kinh nghiệm dạy bồi học sinh giỏi lớp 5 về dạng bài: Sự tăng giảm tử số và mẫu số của phân số. Phần I: Đặt vấn đề. Học sinh Tiểu học cần hoàn thiện 5 kĩ năng: nghe, đọc, nói, viết và tính toán. Trong đó kĩ năng tính toán là một trong những kĩ năng cần thiết không thể thiếu ở học sinh Tiểu học. Tính toán là nền móng vững chắc cho học sinh học tiếp toán học và các môn học khác. Trong tính toán thì phân số là mảng kiến thức rộng và quan trọng trong chơng trình toán ở Tiểu học nói riêng và phân môn toán nói chung. Đó là nền tảng vững chắc để các em tiếp thu và phát triển kiến thức về loại toán này. Hiện nay trong việc giảng dạy nói chung và dạy học sinh giỏi nói riêng một số giáo viên cha khắc sâu đợc phơng pháp giảng để nâng cao chất lợng học sinh giỏi.Với kiến thức và kinh nghiệm giảng dạy còn hạn chế tôi xin mạnh dạn đa ra cách dạy một loại bài tập nhỏ để các thầy cô tham khảo và bổ sung góp ý làm cho tôi giảng dạy học sinh đợc tốt hơn dạng bài " Sự tăng giảm tử số và mẫu số của phân số với hi vọng sẽ giúp học sinh của mình luôn ham thích học toán và học giải toán thật tốt. Phần II: Giái quyết vấn đề. I.Một số kiến thức cần lu ý khi dạy dạng toán này. 1. Để kí hiệu một phân số có tử số bằng a, mẫu số bằng b(với a là số tự nhiên và b là số tự nhiên khác o) ta viết : b a . - Mộu số b chỉ số phần bằng nhau đợc chia ra từ 1 đơn vị, tử số a chỉ số phần đợc lấy đi. - Phân số b a còn hiểu là thơng của phép chia a : b . 2. Mỗi số tự nhiên a có thể coi là một phân số có mẫu số bằng 1: a = 1 a . 3. Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với một số tự nhiên khác 0 thì đợc phân số bằng phân số đã cho: bxn axn = b a (n khác 0) 1 4. Nếu ta chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 (gọi là rút gọn phân số ) thì đợc phân số bằng phân số đã cho: mb ma : : = b a (m khác 0) 5. Phân số có mẫu số 10; 100;1000; gọi là phân số thập phân. 6. Nếu ta cộng cả tử số và mẫu số của một phân số hoặc cả tử số và mẫu số trừ đi cùng một số thì hiệu giữa tử số và mẫu số không thay đổi. 7. m b m a m ba += + ; n b n a n ba = I.Một số bài toán cụ thể. 1. Dạng 1:Tử số và mẫu số cùng tăng hoặc cùng giảm. Bài 1: Cho phân số 31 43 . Hỏi phải trừ cả tử số và mẫu số của phân số đã cho cùng một số tự nhiên nào để đợc phân số mới mà sau khi rút gọn đợc phân số 5 11 ? Gợi ý : Ta có thể hiểu bài toán này nh sau: 43 11 31 5 a A a B = = ; Tìm a Giải Hiệu của tử số và mẫu số là: 43 - 31 = 12 Khi trừ cả tử số và mẫu số của phân số đã cho cùng một số tự nhiên thì đợc phân số mới có hiệu của tử số và mẫu số vẫn bằng 12. Vì phân số mới sau khi rut gọn bằng 5 11 nên có: Tử số: 12 Mẫu số: Hiệu số phần bằng nhau là: 11 - 5 = 6 (phần) Tử số của phân số mới là: 12 : 6 ì 11 = 22 Mẫu số của phân số mới là: 22- 12 = 10 Phân số mới là: 10 22 Số tự nhiên phải tìm là: 43- 22 = 21 ( hoặc 31 - 10 = 21) Đáp số: 21 2 Bài 2: Cho phân số 19 7 . Hỏi phải cộng thêm vào tử số và mẫu số của phân số đã cho cùng một số tự nhiên nào để đợc một phân số mới mà sau khi rút gọn đợc phân số 3 2 ? Gợi ý : Ta có thể hiểu bài toán này nh sau: 7 2 19 3 a A a B + = = + ; Tìm a Giải: Hiệu của mẫu số và tử số của phân số 19 7 là : 19 - 7 = 12 Khi cộng tử số và mẫu số của phân số đã cho cùng một số tự nhiên thì đợc phân số mới có hiệu của mẫu số và tử số vẫn bằng 12. Vì phân số mới sau khi rut gọn bằng 3 2 nên có: Tử số: Mẫu số 12 Hiệu số phần bằng nhau là: 3 - 2 = 1 Tử số của phân số mới là: 12 x 2 = 24 Mẫu số của phân số mới là: 24 + 12 = 36 Phân số mới là: 36 24 Số tự nhiên cần tìm là: 24 - 7 = 17 (hoặc 36 - 19 = 17) Đáp số: 17 Bài 3: Cho hai phân số 7 6 và 9 2 . Hãy tìm phân số b a sao cho khi thêm vào mỗi phân số đã cho ta đợc hai phân số mới có tỉ số là 3? Gợi ý: Ta có thể hiểu bài toán này nh sau: 6 7 3 2 9 a b a b + = + ;Tìm phân số b a Giải: Hiệu số giữa hai phân số đã cho là: 7 6 - 9 2 = 63 40 3 Khi cùng thêm phân số b a vào phân số bị trừ và phân số trừ thì hiệu của hai phân số mới vẫn bằng hiệu số của hai phân số đã cho nên vẫn bằng 63 40 Vì tỉ số giữa hai phân số mới là 3 nên phân số lớn gấp 3 lần phân số nhỏ. Vì vậy 63 40 bằng mấy lần phân số nhỏ 3 - 1 = 2 (lần) Phân số nhỏ: 63 40 : 2 = 63 20 Phân số b a cần tìm là: 63 20 - 9 2 = 21 2 Thử lại: Phân số lớn là: 63 20 x 3 = 21 20 21 20 - 7 6 = 21 2 Đáp số: b a = 21 2 Bài 4: Cho hai phân số 9 7 và 11 5 . Hãy tìm phân số b a sao cho đem mỗi phân số đã cho trừ đi phân số b a thì ta đợc hai phân số có tỉ số là 5. Gợi ý: Ta có thể hiểu bài toán này nh sau: 5 1 5 11 5 9 7 === B A b a b a ; Tìm phân số b a Giải: Hiệu của hai phân số đã cho là: 9 7 - 11 5 = 99 32 Nếu đem mỗi phân số đã cho trừ đi phân số b a thì hiệu của hai phân số đã cho vẫn không thay đổi. Vậy hiệu của hai phân số mới là 99 32 . Do tỉ số của hai phân số là 5 nên ta có s đồ: Phân số lớn mới : 4 Phân số bé mới : 99 32 Hiệu số phần bằng nhau của hai phân số mới là: 5 - 1 = 4 (phần) Phân số lớn mới là: 99 32 : 4 x 5 = 99 40 Phân số b a cần tìm là : 9 7 - 99 40 = 99 37 Đáp số: 99 37 Cách giải dạng 1: Giải bằng phơng pháp Hiệu - Tỉ Bớc 1: Tìm hiệu giữa tử số và mẫu số hoặc ngợc lại (vì khi ta cùng tăng hoặc cùng giảm đi một số thì hiệu luôn không thay đổi) Bớc 2: Xác định tỉ số. Bớc 3: Trình bày lời giải và phép tính. 2.Dạng 2: Tăng tử số và giảm mẫu số hoặc giảm tử số và tăng mẫu số. Bài 5 : Cho phân số 3 19 .Hãy tìm một số tự nhiên sao cho khi lấy tử số của phân số đã cho trừ đi số đó và lấy mẫu số của phân số đã cho cộng với số đó thì đợc phân số mới mà sau khi rút gọn đợc phân số 9 2 ? Gợi ý: Ta có thể hiểu bài này nh sau: a a + 3 19 = B A = 9 2 ; Tìm a Giải: Khi ta lấy tử số của phân số đã cho trừ đi một số tự nhiên và lấy mẫu số của phân số đã cho cộng với số tự nhiên đó thì tổng của tử số và mẫu số của phân số mới vẫn bằng tổng của tử số và mẫu số của phân số đã cho. Tổng của tử số và mẫu số của phân số đã cho là. 19 + 3 = 22 Vì mphân số mới sau khi rút gọn đợc phân số 9 2 nên có: Tử số : 22 Mẫu số: Tổng số phần bằng nhau là: 2 + 9 = 11 (phần) 5 Tử số của phân số mới là: 22 : 11 ì 2 = 4 Mẫu số của phân số mới là: 22 - 4 = 8 Phân số mới là: 18 4 Số tự nhiên phải tìm là: 19 - 4 = 15 (hoặc 18 - 3 = 15) Đáp số : 15 Bài 6: cho phân số 37 3 . Hãy tìm một số tự nhiên sao cho khi lấy tử số của phân số đã cho cộng với số đó và lấy mẫu số của phân số đã cho cộng với số đó thì đợc phân số mới sau khi rut gọn đợc phân số 7 1 ? Gợi ý:Ta có thể hiểu bài toán này nh sau: 3 37 a a + = 1 7 ; Tìm a Giải Khi ta lấy tử số của phân số đã cho cộng với một số tự nhiên và lấy mẫu số của phân số đã cho trừ đi số tự nhiên đó thì tổng của tử số và mẫu số của phân số mới vẫn bằng tổng của tử số và mẫu số của phân số đã cho. Tổng của tử số và mẫu số của phân số đã cho là: 3 + 37 = 40 Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 7 = 8 (phần) Tử số của phân số mới là: 40 : 8 ì 1 = 5 Mẫu số của phân số mới là: 40 - 5 = 35 Phân số mới là: 5 35 Số tự nhiên phải tìm là: 5 - 3 = 2 (hoặc 37 - 35 = 2) Đáp số : 2 Bài 7: (Tăng tử số và giảm mẫu số đi một số lần) Tìm một phân số biết rằng nếu gấp tử số của nó lên 2 lần và đồng thời giảm mẫu số của nó đi 3 lần thì đợc một phân số mới hơn phân số bàn đầu 12 25 đơn vị. Gợi ý:Ta có thể hiểu bài toán này nh sau: 2 : 3 a b ì ; Tìm a b Giải 6 Nếu gấp tử số lên 2 lần và giảm mẫu số đi 3 lần suy ra phân số mới gấp 2 x 3 = 6 (lần) phân số ban đầu. Phân số ban đầu: 12 25 Phân số mới : Phân số ban đầu là : 12 25 : 5 = 12 5 Đáp số: 12 5 Bài 8 : Cho hai phân số 6 7 và 1 9 . Hãy tìm phân số a b sao cho khi thêm a b vào 1 9 và bớt a b ở 6 7 thì đợc hai phân số mới có tỉ số là 3? Ta có thể hiểu bài toán này nh sau: 6 7 3 1 9 a b a b = + ; Tìm a b Giải: Tổng của hai phân số đã cho là: 6 7 + 1 9 = 61 63 Khi thêm a b vào 1 9 và bớt a b ở 6 7 thì tổng của hai phân số không thay đổi nên vẫn bằng 61 63 . Hai phân số có tỉ số là 3 nghĩa là phân số lớn bằng 3 lần phân số nhỏ. Vậy phân số nhỏ là : 61 63 : (3 + 1) = 61 252 Phân số a b cần tìm là : 61 252 - 1 9 = 33 252 = 11 84 Đáp số: a b = 11 84 Cách giải dạng 2: Giải bằng phơng pháp Tổng - Tỉ Bớc 1: Tìm tổng giữa tử số và mẫu số (vì khi ta tăng và giảm mẫu số hoặc giảm tử số và tăng mẫu số cùng một số thì tổng luôn không thay đổi) 7 Bớc 2: Xác định tỉ số. - Tử giảm, mẫu tăng lên một số lần hoặc ngợc lại. Bớc 3: Trình bày lời giải và phép tính. 3.Dạng 3: Tăng (giảm) tử số hoặc tăng (giảm) mẫu số. Bài 9: (Giảm mẫu số) Cho phân số y x = 13 7 . Nếu bớt Y đi 21 đơn vị và giữ nguyên X thì đợc phân số mới có giá trị bằng 10 7 . Tìm y x ? Giải: Theo bài ra ta có : y x = 13 7 (1) 21y x = 10 7 (2) Từ (1) và (2) Nếu coi x = 7 phần bằng nhau thì y = 13 phần còn y 21 bằng 10 phần nh thế. Giá trị một phần là: 21 : 3 = 7 x = 49 ; y = 91 y x = 91 49 Đáp số : y x = 91 49 Bài 10(Tăng tử số ): Cho phân số b a = 5 4 . Nếu tử số cộng thêm 28 đơn vị và giữ nguyên mẫu số thì đợc phân số mới có giá trị bằng 23 24 . Tìm b a ? Giải Theo bài ra ta có: b a 28+ - b a = 23 24 - 5 4 b 28 = 115 28 b = 115 b a = 115 92 Đáp số : b a = 115 92 Bài 11(giảm mẫu số) Một phân số sẽ thay đổi nh thế nào khi mẫu số giam đi 4 1 của nó và tử số không thay đổi. Giải: 8 Gọi phân số phải tìm là b a Mẫu số giảm đi 4 1 của nó tức là giảm đi 4 b . Phân số mới sẽ có mẫu số là b - 4 b = 4 3xb Phân số mới sẽ là 4 3xb a = b a ì 3 4 Gấp 3 4 phân số ban đầu nghĩa là lớn hơn phân số ban đầu 3 1 của nó. Vậy khi cho mẫu số của một phân số giảm 4 1 của nó và tử số không thay đổi thì phân số mới gấp 3 4 phân số ban đầu. Bài 12(tăng tử số) Một phân số sẽ thay đổi nh thế nào khi tử số tăng lên 3 1 của nó và mẫu số không thay đổi. Giải : Gọi phân số phải tìm là b a Tử số tăng lên 3 1 của nó tức là tử số tăng lên 3 a Phân số mới sẽ có tử số là: a + 3 a = 3 4xa Phân số mới sẽ là : b xa 3 4 = xb xa 3 4 = 3 4 x b a Gấp 3 4 phân số ban đầu. Vậy khi tử số của một phân số tăng 3 1 của nó và mẫu số không thay đổi thì phân số đó gấp 3 4 phân số ban đầu. Bài 13(Tăng thêm tử số và gấp mẫu số lên một số lần) Tìm phân số có mẫu số bằng 7. Biết rằng khi cộng tử số với 16 và nhân mẫu số với 5 thì giá trị phân số đó không thay đổi? Giải: 9 Gọi phân số phải tìm có dạng 7 a . Theo bài ra ta có : 16 7 5 a + ì = 7 a 16 7 5 a + ì = 5 7 5 a ì ì a + 16 = a ì 5 a ì 4 = 16 a = 4 Vậy phân số phải tìm là : 4 7 Bài 14: Thơng của hai số thay đổi nh thế nào nếu ta nhân số bị chia với 75% và số chia với 25%?Tại sao? Giải: - Khi nhân số bị chia với 75% hay nhân với 3 4 thì thơng số đợc gấp lên 3 4 . (1) - Khi ta nhân số chia với 25% hay nhân với 1 4 thì thơng số sẽ giảm đi 1 4 . (2) Từ (1) và (2) suy ra thơng mới tăng lên 3 4 : 1 4 = 3 (lần) Cách giải dạng 3: Giải bằng phơng pháp Lập biểu thức. Bớc 1: Lập biểu thức. Bớc 2: biến đổi biểu thức để suy ra kết quả. 4.Gắn với yếu tố thực tế, gắn với bài toán về tính tuổi,gắn yếu tố hình học. Bài 15: Số con gà bằng 3 4 số con vịt. Nếu mua thêm 36 con gà nữa thì số con gà 9 10 số con vịt.Tính số con gà và số con vịt lúc đầu? Giải: Giải theo bài 10. Bài 16: Hiện nay tỷ số giữa tuổi em và tuổi anh là 3 1 . Sau 14 năm nữa thì tỉ số giữa tuổi em và tuổi anh là 4 5 . Tính tuổi của mỗi ngời hiện nay? Giải: Chú ý: Hiệu số tuổi anh và tuổi em luôn không thay đổi theo thời gian. Bài 17: Tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài gấp rỡi chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 3 m và giữ nguyên chiều dài thì đợc hình vuông. Giải Giải theo bài 10 Tóm lại: Mô hình dạng toán này: Phân số ban đầu Thành phần Phân số mới 10 [...].. .tăng giảm +Xuất hiện dạng: phân số cụ thể; phân số tổng quát,tỉ số% +Số lợng: 1 hoặc 2, +Cho biết hoặc đi tìm + Thêm bớt đơn vị, gấp giảm số lần + vị trí: Tử số, mẫu sốhoặc cả tử số, mẫu số + Cho biết/ đi tìm + Thờng xuất hiện dạng tỉ số, + Cho biết/đi tìm Cách giải chung: Cách 1: Chuyển về dạng toán Tổng Tỉ ; Hiệu Tỉ Cách 2 : Lập biểu thức III kết luận: Trên đây là kinh nghiệm dạy bồi học sinh giỏi. .. dạng toán Tổng Tỉ ; Hiệu Tỉ Cách 2 : Lập biểu thức III kết luận: Trên đây là kinh nghiệm dạy bồi học sinh giỏi toán lớp 5 về dạng bài Sự tăng giảm tử số và mẫu số của phân số với kiến thức và kinh nghiệm còn hạn chế rất mong đợc các thầy, cô đóng góp ý kiến cho tôi để tôi giảng dạy đợc tốt hơn Tôi xin chân thành cảm ơn! 11 . một số tự nhiên và lấy mẫu số của phân số đã cho cộng với số tự nhiên đó thì tổng của tử số và mẫu số của phân số mới vẫn bằng tổng của tử số và mẫu số của phân số đã cho. Tổng của tử số và mẫu. Tăng tử số và giảm mẫu số hoặc giảm tử số và tăng mẫu số. Bài 5 : Cho phân số 3 19 .Hãy tìm một số tự nhiên sao cho khi lấy tử số của phân số đã cho trừ đi số đó và lấy mẫu số của phân số đã. tử số của phân số đã cho cộng với một số tự nhiên và lấy mẫu số của phân số đã cho trừ đi số tự nhiên đó thì tổng của tử số và mẫu số của phân số mới vẫn bằng tổng của tử số và mẫu số của phân