Hệ thống kiến thức về hàm số liên tục 1) Hàm số liên tục tại một điểm Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) )()(lim 0 0 xfxf xx = f(x) liên tục tại x 0 (a; b) *) Các bớc c/m hàm số f(x) liên tục tại 1 điểm x o : x o TXD, tính f(x o ) tồn tại *) Hàm số f(x) vi phạm 1 trong 3 bớc trên thì không liên tục tại 1 điểm x o hay gián đoạn tại điểm x o đó: )(lim 0 xf xx )()(lim 0 0 xfxf xx = Hệ thống kiến thức về hàm số liên tục 2) Hàm số liên tục trên một khoảng *) Định nghĩa: - Hàm số f(x) đợc gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. - Hàm số f(x) đợc gọi là liên tục đoạn [a; b] nếu nó liên tuc trên khoảng (a; b) và Nx: Đồ thị của hàm số liên tục trên 1 khoảng là một đờng liền trên khoảng đó *) Định lý 1: Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lợng giác là liên tục trên tập xác định của chúng *) Định lý 2: Tổng, hiệu, tích, thơng ( với mẫu khác 0) của những hàm số liên tục tại một điểm là liên tục tại điểm đó )()(lim),()(lim bfxfafxf bxax == + 3) Chứng minh phơng trình f(x) = 0 có nghiệm f(x) liên tục trên [a ;b] f(a).f(b) < 0 Phơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x o thuộc khoảng (a; b) Bài tập hàm số liên tục f(x) liên tục tại một điểm f(x) liên tục trên một khoảng f(x) = 0 có nghiệm *) Định lý 3: BµI tËp §3 hµm sè liªn tôc Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x 0 *)Ví dụ áp dụng: Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đợc chỉ ra 1) f(x) = 3) f(x) = Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) f(x) liên tục tại x 0 (a; b) )x(f)x(flim 0 xx 0 = *)Ph-ơng pháp: Tại điểm x 0 = 2 2) f(x) = 12 x nếu x > 1 x 2 - 2 nếu x 1 Tại điểm x 0 = 1 x 1 nếu x # 0 1 nếu x = 0 Tại điểm x 0 = 0 1 1 2 + x x Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x 0 *)Ví dụ áp dụng: Bài1 Bài giải: TXĐ: D =R =>xo = 2 D. 1 1 lim 2 2 + x x x = 5 f (2) = 5 => )2()(lim 2 fxf x = Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại điểm x 0 = 2 Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) f(x) liên tục tại x 0 (a; b) )x(f)x(flim 0 xx 0 = = *)Ph-ơng pháp: 1) f(x) = 1 1 2 + x x KL:H/s gián đoạn tai x = 1 Tại điểm x 0 = 2 2) Tại điểm x 0 = 1 TXĐ: R. 1)2lim()(lim 1 2 1 == x x xxfTinh )(lim)(lim 11 xfxf xx + Ta có: )(lim 2 xf x f(x) = 12 x nếu x > 1 x 2 - 2 nếu x 1 1)12lim()(lim 1 1 == + + x x xxfTinh Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) f(x) liên tục tại x 0 (a; b) *)Ph-ơng pháp: Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x 0 Bài 1: Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) f(x) liên tục tại x 0 (a; b) *)Ph-ơng pháp: 3) f(x) = x 1 nếu x # 0 1 nếu x = 0 Tại điểm x 0 = 0 Bài giải: TXD: R do đó x o = 0 TXD == 0 0 1 lim)(lim x x x xf KL: Hàm số f(x) gián đoạn tại x o = 0 VÊn ®Ị 2: XÐt tÝnh liªn tơc cđa hµm sè trªn mét kho¶ng *)Ph-¬ng ph¸p: ¸p dơng ®Þnh lý 1, 2: c¸c hµm sè ®a thøc, hµm sè h÷u tû, hµm sè lỵng gi¸c, liªn tơc trªn tËp x¸c ®Þnh cđa chóng *)VÝ dơ ¸p dơng Bµi 2: XÐt tÝnh liªn tơc cđa c¸c hµm sè sau trªn tËp x¸c ®Þnh cđa chóng:  4x 16x 2 − − a) f( x) = 8 nÕu x = 4 nÕu x ≠ 4 b) f(x) = 12 − x nÕu x > 1 x 2 - 2 nÕu x ≤ 1 a/ Vẽ đồ thò h.s sau. Từ đó nhận xét tính liên tục trên TXĐ. x xx xf )1( )( − = b/ Khẳng đònh nhận xét trên bằng một chứng minh. Bµi 3: 4x 16x 2 a) f( x) = 8 nếu x = 4 nếu x 4 Bài giải: Tập xác định: D = R Hàm số liên tục tại x = 4 Với x 4: Hàm số f(x) = liên tục trên các khoảng (-; 4) và (4; +) Xét tại x = 4: Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên R Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: 4x 16x lim 2 4x )4x(lim 4x + = = 8 f(4) = 8 )x(flim 4x )x(flim 4x = = f(4) 4x 16x 2 Vấn đề 2: Xét tinh liên tục của hàm số trên một khoảng . liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. - Hàm số f(x) đợc gọi là liên tục đoạn [a; b] nếu nó liên tuc trên khoảng (a; b) và Nx: Đồ thị của hàm số liên tục trên 1 khoảng là một đờng liền trên