Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011 §3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC. I. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ: A. Hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. c b h H c' b' a A B C Ta có các hệ thức sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . . 1 1 1 cos ;sin cos tan cot ;cot tan BC AB AC AB BH BC AC CH BC AH HB HC AH BC AB AC AH AB AC AC AB sinB C C B BC BC AC AB B C B C AB AC = + = = = = = + = = = = = = = = B. Hệ thức lượng trong tam giác thường Cho tam giác ABC có BC=a, AC=b, AB=c, đường cao AH=h a và các đường trung tuyến AM=m a , BN=m b ,CP=m c P N M H C B A 1. Định lí côsin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C = + − = + − = + − Hệ qủa: Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin 1 Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos 2 b c a A bc a c b B ac a b c C ab + − = + − = + − = 2 Định lí sin 2 sin sin sin 2 sin 2 sin 2 sin a b c R A B C a R A b R B c R C = = = =   ⇒ =   =  (Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) 3.Độ dài đường trung tuyến của tam giác ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 a b c b c a b c a m a c b a c b m a b c a b c m + − + = − = + − + = − = + − + = − = 4. Các công thức tính diện tích tam giác Với tam giác ABC, ta kí hiệu h a , h b , h c là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB; R; r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; 2 a b c p + + = là nửa chu vi tam giác. Diện tích S của tam giác ABC được tính theo các công thức sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 5 a b c S ah bh ch S abSinC acSinB bcSinA abc S R S pr S p p a p b p c = = = = = = = = = − − − ( Công thức (5) gọi là công thức Hê-rông) II. DẠNG TOÁN CƠ BẢN Vấn đề 1 Tính một số yếu tố trong tam giác theo một số yếu tố cho trước ( trong đó có ít nhất là một cạnh) 1. Phương pháp: Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin 2 Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011 • Sử dụng trực tiếp định lí côsin và định lí sin. • Chọn các hệ thức lượng thích hợp đối với tam giác để tính một số yếu tố trung gian cần thiết để việc giải toán thuận lợi hơn. 2. Các ví dụ: Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có b=7cm, c=5cm và 3 cos 5 A = . a) Tính a và diện tích tam giác ABC. b) Tính h a ,R và r. Giải a) Theo định lí côsin ta có: ( ) 2 2 2 2 2 3 2 cos 5 7 2.5.7. 32 4 2 5 a b c bc A a cm= + − = + − = ⇒ = 2 2 9 16 4 sin 1 cos 1 sin 25 25 5 A A A= − = − = ⇒ = ( vì sinA>0) 2 1 1 4 sin .7.5. 14( ) 2 2 5 S bc A cm= = = b) Ta có: 1 2 28 7 2 . 2 2 4 2 a a s S a h h a = ⇒ = = = Theo định lí sin: ( ) 4 2 5 2 2 4 sin 2sin 2 2. 5 a a R R cm A A = ⇒ = = = 14 28 14 7 . 7 5 4 2 12 4 2 6 2 2 3 2 2 s S p r r p = ⇒ = = = = = + + + + + Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có 2 3a = cm, b=2cm và µ 0 30C = . a)Tính cạnh c, góc A và diện tích S của tam giác ABC. b)Tính đường cao h a và đường trung tuyến m a của tam giác ABC. Giải a)Theo định lí côsin ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 cos 2 3 2 2.2 3.2. 4 2 2 c a b ab C c cm= + − = + − = ⇒ = Vậy tam giác ABC cân tại A vì có b=c=2 cm µ µ µ ( ) 0 0 0 0 0 30 180 30 30 120C B A⇒ = = ⇒ = − + = 2 1 1 1 sin .2 3.2. 3( ) 2 2 2 S ab C cm= = = b)Ta có: 1 2 2 3 . 1 2 2 3 a a s S a h h a = ⇒ = = = cm Vì tam giác ABC cân tại A nên 1 a a h m= = Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có 3a = cm, b=4cm và c=6 cm. a)Tính diện tích S của tam giác ABC và đường cao h a b)Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và đường trung tuyến m a của tam giác ABC. Giải Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin 3 Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011 a) Ta có: 3 4 6 13 2 2 2 a b c p + + + + = = = Theo công thức Hê-rông ta có: 13 13 13 13 455 3 4 6 2 2 2 2 4 S     = − − − =  ÷ ÷ ÷     Đường cao 2 455 2 455 3 3 a S h a = = = b)Bán kính đường tròn nội tiếp 455 455 4 13 26 2 s r p = = = Độ dài đường trung tuyến m a của tam giác ABC ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 4 3 95 95 2 4 4 4 4 2 a a b c a b c a m m + − + − + = − = = = ⇒ = Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có 2 3 , 2 2 , 6 2a cm b cm c cm= = = − . Tính các góc A, B, đường cao h a và bán kính đường tròn nội tiếp r, ngoại tiếp R của tam giác ABC. Giải Theo định lí côsin ta có: ( ) ( ) ( ) µ 2 2 2 0 4 1 3 8 6 2 2 12 12 4 4 3 1 cos 2 2 8 3 8 4 2 6 2 8 3 1 120 b c a A bc A − + − + + − − − = = = = = − − − − ⇒ = ( ) ( ) ( ) µ 2 2 2 0 4 3 3 6 2 2 12 12 8 12 2 12 2 cos 2 2 4 18 4 6 2 6 2 2 3 4 2 3 3 45 a c b B ac B − + − + − + − − = = = = = − − − ⇒ = Đường cao ( ) 2 acsin 2 sin 6 2 3 1 2 a S B h c B a a = = = = − = − ( ) ( ) ( ) 1 2 acsin 2 3 6 2 3 6 2 acsin 2 2 . 1 2 3 2 2 6 2 6 3 1 2 B s B S p r r p a b c a b c − − = ⇒ = = = = = + + + + − + + + + 2 2 2 2 sin 2sin 2 2 2 b b R R B B = ⇒ = = = Vấn đề 2. Chứng minh các hệ thức về mối quan hệ giữa các yếu tố của một tam giác. 1.Phương pháp • Dùng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành vế kia hoặc chứng minh cả hai vế cùng bằng một biểu thức nào đó, hoặc chứng minh hệ thức cần chứng minh tương đương với một hệ thức đã biết là đúng. Khi chứng minh cần khai thác các giả thiết và kết luận để tìm được các hệ thức thích hợp làm trung gian cho quá trình biến đổi. Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin 4 Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011 2. Các ví dụ: Ví dụ 1. Gọi m a , m b , m c là các trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh a, b, c của tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 3 a b c m m m a b c+ + = + + ; b) sinA=sinBcosC+sinCcosB; c) 2 sin .sin a h R B C= ; d) ( ) 2 2 cos cosb c a b C c B− = − . Giải a) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 1 2 4 2 2 4 4 2 3 2 4 a a b b c c b c a m m b c a a c b m m a c b m a b c a b c m  + −  =   = + −   + −   = ⇔ = + −     = + −   + −   =   Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 3 a b c m m m a b c+ + = + + (ĐPCM) b) Theo định lí sin ta có: 2 sin 2 2 sin sin sin sin 2 sin a R A a b c R b R B A B C c R C =   = = = ⇒ =   =  Thay các giá trị này vào biểu thức a=b cosC+c cosB ta có: 2RsinA=2RsinB cos C + 2R sin C cos B sin sin cos sin cosA B C C B⇒ = + c) Ta có 2 2 4 2 . 2 2 .sin .2 .sin 2 . 2 sin .sin a a a a abc s bc R h bc R h a a R bc R B R C R h h R B C = = = ⇒ = = = ⇒ = d) Ví dụ 2. Tam giác ABC có b+c=2a. Chứng minh rằng: a) 2sinA=sinB+sinC; b) 2 1 1 a b c h h h = + Giải a)Theo định lí sin ta có: 2 2 sin sin sin sin sin sin sin sin 2sin sin sin a b c a b c a R A B C A B C B C A B C + = = = ⇒ = = + + ⇒ = + b) Diện tích tam giác ABC 1 1 . 2 2 4 2 c c abc ab S abSinC c h h R R = = = ⇒ = Tương tự ta có: 2 1 ; 2 2 c a a ac bc R h h R R bc h = = ⇒ = . Do đó: 1 1 1 1 1 1 2 2 .2 2 2 2 2 2 2 b c a b c a R R R R ac ab h h ac ab abc abc bc h R R +   + = + = + = = = =  ÷   Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin 5 Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011 Ví dụ 3. Tam giác ABC có bc=a 2 . Chứng minh rằng: a) sin 2 A=sinB.sinC; b) 2 . b c a h h h= Giải a) Theo giả thiết ta có: bc=a 2 . Thay 2 sin 2 sin 2 sin a R A b R B c R C =   =   =  vào giả thiết trên ta có: 2 2 2 4 sin 2 sin .2 sin sin sin .sinR A R B R C A B C= ⇒ = (đpcm) b)Ta có: 2 a b c s ah bh ch= = = Do đó: 2 2 2 2 . . . . a b c b c a b c a h b c h h a h h h h h= = ⇒ = (đpcm) Ví dụ 4. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: a) 2 2 2 cot cot cot a b c A B C R abc + + + + = ; b) ( ) ( ) 2 2 cos .cos .cosb c A a c C b B− = − Giải a) Ta có: 2 2 2 2 2 2 cos 2 cot sin 2 b c a A b c a bc A R a A abc R + − + − = = = Tương tự, ta có: 2 2 2 cot a c b B R abc + − = ; 2 2 2 cot a b c C R abc + − = Từ đó suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cot cot cot b c a a c b a b c a b c A B C R R R R abc abc abc abc + − + − + − + + + + = + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) .cos .cos 2 2 1 2 1 2 cos 2 a b c a c b b VP a c C b B ac ab ab ac c a b c b a c b bc a c b b c b c bc b c a b c b c A bc + − + − = − = −   = + − − + −     = − + − +   + − = − = − Vấn đề 3 Giải tam giác 1. Phương pháp Một tam giác thường được xác định khi biết ba yếu tố. Trong các bài toán giải tam giác, người ta thường cho tam giác với ba yếu tố như sau: - Biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó( g, c, g ) - Biết một góc và hai cạnh kề góc đó ( c, g, c) - Biết ba cạnh (c, c, c) Để tìm các yếu tố còn lại của tam giác ta thường sử dụng các định lí côsin, định lí sin, định lí Tổng ba góc của một tam giác bằng 180 0 và đặc biệt có thể sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông. 2. Các ví dụ Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin 6 Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011 Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết a=7cm, b=23cm, µ 0 130C = . Tính c, µ A , µ B Giải Theo định lí côsin ta có: ( ) 2 2 2 2 2 0 2 cos 7 23 2.7.23 os130 785 28 c a b ab C c c cm = + − = + − ≈ ⇒ ≈ Theo định lí sin ta có: µ 0 0 a sin 7sin130 sin 0,1915 sin sin 28 11 2' a c C A A C c A = ⇒ = ≈ ≈ ⇒ ≈ µ µ µ ( ) ( ) 0 0 0 0 0 180 180 11 2' 130 38 58'B A C= − + = − + ≈ Ví dụ 2: Cho tam giác ABC biết a=14cm, b=18cm, c=20cm. Tính µ A , µ B , µ C Giải Theo định lí côsin ta có: µ 2 2 2 2 2 2 0 18 20 14 528 cos 0,7333 2 1.18.20 720 42 50' b c a A bc A + − + − = = = ≈ ⇒ ≈ µ 2 2 2 2 2 2 0 14 20 18 272 cos 0,4857 2 1.14.20 560 60 56' a c b B ac B + − + − = = = ≈ ⇒ ≈ µ µ µ ( ) ( ) 0 0 0 0 0 180 180 42 50' 60 56' 76 14'C A B= − + = − + ≈ III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: 1. Cho ABC∆ vuông tại A. Kẻ đường cao AH. a) Cho AB=15, AC=8. Tính BC, AH. b) Cho BC=9, HC=4. Tính AB, AC, AH. c) Cho HB=3, HC=12.Tính AB, AC, BC, AH. d) Cho AB=4, HC=6. Tính AC, BC, AH. e) Chứng minh rằng: AB 2 .CH=AC 2 .BH. f) Chứng minh rằng: AH=BC.sinB. sinC. 2. Cho ABC ∆ . Gọi a=BC, b=AC, c=AB. a) Cho µ 0 60A = ,b= 2 7 , c=4. Tính cạnh a, bán kính R và diện tích của tam giác ? b) Cho µ 0 60A = ,b= 8 , c=5. Tính chiều cao AH và trung tuyến AM ? c) Cho a=21, b=17, c=10. Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp ? 3. Cho ABC∆ . Chứng minh rằng: a) 2 2 2 2 2 2 tan .cot c a b A B b c a + − = + − ; b) ( ) ( ) sin sin sinb c A a B C+ = + ; c) .cos .cosa b C c B= + ; d) 2 2 2 cot 4 b c a A S + − = ( S là diện tích tam giác ABC) ; e) 2 2 2 cot cot cot 4 b c a A B C S + + + + = f) 2 2 sin sin sinS R A B C= ; g) ( ) cot cot a a h B C= + ; 4. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông ở A khi và chỉ khi 2 2 2 5 b c a m m m+ = Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin 7 Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011 5. Giải tam giác biết: a) a=24, b=13, c=15. b) a=17,4; µ 0 44 33'B = ; µ 0 64C = CHƯƠNG 3.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG §1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Phương trình tham số • Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) ; o o o M x y và có vectơ chỉ phương ( ) 1 2 ;u u u= r là ( ) 1 2 2 1 2 2 0 o o x x tu u u y y tu = +  + ≠  = +  • Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) ; o o o M x y và có hệ số góc k là : ( ) o o y y k x x− = − • Nếu ∆ có vectơ chỉ phương ( ) 1 2 ;u u u= r với 1 0u ≠ thì hệ số góc của ∆ là 2 1 u k u = • Nếu ∆ có hệ số góc là k thì ∆ có một vectơ chỉ phương ( ) 1;u k= r 2. Phương trình tổng quát • Phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) ; o o o M x y và có vectơ pháp tuyến ( ) ;n a b= r là: ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0a x x b y y a b− + − = + ≠ • Phương trình ( ) 2 2 0 0ax by c a b+ + = + ≠ gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng nhận ( ) ;n a b= r làm vectơ pháp tuyến. • Đường thẳng ∆ cắt trục Ox và Oy lần lượt tại A(a;0) và B(0;b) có phương trình theo đoạn chắn là ( ) 1 , 0 x y a b a b + = ≠ 3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 1 1 1 2 2 2 2 : 0 : 0 a x b y c a x b y c ∆ + + = ∆ + + = Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 1 ∆ và 2 ∆ ta xét số nghiệm của hệ phương trình ( ) 1 1 1 2 2 2 0 0 a x b y c I a x b y c + + =   + + =  • Hệ (I) có một nghiệm: 1 ∆ cắt 2 ∆ • Hệ (I) vô nghiệm: 1 ∆ // 2 ∆ • Hệ (I) vô số nghiệm: 1 ∆ 2 ≡ ∆ ►Chú ý: Nếu 2 2 2 0a b c ≠ thì: • 1 ∆ cắt 2 ∆ 1 1 2 2 a b a b ⇔ ≠ • 1 ∆ // 2 ∆ 1 1 1 2 2 2 a b c a b c ⇔ = ≠ Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin 8 Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011 • 1 ∆ // 2 ∆ 1 1 1 2 2 2 a b c a b c ⇔ = = 4.Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng 1 1 1 1 2 2 2 2 : 0 : 0 a x b y c a x b y c ∆ + + = ∆ + + = có vectơ pháp tuyến ( ) 1 1 1 ;n a b= ur và ( ) 2 2 2 ;n a b= uur được tính bởi công thức: · ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 . os , os , n n a a b b c c n n n n a b a b + ∆ ∆ = = = + + ur uur ur uur ur uur 5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách từ điểm ( ) ; o o o M x y đến đường thẳng ∆ có phương trình 0ax by c+ + = được cho bởi công thức ( ) 0 0 0 2 2 , ax by c d M a b + + ∆ = + II. DẠNG TOÁN CƠ BẢN: Vấn đề 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng 1. Phương pháp Để viết PTTS của đường thẳng ∆ ta thực hiện các bước: - Tìm vectơ chỉ phương ( ) 1 2 ;u u u= r của đường thẳng ∆ ; - Tìm một điểm ( ) ; o o o M x y thuộc ∆ ; - Phương trình tham số của ∆ là: 1 2 o o x x tu y y tu = +   = +  Chú ý: • Nếu ∆ có hệ số góc là k thì ∆ có một vectơ chỉ phương ( ) 1;u k= r • Nếu ∆ có vectơ pháp tuyến ( ) ;n a b= r thì ∆ có vectơ chỉ phương ( ) ;u b a= − r hoặc ( ) ;u b a= − r 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau: a) ∆ đi qua điểm M(1;2) và có vectơ chỉ phương ( ) 3;4u = r ; b) ∆ đi qua điểm M(2;5) và có vectơ pháp tuyến ( ) 2; 3n = − r ; c) ∆ đi qua điểm M(1;5) và có hệ số góc 4k = ; d) ∆ đi qua hai điểm A(1;5) và B(3;6). Giải a) Phương trình tham số của ∆ là: 1 3 2 4 x t y t = +   = +  b) ∆ có vectơ pháp tuyến ( ) 2; 3n = − r nên có vectơ chỉ phương ( ) 3;2u = r . Phương trình tham số của ∆ là : 2 3 5 2 x t y t = +   = +  Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin 9 Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011 c) ∆ có hệ số góc 4k = nên ∆ có vectơ chỉ phương ( ) 1;4u = r Phương trình tham số của ∆ là : 1 1 5 4 x t y t = +   = +  d) ∆ đi qua hai điểm A(1;5) và B(3;6) nên ∆ có vectơ chỉ phương ( ) 2;1u AB= = r uuur Phương trình tham số của ∆ là : 1 2 5 1 x t y t = +   = +  Vấn đề 2 Viết phương trình tổng quát của đường thẳng. 1. Phương pháp Để Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta thực hiện các bước: - Tìm một vectơ pháp tuyến ( ) ;n a b= r của ∆ ; - Tìm một điểm ( ) ; o o o M x y thuộc ∆ ; - Viết phương trình ∆ theo công thức: ( ) ( ) 0 0 0a x x b y y− + − = ; - Biến đổi về dạng: 0ax by c+ + = Chú ý: - Nếu đường thẳng ∆ cùng phương với đường thẳng d: 0ax by c+ + = thì ∆ có phương trình tổng quát: ' 0ax by c+ + = - Nếu đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng d: 0ax by c+ + = thì ∆ có phương trình tổng quát: '' 0bx ay c− + + = 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau: a) ∆ đi qua điểm M(1;1) và có vectơ pháp tuyến ( ) 3; 2n = − r ; b) ∆ đi qua điểm M(-5;-2) và có vectơ chỉ phương ( ) 4; 3u = − r ; c) ∆ đi qua điểm M(2;-1) và có hệ số góc 1 2 k = − ; d) ∆ đi qua hai điểm A(2;0) và B(0-3). Giải a) Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dang ( ) ( ) 3 1 2 1 0 3 2 1 0x y x y− − − = ⇔ − − = b) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương ( ) 4; 3u = − r nên có vectơ pháp tuyến ( ) 3;4n = r Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dạng : ( ) ( ) 3 5 4 2 0 3 4 23 0x y x y+ + + = ⇔ + + = c) Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2;-1) và có hệ số góc 1 2 k = − là : ( ) 1 1 2 2 0 2 y x x y+ = − − ⇔ + = d) Đường thẳng ∆ cắt trục Ox và Oy lần lượt tại A(2;0) và B(0;-3) có phương trình theo đoạn chắn là 1 3 2 6 0 2 3 x y x y+ = ⇔ − − = − Ví dụ 2. Cho ΔABC, có A(1;4), B(3;-1), C(6;2). Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin 10 [...]... ơn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2 010- 20 11 a) A(0;1) d 5 M (2+ 2t;3+t) u ur uu Ta có: AM = AM = 5 t = 1 ⇔ (2 + 2t ) + (2 + t ) = 5 ⇔ (2 + 2t ) + (2 + t ) = 25 ⇔ 5t + 12t − 17 = 0 ⇔  t = − 17 5   24 2  Vậy có hai điểm M1(4;4) và M2  − ; − ÷ 5  5 b) M ( 2 + 2t ;3 + t ) ∈ ∆ 2 2 2 2 2 d : x + y +1 = 0 M ( 2 + 2t ;3 + t ) ∈ d ⇔ 2 + 2t + 3 + t + 1 = 0 ⇔ t = 2 Vậy tọa độ M ( 2; 1) c) M ( 2 + 2t... Lai 20 Tổ: Tốn - Tin Tài liệu nội bộ hướng dẫn ơn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2 010- 20 11 81  16  a 2 + 25 b 2 = 1  a 2 = 25   ⇔  2  9 + 144 = 1 b = 9  2 2 a 25 b  x2 y 2 Vậy phương trình chính tắc của elip là: + =1 25 9 e) x2 y2 Phương trình chính tắc của một elip có dạng 2 + 2 = 1 a b 9 16  3 4  ; + 2 = 1 (1) Vì M  ÷∈ ( E ) nên ta có 2 5a 5b  5 5 · Ta có F1MF2 = 900 ⇒ OM = OF1 2 2... + y 2 − 6 x + 4 y − 13 = 0 có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0  −2a = −6  a = 3   Ta có  −2b = 4 ⇒ b = 2 c = −13 c = −13   a 2 + b 2 − c = 32 + ( 2) 2 − ( −13) > 0 Vậy Phương trình x 2 + y 2 + 2 x − 4 y + 9 = 0 là phương trình đường tròn tâm I(3; -2) ,bán kính R= 26 c) 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x − 4 y − 6 = 0 ⇔ x 2 + y 2 − 4 x − 2 y − 3 = 0 có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0  −2a = −4  a = 2 ... a2 b2 Vì ( E ) có một tiêu điểm F2( 12; 0) nên c= 12 Ta có: ( 13;0 ) ∈ ( E ) ⇒ 1 32 a 2 + 02 b 2 = 1 ⇒ a 2 = 169 b 2 = a 2 − c 2 = 169 − 144 = 25 Vậy phương trình chính tắc của elip là: c) Ta có x2 y 2 + =1 169 25 2c = 16 ⇒ a = 8 2b = 12 ⇒ b = 6 Suy ra a 2 = b 2 + c 2 = 36 + 64 = 100 Vậy phương trình chính tắc của elip là: x2 y 2 + =1 100 64 x2 y2 =1 + a2 b2  9  12  Do (E) đi qua qua hai điểm M  4;... x 2 + y 2 + 2 x − 4 y + 9 = 0 ; b) x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 13 = 0 ; c) 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x − 4 y − 6 = 0 Giải 2 2 a) Phương trình x + y + 2 x − 4 y + 9 = 0 có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0  −2a = 2  a = −1    −2b = −4 ⇒ b = 2 c = 9 c = 9   Ta có a 2 + b 2 − c = ( −1) + 22 − 9 < 0 2 Vậy Phương trình x 2 + y 2 + 2 x − 4 y + 9 = 0 khơng phải là phương trình đường tròn b) Phương trình x 2. .. động trên một elip Giải 2 x x = cos t  = cos 2t  x = 7 cos t  7 x2 y 2   49 ⇒ ⇒ ⇒ + =1  2 Ta có: 49 25  y = 5sin t  y = sin t y 2 5  25 = sin t   Vì cos 2t + sin 2 t = 1 Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai 23 Tổ: Tốn - Tin Tài liệu nội bộ hướng dẫn ơn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2 010- 20 11 Vậy M di động trên một elip có phương trình x2 y 2 + =1 49 25 III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: 1 Xác định... b1b2 · cos ∆1 , ∆ = cos n1 , n2 = u u = r u r 2 n1 n2 a 12 + b 12 a2 + b 22 ( ) ( ) Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai 11 Tổ: Tốn - Tin Tài liệu nội bộ hướng dẫn ơn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2 010- 20 11 2. Các ví dụ Ví dụ 1 Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây: a) d: x + y − 2 = 0 và d’: 2 x + y − 3 = 0  x = 1 − 4t b) d:  và d’: 2 x + 4 y − 10 = 0  y = 2 + 2t  x = −1 − 5t  x = −6 +... 6 B2 b P Q 4 2 -8 A1 -6 -a -4 -2 O 2 4 A2 a 6 x 8 -2 S -4 R B1 -b -6 -8 2 Các ví dụ Ví dụ 1: Xác định độ dài các trục,tọa độ tiêu điểm,tọa độ đỉnh của (E): x2 y 2 a) b) 4x2+9y2 =1 + = 1; 25 9 Giải 2  2 a = 5  a = 25 x y2 ⇔ a) Phương trình chính tắc của một elip có dạng 2 + 2 = 1 Do đó:  2 a b b = 9 b = 3  c = a 2 − b 2 = 25 − 9 = 16 = 4 Vậy (E ) có: - Trục lớn: A1A2 = 2a =10 - Trục nhỏ: B1B2... 2  x = 5 4 x − 2 y + 6 = 0  ⇔  x − 3y +1 = 0 y = 1  5   2 1 Vậy d cắt d’ tại điểm  − ; ÷  5 5 b) a1a2 + b1b2 4.1 + 2. 3 10 2 · cos d , d ' = = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 10 a1 + b1 a2 + b2 4 +2 1 +3 ( ) ( ) · ⇒ d , d ' = 450 Ví dụ 3 Tìm giá trị của m để đường thẳng d: mx + y + 1 = 0 hợp với đường thẳng d’: 2 x − y + 7 = 0 góc 300 Giải Ta có m .2 + 1( −1) 3 · cos d , d ' = 300 ⇔ = 2 m 2. .. 2 2 Và a 2 = b 2 + c 2 = b 2 + 5 Thay vào ( 1 ) ta được: 9 16 + 2 = 1 ⇔ 9b 2 + 16 b 2 + 5 = 5b2 b 2 + 5 2 5b 5 b2 + 5 ( ) ( ) ( ) ⇔ b 4 = 16 ⇔ b 2 = 4 Suy ra a 2 = b 2 + 5 = 4 + 5 = 9 Vậy phương trình chính tắc của elip là: x2 y 2 + =1 9 4 Vấn đề 2 Xác định các thành phần của một elip khi biết phương trình chính tắc của elip đó 1.Phương pháp x2 y2 =1 + a2 b2 - Trục lớn của (E) nằm trên Ox, A1A2 = 2a . − + − + + + + = + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) .cos .cos 2 2 1 2 1 2 cos 2 a b c a c b b VP a c C b B ac ab ab ac c a b c b a c. = − . Giải a) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 1 2 4 2 2 4 4 2 3 2 4 a a b b c c b c a m m b c a a c b m m a c b m a b c a b. tam giác ABC) 3.Độ dài đường trung tuyến của tam giác ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 a b c b c a b c a m a c b a c b m a b c a b c m + − + = − = +