UBND HUYỆN PHÙ MỸ ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN PHỊNG GD - ĐT Năm học: 2010- 2011 - Mơn: Tốn Ngày thi: 07/10/2010 ĐỀ CHÍNH THỨC: Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng tính thời gian phát đề) Câu 1: ( 3 điểm ) Tìm số ngun m để 2 2010m m+ + là số ngun. Câu 2: ( 2,5 điểm) Tìm số tự nhiên có ba chữ số abc sao cho: ( ) 2 2 abc = n - 1 cba = n - 2      (n ∈ N) Câu 3: (2,5 điểm) Giải phương trình : 3 2 2 3 2 x x x x − + = − Câu 4: (3,0 điểm) : Cho a,b,c là ba số dương thoả mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng 2 2 2 3 1 1 1 2 a b c b c a + + ≥ + + + Câu 5 : (3.0 điểm) Cho x,y dương thỏa : x+y= 2009 2010 . Tìm GTNN của S = 2008 x + 1 2008y Câu 6: (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có · · 0 90ADC DCB+ = và AD = BC, CD = a, AB =b. Gọi I, N, J, M là trung điểm lần lượt của các cạnh AB, AC, CD và BD, S là diện tích của tứ giác INJM. Chứng minh rằng: 2 ( ) 8 a b S − ≥ . Dấu bằng xảy ra khi nào ? Câu 7: (3,0 điểm) Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó. UBND HUYỆN PHÙ MỸ HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GD - ĐT ĐỀ THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN Năm học 2010 – 2011 - Môn : Toán Câu 1: (3,0 điểm): Giả sử m 2 + m + 2010 = k 2 ( k ∈ N ) ⇔ 4m 2 + 4m + 8040 = 4 k 2 (0,5 đ) ⇔ 4k 2 – ( 2m – 1) 2 = 8039 ⇔ ( 2k – 2m – 1)( 2k + 2m + 1) = 8039(0,5 đ) Vì 8039 là số nguyên tố nên 8039 = 1 . 8039 (0,5 đ) Xét hai khả năng xảy ra : 2 2 1 8039 2010 2 2 1 1 2009 k m k k m m + + = =   ⇔   − − = =   (0,5 đ) 2 2 1 1 2010 2 2 1 8039 2010 k m k k m m + + = =   ⇔   − − = = −   (0,5 đ) Vậy: m = { } 2009; 2010− (0,5 đ) Câu 2: ( 2,5 điểm) Ta có: abc = 100a + 10b + c = n 2 – 1 (1) cba = 100c + 10b + a = n 2 – 4n + 4 (2) (0,5 đ) Lấy (1) – (2): 99(a – c) = 4n – 5 ⇒ 4n – 5 M 99 (0,5 đ) Mà 100 ≤ n 2 – 1 ≤ 999 ⇒ 101 ≤ n 2 ≤ 1000 ⇒ 11 ≤ n ≤ 31 (0,75 đ) ⇒ 39 ≤ 4n – 5 ≤ 119 Kết hợp với điều kiện 4n – 5 M 99 suy ra 4n – 5 = 99 ⇒ n = 26 (0,75 đ) Vậy số abc = 675 Câu 3: ( 2,5 điểm) ĐK: 2 3 x > (0,25 đ) Áp dụng BĐT 2 a b b a + ≥ với a>0, b>0 (0,75 đ) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b Với 2 3 x > thì 3 2 2 3 2 x x x x − + = − (0,5 đ) 2 1 2 3 2 3 2 0 ( 1)( 2) 0 1; 2( ) x x x x x x x x TM ⇔ = − ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ = = (0,5 đ) (0,5 đ) Vậy tập nghiệm : { } 1;2 Câu 4: (3,0 điểm) 2 2 2 3 1 1 1 2 a b c b c a + + ≥ + + + (1) (1) < => (a+b+c) –( 2 2 2 ) 1 1 1 a b c b c a + + + + + ≤ 3 3 2 − (0,75 đ) => 2 2 2 1 1 1 (1 ) (1 (1 ) 1 1 1 a b c b c a − + − + − + + + ≤ 3 2 (1,0 đ) Mặt khác 1+b 2 ≥ 2b; 1+c 2 ≥ 2c; 1+a 2 ≥ 2a Nên: 2 2 2 1 1 1 (1 ) (1 (1 ) 1 1 1 a b c b c a − + − + − + + + = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ab bc ca b c a + + ≤ + + + 1 ( ) 2 ab bc ca+ + (0,5 đ) Mà ab+bc+ca ≤ (a 2 +b 2 +c 2 ) nên 3(ab+bc+ca) ≤ (a+b+c) 2 = 9 => ab+bc+ca ≤ 3 (0,5 đ) Vậy ta suy ra điều cần chứng minh . Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c =1 (0,25 đ) Câu 5: (3,0 điểm) Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky , ta có : ( ) 2 2 2008 1 2008 1 . . 2008 2008 1 1 2008 2010 2008 2008 x y x y x y x y     + + ≥ +  ÷  ÷  ÷       = + =  ÷  ÷   (1,5đ) Suy ra : 1 2009 1 2010 : 2011 2008 2010 1004 s ≥ = (0,5đ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 2008 2008 2008 1 2010 2009 2008 1 2010 2009 2010 2010 y x x y x x y x y y x y  =   = =       ⇔ ⇔    + =    =     + =   (0,75đ) Vậy MinS = 1 2011 1004 đạt được khi 2008 2010 x = ; 1 2010 y = (0,25đ) Câu 6: (3,0 điểm) - Lập luận được tứ giác INJM là một hình thoi (0,5 đ) - Dựavào giả thiết · · 0 90ADC DCB+ = , lập luận tiếp tứ giác INJM là một hình vuông (0,5 đ) - Suy ra: 2 1 2 S MN= (0,5 đ) - Gọi P là trung điểm của AD, chứng minh được: 2 a b MN PN PM − ≥ − = (0,5 đ) Kết luận được: 2 2 1 ( ) . 2 2 8 a b a b S − −   ≥ =  ÷   (0,5 đ) - Nêu được dấu bằng xảy ra khi MN PN PM= − hay P, M, N thẳng hàng, tức là tứ giác ABCD là một hình thang. (0,5 đ) Câu 7: (3,0 điểm) Giả sử ngũ giác ABCDE thỏa mãn đk bài toán Xét ∆BCD và ECD và S BCD = S ECD (0,25 đ) đáy CD chung, các đường cao hạ từ. B và E xuống, CD bằng nhau => EB//CD, (0,5 đ) Tương tự AC// ED, BD //AE, CE // AB, DA// BC A B C E D I Gọi I = EC ∩ BD => ABIE là hình bình hành. (0,5 đ) => S IBE = S ABE = 1. §Æt S ICD = x < 1 (0,25 đ) => S IBC = S BCD - S ICD = 1-x = S ECD - S ICD = S IED (0,5 đ) L¹i cã IBE IBC IDE ICD S S IE IC S S == hay 1 1 1 x x x − = − => x 2 - 3x + 1 = 0 => x = 2 53± do x < 1 => x = 2 53 − . (0,5 đ) VËy S IED = 2 15 − (0,25 đ) Do ®ã S ABCDE = S EAB + S EBI + S BCD + S IED = 3 + 2 15 − = 2 55 + (0,25 đ) * Ghi chú: Mọi cách giải khác đúng và lập luận chặt chẽ đều đạt điểm tối đa. . UBND HUYỆN PHÙ MỸ ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN PHỊNG GD - ĐT Năm học: 2010- 2011 - Mơn: Tốn Ngày thi: 07/10/2010 ĐỀ CHÍNH THỨC: Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng tính thời gian phát đề) . của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó. UBND HUYỆN PHÙ MỸ HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GD - ĐT ĐỀ THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN Năm học 2010 – 2011 - Môn : Toán Câu 1:. (2): 99 (a – c) = 4n – 5 ⇒ 4n – 5 M 99 (0,5 đ) Mà 100 ≤ n 2 – 1 ≤ 99 9 ⇒ 101 ≤ n 2 ≤ 1000 ⇒ 11 ≤ n ≤ 31 (0,75 đ) ⇒ 39 ≤ 4n – 5 ≤ 1 19 Kết hợp với điều kiện 4n – 5 M 99