Nguyễn Quốc Hoàn 0913 661 886 (094 888 111 7) H 1 CHệễNG III. VECTễ TRONG KHONG GIAN. QUAN HE VUONG GOC TRONG KHONG GIAN I. Chứng minh hai đ-ờng thẳng vuông góc: d 1 d 2 Cách 1. Dùng các ph-ơng pháp đã biết trong hình học phẳng (nếu hai đ-ờng thẳng đó đồng phẳng) Cách 2. 1 2 1 2 u .u 0; u ; u là các vectơ chỉ ph-ơng của các đ-ờng thẳng Cách 3. 1 12 2 d ( ) dd ( ) d Cách 4. 1 12 2 d / / ( ) dd d ( ) Cách 5. Sử dụng định lý ba đ-ờng vuông góc: II. Chứng minh đ-ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng: d () Cách 1: 1 2 12 12 d d d ( ) {M} , ( ) Cách 2: d / / d ( ) () Cách 3: d ( ) d ( ) ( ) / /( ) Cách 4: ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) d ( ) d Cách 5: ( ) ( ) d ( ) (P) d (P) ( ) (P) Cách 6: (Trục đ-ờng tròn là đ-ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đ-ờng tròn tại tâm của nó) B-ớc 1. Tìm một điểm S ở đỉnh cách đều các đỉnh của đa giác đáy. Tìm một điểm H ở đáy cách đều các đỉnh của đa giác đáy (tâm của đa giác đáy) B-ớc 2. Đ-ờng thẳng qua hai điểm S và H, đó là trục của đ-ờng tròn. Trục của đ-ờng tròn vuông góc mặt phẳng chứa đ-ờng tròn tại tâm của nó. III. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: () () Cách 1: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 90 0 Cách 2: d ( ) ( ) ( ) d ( ) . IV. Chứng minh quan hệ song song: 1. a // b Cách 1. Dùng các ph-ơng pháp đã biết trong ch-ơng quan hệ song song Cách 2. Hai VTCP cùng ph-ơng và điểm trên đ-ờng này không thuộc đ-ờng kia Cách 3. ab ab a (P), b (P) 2. d // () Cách 1. Dùng các ph-ơng pháp đã biết trong ch-ơng quan hệ song song Cách 2. Gọi u là VTCP của d, lấy trong () hai vectơ a và b không cùng ph-ơng. Ta chứng minh: ba vectơ u , a , b đồng phẳng và điểm bất kỳ trên d không thuộc () Cách 3. d ( ) d d / / ( ) () 3. (P) // (Q) Cách 1. Dùng các ph-ơng pháp đã biết trong ch-ơng quan hệ song song Cách 2. (P) (Q) (P) Q) (P) a,(Q) a . d 1 () d 2 () d 2 () 2 d ' là hình chiếu của d 2 trên () d 1 d 2 d 1 2 d ' . Ngun Qc Hoµn 0913 661 886 (094 888 111 7) H 2 V. Gãc: C¸c gãc cÇn tÝnh ®Ịu tõ 0 0 ®Õn 90 0 1. TÝnh gãc gi÷a hai ®-êng th¼ng: a vµ b C¸ch 1:     1 12 2 a / / a ; b ; b / /          C¸ch 2: Gãc gi÷a hai ®-êng th¼ng b»ng hc bï víi gãc gi÷a hai VTCP 2. TÝnh gãc gi÷a ®-êng th¼ng vµ mỈt ph¼ng: d vµ () B-íc 1. T×m h×nh chiÕu d’ cđa d trªn () B-íc 2.     d ; d' d;( ) Chó ý: Cã thĨ gãc gi÷a d vµ () ®-ỵc quy vỊ gãc gi÷a  vµ () víi  // d, hc gãc gi÷a d vµ () víi () // () 3. TÝnh gãc gi÷a hai mỈt ph¼ng: () vµ () C¸ch 1:     a ( ) ( );( ) a ; b b ( )          C¸ch 2: cos = S' S (Víi  lµ gãc gi÷a hai mỈt ph¼ng () vµ (), S lµ diƯn tÝch ®a gi¸c H trªn (), S’ lµ diƯn tÝch ®a gi¸c H’ lµ h×nh chiÕu cđa H trªn ()) C¸ch 3:     ( ) ( ) K ( );( ) a ;b a ( ), K a, a b ( ), K b, b                            Chó ý 1: §Ĩ t×m ®iĨm K ta th-êng thùc hiƯn nh- sau  T×m ®-êng th¼ng bÊt kú d    d  () = {A} ; d  () = {B}. KỴ AK   t¹i K    (K ; d)    BK  VËy     ( );( ) AK;BK   Chó ý 2: NÕu hai mỈt ph¼ng chøa hai tam gi¸c c©n mµ giao tun chøa c¹nh ®¸y chung cđa hai tam gi¸c c©n th× chän K lµm trung ®iĨm cđa c¹nh ®¸y ®ã. VI. Tìm thiết diện: 1. Tìm thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng Phương pháp: Tìm 2 đường thẳng cắt nhau hc chÐo nhau cùng vuông góc với đường thẳng đã cho, khi đó mặt phẳng cắt sẽ song song (hoặc chứa) 2 đường thẳng ấy. 2. Tìm thiết diện qua một đường thẳng và vng góc với mặt phẳng Cho mặt phẳng () và đường thẳng d khơng vng góc (). Mặt phẳng () chứa d và vng góc (). Phương pháp 1: Chuyển từ bài tốn tìm thiết diện vng góc với mặt phẳng    thành bài tốn tìm thiết diện song song với một đường thẳng, mà đường thẳng đó vng góc sẵn với mặt phẳng    đã cho trong giả thiết tìm thiết diện; sau đó áp dụng định lý giao tuyến song song và phương pháp tìm thiết diện suy ra u cầu bài tốn. Phương pháp 2: Từ một điểm trên d, tìm đường thẳng  vng góc với (); thì () là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau d và . VII. H×nh l¨ng trơ, h×nh hép, h×nh chãp cơt. H×nh l¨ng trơ ®øng, h×nh l¨ng trơ ®Ịu, h×nh hép ®øng, h×nh hép ch÷ nhËt, h×nh lËp ph-¬ng, h×nh chãp ®Ịu, h×nh chãp cơt ®Ịu. Ngun Qc Hoµn 0913 661 886 (094 888 111 7) H 3 VIII. Vect¬ trong kh«ng gian: 1. Đònh nghóa và các phép toán  Đònh nghóa, tính chất vµ các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.  Lưu ý: + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB BC AC + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB AD AC + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có:   AB AD AA' AC' + Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, K tuỳ ý. Ta có: IA IB 0 ; KA KB 2KI + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, K tuỳ ý. Ta có:      GA GB GC 0; KA KB KC 3KG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, K tuỳ ý. Ta có:        GA GB GC GD 0; KA KB KC KD 4KG + Điều kiện hai vectơ cùng phương:     a và b cùng phương (a 0) !k : b kaR . + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), H tuỳ ý. Ta có:    HA kHB MA kMB; HM 1k . 2. Sự đồng phẳng của ba vectơ  Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.  Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a,b,c , trong đó a và b không cùng phương. Khi đó: a,b,c đồng phẳng  ! m, n  R: c ma nb  Cho ba vectơ ,, a b c không đồng phẳng, x tuỳ ý. Khi đó: ! m, n, p  R:   x ma nb pc . 3. Tích vô hướng của hai vectơ  Góc giữa hai vectơ trong không gian:       00 AB u, AC v (u,v) BAC (0 BAC 180 )  Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: + Cho u,v 0 . Khi đó: u.v u . v .cos(u,v) + u v u.v 0   + Với u 0 hoặc v 0 . Qui ước: u.v 0 . 4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng Để chứng minh ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng ta có thể làm như sau: ta chứng minh hai vectơ AB, AC cùng phương, nghĩa là AB kAC , hoặc mọi điểm M ta chứng minh MC mMA nMB với m n 1 . 5. Chứng minh bốn điểm thuộc một mặt phẳng Để chứng minh bốn điểm thuộc một mặt phẳng ta có thể làm như sau:  Chứng minh: AB,AC,AD đồng phẳng tức là AB mAC nAD hoặc pAB mAC nAD 0   với 2 2 2 p m n 0   .  Hoặc chọn một điểm M nào đó rồi chứng minh MD xMA yMB zMC   với x y z 1   . Ngun Qc Hoµn 0913 661 886 (094 888 111 7) H 4 IX. Khoảng cách: 1. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: d (M , ()) Phương pháp: Bước 1: Xác định đoạn vng góc MH với    , bằng cách tìm một mặt phẳng    qua M và        theo giao tuyến d, hạ     M, MH d d MH     Bước 2: MH được tính bằng các định lý của hình học sơ cấp Lưu ý:  Khoảng cách d (M ()) còn được gọi là độ dài đoạn vng góc trong định lý ba đường vng góc  Sau này ta cũng có thể tìm MH bằng cơng thức tính diện tích hay thể tích của vật thể Hoặc ta cũng có thể làm theo cách sau: Bước 1: Tìm đường thẳng   a  Bước 2: Tìm đường thẳng b qua M và song song với đường thẳng a và gọi H là giao điểm của đường thẳng b và mặt phẳng    . Khi đó đoạn thẳng MH là đoạn thẳng cần tìm. 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song:   // ,     // Phương pháp: d ( , ()) , d (() , ()) Bước 1: Lấy một điểm M tùy ý trên  hay trên () Bước 2: Hạ   MH    MH là khoảng cách cần tìm. Lưu ý: Ta cũng có thể tính MH bằng cơng thức tính thể tích. 3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d (M , ()) Phương pháp: C¸ch 1. Bước 1: Từ điểm M, hạ đường vng góc MH tới đường thẳng  Bước 2: Độ dài   MH d M, là khoảng cách cần tìm C¸ch 2. Tìm mặt phẳng    qua M và vng góc với đường thẳng  tại H. Suy ra:   MH d M, C¸ch 3. Sử dụng định lý ba đường vng góc C¸ch 4. Đơi lúc để tính khoảng cách   d M, ta còn dùng cơng thức tính diện tích hình phẳng. 4. Khoảng cách hai đường thẳng song song: d (d , ()) , d //  5. Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: a và b chéo nhau Đường thẳng  cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi là đường vuông góc chung của a, b Nếu  cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b Phương pháp: C¸ch 1. Sử dụng định nghĩa:  Chọn A a,B b sao cho AB a;AB b  Tính độ dài đoạn AB. Suy ra   d a,b AB C¸ch 2. Sử dụng mặt phẳng song song  Tìm mặt phẳng (P) chứa b và song song với a  Chọn M  a, vẽ MH  (P) tại H  Từ H vẽ đường thẳng a // a, cắt b tại B  Từ B vẽ đường thẳng song song MH, cắt a tại A  AB là đoạn vuông góc chung của a và b Chú ý: d(a,b) = AB = MH = d(a,(P)) C¸ch 3. Sử dụng mặt phẳng vuông góc  Tìm mặt phẳng (P)  a tại O  Tìm hình chiếu b của b trên (P)  Kẻ OH  b tại H  Từ H, kẻ đường thẳng song song với a, cắt b tại B  Từ B, kẻ đường thẳng song song với OH, cắt a tại A  AB là đoạn vuông góc chung của a và b Chú ý: d(a,b) = AB = OH C¸ch 4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. C¸ch 5. Trường hợp ab Bước 1: Tìm mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại A. Bước 2: Vẽ AB  b tại B Bước 3: AB là đoạn vuông góc chung của a và b Lưu ý: Hình chiếu trong định lý 3 đường vng góc là đường vng góc chung. Chó ý: Cã nh÷ng bµi to¸n ta chØ cÇn tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®-êng th¼ng chÐo nhau mµ kh«ng cÇn x¸c ®Þnh ®o¹n vu«ng gãc chung. §«i khi ta cã thĨ sư dơng ph-¬ng ph¸p thĨ tÝch ®Ĩ tÝnh kho¶ng c¸ch.