bài 24: Một tổ có học sinh gồm nữ nam Hỏi có cách xếp học sinh tổ đứng thành hàng dọc để vào lớp cho : a) Các bạn nữ đứng chung với b) Nam nữ không đứng chung HƯỚNG DẪN a) + Ta coi bạn nữ đứng chung với nhóm X + Ta xếp nhóm X với bạn nam coi bạn nên có 4! cách + Tuy nhiên bạn nữ nhóm X có 5! cách xếp Vậy có 4!.5! = 2880 cách b) Nam nữ không đứng chung nghĩa xếp nam trước đến nữ ngược lại + Coi bạn nam đứng riêng với nhóm Y, bạn nữ ln đứng riêng với nhóm X + Vậy ta coi xếp học sinh X Y nên có 2! cách + Tuy nhiên bạn nam nhóm Y có 3! cách xếp, bạn nữ nhóm X có 5! cách xếp Vậy có 2!.3!.5! = 1440 cách Bài 25: Đội văn nghệ trường gồm 10 học sinh có bạn Lan, Hằng, Nga học lớp Hỏi có cách xếp đội văn nghệ thành hàng dọc cho bạn Lan, Hằng, Nga ln đứng cạnh ? Cẩm nang ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang Chuyên đề 4: GIẢI TÍCH TỔ HỢP HƯỚNG DẪN + Ta coi bạn Lan, Hằng, Nga đứng cạnh nhóm X + Vậy xếp nhóm X với học sinh cịn lại coi học sinh nên có 8! cách + Tuy nhiên học sinh nhóm X lại có 3! cách xếp Vậy có 8!.3! = 241.920 cách Bài 26: Một đồn tàu có toa chở khách Trên sân ga có hành khách chuẩn bị lên tàu Biết toa có chỗ trống a) Hỏi có cách xếp hành khách lên tàu ? b) Hỏi có cách xếp hành khách lên tàu để có toa có vị khách ? HƯỚNG DẪN a) Để vị khách lên tàu, ta cần chọn chỗ trống 12 chỗ trồng (do toa, toa chỗ) tàu, không liên quan đến thứ tự nên có C12 = 495 cách b) + Chọn nhóm vị khách từ vị khách ta có C4 cách chọn + Nhóm vị khách lên tàu chọn toa tàu nên có cách chọn + Vị khách cịn lại lên tàu chọn toa tàu (không chọn toa chứa hành khách kia) nên có cách chọn Vậy có C4 3.2 = 24 cách Bài 27: Một đoàn tàu có toa đỗ sân ga Có hành khách bước lên tàu a) Có trường hợp cách chọn toa hành khách ? b) Có trường hợp mà toa có người lên ? c) Có trường hợp mà toa có người lên, toa có người lên toa cịn lại khơng có lên ? HƯỚNG DẪN a) - Người thứ có cách chọn toa - Người thứ hai có cách chọn toa - Người thứ ba có cách chọn toa - Người thứ tư có cách chọn toa Vậy có 4.4.4.4 = 256 cách chọn b) - Chọn vị trí để xếp người thứ lên toa có C1 cách - Chọn vị trí để xếp người thứ hai lên toa cịn lại có C1 cách - Chọn vị trí để xếp người thứ ba lên toa cịn lại có C1 cách - Chọn vị trí để xếp người cuối lên toa cuối có C1 cách Vậy có C1 C1 C1 C1 = 24 cách c) + Chọn nhóm vị khách từ vị khách ta có C4 cách chọn + Nhóm vị khách lên tàu chọn toa tàu nên có cách chọn + Vị khách cịn lại lên tàu chọn toa tàu (không chọn toa chứa hành khách kia) nên có cách chọn Vậy có C4 4.3 = 48 cách Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang Chuyên đề 4: GIẢI TÍCH TỔ HỢP Bài 28: Cần chia 18 học sinh lớp thành nhóm sinh hoạt (khơng cần đặt tên cho nhóm, khơng quy định thứ tự), nhóm có học sinh Hỏi có cách chia ? HƯỚNG DẪN * Nhóm I: Chọn học sinh từ 18 học sinh có C18 cách * Nhóm II: Chọn học sinh từ 12 học sinh cịn lại có C12 * Nhóm III: Chọn học sinh từ học sinh cuối có C6 * Tuy nhiên, đề cho nhóm khơng đặt tên, khơng quy định thứ tự nên hốn đổi nhóm có 3! trường hợp lặp lại 6 C18 C12 C6 Vậy có = 2.858.856 cách 3! Bài 29: Trong tổ học sinh lớp 11A có nam nữ Thầy giáo muốn chọn học sinh để làm trực nhật lớp học, phải có học sinh nam Hỏi thầy giáo có cách chọn ? HƯỚNG DẪN : sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn học sinh 12 học sinh có C12 cách * Bước 2: Chọn học sinh tồn nữ có C4 cách 3 Vậy có C12 - C4 = 216 cách Bài 30 (KA - 2004) : Một lớp có 30 học sinh, có cán lớp Có cách chọn em lớp để trực nhật tuần cho em ln có cán lớp ? HƯỚNG DẪN : sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn học sinh 30 học sinh có C3 cách 30 * Bước 2: Chọn học sinh không cán lớp 30 - = 27 học sinh có C3 cách 27 Vậy có C3 - C3 = 1.135 cách 30 27 Bài 31 : Ở trường tiểu học có 50 em học sinh giỏi, có cặp em sinh đôi Cần chọn học sinh số 50 em để dự trại hè Hỏi có cách chọn mà khơng có cặp sinh đôi ? HƯỚNG DẪN : sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn học sinh 50 học sinh có C50 cách * Bước 2: Chọn học sinh không thỏa mãn yêu cầu : (Tức chọn học sinh có cặp sinh đôi - cặp tối đa, khơng thể cặp < 4) + Chọn cặp sinh đơi có cách + Chọn học sinh cịn lại 48 em có C1 cách 48 Vậy có C50 - C1 = 19.408 cách 48 Bài 32: Trên giá sách có 10 sách giáo khoa sách tham khảo a) Có cách lấy sách có sách giáo khoa ? b) Có cách lấy sách sách giáo khoa ? Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 10 Chuyên đề 4: GIẢI TÍCH TỔ HỢP HƯỚNG DẪN a) Lấy sách có sách giáo khoa có sách tham khảo nên có C10 C7 = 1575 cách b) Lấy sách sách giáo khoa lấy ; ; ; sách SGK nên ta có C10 C7 + C10 C7 + C10 C1 + C10 C7 = 14232 cách Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN LẬP SỐ - CHỌN SỐ Bài 1: Có thể lập thành số có chữ số, chữ số chữ số có mặt lần, chữ số 2, 3, 4, có mặt lần ? HƯỚNG DẪN Bài tập số cần lập có chữ số lấy từ chữ số {1; 6; 2; 3; 4; 5} (không có chữ số 0) + Chọn vị trí để xếp chữ số có mặt lần có C8 cách + Chọn vị trí để xếp chữ số có mặt lần có C6 cách + vị trí cịn lại cho chữ số cịn lại có 4! cách 2 Vậy có C8 C6 4! = 10.080 cách Bài 2: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} a) Từ tập hợp A lập số có 12 chữ số cho chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, cịn lại chữ số khác có mặt lần ? b) Từ tập hợp A lập số có chữ số cho có chữ số lặp lại lần, chữ số khác lặp lại lần chữ số khác với hai số ? HƯỚNG DẪN a) + Chữ số có mặt lần số có 12 chữ số nên có C12 cách chọn vị trí cho chữ số + Chữ số có mặt lần số 12 - = vị trí cịn lại nên có C4 cách chọn vị trí cho chữ số + Còn chữ số cuối xếp vào vị trí nên có 5! cách Vậy có C12 C4 5! = 3.326.400 cách b) + Có C4 cách chọn vị trí cho chữ số lặp lại lần Tuy nhiên chữ số lặp lại lần ta chưa biết số nên có TH xảy ra, có 7.C4 cách + Có C2 cách chọn vị trí cho chữ số lặp lại lần Tuy nhiên chữ số lặp lại lần ta chưa biết số nên có TH xảy ra, có 6.C2 cách + Cịn chữ số cuối xuất lần nên có cách chọn Vậy có ( 7.C4 ).( 6.C2 ).5 = 22050 số Bài 3: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số ? HƯỚNG DẪN + Ta coi chữ số đứng cạnh “chữ số kép” X Bài toán trở thành có số tự nhiên có chữ số khác lập từ chữ số X, 0, 1, 4, + Gọi số có chữ số cần tìm a1a 2a 3a4a5 Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 11 Chuyên đề 4: GIẢI TÍCH TỔ HỢP - Chữ số a1 ≠ nên có cách chọn - Các chữ số cịn lại có 4! cách + Tuy nhiên chữ số X lại có 2! cách xếp Vậy có 4.4!.2! = 192 số thỏa mãn Bài 4: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn ? HƯỚNG DẪN + Gọi số cần tìm có dạng a1a2a 3a4a5a6 + Vì a + a + a = ⇒ {a ,a4 ,a5 } ∈ {1, 2, 5} ;{1, 3, 4} nên có 2.3! cách chọn + chữ số cịn lại có A cách Vậy có 2.3! A = 1440 số thỏa mãn yêu cầu Bài 5: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số khác mà số lập nhỏ 25000 ? HƯỚNG DẪN Gọi a1a 2a 3a4a5 số cần tìm + TH1: a1 = có cách chọn, a5 ∈ {0, 2, 4,6} có cách chọn, chọn chữ số điền vào vị trí cịn lại có A cách + TH2: a1 = có khả xảy : - Nếu a ≠ ⇒ a5 ∈ {0;4} có cách chọn, a < ⇒ a ∈ {0;1;3} (khơng chọn lại 2) có cách chọn, chọn 2 chữ số xếp vào vị trí cịn lại có A cách - Nếu a = có cách chọn , a < ⇒ a ∈ {0;1;3;4} (không chọn lại 2) có cách chọn, chọn chữ số xếp vào vị trí cịn lại có A cách 2 Đáp số: Vậy có 1.4 A + 1.2.3 A + 1.1.4 A = 360 số thỏa mãn yêu cầu (Chú khi làm TH2 gộp a5 ∈ {0;4;6} để xét chung số > nên rơi vào vị trí a không thỏa mãn) Bài 6: Từ chữ số 2, 3, lập số tự nhiên gồm chữ số, có mặt đủ chữ số ? HƯỚNG DẪN Gọi số có chữ số cần tìm a1a 2a 3a4a5 Do = + + = 1+ + nên có TH sau xảy thỏa mãn yêu cầu : 2 + TH1: số có vị trí, số cịn lại có vị trí có: C5 C3 = 90 số (vì khơng xác định rõ vị trí ( ) cho số nào, mà đề ta có số, kết phải nhân 3) + TH2: số có vị trí, số cịn lại có vị trí có C1 C1 3 = 60 ( ) Vậy có 90 + 60 = 150 số thỏa mãn yêu cầu toán Bài 7: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần ? Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 12 Chun đề 4: GIẢI TÍCH TỔ HỢP HƯỚNG DẪN + TH1: Nếu chữ số thứ có cách xếp, xếp chữ số lại vào vị trí có C7 cách, vị trí cịn lại có 5! cách xếp + TH2: Nếu chữ số thứ khác có cách chọn (do chọn từ {2, 3, 4, 5}) Xếp chữ số vào vị trí có C7 cách, xếp chữ số cịn lại có 4! cách Đáp số: Vậy có C7 5! + C7 4! = 5880 cách Bài 8: Có số tự nhiên có chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, chữ số cịn lại có mặt khơng q lần ? HƯỚNG DẪN + Gọi số cần tìm a1a 2a 3a4a5a6a7 + Chọn vị trí cho chữ số xuất lần vị trí có C7 cách + Chọn vị trí cho chữ số xuất lần vị trí cịn lại có C5 cách + Cịn vị trí cuối xếp chữ số cuối có 8.7 cách (2 chữ số khác chữ số chọn khác nhau) Vậy có C7 C5 8.7 = 11760 số + Ta thấy 11760 số vừa tìm “gần thỏa mãn” yêu cầu toán có chứa số tự nhiên có chữ số mà chữ số đứng đầu (tức số có chữ số), ta cần loại chúng cách xét : a1 = ⇒ Chọn vị trí cho chữ số xuất lần vị trí có C6 cách, chọn vị trí cho chữ số 3 xuất lần vị trí có C4 cách vị trí cuối xếp chữ số cịn lại có cách (1; 4; 5; 6; 7; 8; 9) Vậy có C6 C4 = 420 số Đáp số: có 11760 - 420 = 11.340 số thỏa mãn yêu cầu CÁCH KHÁC * TH1 : Số có chữ số + Đặt chữ số 0, có cách đặt + Đặt chữ số vào ơ, có C6 cách đặt + Đặt chữ số vào ơ, có C4 cách đặt + Đặt chữ số số chữ số vào cịn lại có C1 cách đặt Do TH1 số số thỏa mãn C6 C4 C1 = 2520 số * TH2: Số khơng có chữ số + Đặt chữ số vào ô, có C7 cách đặt + Đặt chữ số vào ơ, có C5 cách đặt + Đặt chữ số số chữ số vào cịn lại có A cách đặt Do TH2 số số thỏa mãn C7 C5 A = 8820 số Vậy số số thỏa mãn yêu cầu toán 2520 + 8820=11340 số Bài 9: Từ chữ số 0, 1, 2, …, lập số gồm chữ số khác cho chữ số có mặt chữ số ? Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 13 Chun đề 4: GIẢI TÍCH TỔ HỢP HƯỚNG DẪN + Chọn vị trí để xếp số có cách + Chọn tiếp vị trí để xếp số vào có cách + Cịn vị trí, cịn số Lấy số từ số để xếp vào vị trí cịn lại có A cách Vậy có 5.5 A = 42.000 cách Bài 10: Biển số xe dãy gồm chữ đứng trước chữ số đứng sau : Các chữ lấy từ 26 chữ A, B, C, …, Z Các chữ số chọn từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, Có biển số xe có chữ khác nhau, đồng thời có chữ số lẻ chữ số lẻ giống ? HƯỚNG DẪN + Biển số xe có dạng A1 A 2a1a 2a 3a ; A i ∈ { A, B,C, , Z} ,a i ∈ {0,1, 2, 3, , 9} + Chọn chữ khác có A cách 26 + Chọn số lẻ giống co cách (do chọn từ 1, 3, 5, 7, 9) + Chọn vị trí để đặt chữ số lẻ giống có C4 cách + Sắp xếp số chẵn từ số (0, 2, 4, 6, 8) vào vị trí cịn lại có 5.5 cách Vậy có A C4 5.5 = 487.500 biển số xe thỏa mãn yêu cầu 26 Dạng 3: CÁC BÀI TỐN ĐẾM TRONG HÌNH HỌC Bài 1: Xét đa giác có n cạnh, biết số đường chéo gấp đơi số cạnh Tính số cạnh đa giác HƯỚNG DẪN + Chon n đỉnh n - giác ta có cạnh đường chéo ⇒ tổng số cạnh số đường chéo n - giác Cn ⇒ số đường chéo n - giác Cn − n + Theo đề ta có phương trình: Cn − n = 2n ⇔ n = Vậy đa giác có cạnh (Bài dùng cơng thức tính số đường chéo n - giác n (n − 3) (lớp 8), ta có phương n ( n − 3) = 2n ⇔ n = ) Bài 2: Tính số hình chữ nhật tạo thành từ 20 đỉnh đa giác có 20 cạnh nội tiếp đường trịn tâm O trình HƯỚNG DẪN + Ta thấy hình chữ nhật nội tiếp đường trịn tâm O tạo thành từ đường chéo qua tâm O đa giác 20 cạnh nói + Mà đa giác 20 cạnh nội tiếp đường trịn tâm O có 10 đường chéo qua tâm ⇒ số hình chữ nhật cần tìm C10 = 45 Bài 3: (ĐHKB - 2002) Cho đa giác A1 A A 2n ( n ≥ 2;n ∈ Z ) nội tiếp đường tròn (O) Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1 ; A ; ;A 2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1 ; A ; ;A 2n , tìm n Cẩm nang ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 14 Chun đề 4: GIẢI TÍCH TỔ HỢP HƯỚNG DẪN + Theo ta có số hình chữ nhật tạo thành từ đa giác 2n cạnh nội tiếp đường tròn (O) Cn + Số tam giác tạo thành từ 2n đỉnh đa giác nói C3 2n + Theo đề ta có phương trình C3 = 20.Cn ⇔ n = 2n Bài 4: Xét tam giác có đỉnh lấy từ đỉnh đa giác H có 10 cạnh a) Có tất tam giác ? Có tam giác có cạnh H ? b) Có tam giác có cạnh H ? Có tam giác khơng có cạnh H ? HƯỚNG DẪN a) + Có C10 tam giác có đỉnh đỉnh H + Tam giác có cạnh cạnh H tạo đỉnh liên tiếp đa giác H ( A1 A A A10 ) Đó tam giác : ∆A1 A A ; ∆A A A ; ∆A A A ; ; ∆A A10 A1 ; ∆A10 A1 A nên có 10 tam giác b) + Tam giác có cạnh H tạo cách: chọn cạnh H (bỏ đỉnh) nối với đỉnh H Vậy ứng với cạnh H nối với đỉnh có tam giác thỏa mãn Mà H có 10 cạnh nên có 6.10 = 60 tam giác thỏa mãn + Kết hợp phần a) ta có số tam giác khơng có cạnh H : C10 − ( 10 + 60 ) = 50 tam giác Bài 5: Cho 15 điểm mặt phẳng, khơng có điểm thẳng hàng Xét tập hợp đường thẳng qua 15 điểm cho Số giao điểm khác 15 điểm cho đường thẳng tạo thành ? HƯỚNG DẪN + Số đường thẳng tạo thành từ 15 điểm C15 = 105 + Để tìm số giao điểm khác 15 điểm cho đường thẳng tạo thành ta sử dụng phương pháp phần bù : * Bước 1: Nếu coi đường thẳng có giao điểm ta có C105 giao điểm * Bước 2: Vì số giao điểm khác 15 điểm ta thấy rằng: - Chọn 15 điểm có 14 đường thẳng qua (vì khơng có điểm thẳng hàng) ⇒ Chọn điểm 15 điểm điểm phải giao C14 cặp đường thẳng 2 ⇒ 15 điểm cho có 15.C14 cặp đường thẳng ⇒ có 15.C14 giao điểm qua 15 điểm cho 2 Đáp số: Vậy có C105 − 15.C14 = 4095 số giao điểm cần tìm Bài 6: Cho họ đường thẳng cắt nhau: Họ ( L1 ) gồm 10 đường thẳng song song với nhau, họ ( L ) gồm 15 đường thẳng song song với Hỏi có hình bình hành tạo thành ( L1 ) ( L ) ? HƯỚNG DẪN + Do đường thẳng thuộc họ ( L1 ) song song, đường thẳng thuộc họ ( L ) song song, mà hình bình hành tạo cặp đường thẳng song song cắt + Vậy chọn đường thẳng họ ( L1 ) đường thẳng họ ( L ) có hình bình 2 hành ⇒ có C10 C15 = 4725 hình bình hành (coi đường thẳng họ ( L1 ) không song song đường thẳng họ ( L ) ) Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 15 Chun đề 4: GIẢI TÍCH TỔ HỢP Bài 7: Cho hình thập giác lồi Hỏi lập tam giác có đỉnh đỉnh thập giác lồi, cạnh tam giác cạnh thập giác lồi ? HƯỚNG DẪN: sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Số tam giác tạo thành từ đỉnh thập giác lồi C10 * Bước 2: Ta tìm số tam giác có đỉnh thập giác lồi có cạnh cạnh thập giác lồi : + TH1: Tam giác có cạnh thập giác : - Có 10 cách chọn cạnh cạnh thập giác (chọn xong đỉnh tam giác) - Chọn đỉnh cịn lại có cách (trừ đỉnh chọn đỉnh khác thập giác kề với đỉnh ấy) ⇒ có 10.6 = 60 tam giác có cạnh thập giác + TH2: Tam giác có cạnh thập giác : Có 10 tam giác (Xem Bài 4) Đáp số: Vậy số tam giác thỏa mãn yêu cầu C10 - (60 + 10) = 50 (Bài chất giống Bài phần b) Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÂN CHIA TẬP HỢP Bài 1: Cho tập hợp A gồm 15 phần tử khác a) Có cập hợp A ? b) Có tập hợp khác rỗng A mà số phần tử số chẵn ? HƯỚNG DẪN a) Số tập hợp A có 0, 1, 2, 3, …, 15 phẩn tử ⇒ số tập hợp A C15 + C1 + C15 + C15 + + C15 15 15 Theo công thức đếm số tập hợp kết 215 b) Số tập hợp khác rỗng A mà số phần tử số chẵn C15 + C15 + C15 + C15 + + C14 15 + Ta tính tổng cách sau : (Biến đổi tập có phần tử chẵn) * Ta có : C15 + C1 + C15 + C15 + + C14 + C15 15 15 15 = C15 + C14 + C15 + C12 + + C14 + C15 15 15 15 = C15 + C15 + C15 + C15 + + C14 15 ( ) ( 14 = 2.C15 + C15 + C15 + C15 + + C15 ) Từ : ⇒ C15 + C15 + C15 + + C14 = C15 + C1 + C15 + C15 + + C14 + C15 − 2.C15 15 15 15 15 ( ⇒ ( C ⇒ ( C 15 + C15 + C15 + + C14 15 15 + C15 + C15 + + C14 15 ) )=2 )=2 15 − 2.C15 15 − 2.1 ⇒ C15 + C15 + C15 + + C14 = 214 − 15 Bài 2: Cho tập hợp A gồm 20 phần tử khác Có tập hợp khác rỗng A mà số phần tử số chẵn ? Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 16 Chuyên đề 4: GIẢI TÍCH TỔ HỢP HƯỚNG DẪN 20 Số tập hợp khác rỗng A mà số phần tử số chẵn C2 + C4 + C6 + C8 + + C20 20 20 20 20 + Ta tính tổng cách sau : (Bài khơng tính theo cách Bài 20 - 1; 20 - 3; 20 - 5; 20 - 7; … kết không số chẵn) * Ta có : 20 C0 + C1 + C 20 + C20 + + C19 + C20 = 220 = ( + ) 20 20 20 * Mặt khác ta có : C0 − C1 + C2 − C3 + − C19 + C 20 = 020 = ( − 1) 20 20 20 20 20 20 20 20 (1) (2) * Lấy (1) cộng với (2) vế theo vế ta : C0 + C2 + C4 + C6 + C8 + + C20 = 20 20 20 20 20 20 20 20 ⇒ 2.C0 + C2 + C4 + C6 + C8 + + C 20 20 20 20 20 20 ( ( )=2 ) 20 220 − 2.C0 20 = 219 − Bài (KB - 2006): Cho tập A gồm n phần tử ( n ≥ ) Biết số tập hợp chứa phần tử A 20 20 ⇒ C2 + C4 + C6 + C8 + + C 20 = 20 20 20 20 lần số tập hợp chứa phần tử A Tìm số k ∈ {1, 2, 3, ,n} cho số tập hợp chứa k phần tử A lớn HƯỚNG DẪN + Theo giả thiết ta có phương trình C = 20.Cn ⇔ ⇔ n = 18 Vậy A có 18 phần tử n k + Số tập hợp chứa k phần tử A C18 k −1 k 17 19 C18 ≥ C18 + Để số tập hợp chứa k phần tử A lớn k ⇔ ⇔ ≤k≤ ⇒k=9 k +1 2 C18 ≥ C18 Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 17 ... tem Hỏi có cách dán ? HƯỚNG DẪN + Chọn tem có C cách + Chọn bì thư có C5 cách + Số cách dán 3! cách 3 Vậy có C8 C5 3! = 3360 cách Bài 8: Có bưu thi? ??p khác nhau, bì thư khác Chọn bưu thi? ??p bỏ... cách chọn toa - Người thứ hai có cách chọn toa - Người thứ ba có cách chọn toa - Người thứ tư có cách chọn toa Vậy có 4.4.4.4 = 256 cách chọn b) - Chọn vị trí để xếp người thứ lên toa có C1 cách... thư bưu thi? ??p gửi cho người bạn, người bạn bưu thi? ??p Hỏi có cách ? HƯỚNG DẪN + Chọn bưu thi? ??p từ bưu thi? ??p có C cách + Chọn bì thư từ bì thư có C6 cách + Ghép bưu thi? ??p với bì thư có 3! cách +