Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 1 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT NĂM 2015 - Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc biệt là khối 12). - Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của Bộ GD&ĐT. - Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn: 1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên (Chủ biên) 2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên). 3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn). 4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên. 5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. 6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên. 7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. - Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. - Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều được coi là vi phạm nội quy của nhóm. - Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2. Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự sai xót nhất định. Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email: caotua5lg3@gmail.com ! Xin chân thành cám ơn!!! Chúc các bạn học tập và ôn thi thật tốt!!! Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014 Trưởng nhóm Biên soạn Cao Văn Tú Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 2 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Giải Vận dụng bất đẳng thức 1 1 1 1 () 4x y x y   ta có: 1 1 4 2 3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2a b b c a a b b c a a b c             1 1 4 2 3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2b c c a b b c c a b b c a             1 1 4 2 3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2c a a b c c a a b c c a b             Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta có bất đẳng thức (5) Đẳng thức xảy ra khi: 32 32 32 a b b c a b c c a b a b c c a a b c                     Bài 2: Cho ba số dương a, b, c, chứng minh: 1 1 1 1 1 1 1 () 2a b b c c a a b c         (2) Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Giải  Áp dụng 1 1 1 1 () 4x y x y   ta có ngay điều phải chứng minh.  Phát triển: Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được: 1 1 1 1 1 1 1 () 2 2 2 2a b c b c a c a b a b b c c a               (3)  Kết hợp (2) và (3) ta có: Bài 3: Với a, b, c là các số dương: 1 1 1 1 1 1 1 () 2 2 2 4a b c b c a c a b a b c            (4) Bài 1: Chứng minh rằng với a, b, c dương: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3a b c b c a c a b a b b c c a               (5) Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 3 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Giải Với a, b, c là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4 abc    . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 () 2 2 2 4a b c b c a c a b a b c            ►Thực chất là từ (4) thêm giả thiết: 1 1 1 4 abc    Bài 4: Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn đẳng thức sau: tan tan tan 1 2 2 2 1 tan .tan 1 tan .tan 1 tan .tan 4.tan .tan .tan 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C B C C A A B A B C     Giải Đặt tan , tan , tan 2 2 2 A B C x y z   thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1 Hệ thức trở thành: 1 1 1 1 4 x y z yz zx xy xyz       Ta có: 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 4 4 4 1 1 1 1 1 4 4 4 x y z yz zx xy x y z xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy x x y y z z xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy x z x y y z xy yz zx xy yz zx yz xy zx x y z x                                                                              1 4yz xyz  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay ABC đều. Bài 5: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện: 0, 1 0, 1 0, 4 0x y z x y z         . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 4 x y z Q x y z       Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 4 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Giải Đặt 1 0, 1 0, 4 0a x b y c z         . Ta có: 6abc   và 1 1 4 1 1 4 3 abc Q a b c a b c              Theo bất đẳng thức (1) ta có: 1 1 4 4 4 16 8 () 3 81 3 33 a b c a b c a b c Q              Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 31 22 31 6 ab a b x y a b c cz abc                             Vậy: 1 3 MaxQ  đạt được khi 1 2 1 xy z        . Bài 6: Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 6 4 6 4 6 4 4 4 4 x y z x y y z z x x y z         Với x, y, z là các số dương. Dấu bằng xảy ra khi nào ? Giải   2 2 1 1 1 1 4 4 4 6 4 6 4 6 4 x xx x y x y x y x y        . Tương tự ta có: 1 1 4 1 1 4 ; 4 4 6 4 4 4 6 4 yz y z y z z x z x      . Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b và c thoả: ab bc ca abc   . Chứng minh rằng:       4 4 4 4 4 4 1 3 3 3 3 3 3 a b b c c a ab a b bc b c ca c a          Giải Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 5 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Ta có: ab bc ca abc   1 1 1 1 abc     . Đặt 1 1 1 ;;x y z a b c     x+y+z=1 . Khi đó ta có:                       11 2 33 4 4 4 4 6 6 44 33 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 2 2 1 1 1 33 2 22 3 3 4 4 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 xy a b x y x y xy xy ab a b x x y y x y x y x y xy xy xy x y x y x y x y xy xy x x y y x y x y x y                                    Tương tự ta có:     4 4 4 4 3 3 3 3 ; 22 y z z xb c c a bc b c ca c a      Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có:       4 4 4 4 4 4 1 3 3 3 3 3 3 a b b c c a x y z ab a b bc b c ca c a             . Suy ra điều phải chứng minh Bài 8: Với x, y, z, t là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x t t y y z z x A t y y z z x x t             Giải Ta có: ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 4 1 1 1 1 4 ( ) ( ) 4 4 4 4( ) ( ) ( ) 4 4 0 x t t y y z z x A t y y z z x x t x y t z y x z t x y t z t y y z z x x t t y z x y z x t x y z t x y t z x y z t x y z t z y z t                                                                            Vậy MinA = 0 khi x = y = z = t. Bài 9: Cho x, y, z là ba số dương. chứng minh rằng:   1 1 1 1 1 ( ) 6 9x y z x y z     Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 6 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta có: yx + z 3 xyz ; 1 1 1 1 1 1 3 3 . . x y z x y z xyz     Từ đó: ()x y z 1 1 1 1 1 1 1 1 9 9x y z x y z x y z                     Đẳng thức xảy ra khi x y z . Bài 10: Cho ba số a, b, c bất kì và x, y, z là ba số thực dương ta có:     2 2 2 2 7 abc abc x y z x y z      . (Bất đẳng thức sơ-vac). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c x y z  . Giải Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta có:           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . a b c a b c x y z x y z x y z x y z abc                                 Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Bài 11: Chứng minh rằng: 2 2 2 abc abc b c a      với a, b, c là các số thực dương. Giải Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có:   2 2 2 2 abc abc abc b c a a b c         . Suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi abc abc b c a      Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 7 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 6 6 6 3 3 3 3 3 3 a b c B b c c a a b       Trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: 1abc   Giải Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có:     2 3 3 3 6 6 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 abc a b c a b c B b c c a a b abc            . Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacovski ta có:               2 2 4 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 1 99 9 a b c a b c aa a bb b cc c a b c a b c a b c a b c                          . Vậy 1 18 B  Bài 13: Cho các số thực dương x, y, z, t thỏa mãn xyzt=1. Chứng minh rằng :         3 3 3 3 1 1 1 1 4 3x yz zt ty y xz zt tx z yt xt xy t yz zx xy             Giải Đặt 1 1 1 1 ; ; ; y z t=x a b c d    , theo bài ra ta có abcd = 1 và   2 3 3 11 1 1 1 1 a x yz zt ty b c d a bc dc bd          ; tương tự ta có :       2 2 2 3 3 3 1 1 1 ;; b c d y xz zt tx a c d z yt xt xy a b d t yz zx xy a b c                Cộng các vế bất đẳng thức trên ta có:             3 3 3 3 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 3 44 3 3 3 x yz zt ty y xz zt tx z yt xt xy t yz zx xy a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c a b c d a b c d abcd                                     (Mở rộng tự nhiên bất đẳng thức (7) cho bốn số) Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 8 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Dấu bằng xảy ra khi 1a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c                     Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:       8 8 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c B b c a c b a       Trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện 1ab bc ca   Giải Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có:                     2 4 4 4 8 8 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 22 abc a b c B b c a c b a b c a c b a abc a b c a b b c a c                     Xét biểu thức 2 2 2 2 2 2 a b b c a c . Theo bất đẳng thức Bunhiacovski ta có : 2 2 2 2 2 2 4 4 4 a b b c a c a b c     . Do đó:           22 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 4 a b c a b c abc B a b c a b c a b c                . Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacovski   2 4 4 4 1 ab bc ca a b c      . Bài 15: Cho x,y, z > 0 và thoả: 2 2 2 1 3 x y z   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 33 2 3 5 2 3 5 2 3 5 y xz x y z y z x z x y        Giải Các số x, y, z có vai trò bình đẳng. Dự đoán dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi chúng bằng nhau và bằng 1 3 . Giải: Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có : Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 9 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com                 3 3 3 4 4 4 2 2 2 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 2 8 10 1 2 2 2 30 x y z x y z x y z y z x z x y x xy xz y yz yx z xz yz x y z x y z x y z x y z xy yz zx x y z x y z x y z x y z                                           Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 2 2 2 2 2 2 2 3 5 2 3 5 2 3 5 1 3 1 2 2 2 3 x y z x xy xz y yz yx z xz yz x y z x y z x y z                            . Bài 16: Cho a, b, c > 0 và thoả: a.b.c = 1 Chứng minh rằng:       222 3 3 3 3 a b c b c a c a b       Giải Nhận xét: -Các số x, y, z có vai trò bình đẳng. Dự đoán dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi chúng bằng nhau và bằng 1. - Để đơn giản biểu thức ta có thể đặt 1 1 1 ;; b c . a x y z    Đặt 1 1 1 ;; b c . a x y z    Theo giả thiết ta có: xyz = 1 Ta có   2 3 3 2 2 2 1 1 1 x a b c y z x y z       ; tương tự ta có:   2 3 3 2 2 2 1 1 1 y b a c x z y x z       ;   2 3 3 2 2 2 1 1 1 z c b a y x z y x       . Do đó Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có :             2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 3 33 22 y xz y z x z y x b c a a b c c a b x y z x y z xyz x y z                    Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 10 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1x y z   Bài 17: Cho 3 số thực dương x, y, z > 0 thoả: 3x y z   . Tìm GTNN của biểu thức: A = 2 22 y xz x yz y zx z xy     Giải Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :   2 2 22 x y z y xz x yz y zx z xy x y z yz zx xy           .Ta có yz zx xy x y z     . Do đó   2 2 22 3 22 x y z y x y z xz x y z x y z x yz y zx z xy                Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 3 1 x y z x y z x y z x y z x yz y zx z xy                       Bài 18: Với x, y, z là các số dương và . . 1x y z  Chứng minh rằng: 3 2 x y z x yz y zx z xy       (1) Giải Đặt ,,a x b y c z   Bài toán trở thành: a, b, c là số dương và . . 1abc Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 3 2 a b c a bc b ac c ab       (2) Áp dụng bất đẳng thức trên ta có     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 abc a b c a bc b ac c ab a bc b ac c ab             Bình phương hai vế bất đẳng thức: [...]... 4ac 4c 2 a 2 4ad 4d 2 a 2 4ac 4c 2 0 a 2b2 a 2c2 a 2d 2 a 2c2 0 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh Bi 64: Chứng minh rằng trong ba bất đẳng thức sau ít nhất có một bất đẳng thức đúng : a2 + b 2 (b c) 2 2 b2 + c2 (c a ) 2 2 c2 + a2 ( a b) 2 2 Gii Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều sai Ta có : (b c) 2 2 (1) (c a ) 2 b +c < 2 (2) ( a b) 2 2 (3) a2 + b 2 < 2... d 2 e 2 ab c d e a) a 2 Gii b2 ab 4 4a 2 b2 4ab 4a 2 4a b2 0 a) a 2 2a b 0 2 (bất đẳng thức này luôn đúng) b2 Vậy a ab (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) 4 2 b) a b2 1 ab a b 2(a 2 b 2 1 2(ab a b) 2 a 2 2ab b2 a 2 2a 1 b2 2b 1 0 (a b) 2 (a 1) 2 (b 1) 2 0 Bất đẳng thức cuối đúng Vậy a 2 b2 1 ab a b Ch biờn: Cao Vn Tỳ 33 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn tp... ) (1 ab) (b a)(a 2 ab 2 b a 2 b) 0 (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab) (b a)(b a)(ab 1) 0 (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab) (b a) 2 (ab 1) 0 (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab) (2) Bất đẳng thức ( 2 ) luôn đúng với mọi ab 0 Do đó bất đẳng thức ( 1 ) đ-ợc chứng minh Ch biờn: Cao Vn Tỳ 27 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn tp 100 bi tp v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! Bi 55: Cho a , b , c , d... 2ab + 2bc + 2ca 2a2+ 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca < 0 ( a2 -2ab + b2 ) + (b2 -2bc + c2 ) + ( a2 -2ac + c2 ) < 0 ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( a - c ) 2 < 0 ( vô lí ) Vậy trong ba bất đẳng thức trên có ít nhất một bất đẳng thức đúng Ch biờn: Cao Vn Tỳ 34 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn tp 100 bi tp v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! Bi 65: Tỡm s nguyờn dng n v cỏc s nguyờn dng a1 =... + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae 0 (a2 - 4ab + 4b2) + ( a2 - 4ac + 4c2) + (a2 - 4ad + 4d2) + (a2 - 4ae + 4e2) 0 ( a - 2b )2 + ( a - 2c )2 + ( a - 2d )2 + ( a - 2e )2 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi a , b , c , d , e Nên ta có điều phải chứng minh Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = 2b = 2c = 2d = 2e Bi 56: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b tuỳ ý ta có: a4 b4 a3b... + e ) Gii a) Ta có : a + b + 1 ab + a + b, 2 2 2 ( a2 + b2 + 1 ) - 2 ( ab + a + b ) 0 ( a2 - 2ab + b2 ) + ( a2 - 2a + 1 ) + ( b2 - 2b + 1 ) 0 ( a - b )2 + ( a - 1 )2 + ( b - 1 )2 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi a , b Nên ta có điều phải chứng minh Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 b) Ta có : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a ( b + c + d + e ) a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - ab - ac -... - B B-ớc 2:Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 +.+(E+F) 2 B-ớc 3:Kết luận A B Bi 62: (Chuyên Nga- Pháp 98-99) Chứng minh m,n,p,q ta đều có: m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1) Gii m2 m2 m2 m2 mn n 2 mp p 2 mq q 2 4 4 4 4 m 1 0 2 2 2 2 m m m m n p q 1 0 (luôn đúng) 2 2 2 2 m m 2 n 0 n 2 m m p0 m2 p 2 Dấu bằng xảy ra khi 2 n... 2n > 2n + 1 Mnh ỳng vi n = 3 2 Gi s mnh cng ỳng vi n = k (k N, k 3) Khi ú 2k > 2k + 1 Ta cn chng minh mnh cng ỳng vi n = k + 1, ngha l 2k+1 > 2(k + 1) + 1 Tht vy, 2k+1 = 2.2k > 2.(2k + 1) (theo gi thit quy np) 2k+1 > 4k + 2 > 2k + 3 = 2(k + 1) + 1 (vỡ k 3) Vy mnh ỳng vi mi k 3 3 Kt lun: 2n > 2n + 1 vi mi n N, n 3 n 3 Bi 51: Chng minh rng: 0 1 1 1 1 2 2 2 1 vi n N, n 2 2 2 3 4 n Gii . 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 1 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CÓ LỜI GIẢI CHI. CNTT&TT Thái Nguyên. - Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. - Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều được coi là vi phạm nội. Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 6 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba