ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH GVHD : Nguyễn Văn Phú Lớp : BK10HTD Nhóm : 2 Trưởng nhóm : Phạm Hoàng Thái TP. Hồ Chí Minh,ngày 05 tháng 12 năm 2011 Phương Pháp Tính LỜI NÓI ĐẦU Đầu tiên nhóm xin trân trọng gởi lời cảm ơn chân thành đến giảng viên Nguyễn Văn Phú. Người đã tạo điều kiện để nhóm có cơ hội rèn luyện bản thân và nắm vững kiến thức hơn thông qua bài tập lớn. Theo đà phát triển của máy tính điện tử, xu hướng mô hình hóa và mô phỏng bằng máy tính đã trở thành một trong những kỹ thuật chủ đạo của các ngành khoa học kỹ thuật và kinh tế. Điều này đòi hỏi việc xây dựng những thuật toán đơn giản, hiệu quả, giải đến kết quả bằng số các bài toán thực tế khác nhau. Đó cũng là mục tiêu của môn học phương pháp tính giảng, dạy ở các trường đại học kỹ thuật. Bài tập lớn này dựa trên giáo trình môn phương pháp tính được giảng dạy tại đại học bách khoa tp.HCM. Nó bao gồm cơ sở lý thuyết, một số bài tập và bài giải được chúng tôi tổng hợp và trình bày một cách ngắn gọn, súc tích nhưng đầy đủ các khái niệm cốt lõi. Nó giúp sinh viên rèn luyện các kỹ năng tổng hợp các kiến thức đã học, kỹ năng làm việc nhóm qua đó có thể trao đổi cũng cố kiến thức của bản thân, rèn luyện tính tự chủ và tinh thần trách nhiệm trong công việc. Mặc dù đã cố gắng, tuy nhiên thiếu sót là điều không thể tránh khỏi. Mong nhận được ý kiến đóng góp để nhóm có thể hoàn thiện hơn. TP.HCM, ngày 05/12/2011 Phương Pháp Tính GVHD : Nguyễn Văn Phú Nhóm SV thực hiện : nhóm 2 1 410BK273 Phạm Hoàng Thái 2 410BK177 Trương Lê Minh 3 410BK046 Nguyễn Tấn Đạt 4 410BK146 Nguyễn Việt Linh 5 410BK019 Đổ Quốc Công 6 410BK107 Võ Doãn Quốc Huy 7 410BK184 Trần Sơn Nam 8 410BK233 Phạm Thảo Quyên 9 410BK354 Nguyễn Minh Tuyền 10 410BK301 Huỳnh Diễm Thúy 11 410BK Huỳnh Hoàng Thanh Phong Lớp BK10HTD TP.HCM, ngày 05 tháng 12 năm 2011 Phương Pháp Tính CHƯƠNG I SAI SỐ VÀ SỐ GẦN ĐÚNG  Sai số Độ sai lệch giữa giá trị gần đúng và giá trị chính xác được gọi là sai số. Số a được gọi là số gần đúng của số chính xác A,ký hiệu a≈A,nếu a khác A không đáng kể ,được thay thế cho A.Khi đó ∆= được gọi là sai số thật sự của số gần đúng a.Vì không biết giá trị của A ta ước lượng 1 đại lượng ∆ a thoả điều kiện: (1.1) Được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a. − Từ (1.1) => a-∆ a ≤A≤A+ ∆ a (1.2) Hay : A= a±∆ a • Sai số tương đối của số gần đúng a so với A là đại lượng δ a .Được tính theo công thức: δ = = • Công thức tổng quát: Ta có:y = f(x 1 ,x 2 ,…,x n ) Gọi , và x i ,y i i= 1,2…n là các giá trị chính xác và giá trị gần đúng của đối số và hàm số.Nếu f khả vi liên tục thì : Vì liên tục và ∆ x bé ,ta có : Phương Pháp Tính Là công thức tính sai số tuyệt. − Từ 1.3 và 1.4 ta có 2 trường hợp: ∗Trường hợp 1: y=f(x 1 ,x 2 ,…x n )= x 1 ±x 2 ±…x n *Trường hợp 2: y=f(x 1 ,x 2 ,…x n )=x 1 x 2 …x n  .Cách viết số gần đúng − Bất kì một số thập phân a nào cũng có thể viết dưới dạng: − Để làm tròn đến chữ số k sau dấu chấm thập phân , ta xét chữ số thứ k+1 là α k+1 , α k+1 ≥5,ta tăng α k lên một đơn vị. α k+1 < 5 giữ nguyên chữ số α k − Sau đó bỏ phần đuôi từ chữ số α k+1 trở đi .Sai số thực của so với a được gọi là sai số làm tròn. Sai số tuyệt đối của so với A: Phương Pháp Tính Cho aA với sai số tuyệt đối ∆a được gọi là đáng tin nếu: ∆a≤ Ngược lại α k dược gọi là không đáng tin. Bài Tập chương I Bài tập 1: Cho a = 1.85 với sai số tương đối a =0.12%. Tính sai số tuyệt đối của a. Giải: Ta có: a = => Bài tập 6:Cho hàm 3 5 2x 2 và x = 1.2340.00015. Tính f . Phương Pháp Tính Giải Ta có: =15x 4 -4x =1 = =0.00596 CHƯƠNG II PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN I. Bài toán Mục đích của chương này là tìm nghiệm gần đúng của pt: f(x)=0 (2.1) liên tục trong khoảng duy nhất nghiệm của phương trình (2.1) được gọi là khoản cách ly nghiệm .Ta được f(a).f(b) ≤ 0.Để tìm nghiệm của phương trình (2.1) ta tiến hành theo 2 bước: − B 1 .Tìm tất cả các khoản cách ly nghiệm . − B 2 .Trong từng khoản cách ly nghiệm tìm nghiệm gần đúng của phương trình bằng một phương pháp nào đó với sai số cho trước. Phương Pháp Tính  Định lý 2.1 Nếu hàm f(x)liên tục trên đoạn và giá trị của hàm trái dấu tại 2 đầu mút thì phương trình f(x)=0 có nghiệm trên nếu f(x) đơn điệu thì nghiệm là duy nhất. Có 2 cách tìm khoảng cách ly nghiệm: + phương pháp giải tích. +Phương pháp đồ thị.  Định lý 2.2 Giả sử hàm f(x) liên tục trên khả vi trong . Nếu x* là nghiệm gần đúng của nghiệm chính xác trong và ,. Thế thì ta có công thức đánh giá sai số tổng quát sau đây: II. Phương pháp chia đôi Xét phương trình f(x)=0 có nghiệm chính xác trong khoản cách ly nghiệm và f(a).f(b)<0.Ta đặt; Tính giá trị f() Nếu f(x o )= 0.Thì x 0 chính là nghiệm cần tìm: − Nếu f(x o ).f(a o ) < 0.Ta đặt − Nếu f(x o ).f(b o )<0 .Ta đặt: Tính f(x 1 ) ta lặp lại bước 2. Phương Pháp Tính III. Phương pháp lặp đơn Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)= 0 (2.2) trong đoạn cách ly nghiệm [a,b]. Chuyển phương trình f(x)= 0 về phương trình dạng tương đương trong [a,b] g(x) = (x) (2.3) − Chọn một giá trị x 0 [a.b] tuỳ ý,xây dựng dãy lặp theo công thức lặp − Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) điểm bất động của hàm g(x).  Định nghĩa 2.1 Hàm f(x) được gọi là hàm co trong đoạn [a,b] nếu tồn tại một số q : , q gọi là hệ số co,sao cho:  Định lý 2.3 Nếu f(x) là hàm co trên [a.b] thì nó liên tục trên đó.  Định lý 2.4 Nếu hàm g(x): • Liên tục trên [a,b] • Khả vi trong (a,b) • Thì g(x) là hàm co trên [a,b]với hệ số co là q.  Định lý 2.5 (Nguyên lý ánh xạ co) Phương Pháp Tính Giả sử g(x)là hàm co trên đoạn [a,b] với hệ số co là q. Đồng thời , g (x) [a,b].Khi đó với mọi giá trị ban đầu trong [a,b) dãy lặp .Xác định theo công thức : sẽ hội tụ về nghiệm duy nhất của phương trình g(x)=x .Ta có công thức đánh giá sai số : Hay: IV. Phương pháp Newton (Phương pháp trực tiếp)  Định lý 2.6 Giả sử hàm f(x) có đạo hàm cấp (II) liên tục và các đạo hàm (x) không thay đổi dấu trên [a,b].Nếu các đạo hàm cấp một và cấp hai cùng dấu thì chọn x o = b ngược lại chọn x o = a.Khi đó nghiệm của phương trình f(x) =0 được viết theo công thức : Ta có công thức đánh giá sai số : Với V. Phương pháp dây cung Cho phương trình f(x)= 0 .Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)= 0,giả sử f(x) liên tục trên khoảng cách ly nghiệm [a,b]. Đạo hàm cấp 2 liên tục f’(x),f’’(x) không đổi dấu và f’’(x) > 0 trên [a,b].Khi đó nghiệm gần đúng được tính: [...]... giá sai số của phương pháp chia đôi Bài Làm Đặt *đặt: *đặt: *đặt: *đặt: *đặt: Vậy Phương Pháp Tính xét1,275 Bài tập 3: sử dụng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng với sai số nhỏ hơn của các phương trình sa: Bài Làm Câu a: Đặt: * đặt : * đặt : *đặt : Phương Pháp Tính *đặt : *đặt : *đặt : b) = 0 Đặt: | f( Đặt : | f( trong đoạn [0,5: 1,5] Phương Pháp Tính Đặt : | f(... 1,2,… n Bài Tập chương III Câu 10: lặp lại bài tập 9 sử dụng phương pháp Gauss – Seidel a) b) c) d) BÀI LÀM a) Phương pháp Gauss – Seidel m 0 1 2 3 4 5 || ||∞ 0 0,25 0,13828 0,14636 0,11058 0,11210 0 -0,09375 -0,01402 -0,15502 -0,14212 -0.14440 0 0,35313 O,40056 0,40259 0,40946 0,40999 0,35313 0,04743 0,17678 0,03578 0,00052 Phương Pháp Tính Nên :0,11273, -0,14427, 0,40979) 21x10-4 Phương pháp Gauss... f( Phương Pháp Tính Đặt : | f( Đặt : | Phương Pháp Tính CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH I Phương Trình Gausse Xét hệ phương trình ở dạng A.X = B A= = A: Gọi là ma trận hệ số của hệ • X : Gọi là ma trận ẩn số • B: Gọi là ma trận cột  Các phép biến đổi sơ cấp: − Nhân 1 hàng cho 1 số khác 0 − Đổi chỗ n hàng cho nhau − Cộng hàng với 1 hàng khác sau khi đã nhân với 1 số khác 0 II Phương pháp. .. chuẩn ||.|| của ma trận A Ta có: Số điều kiện của ma trận đặc trưng cho tính ổn định của hệ trong phương trình hệ số tuyến tính IV Các Phương Pháp Lặp: Kỹ thuật lập dùng để giải phương trình đại số tuyến tính Ax = b.Ta chuyển phương trình Ax = b về dạng tương đương x = Tx +C.T là ma trận vuông cấp n,C là 1 vecto đã biết Phương Pháp Tính Ta xây dựng dãy các vecto {x(m) theo công thức : X(m) = T x(m-1)... nhiên Bước 1: Tính Bước 2: Tính Bước 3: xây dựng hàm nội suy spline bậc ba tự nhiên g(x) cần tìm Phương Pháp Tính Bài Tập 12.Tìm hàm f(x) xấp xỉ các bảng số sau: x 1 2 3 4 5 6 7 y 1.1 2.4 2.5 3.7 4.1 4.8 5.9 14 15 16 17 8.34 9.24 a) f(x)=A + B(x) x 11 12 13 y 2.15 3.45 4.56 6.34 7.12 40 50 b) f(x)=A + B(x) x 30 35 45 c) y 2.45 4.35 8.34 12.56 f(x) = A + B(x) +Cx2 22.14 Phương Pháp Tính Bài Làm x 1 2... 8.9924 = = 59.1124 Áp dụng công thức hình thang ta có: ⟹ I = = h() = (0.6248 0.15210 ) I= Phương Pháp Tính CHƯƠNG VI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN I BÀI TOÁN CAUCHY; Xét một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng của một dạng bài toán của phương trình vi phân thướng có nhiều ứng dụng trong thực tế.Đó là bài toán Cauchy hay còn gọi là bài toán với điều kiện ban đầu (6.1) Với y=y(x) là hàm cần tìm,khả vi trên đoạn [a,b],.. .Phương Pháp Tính Nếu f(a) > 0,ta xay dựng dãy lặp theo công thức: Nếu f(a) < 0,ta xây dựng dãy lặp theo công thức: Công thức đánh giá sai số: Bài Tập chương II Câu 2: sử dụng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng ở lầm lăp thứ 5(x5 ) của phương trình – =0 trong [0,1] Sử dụng công thức Phương Pháp Tính đánh giá sai số tổng quát, tính... trên U,tức PA = LU • Nội dung của phương pháp: Phân tích A thành LU , L là ma trận tam giác dưới  L= U= A.X = B => LU.X = B Phương Pháp Tính a)  Phương Pháp Doolittle Là ma trận L có đường chéo chính bằng 1 Khi đó : A = L.U với L = và U = Các phần tử của 2 ma trận L và U được xác định theo công thức sau: U1j = a1j 1 • Li1 = 2 • Uij = aij – ( • lij = (aij Phương Pháp Crout • b) Là trường hợp ma trân... tính tích phân ,chúng ta đưa về tích phân trên đoạn [-1,1] bằng phép đổi biến sau: Phương Pháp Tính Khi đó Người ta chứng minh được rằng sai số của công thức Gauss (5.7) được tính theo công thức sau Bài Tập 2 Sử dụng công thức hình thang với giá trị n đã chỉ ra để xấp xỉ những tích phân sau đây: a), n=4 Phương Pháp Tính Ta có: h = = = • • • • • • • • • • X0 = 1 X1 = X0 + k.h = 1 + = 1.25 X2 = X0 + k.h... 0,05765 Phương Pháp Tính 5 6 7 8 9 -0,7815 -0,7902 -0,79421 -0,79606 -0,797 2,78039 2,78842 2,79212 2,79383 2.79469 -0,2667 -0,26246 -0,2605 -0,2596 -0,25916 -2,25334 -2,2525 -2,2521 -2,25192 -2,25183 0,01887 0.00119 0,00196 0,00185 0,00076 Vậy : 69x Phương pháp Gauss - seidel ChọnT m 0 1 2 3 Vậy: =0 || 0 0,5 0,625 0,625 0 0,375 0,375 0,375 0 0,125 0,125 0.125 0 -0,125 -0,125 -0,125 0,5 0,125 0 Phương Pháp . HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH GVHD : Nguyễn Văn Phú Lớp : BK10HTD Nhóm : 2 Trưởng nhóm : Phạm Hoàng Thái TP. Hồ Chí Minh,ngày 05 tháng 12 năm 2011 Phương Pháp Tính LỜI NÓI. bằng số các bài toán thực tế khác nhau. Đó cũng là mục tiêu của môn học phương pháp tính giảng, dạy ở các trường đại học kỹ thuật. Bài tập lớn này dựa trên giáo trình môn phương pháp tính được. Tính ?@%  I J( ?@%  I J( ?@%  I J( Phương Pháp Tính ?@%  I J( ?@%  I Phương Pháp Tính CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH I. Phương Trình Gausse. Xét hệ phương trình ở dạng A.X