ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009-2010 I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ HỌC SINH: (7,0 điểm) C©u 1. T×m c¸c giíi h¹n sau a) 2 2 lim 11 3 x x x →− + + − b) 2 2 3 2 lim 2 x x x x →− + + + c) 2 3 5 lim 2 4 x x x − → + − d) ( ) 3 2 lim 5 2 1 x x x x →−∞ − + − + Câu 2. Tính tổng S = 9 + 3 + 1 +…+ 3 1 3 n− + …. Câu 3 Phương trình sau có nghiệm hay không trong khoảng ( -4;0) 3 2 3 4 7 0x x x+ − − = Câu 4. Xét tính liên tục của hàm số sau trên R      + −− = 4 1 2 )( 2 x xx xf Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD). a) Chứng minh AC vuộng góc với mp(SBD) b) Chứng minh DC vuông góc với SC c) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm B lên các đường thẳng SA và SC. Chứng minh mp(SBD) vuông góc với mp(BMN). ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009-2010 I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ HỌC SINH: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) a) Tìm điều kiện xác định và tính đạo hàm y' của hàm số x y = sin3x . (1,0 điểm) b) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C) của hàm số 3 y = f(x) = 2x 3x +1 − tại giao điểm của (C) với trục tung. Câu 2: (1,0 điểm) Tính: x 2 2x 3x +10 lim x 2 → − − . Câu 3: (1,5 điểm) Cho hàm số 4 x +8x ˆ ne u x > 2 f(x) = (m R) x + 2 ˆ mx -1 ne u x 2  ′ −  ∈   ′ ≤−  . Xác định giá trị của m để hàm số đã cho liên tục trên tập xác định của nó ? Nếu x 1−≠ Nếu x= -1 Câu 4: (2,5 điểm) Cho hình chóp S.MNPQ, có đáy MNPQ là hình vuông cạnh a và O là tâm của nó. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (MNPQ) và SO = a 6 6 . Gọi A là trung điểm của PQ. a) Chứng minh rằng PQ ⊥ mp(SAO). b) Tính góc giữa SN và mp(MNPQ); tính theo a khoảng cách từ điểm O tới mp(SPQ). 1. Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn: Câu 5.a: (2,0 điểm) a) Cho hàm số y = xcosx . Chứng minh rằng: 2(cosx y') + x(y''+ y) = 0 − . (1,0 điểm) b) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số thực m: 2 2007 (1 m )x 3x 1= 0 − − − . Câu 6.a: (1,0 điểm) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = m, BC = n, CC' = p. Chứng tỏ rằng tất cả các đường chéo của hình hộp đều bằng nhau và tính độ dài của các đường chéo đó. Từ đó suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương cạnh m. 2. Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao: Câu 5.b: (2,0 điểm) a) Cho dãy số (u n ) với n 1 n n 3 u ( 5) + = − . Chứng tỏ (u n ) là một cấp số nhân. Hãy tính 1 2 n lim(u u u ) + +×××+ . b) Cho hàm số 1 1 x ˆ ne u x 0 f(x) = (a R) x ˆ a ne u x = 0  − − ′ ≠ ∈   ′  . Xác định a để hàm số f có đạo hàm tại điểm 0x = . Khi đó tính đạo hàm của hàm số tại điểm 0x = . Câu 6.b: (1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 cạnh a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (AB 1 C 1 ) và (AC 1 D 1 ). DE II Câu 1Tính a) 5 3 5 4 1 7 11 3 lim 3 2 4 x x x x x →+∞ − + − − + ;c) 2 2 2 4 lim 2( 5 6) x x x x → − − + Câu 2 Cmr f(x) = 2 9 khi x 3 3 1 khi x = 3 x x  − ≠−  +  −  gián đoạn tại x = −3 Câu 3: hình chóp đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 2 , M là trung điểm AB và O là tâm của đáy. a) Chứng minh: SM ⊥ CD. b) Xác định hình chiếu vuông góc của M trên (SCD). c) Tính góc [(SMO),(SCD)] ; d) Tính [AB, SC]. Câu 4: 1) Tính y’: a)y = 2 (2 1) 2 x x x + − ; b) y = x 2 cosx 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (H): 1 1 x y x + = − a) tại A(2;3). b) biết tiếp tuyến với đường thẳng 1 5 8 y x = − + . DE III CÂU 1: Tính a) 2 lim ( 3 ) x x x x →−∞ − + + ; b) 3 2 3 2 3 9 2 lim 6 x x x x x x → + − − − − ; c) 2 1 2 lim 2 3 x x x x →∞ − + − . Câu 2: Xét tính liên tục của f(x)= 2 3 2 khi 2 2 3 khi 2 x x x x x  + + ≠−   +  =−  tại x=−2 Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD), 2 SA a = . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD a/ Chứng minh rằng MN // BD và SC ⊥ (AMN). b/ Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc 2. Tính góc [SC,(ABCD)] Câu 4: 1)Tính đạo hàm a) y = x + sin5x; b) y =x.sin5x 2) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số 1 y x x = − tại giao điểm của nó với trục hoành . CÂU 1: Tính: 1) 2 2 1 1 lim ( ) 2 4 x x x + → − − − ; 2) 2 3 3 1 lim 3 x x x x + → − + − CÀU 2:. 3 2 2 2 khi x 1 ( ) 3 3 khi x = 1 x x x f x x a x a  − + − ≠  = +   +  Tìm a để liên tục tại x=1 CÂU 3: Tứ diện S.ABC có ∆ABC đều cạnh a, SA ⊥ (ABC), SA = 3 2 a . Gọi I là trung điểm BC. a) Cmr (SBC) ⊥ (SAI). b) Tính d[A,(SBC)]. c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).d) Tính d[SA, BC]. CÂU 4: 1)Tính y’: 2 4 2 3 1 cosx x a)y= + 3x+1- + ; b)y = + x x sinx x x 2) Cho (C): y = x 3 − 3x 2 + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C). Biết tiếp tuyến vuông góc d: 1 y = - 1 3 x + . Hết ĐÁP ÁN & THANG ĐIỂM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II Môn: TOÁN 11 – NĂM HỌC 2009-2010 Câu Ý Nội dung Điểm 1 2,0 đ a Tìm điều kiện xác định và tính đạo hàm y' của hàm số cos 2 x y x = . 1,0 đ Hàm số xác định cos 2 0x ⇔ ≠ 0,25 2 , 2 4 2 x k x k k π π π π ⇔ ≠ + ⇔ ≠ + ∈ ¢ . 0,25 2 ( )'cos2 (cos2 )' ' cos 2 x x x x y x − = 0,25 2 cos2 2 sin 2 ' cos 2 x x x y x + = 0,25 b Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C) của hàm số 3 ( ) 2 3 1y f x x x= = − + − , tại giao điểm của (C) với trục tung. 1,0 đ (C) cắt Oy tại M(0; −1). 0,25 2 ' '( ) 6 3y f x x = = − + 0,25 Hệ số góc của tiếp tuyến: '(0) 3f = . 0,25 Vậy phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại M là: 3 1y x= − . 0,25 2 Tìm giới hạn: 1 2 3 lim 1 x x x x → − + − . 1,0 đ ( ) 2 1 1 2 3 4 3 lim lim 1 ( 1) 2 3 x x x x x x x x x x → → − + − − = − − + + 0,25 ( ) 1 ( 1)(4 3) lim ( 1) 2 3 x x x x x x → − + = − + + 1 4 3 lim 2 3 x x x x → + = + + 0,50 1 2 3 7 lim 1 4 x x x x → − + = − . 0,25 3 Xác định giá trị của a để hàm số 4 8 ˆ , 2 ( ) ( ) 2 ˆ 1, 2 x x ne u x f x a x ax ne u x  − ′ <  = ∈ −   ′ + ≥  ¡ liên tục trên tập xác định của nó ? 1,5 đ TXĐ: D = ¡ . 0,25 Với mọi x < 2 , hàm số 4 8 ( ) 2 x x f x x − = − liên tục trên khoảng (−∞; 2). Với mọi x > 2 , hàm số ( ) 1f x ax = + liên tục trên khoảng (2; +∞). 0,25 f(2) = 2a + 1; 2 2 lim ( ) lim( 1) 2 1 x x f x ax a + + → → = + = + 0,25 3 2 2 2 2 ( 8) lim ( ) lim lim ( 2 4) 24 2 x x x x x f x x x x x − − − → → → − = = + + = − 0,25 Để hàm số liên tục trên ¡ , đk cần và đủ là nó liên tục tại điểm x = 2; tức là: 2 23 lim ( ) (2) 2 1 24 2 x f x f a a → = ⇔ + = ⇔ = . Vậy 23 2 a = là giá trị cần tìm. 0,50 4 2,5 đ a Chứng minh rằng CD ⊥ mp(SMO). 1,25 đ ϕ M O C A D B S H 0,50 Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ⊥ (ABCD), suy ra CD ⊥ SO 0,25 (1) CD ⊥ BC (gt), BC // OM ⇒ CD ⊥ OM (2) 0,25 Từ (1) và (2), suy ra CD ⊥ mp(SMO). 0,25 b Tính góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD); tính khoảng cách (theo a) từ điểm O tới mp(SCD). 1,25 đ Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD). Vì SO ⊥ (ABCD) nên OA là hình chiếu của SA lên mp(ABCD). Do đó · ( ; )SA OA SAO ϕ = = 0,25 Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có: 0 6 tan 3 60 2 SO a AO a ϕ ϕ = = = ⇒ = . Vậy góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD) bằng 60 0 . 0,50 Từ O ta kẻ OH vuông góc với SM (H thuộc SM). Vì CD ⊥ mp(SMO) nên mp(SCD) ⊥ mp(SOM), suy ra OH ⊥ (SCD). Do đó d(O; (SCD)) = OH. 0,25 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 4 14 42 3 3 14 a OH OH OS OM a a a = + = + = ⇒ = Vậy 42 ( ;( )) 14 a d O SCD = . 0,25 5.a 2,0 đ a Cho hàm số siny x x = . Chứng minh rằng: 2( ' sin ) ( '' ) 0y x x y y − − + = . 1,0 đ TXĐ: ¡ . Ta có ( ) ' sin sin cosy x x x x x ′ = = + ; 0,25 ( ) '' sin cos 2cos siny x x x x x x ′ = + = − ; 0,25 Do đó: 2( ' sin ) ( '' )y x x y y − − + 2(sin cos sin ) (2cos sin sin )x x x x x x x x x x = + − − − + 2 cos 2 cos 0x x x x = − = (đpcm). 0,50 b Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số thực m: 2 2009 (1 ) 3 1 0m x x − − − = . 1,0 đ Đặt 2 2009 ( ) (1 ) 3 1f x m x x = − − − . Ta có: (0) 1 0f = − < . 0,25 2 2 ( 1) (1 ) 3 1 1 0, f m m m − = − − + − = + > ∀ suy ra: 2 ( 1). (0) ( 1) 0, f f m m− = − + < ∀ 0,25 Mặt khác hàm số 2 2009 ( ) (1 ) 3 1f x m x x = − − − liên tục trên đoạn [−1; 0] 0,25 Do đó theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại số ( 1; 0)c ∈ − sao cho ( ) 0f c = . Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng (−1; 0) với mọi m. 0,25 6.a 1,0 đ B C A B 1 D 1 C 1 A 1 D Ta có các mặt chéo ACC 1 A 1 và BDD 1 B 1 là hai hình chữ nhật bằng nhau nên các đường chéo AC 1 , A 1 C, BD 1 và B 1 D bằng nhau. 0,25 Áp dụng định lý Pithagore, ta được: AC 1 2 = AC 2 + CC 1 2 = AB 2 + BC 2 + CC 1 2 = 2 2 2 a b c + + . 0,25 Vậy AC 1 = A 1 C = BD 1 = B 1 D = 2 2 2 a b c + + . 0,25 Suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương có cạnh a là 3a . 0,25 5.b 2,0 đ a Cho dãy số (u n ) với n 1 n n ( 2) u 3 + − = . Chứng tỏ (u n ) là một cấp số nhân. Hãy tìm giới hạn 1 2 n lim(u u u ) + +×××+ . 1,0 đ Ta có: * n u 0, n ≠ ∀ ∈ ¥ ; n 2 n * n 1 n+1 n 1 n u ( 2) 3 2 , u 3 ( 2) 3 n + + + − = × = − ∀ ∈ − ¥ . 0,25 Vậy (u n ) là một cấp số nhân, với u 1 = 4 3 và công bội 2 3 q = − . 0,25 Ta có: n n 1 2 n 1 1 q 4 2 u u u u 1 1 q 5 3   −   + + ×××+ = = − −  ÷  ÷  ÷ −     ; 0,25 Do đó: n 1 2 n 4 2 4 lim(u u u ) lim 1 5 3 5     + + ×××+ = − − =  ÷  ÷  ÷     (vì n 2 lim 0 3   − =  ÷   ). Chú ý: Học sinh có thể giải như sau: Do |q| = 2/3 < 1 nên (u n ) là một cấp số nhân lùi vô hạn, do đó: 1 1 2 n 1 2 n u 4 lim(u u u ) u u u 1 q 5 + +×××+ = + +×××+ +×××= = − 0,25 b Cho hàm số 1 1 ˆ , 0 ( ) ( ) ˆ , 0 x ne u x f x m x m ne u x  − − ′ ≠  = ∈   ′ =  ¡ . Xác định m để hàm số có đạo hàm tại điểm 0x = . Khi đó tính đạo hàm của hàm số f tại điểm 0x = . 1,0 đ Để hàm số có đạo hàm tại điểm x = 0 thì điều kiện cần là nó phải liên tục tại điểm đó, tức là 0 lim ( ) (0) x f x f → = . 0,25 f(0) = m; 0 0 0 1 1 1 1 lim ( ) lim lim 2 1 1 x x x x f x x x → → → − − − = = = − − + Vậy khi 1 2 m = − thì hàm số liên tục tại điểm x = 0. 0,25 Lúc đó , ta có: 1 1 ˆ , 0 ( ) 1 ˆ , 0 2 x ne u x x f x ne u x  − − ′ ≠   =   ′ − =   . 2 0 0 0 1 1 1 ( ) (0) 2 1 2 2 lim lim lim 0 2 x x x x f x f x x x x x x → → → − − + − − + − = = − 0,25 2 2 0 0 4(1 ) ( 2) 1 1 lim lim 8 2 (2 1 2) 2(2 1 2) x x x x x x x x x → → − − − − = = = − − − + − − + . Vậy 1 2 m = − thì hàm số có đạo hàm tại điểm 0x = và 1 '(0) 8 f = − . 0,25 6.b Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (AB'C') và (AC'D'). 1,0 đ A B C D A ' B ' C ' D ' M Gọi M là hình chiếu vuông góc của B' lên đường thẳng AC'. Do ∆AB'C' = ∆AC'D' (c.c.c) nên D'M = B'M và D'M ⊥ AC'. Suy ra AC' ⊥ mp(B'MD'). Do đó góc α giữa hai mp(AB'C') và mp(AC'D') bằng góc giữa hai đường thẳng B'M và D'M. 0,25 Tính · ' 'B MD ? Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 ' ' ' ' 2 2B M AB B C a a a = + = + = 2 2 2 2 ' ' 3 a B M D M⇒ = = 0,25 · · 2 2 2 2 0 2 2 4 2 2 ' ' ' 1 3 cos ' ' ' ' 120 4 ' 2 3 a a B M B D B MD B MD a B M − − = = − ⇒ = 0,25 Vậy · 0 0 180 ' ' 60B MD α = − = . 0,25 Lưu ý:  Phần riêng: Nếu là học sinh các lớp 11B(9,10) thì được chọn tùy ý một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2) , còn học sinh các lớp 11A(1,2,3) bắt buột làm phần dành cho học sinh học chương trình nâng cao.  Học sinh có thể giải bằng các cách khác nhau, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng với thang điểm của ý và câu đó.  Thang điểm đề 2 tương tự. . d: 1 y = - 1 3 x + . Hết ĐÁP ÁN & THANG ĐIỂM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II Môn: TOÁN 11 – NĂM HỌC 2009-2010 Câu Ý Nội dung Điểm 1 2,0 đ a Tìm điều kiện xác định và tính đạo hàm y' của hàm. vuông cạnh a và O là tâm của nó. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (MNPQ) và SO = a 6 6 . Gọi A là trung điểm của PQ. a) Chứng minh rằng PQ ⊥ mp(SAO). b) Tính góc giữa SN và mp(MNPQ);. x 3 3 1 khi x = 3 x x  − ≠−  +  −  gián đoạn tại x = −3 Câu 3: hình chóp đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 2 , M là trung điểm AB và O là tâm của đáy. a) Chứng minh: SM ⊥ CD.