TRƯỜNG THPT YÊN THÀNH 2 KỲ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2010-2011 MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. a)Anh (chị) hãy nêu phương pháp chung để giải một bài toán? Lấy ví dụ minh hoạ. b)Anh (Chị) hãy cho biết: Lời giải của một bài toán cần có những yêu cầu nào? Câu 2. Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a; AC = BD = b; AB = CD = c. Đặt , , α β γ theo thứ tự là góc giữa: BC và AD, AC và BD, AB và CD. Chứng minh rằng trong các số 2 2 2 os , os , osa c b c c c α β γ có một số hạng bằng tổng của hai số hạng còn lại. (Bài 24 - SBT hình học 11 nâng cao, chương III) Anh (Chị) hãy giải bài toán trên và nêu cách hướng dẫn học sinh tìm lời giải. Câu 3. Cho dãy (u n ) với 2 2 2 2 n u = + + + + ( n căn). Chứng minh rằng (u n ) là dãy số tăng và bị chặn. a)Anh (Chị) hãy nêu 2 cách định hướng để học sinh tìm lời giải bài toán trên và trình bày một cách giải. b)Khái quát hoá bài toán trên và trình bày lời giải. Câu 4. Tìm m để pt sau có nghiệm: 2 2 2 2x x x x m+ + − − + = -Hết- TRNG THPT YEN THNH 2 Kè THI CHN GIO VIấN DY GII TRNG NM HC 2010-2011 HNG DN CHM THI CHNH THC Mụn: Toỏn (Hng dn chm ny gm cú 03 trang) Câu Ni dung i m 1a (4đ) -Phơng pháp chung để giải bài toán: Có 4 bớc 1.Tìm hiểu nội dung đề bài 2.Tìm lời giải 3.Trình bày lời giải 4.Nghiên cứu sâu lời giải -Nói đợc cụ thể từng bớc -Ví dụ minh hoạ đúng 1đ 1đ 1đ 1b (2đ) Các yêu cầu về lời giải của một bài toán -Kết quả đúng, kể cả các bớc trung gian -Lập luận chặt chẽ -Lời giải đầy đủ -Ngôn ngữ chính xác -Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật 2 2 (4đ) Ta có 2 . . .cos( , ) .cos( , )AB CD AB CD AB CD c AB CD= = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur (1) 2 . . .cos( , ) .cos( , )AC BD AC BD AC BD b AC BD= = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur (2) 2 . . .cos( , ) .cos( , )AD BC AD BC AD BC a AD BC= = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur (3) Mặt khác 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . ( ) . . [( ) ( )] 2 AB CD AC CB CD CB CD CD CA a c b b c a a b= + = = + + = uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur (4) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . ( ) . . [( ) ( )] 2 AC BD AB BC BD BD BC BD BA a b c b c a a c= + = = + + = uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur (5) 0,5 0,5 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . ( ) . . [( ) ( )] 2 AD BC AB BD BC BC BD BC BA a b c a c b b c= + = = + + = uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur (6) Từ (1), (4 suy ra 2 2 2 .cos( , )c AB CD a b= uuur uuur (7) Từ (2), (5) suy ra 2 2 2 .cos( , )b AC BD a c= uuur uuur (8) Từ (3), (6) suy ra 2 2 2 .cos( , )a AD BC b c= uuur uuur (9) Vì , , theo th t l gúc gia: BC v AD, AC v BD, AB v CD nên từ (7), (8), (9) ta có 2 2 2 .cosc a b = ; 2 2 2 .cosb a c = ; 2 2 2 .cosa b c = suy ra 2 2 2 .cos cos cosb a c = + (ĐPCM) +Nêu cách hớng dẫn phù hợp 0,5 0,5 2 3a (4đ) Định h ớng 1: Định h ớng 2: -Trình bày một cách giải 1,5 1,5 1 3b (3đ) -Khái quát đ ợc bài toán Cho dóy (u n ) vi n u a a a a= + + + + ( n cn), a>0. Chng minh rng (u n ) l mt dóy s tng v l dóy b chn. -Trình bày lời giải +Chứng minh dãy số tăng Ta chứng minh u n+1 > u n (1) với mọi n Với n = 1 thì u 2 > u 1 Giả sử (1) đúng với n = k hay u k+1 > u k , ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1, do u k+1 > u k <=> a+u k+1 > a + u k <=> 1k k a u a u + + > + <=> u k+2 > u k+1 Vậy (u n ) là dãy số tăng. +Chứng minh dãy bị chặn Do (u n ) là dãy số tăng nên bị chặn dới, ta sẽ chứng minh (u n ) bị chặn trên bằng cách chứng minh * 1 2 n u a n N< + (2) Ta thấy, 1 1 2u a a= < + Giả sử (2) đúng với n = k, hay 1 2 k u a< + với k > 1, ta sẽ chứng minh (2) đúng với n = k + 1, Theo giả thiết quy nạp ta có 2 1 1 2 1 2 (1 ) 1 1 2 1 2 k k k k u a a u a a a a u a a u a + < + + < + + = + + < + < + < + Vậy dãy (u n ) là dãy bị chặn 1 1 1 4 (3®) Xét hàm số 2 2 ( ) 2 2f x x x x x= + + − − + có tập xác định là D=R có: ( ) ( ) + − = − ⇒ = ⇔ + + − + + − + = − + +     ⇒ + + = − + + ⇔ =  ÷  ÷     2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 '( ) ' 0 2 2 2 2 (2 1) 2 2 1 2 (1) 1 1 7 1 1 7 [( - ) ] [( ) ] 0 thay vào (1)ta thấy không 2 2 4 2 2 4 1 thỏa mãn. Vậy f'(x)=0 vô nghiệm, mà f'(0)= >0, d 2 x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x → ∞ → ∞ →−∞ ∀ ∈ = = − + + + − + ⇔ < < 2 2 x + x + o đó f'(x)>0 x 2 Mặt khác: Lim ( ) = Lim 1; Lim ( ) 1 2 2 Vậy pt đã cho có nghiệm -1 1 x R x f x f x x x x x m 1,5 1,5 . TRƯỜNG THPT YÊN THÀNH 2 KỲ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2010-2011 MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. a)Anh (chị) hãy. nghiệm: 2 2 2 2x x x x m+ + − − + = -Hết- TRNG THPT YEN THNH 2 Kè THI CHN GIO VIấN DY GII TRNG NM HC 2010-2011 HNG DN CHM THI CHNH THC Mụn: Toỏn (Hng dn chm ny gm cú 03 trang) Câu Ni dung i m 1a (4đ) -Phơng. bằng tổng của hai số hạng còn lại. (Bài 24 - SBT hình học 11 nâng cao, chương III) Anh (Chị) hãy giải bài toán trên và nêu cách hướng dẫn học sinh tìm lời giải. Câu 3. Cho dãy (u n ) với 2 2