Đang tải... (xem toàn văn)
Trình bày một cách tổng quan điều kiện tối ưu cho một số lớp bài toán tối ưu hai cấp quan trọng.
ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU HAI CẤP NGUYỄN LÊ DUY (Học viên Cao Học khóa 16) NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. NGUYỄN ĐỊNH (Trường Đại Học Quốc Tế TP. HCM) TP.Hồ Chí Minh - Năm 2009 Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới PGS. TS. NGUYỄN ĐỊNH, người Thầy đã tận tình chỉ dẫn và truyền đạt kiến thức trong quá trình học tập và luôn động viên để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn tới tất cả các Thầy cô của Khoa Toán-Tin trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM đã giảng dạy tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn gia đình đã tạo điều kiện tốt cho việc học của tôi và bạn bè đã hỗ trợ trong việc hoàn thành luận văn này. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2009 Nguyễn Lê Duy 1 Lời nói đầu Bài toán tối ưu hai cấp (Bilevel Optimization Problem) lần đầu tiên được H.V.Stackelberg nghiên cứu vào năm 1934. Sau đó nó chính thức được giới thiệu trong cộng đồng tối ưu vào thập kỷ 70 của thế kỷ thứ 20. Bài toán phát triển rất nhanh chóng cả trong lý thuyết và ứng dụng thực tế. Các nhà toán học, nhà kinh tế học và những kỹ sư đã và đang không ngừng phát triển vấn đề này cùng với đó là số lượng các bài báo, tạp chí khoa học, ứng dụng trong kinh tế kỹ thuật xuất hiện ngày càng nhiều hơn. Bài toán tối ưu hai cấp là một bài toán tối ưu có cấp bậc trong đó một phần các ràng buộc của bài toán - được gọi là bài toán cấp trên (upper level problem) là tập nghiệm tối ưu của một bài toán tối ưu thứ hai - được gọi là bài toán cấp dưới (lower level problem). Do đó bài toán này là một bài toán rất phức tạp. Tuy nhiên trong thực tế có rất nhiều bài toán có mô hình toán học là bài toán tối ưu hai cấp. Hơn nữa bài toán tối ưu hai cấp có mối liên hệ chặt chẽ với những bài toán quan trọng khác, một trong số đó là bài toán MPECs (Mathematical Programs with Equilibrium Constraints) - là bài toán mở rộng của bài toán đó, cũng có ứng dụng rộng rãi trong giao thông, điều khiển robot, hệ thống mạng,. . . Đối với bài toán tối ưu hai cấp, các nhà toán học nghiên cứu nhiều vấn đề: sự tồn tại nghiệm, điều kiện tối ưu, các thuật toán,. . . Một vấn đề lớn trong việc nghiên cứu bài toán này là điều kiện tối ưu của nó. Luận văn này trình bày một cách tổng quan điều kiện tối ưu cho một số lớp bài toán tối ưu hai cấp quan trọng, bao gồm lớp bài toán trơn, lớp bài toán lồi và tuyến tính, lớp bài toán lipschitz. Cấu trúc chính của luận văn bao gồm bốn chương. Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản sẽ sử dụng cho các chương sau. Chương 2 giới thiệu bài toán tối ưu hai cấp tổng quát và các mô hình các bài toán thực tế. Phần chính là điều kiện cần tối ưu sẽ trình bày ở chương 3 và chương 4 trong đó đề cập đến các lớp bài toán tối ưu hai cấp hữu hạn và bài toán tối ưu hai cấp vô hạn. 2 Mục lục Lời cảm ơn 1 Lời nói đầu 2 1 Một số kiến thức cơ bản 5 1.1 Một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Hàm Lipschitz và dưới vi phân Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Một số kiến thức cơ bản về giải tích đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Dưới vi phân, nón pháp tuyến và đối đạo hàm Mordukhovich . . . . . 16 2 Khái niệm về bài toán tối ưu hai cấp tổng quát 22 2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Mô hình các bài toán thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Điều kiện tối ưu cho bài toán hai cấp hữu hạn 33 3.1 Điều kiện tối ưu khi bài toán cấp dưới lồi . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Điều kiện tối ưu sử dụng dưới vi phân Mordukhovich . . . . . . . . . 49 3.3 Điều kiện tối ưu sử dụng dưới vi phân Clarke . . . . . . . . . . . . . 62 4 Điều kiện tối ưu cho bài toán hai cấp vô hạn 80 4.1 Bài toán hai cấp vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.2 Điều kiện tối ưu cho bài toán DC vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.3 Điều kiện tối ưu cho bài toán hai cấp vô hạn . . . . . . . . . . . . . . 87 3 4.4 Điều kiện cần và đủ cho bài toán hai cấp lồi đơn giản . . . . . . . . . 93 Kết luận 99 Tài liệu tham khảo 101 4 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản 1.1 Một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi (1) Tập lồi và hàm lồi Giả sử X là không gian vectơ. Định nghĩa 1.1.1 [1] Tập K ⊆ X là lồi nếu ∀x, y ∈ K, ∀λ ∈ [0, 1], λx + (1 − λ)y ∈ K. Với K = ∅, bao lồi của K, ký hiệu là co(K), là tập tất cả các tổ hợp lồi hữu hạn của K, tức là co(K) := { i∈I α i x i |α i ≥ 0, x i ∈ S, ∀i ∈ I; i∈I α i = 1, | I |< ∞}. Như vậy, bao lồi của K là tập lồi nhỏ nhất chứa K. Định nghĩa 1.1.2 [1] Cho hàm số f : X → R. Khi đó f được gọi là hàm lồi nếu ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1], λf (x) + (1 − λ)f (y) ≥ 0. Cho X, Y là các không gian vectơ. S là nón lồi trong Y . Định nghĩa 1.1.3 [1] Cho hàm số f : X → Y . Khi đó f được gọi là hàm S–lồi nếu 5 ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1], λf (x) + (1 − λ)f (y) − f(λx + (1 − λ)y) ∈ S. Nhận xét 1.1.1 Trường hợp f lồi là một trường hợp đặc biệt của hàm S–lồi khi S = R + . (2) Dưới vi phân của hàm lồi, đối ngẫu của hàm lồi (a) Dưới vi phân của hàm lồi Cho f là hàm số lồi, một hàm số lồi thì có thể không có đạo hàm do đó ta xét tới khái niệm sau. Chúng ta cần nêu ra vài khái niệm cơ bản: Hàm số thực mở rộng f : X → R trong đó trong đó R = R {+∞; −∞} Miền hữu hiệu (domain) domf := {x ∈ X|f(x) < ∞} và đồ thị trên (epigraph) epif := {(x, α) ∈ X × R|f(x) ≤ α}. Định nghĩa 1.1.4 [1] Cho hàm số f : X → R lồi, và X ∗ là không gian đối ngẫu của không gian vectơ X. Giả sử x o ∈ X và f(x o ) = ±∞. Khi đó dưới vi phân của hàm lồi f tại x o được xác định như sau ∂f(x o ) := {x ∗ ∈ X ∗ : x ∗ , x − x o ≤ f(x) − f(x o ), ∀x ∈ X}. (1.1) Nếu f không hữu hạn tại x thì ∂f(x o ) = ∅. Mỗi thành phần x ∗ ∈ ∂f(x o ) được gọi là dưới gradient của dưới vi phân ∂f(x o ), khi đó ∂f(x o ) còn gọi là tập các dưới gradient. Đây là định nghĩa dưới vi phân cổ điển của hàm số f. Các phần sau ta sẽ nêu các định nghĩa dưới vi phân mở rộng. (b) Đối ngẫu của hàm lồi Cho X là không gian Banach và hàm f : X → R lồi, luôn luôn proper nghĩa là f(x) = ∞ trên X. Gọi X ∗ là không gian đối ngẫu của X. 6 Định nghĩa 1.1.5 [1] Hàm đối ngẫu f ∗ : X ∗ → R của f, được xác định như sau: f ∗ (x ∗ ) := sup{x ∗ , x − f(x)|x ∈ X}. Nhận xét 1.1.2 Do f(x) = +∞(x ∈ domf) suy ra sup {x ∗ , x − f(x)|x ∈ X} luôn = ∅ nên f ∗ (x ∗ ) cũng = sup {x ∗ , x − f(x)|x ∈ domf}. Cho hàm f : X → R lồi, là proper nếu f(x) = ∞ trên X. Nhắc lại hàm đối ngẫu f ∗ : X ∗ → R đối với f, xác định bởi f ∗ (x ∗ ) := sup {x ∗ , x − f(x)| x ∈ X = sup {x ∗ , x − f(x)| x ∈ domf}. Cho hàm f : X → R lồi tại x ∈ domf và ε > 0 bất kì, thì dưới vi phân xấp xỉ của hàm f là ∂ ε f(x) := {x ∗ ∈ X ∗ | x ∗ , x − x ≤ f(x) − f(x) + ε ∀x ∈ X}, ε ≥ 0 Nếu ε = 0 thì ta có ∂ ε f(x) = ∂ o f(x) là dưới vi phân cổ điển có dạng như (1.1). (3) Bài toán quy hoạch lồi và điều kiện tối ưu (a) Bài toán quy hoạch lồi đơn giản Xét bài toán (P) : inff(x) g i (x) ≤ 0 i = 1,. . . , n x ∈ C trong đó X là không gian định chuẩn, C là tập lồi đóng trong X, f : X → R là hàm lồi, g i : X → R là hàm lồi liên tục. Một bài toán tối ưu có dạng như bài toán (P) ở trên được gọi là bài toán quy hoạch lồi đơn giản. Sau đây ta sẽ xét các điều kiện tối ưu phổ biến của bài toán này. Điều kiện tối ưu, nói đầy đủ là điều kiện tối ưu cho một số lớp bài toán tối ưu có nghiệm (nghiệm địa phương hay toàn cục). Thông thường người ta tìm được điều kiện cần, còn điều kiện đủ thì khó khăn hơn. Các dạng điều kiện phổ biến là điều kiện tối ưu dạng Fritz John và điều kiện tối ưu dạng KKT (Karush–Kuhn- Tucker). Sau đây chúng tôi xin nêu một kết quả về điều kiện tối ưu cho bài toán này. Phần chứng minh sẽ được làm rõ trong phần bài toán quy hoạch lồi tổng quát ngay sau đây. Hai điều kiện chính quy sau đây xem trong [1]. 7 Định nghĩa 1.1.6 (Điều kiện chính quy Slater) (Slater) ∃ x ∈ C, g i (x) < 0, i = 1, . . . , n và f liên tục tại x. Định lý 1.1.1 [1] (Điều kiện cần và đủ dạng KKT) Giả sử f, g i , i = 1, . . . , n và C thỏa mãn giả thiết của bài toán (P). Giả sử (Slater) thỏa mãn. Khi đó a ∈ C là nghiệm cực tiểu toàn cục của (P) khi và chỉ khi ∃(λ 1 , . . . , λ n ) ∈ R n + sao cho 0 ∈ ∂f(a) + n i=1 λ i ∂g i (a) + N C (a) λ i g i (a) = 0∀i = 1, . . . , n trong đó ∂f(x) kí hiệu cho dưới vi phân của hàm số f tại điểm x. (b) Bài toán quy hoạch lồi tổng quát Một bài toán tối ưu có dạng như bài toán sau đây được gọi là bài toán quy hoạch lồi tổng quát (P tq ) : inff(x) g(x) ∈ −S x ∈ C với giả thiết cơ bản (GTCB) sau: X, Y là các không gian định chuẩn thực, C là một tập lồi khác rỗng của X, f : X → R là hàm lồi liên tục, S là nón lồi đóng trong Y và g : X → Y là hàm S–lồi và liên tục. Mô hình bài toán này là khá tổng quát, rõ ràng khi S = R n + thì đó là bài toán ta xét ở đầu mục, ngoài ra nó còn bao quát hai dạng bài toán sau: (U) : inff(x) g i (x) ≤ 0 i = 1,. . . , n A 1 x = b 1 x ∈ C 8 trong đó A 1 ∈ L(X, R m ) và b 1 ∈ R m . Một bài toán thứ hai cũng tương tự như bài toán (U), chỉ thay A 1 x = b 1 bởi A 2 x = b 2 , và thay i ∈ {1, . . . , n} bởi i ∈ I trong đó I là tập chỉ số tùy ý, A 2 ∈ L(X, Y 2 ) với Y 2 là không gian định chuẩn và b 2 ∈ Y 2 . Ta có thể chuyển hai bài toán này về bài toán lồi tổng quát dễ dàng. Bây giờ, gọi A = {x ∈ X|x ∈ C, g(x) ∈ −S} là tập các điểm chấp nhận được của (P), rõ ràng tập A là lồi đóng trong X. Định nghĩa 1.1.7 [1] Nón đối ngẫu dương của nón lồi S, ký hiệu S + , được xác định: S + = {y ∗ ∈ Y | < y ∗ , s > ≥ 0, ∀s ∈ S} Định lý 1.1.2 ([1], Điều kiện cần tối ưu Fritz–John) Xét bài toán (P tq ) và các (GTCB) thỏa mãn và intS = ∅ và a ∈ A. Khi đó nếu a là nghiệm của (P) thì ∃λ o ∈ R + , λ ∈ S + không đồng thời bằng 0 sao cho: 0 ∈ λ o ∂f(a) + ∂(λg)(a) + N C (a) λg(a) = 0 trong đó ∂f(x) ký hiệu cho dưới vi phân của hàm số f tại điểm x. Chứng minh. Vì a ∈ A là nghiệm của (P tq ) nên hệ sau vô nghiệm theo x ∈ C : −(f(x) − f(a)) ∈ intR + , g(x) ∈ −S, x ∈ C Do vậy hệ sau vô nghiệm −(f(x) − f(a), g(x)) ∈ int(R + × S), x ∈ C, nghĩa là tồn tại λ = (λ o , λ) ∈ (R + × S) + với λ = (0, 0) sao cho λ(f(x) − f(a), g(x)) = λ 0 (f(x) − f(a)) + λg(x) ≥ 0, ∀x ∈ C hay λ o f(x) − λ 0 f(a) + λg(x) ≥ 0, ∀x ∈ C(1), cho x = a ta được λg(x) ≥ 0. Mặt khác ta có λg(x) ≤ 0 (do λ ∈ S + , g(a) ∈ −S), suy ra λg(x) = 0(2). Từ (1) và (2) ta có: λ o f(x)+λg(x) ≥ λ o f(a)+λg(a), ∀x ∈ C. Do vậy a là nghiệm của bài toán lồi sau đây: 9 [...]... niệm về bài toán tối ưu hai cấp tổng quát Các kiến thức cơ bản trong chương này chúng tôi tham khảo trong [10], và tổng quan từ các bài báo [4, 13] 2.1 Giới thiệu bài toán (1) Bài toán tổng quát và các lớp bài toán chính Bài toán tối ưu hai cấp tổng quát là một bài toán tối ưu trong đó gồm hai biến x và y với y được chọn là một nghiệm tối ưu của một bài toán thứ hai chứa tham số x Do đó đây là bài toán. .. lớp bài toán mà ta áp đặt các tính chất cho các hàm F, f, g, Ψ, ϕ trong bài toán • Áp dụng kiến thức cơ bản về điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu một cấp có chứa tham số Từ đó thiết lập được điều kiện cần tối ưu cho bài toán tối ưu hai cấp dạng optimistic ban đầu 33 Có bốn hướng tiếp cận khi thiết lập điều kiện tối ưu: Hướng tiếp cận (1) Sử dụng hàm Lagrange và tập nhân tử Lagrange thay thế bài toán. .. quan đến mô hình bài toán tối ưu hai cấp nêu trên + giải quyết xung đột trong phân chia nguồn nước các con sống lớn trên thế giới (sông Nin, Hằng) + công nghệ vật liệu + Cân bằng giao thông 32 Chương 3 Điều kiện tối ưu cho bài toán hai cấp hữu hạn Chương này tập trung xét các lớp bài toán hai cấp hữu hạn dạng optimistic và suy ra các điều kiện cần tối ưu của nó đối với nghiệm tối ưu optimistic địa... toán (2.6) còn gọi là bài toán hai cấp lạc quan Bài toán hai cấp dạng pessimistic được nhắc đến khi người làm công tỏ vẻ không hợp tác với ông chủ do đó bài toán (2.8) còn gọi là bài toán hai cấp bi quan 26 Chúng ta chỉ tập trung nghiên cứu về bài toán tối ưu hai cấp dạng optimistic trong luận văn này Ta hãy nêu một số khái niệm cơ bản về nghiệm optimistic, nghĩa là nghiệm cho bài toán dạng optimistic... optimistic địa phương Vấn đề thiết lập điều kiện tối ưu cho bài toán hai cấp hữu hạn dạng optimistic đòi hỏi một quá trình rất dài Ta có thể hình dung các bước cơ bản cần có như sau: • Chuyển các lớp bài toán tối ưu hai cấp dạng optimistic về các lớp bài toán tương đương bằng một trong bốn hướng tiếp cận (các hướng tiếp cận sẽ nói rõ bên dưới) • Thiết lập các điều kiện định tính ràng buộc (Constraint... buộc đẳng thức y Số lượng các ràng buộc hữu hạn, nghĩa là i ∈ I hữu hạn, j ∈ J hữu hạn, k ∈ K hữu hạn (b) Lớp bài toán tối ưu hai cấp vô hạn Các hàm thực mở rộng F, f : X × Y → R, với R = R ∪ {+∞; −∞} trong không gian Banach X, Y tùy ý Hàm thực mở rộng gt : Rn × Rm → R với t ∈ T , T là tập chỉ số vô hận (c) Lớp bài toán tối ưu hai cấp nửa vô hạn Tương tự như ở lớp bài toán tối ưu hai cấp vô hạn, nhưng... triển hàm giá trị tối ưu ϕ của bài toán cấp dưới dưới rất nhiều điều kiện CQ khác nhau Sau đây ta tìm hiểu các hướng tiếp cận này bằng ba mục sau Mục (3.1) gồm hai hướng tiếp cận (1) và hướng tiếp cận (2) cho bài toán hai cấp hữu hạn với giả thiết lồi ở bài toán cấp dưới, Mục (3.2) gồm hướng tiếp cận (3) và mục cuối cùng (3.3) gồm hướng tiếp cận (4) 3.1 Điều kiện tối ưu khi bài toán cấp dưới lồi Các... trị tối ưu của bài toán cấp dưới 23 Bây giờ, để hiểu về quá trình hình thành bài toán, ta hãy đến với mô hình kinh tế, cũng là mô hình xuất hiện đầu tiên như sau (2) Sự ra đời của bài toán và hai dạng bài toán cơ bản Bài toán hai cấp có cấp bậc theo nghĩa có hai nhân tố quyết định những chọn lựa trên những mức độ khác nhau về cấp bậc Trong khi nhân tố thứ nhất – thường gọi là người quyết định cấp trên... ông chủ cứ ngồi một vị trí mà theo dõi mọi chọn lựa của anh ta Người làm công chỉ cần chọn 0.5 ∈ Ψ(0) và thế là bài toán ở ví dụ trên sẽ không có nghiệm Để cho bài toán 2 cấp vẫn được xác định ta phải xét trường hợp thứ hai: nghiệm của bài toán cấp dưới (2.3) không duy nhất Chúng ta có hai dạng bài toán phân biệt khắc phục trở ngại này: Bài toán hai cấp dạng optimistic: min ϕ0 (x) sao cho x ∈ X (2.6)... cứu điều kiện tối ưu thì người ta ít xét đến các ràng buộc đẳng thức hj (x, y) = 0 (trong luận văn chúng tôi chỉ trình bày bài toán tối ưu hai cấp bao gồm cả ràng buộc đẳng thức thế này, trong phần đầu của chương 3 Các phần còn lại của chương 3 và toàn bộ chương 4, chúng tôi bỏ đi ràng buộc đẳng thức này) Để hiểu một cách rõ ràng hơn, chúng tôi chia làm 3 lớp bài toán khác nhau (a) Lớp bài toán tối ưu . nghiên cứu bài toán này là điều kiện tối ưu của nó. Luận văn này trình bày một cách tổng quan điều kiện tối ưu cho một số lớp bài toán tối ưu hai cấp quan. 3 Điều kiện tối ưu cho bài toán hai cấp hữu hạn 33 3.1 Điều kiện tối ưu khi bài toán cấp dưới lồi . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Điều kiện tối ưu