Hớng dẫn ôn tập toán Phần hệ phơng trình Giáo viên: Trịnh Thị Ngân THCS Nghĩa Thịnh, Nghĩa Hng,Nam Định Trong chơng trình toán 9, phần hệ phơng trình chiếm vị trí quan trọng Sau dạy xong phần này, thơng hệ thống lại dạng tập để em HS có phơng pháp giải cho dạng Sau số ví dụ: ax + by = c a' x + b' y = c' Dạng 1: Hệ phơng trình bậc hai ẩn số: Phơng pháp giải: Cách 1: Sử dụng phơng pháp cộng đại số - Nhân vế hai phơng trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phơng trình hệ đối - Sử dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình có phơng trình mµ hƯ sè cđa mét hai Èn b»ng (tức phơng trình ẩn số) + Giải phơng trình ẩn vừa thu đợc suy nghiệm hệ PT đà cho Cách 2: Sử dụng phơng pháp - Dùng quy tắc biến đổi hệ PT đà cho để đợc hệ PT mới, ®ã cã mét PT mét Èn - Gi¶i PT mét ẩn vừa thu đợc suy nghiệm hệ PT đà cho Cách 3: Sử dụng pháp đồ thị Lu ý: Chỉ nên sử dụng phơng pháp toán yêu cầu toán hái vỊ sè nghiƯm cđa hƯ PT C¸ch 4: Sư dụng phơng pháp đặt ẩn phụ, dùng định lí Viet đảo x + y = 17 x − y = 5 x + y = 17 5 x + 6(9 x − 7) = 17 x = ⇔  ⇔  Gi¶i:  9 x − y =  y = 9x − y = x = VËy hÖ PT đà cho có nghiệm y = Bài 1: Giải hệ PT x + x + y = Bài 2: Giải hệ PT   x = 12 x + y  Giải: ĐKXĐ: x -y Đặt = t ta cã hÖ PT x+ y x + t =   xt = 12 ⇒ x vµ t nghiệm PT: Giải PT đợc X1=3, X2=4 x = Trêng hỵp 1: NÕu  t = ⇔ x = ⇔ t = Trêng hỵp 2: NÕu  X2- 7X + 12 = x = x =   ⇔  11 (TM) =4 y=− x + y    x = x =   ⇔  11 (TM)  x + y = y = −   x = Vậy hệ PT đà cho có hai nghiệm  11 y = −    x − y − x + y = Bài 3: Giải hệ PT − =0  2x − y x + y  hc x =  11  y = x y Giải: ĐKXĐ  y x ≠   a = 1 3a − 6b = −1  = a, = b hệ PT đà cho trở thành Đặt 2x y x+ y a b = b =   2 x − y = x = ⇔  ⇔  (TM) x + y = y = Vậy hệ pt đă cho có nghiệm: (x;y) = (2;1)  x −1 − y + = Bài 4: Giải hệ PT x − + y + = 15  Giải: ĐKXĐ: x 1; y -2 x = a Đặt (a 0; b ≥ 0)  y+2 =b  a − 3b = a = ⇔  HƯ PT ®· cho trë thµnh  (TM) 2a + 5b = 15 b =  x −1 =  x − = 25  x = 26  ⇒  ⇔  ⇔  (TM)  y + =1 y + =  y = −1  VËy hƯ PT ®· cho cã nghiƯm (x;y) = (26;-1) Dạng 2: Hệ PT đối xứng loại 1: Nếu ta thay đổi vai trò x, y PT không thay đổi S = x + y với điều P = xy Phơng pháp giải: Biến ®ỉi, ®a vỊ hƯ PT theo biÕn míi lµ  kiÖn S2 ≥ 4P  x + y + xy = 11 Bài 1: Giải hệ PT 2  x y + y x = 30  x + y + xy = 11 Gi¶i: HƯ PT ®· cho ⇔   xy ( x + y ) = 30 u + v = 11 ⇒ u v nghiệm PT Đặt x+y=u; xy=v hệ PT trë thµnh  uv = 30 X2- 11X+30=0 ⇒ X1=6, X2 =5 u = x + y = ⇔  ⇒ x,y lµ nghiƯm cđa PT: t2-6t+5=0 Trêng hỵp 1:  v =  xy = ⇒ t1=1, t2=5 x = x = Do y = y = u = x + y = ⇔  ⇒ x, y lµ nghiƯm cđa PT: m2-5m+6=0 Trêng hỵp 2:  v =  xy = ⇒ m1=3, m2=2 x = x = Do ®ã:  hc  y = y = x = x = x = x = VËy hƯ PT ®· cho cã nghiƯm lµ  ;  ; ; y = y = y = y =  xy = 64 Bài 2: Giải hệ PT 1 x y = Giải: ĐKXĐ: x ≠ 0; y ≠ 1  x (− y ) = 64 1  HÖ PT đà cho Do - lµ nghiƯm cđa PT y x  + (− ) = x y  1  =8 x = 2- X+ =0 ⇒ X =X = Do ®ã  x X  1 ⇔ 64  y = −8 − =  y  Vậy hệ PT đà cho có nghiệm (x;y) = (8;-8) (1) (TM)  x + y + xy = +   y + x2 = Bài 3: Giải hệ PT (2) Gi¶i: Tõ (1),(2) ⇒ x2+y2+2(x+y+xy) =6+2(2+3 ) ⇔ (x+y)2 + 2(x+y) +1=32+2.3 +2 ⇔ (x+y+1)2 = (3+ )2 ⇔ x + y + = 3+ x + y +1 = + ⇔  x + y + = −3 −  x + y = + ⇔   x + y = −4 −  (3) (4)  xy = 2  Tõ (1) vµ (3) ⇒  x + y = +  ⇒ x, y lµ nghiƯm cđa PT: X2 – (2+ )X +2 =0 ⇒ X1 =2; X2 = x = ⇒  y = hc x =  y =  xy = +  Tõ (1) vµ (4) ⇒   x + y = −4 −  ⇒ x, y lµ nghiƯm cđa PT: m2 + (4+ )m + +4 =0 ⇒ PT v« nghiƯm PT nµy cã ∆ = - - < VËy hƯ PT ®· cho cã nghiƯm x = y = x =  y =  x+3 + y+3 = Bài 4: Giải hệ PT 1 x + y = Giải: ĐKXĐ: x ≥ -3; x ≠ 0; y ≥ -3; y ≠ 0;  x + y + xy + 3x + y + = 10 HƯ PT ®· cho ⇔    x + y = xy  (1) s + p + 3s + Đặt x+y=S; xy=P hệ PT trở thành: (2) s = p  Thay (2) vµo (1) đợc p + = p Bình phơng hai vế, rút gọn P =1 Thay vào (2) ⇒ S =2  xy = x = ⇔  Do ®ã  (TM) x + y = y =1 VËy hƯ PT ®· cho cã nghiệm (x;y) = (1;1) Dạng 3: Hệ PT đối xứng loại 2: Nếu ta thay đổi vai trò x; y PT chuyển thành PT ã Phơng pháp thờng dùng giải PT đối xứng loại 2: Trừ PT với để nhận đợc PT míi d¹ng PT tÝch (1) (2) x − y + = Bài 1: Giải hệ PT    y − 3x + = Giải: Trừ theo vế PT (1) (2) đợc x2 y2 + 3(x-y) = x − y = ⇔  x + y + = ⇔ (x - y)(x + y +3) = TH1: x – y = ⇔ x = y thay vào PT (1) đợc x2 3x + = x = hc  y =1 ⇒ x1=1; x2=2 ⇒ HÖ PT cã nghiÖm x =  y = TH2: x + y + = ⇒ y = -x – thay vào (1) đợc x2 + 3x + 11 = PT vô nghiệm (vì = -35 < 0) Vậy hệ PT đà cho có nghiệm (x;y) = (1;1) hc (x;y) = (2;2) x + = y    y + = 2x Bài 2: Giải hệ PT (1) (2) Giải: Trừ vế PT (1) (2) đợc Thay vào PT (1) đợc x1 =1; x3 y3 = 2(y-x) ⇔ (x-y)(x2 + y2 +xy +2) = ⇔ x – y = (v× x2 + y2 +xy +2 >0 víi ∀ x, y) ⇔ x=y x3 – 2x +1 = x2 = − 1+ ; x3 = − 1−  −1+ x = x =1   VËy hÖ PT ®· cho cã nghiƯm lµ  ;  ; y =1  y = −1 +   x + y + = (1)  Bµi 3: Gi¶i hƯ PT  (2) y + x + = Giải: ĐKXĐ: x - 3; y ≥ - 3;  −1− x =    y = −1−   Ta thấy x = y = -3 khhông nghiệm cña PT x > -3; y > -3 Trõ vÕ (1) (2) đợc x y + y + - x + =0 ⇔ (x+3) – (y+3) + y + - x + = ⇔ ( x + )2 – ( y + )2 + y + - x + = ⇔ ( x + - y + )( x + + y + ) – ( x + ⇔ ( x + - y + )( x + + y + - 1) = y+3 ) =  x+3 = y+3 ⇔  x +3 + y +3 =1  x = y   x +3 + y +3 =1  ⇔ TH1: x = y thay vào (1) ta đợc x + x+3 = ⇔ §K: x ≤ x + =3 – x – 7x + = B×nh phơng vế, thu gọn đợc x x1 = (TM); x2 = (lo¹i) Víi x =1 ⇒ y =1 ⇒ (x;y) = (1;1) lµ nghiƯm cđa hƯ PT TH2: x + + y + = Thay y + = - x + vào (1) đợc x + - x + = ⇔ x−3 = x – §K: x Bình phơng vế PT trở thành x2 - 5x + = cã ∆ = - < PT vô nghiệm Vậy hƯ PT ®· cho cã nghiƯm (x;y) = (1;1) x + y = x Bài 4: Giải hÖ PT   y + =  x y Giải: ĐK: x 0; y x y + x = y (1)  HÖ PT ⇔   y x + y = 3x (2)  Trõ vÕ (1) (2) đợc x2y y2x + 5x 5y =0 ⇔ (x-y)(xy+5) = ⇔ x = y  xy = −5  TH1: x = y thay vµo (1) đợc x3 x = x(x2 -1) = ⇔ x1 = 1; x2 =-1 (v× x 0) TH2: xy = -5 thay vào (1) đợc -5x + 2x = 3y ⇔ x = - y ⇒ x2 = ⇒ x = ; hc x= - Mµ xy = -5 VËy hƯ PT ®· cho cã nghiƯm lµ (x;y) = (1;1); (-1;-1); ( ;- ) ; (- ; ) Bài 5: Giải hệ PT: (1) 3 x + = y +  3  3y + = x +1  (2) Gi¶i: Trõ theo vế (1) (2) đợc 3x + + x = 3 y + + y NÕu x > y ⇒ VT(3) > VP(3) : Lo¹i NÕu x < y ⇒ VT(3) < VP(3) : Lo¹i Do x = y thay vào (1) đợc 3x + = x + 3 + 3x2 – = ⇔ 3x + = (x+1) ⇔ x ⇔ (x-1)(x+2)2 = ⇔ x1 = 1; x2 = - VËy hÖ PT cã nghiệm là: (x;y) = (1;1); (-2;-2) (3) Dạng 4: Hệ PT có chứa tham số 1, Giải biện luận hệ PT Bài 1: Giải biện luận hệ PT sau theo tham sè m mx + y = m +  2 x + my = (1) (2) m + − mx Gi¶i: Tõ PT (1) ⇒ y = (m+2)(m-2)x = (m+3)(m-2) thay vào PT (2) đợc (3) * Nếu (m+2)(m-2) = ⇒ m = hc - Víi m = ⇒ PT (3) trë thµnh 0x = ⇒ HƯ PT cã v« sè nghiƯm m = -2 cã v« số nghiệm Dạng tổng quát nghiệm hệ PT (x ∈ R; y = m + − mx ) - Víi m = -2 ⇒ PT (3): 0x = - (V« lý) ⇒ HƯ PT v« nghiÖm * NÕu (m+2)(m-2) ≠ ⇔ m ≠ vµ m ≠ - ⇒ PT (3) cã nghiƯm nhÊt ⇒ HƯ PT cã nghiƯm nhÊt Bµi 2: Cho hÖ PT m+3 m+2 m+3  x = m +   y =  m+2  x= (1)  x + my =  mx − 3my = 2m + (2) a, Gi¶i hệ PT m = - b, Giải biƯn ln hƯ PT theo m Gi¶i: a, Khi m = -3 ta cã hÖ PT x − y = ⇔   − x + y = −3 (x = 3y +1; ∀ y ∈ R) ⇒ HƯ PT cã v« sè nghiƯm b, Tõ PT (1) ⇒ x = – my thay vµo (2) đợc - Nếu m = hệ PT v« nghiƯm - NÕu m = -3 ⇒ hƯ PT v« sè nghiƯm x − y =  x − y = -m(m+3)y = m+3 - NÕu m ≠ vµ m ≠ -3 ⇒ hƯ PT cã nghiÖm nhÊt x =  y = m 2, Tìm điều kiện tham số để hệ PT có nghiệm thoả mÃn điều kiện cho trớc Bài 1: Cho hệ PT 2 x + my =  mx + y = (1) (2) a, Giải biện luận hệ PT theo m b, Tìm số nguyên m ®Ĩ hƯ PT cã nghiƯm nhÊt (x;y) víi x; y số nguyên Giải: a, Tự giải kÕt qu¶ - NÕu m = ⇒ hƯ PT v« sè nghiƯm - NÕu m = -2 ⇒ hƯ PT v« nghiƯm m+2 b, Víi m ≠ m - hệ PT có nghiƯm nhÊt x = y = lµ sè m+2 m + =  m = −1 nguyên số nguyên (TM) m+2  m + = −1  m = −3 - NÕu m ≠ vµ m ≠ - ⇒ hÖ PT cã nghiÖm nhÊt x = y = VËy m = -1 hc m = -3 giá trị cần tìm Bài 2: Cho hệ PT (1) mx + y = 10 − m  x + my = (2) Với giá trị nguyên m hệ PT có nghiệm (x;y) với x; y số nguyên dơng Giải: Tự giải biện luận m x= m+2 ⇒ víi m ≠ ± th× hƯ PT cã nghiÖm nhÊt  y =  m+2 Với m = hệ PT vô số nghiệm Với m = -2 hệ PT vô nghiệm Để hệ PT có nghiệm nguyên dơng trớc hết cần m+2 ớc nguyên dơng m + = ⇒  m + = Khi m = -1 ⇒ Khi m = ⇒ Khi m = ⇒ ⇒  m = −1 m =  x = vµ y = (TM) x = vµ y = (TM) hƯ PT có vô số nghiệm thoả mÃn x + 2y = ⇔ x = – 2y V× x > ⇒ – 2y > ⇔ y < mà y nguyên dơng y =1 x =2 Tãm l¹i: Víi m =-1 hƯ PT cã nghiệm nguyên dơng x = y = Với m = hệ PT có nghiệm nguyên dơng x =2 vµ y = Víi m =3 hƯ PT có nghiệm nguyên dơng x = y = (1) (m − 1) x − my = 3m −  2 x − y = m + Bµi 3: Cho hƯ PT (2) a, Xác định tất giá trị tham số m để hệ PT cố nghiệm (x;y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ b, Tìm m để hệ PT có nghiệm thoả mÃn x > y < Giải: a, Từ PT (2) ⇒ y = 2x – m – thay vào PT (1) đợc (m+1)x = (m+1)2 Với m ≠ -1 PT cã nghiÖm nhÊt x = m + ⇒ hÖ PT cã nghiÖm nhÊt x = m +  y = m − Khi ®ã S = (m+1)2 + (m-3)2 = 2(m-1)2 + ≥ víi ∀ m ⇒ Min S = m = b, Víi m ≠ -1 ⇒ hƯ PT cã nghiƯm tho¶ m·n x > vµ y < m + > ⇔  m − < ⇔ m > −1  m < -1 < m < ⇔ VËy -1 < m < th× hƯ PT cã nghiệm thoả mÃn x > y < Bµi 4: Cho hƯ PT (m + 1) x + my = 2m −  mx − y = m Tìm m để hệ PT có nghiệm (x;y) mà P = xy đạt giá trị lớn nhÊt x = m −  y = − m ≤ Gi¶i: Tù gi¶i ⇒ hƯ PT cã nghiÖm ⇒ P = (m-1)(2-m) = - (m- )2 víi ∀ m m =  x + my = Bµi 5: Cho hƯ PT  mx − y = ⇒ Max P = a, T×m sè nguyên m để hệ PT có nghiệm (x;y) mà x > y < b, Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) mà x; y số nguyên m+4 x = m +  Gi¶i: a, Tù gi¶i ⇒ hƯ PT cã nghiƯm nhÊt  víi ∀ m  y = 2m −  m2 +   m+4 m2 + >  HƯ PT cã nghiƯm nhÊt tho¶ m·n x > vµ y < ⇔   2m − < m2 +  m + > ⇔  2 m − < ⇔ -4 < m < Mµ m số nguyên m = -3; -2; -1; m+4 2m − b, Víi ∀ m, hƯ PT cã nghiƯm nhÊt x = vµ y = m +2 m +2 ta cã: x lµ sè nguyªn ⇔ m + chia hÕt cho m2 + ⇔ m2 + ≤ m + y số nguyên 2m chia hết cho m2 + ⇔ m2 + ≤ m m nguyên Nh ĐK cần m m + 2m −  m + ≤ m +  2m − ≥ m + 2 + ⇔  XÐt ®iỊu kiƯn m ≤ 2m −  m − ≤ − ( m + 2)  ⇔ (m − 1) + ≤  (m + 1) ≤  Khi m = -1 ⇒  v« nghiÖm  m=-1  ⇔ −1+  x = +   y = −   1+ ⇔ x =   y = −1 (TM) VËy víi m = -1 th× hƯ PT có nghiệm số nguyên Bài 6: Cho hÖ PT mx + 2my = m +   x + (m + 1) y = a, Chøng minh r»ng nÕu hÖ PT cã nghiÖm (x; y) điểm M(x;y) thuộc đờng thẳng cố định m thay đổi b, Xác định m để điểm M thuộc góc vuông phần t thứ mặt phẳng toạ độ c, Xác định m để điểm M thuộc đờng tròn có tâm gốc toạ độ bán kính Giải: a, Tự giải m khác hƯ PT cã nghiƯm nhÊt: vµ y = m 10 x= m −1 m Ta cã: x = - m ⇔ x=1–y ⇔ x+y=1 ⇔ y = - x +1 Vậy điểm M(x;y) thuộc đờng thẳng y = - x + cố định với m b, Để điểm M(x;y) thuộc góc vuông phần t thứ x > y > ⇒  m −1  m >0   >0 m m>1 c, Đờng tròn có tâm gốc toạ độ bán kính cã PT: x2 + y2 = m −1 ) + ( )2 = (víi m ≠ 0; 1) m m ⇔ 4m2 + 2m – = ⇔ m = -1 hc m = (TM) VËy m = -1 hc m = giá trị cần tìm x y = Bài 7: Cho hệ PT Tìm giá trị m n để mx + y = n + Cần xác định m cho ( a, HÖ cã nghiÖm nhÊt b, HƯ v« nghiƯm c, HƯ cã v« sè nghiƯm 3 x − y = mx + y = n + Gi¶i: HƯ PT  ⇔ (d1) (d2)  y = 3x −   y = −mx + n + a, HƯ PT ®· cho cã nghiƯm nhÊt ⇔ (d1) c¾t (d2) ⇔ ≠ - m ⇔ m ≠ - b, HÖ PT ®· cho v« nghiƯm 3 = −m ⇔ (d1) // (d2) ⇔  − ≠ n + ⇔ c, Hệ PT đà cho vô số nghiệm (d1) trïng víi (d2)   x + y = −1  x + y = m  17 a, Giải hệ m = Bài 8: Cho hÖ PT 3 = −m  − = n + m = −3  n ≠ −9 ⇔ m = −3  n = −9 (I) b, T×m m để hệ PT có nghiệm Giải: a, Với m = 17 ®ã: (1) 11  x + y = −1  (I) ⇔  17 ( x + y ) − x y =   x + y = −1  ⇔  (II) x y =− (2)  Nªn x vµ y lµ nghiƯm cđa PT: t2 + t - = (3) PT (3) cã nghiƯm: hc 3 1    x1 =  x2 = −   VËy hƯ PT ®· cho cã hai nghiƯm  ;  y = − y = −   3    x + y = −1  x + y = −1   ⇔  b, HÖ PT (I) ⇔  (III) 1− m ( x + y ) − x y = m x y =  m Nên x y nghiƯm cđa PT: t2 + t + = (4) Nªn hƯ (I) cã nghiƯm ⇔ PT (4) có nghiệm không âm m PT (4) có S = - < P = nên PT (4) có nghiệm không âm khi: Trờng hợp 1: PT (4) cã nghiƯm t = Khi ®ã m =1 vµ PT (4) cã nghiƯm lµ vµ -1 (thoả mÃn) Trờng hợp 2: PT (4) có nghiệm âm nghiệm dơng (vì S = -1 < 0) 1− m 1 Tãm l¹i: Với m hệ PT đà cho có nghiệm Khi P = Dạng 5: Hệ PT không mÉu mùc (hÖ PT phi tuyÕn) x − y + x − y =    x − x y − xy + y =  ( x − y ) + ( x − y ) = Giải: Biến đổi hệ PT dạng 2 ( x − y )( x − y ) = u + t = Đặt u = x2 – y2 ; t = x – y ta cã hÖ PT  ut = – 5X + = ⇒ u, t lµ hai nghiƯm cđa PT: X ⇒ X1 = vµ X2 = Bài 1: Giải hệ PT Xét trờng hỵp: 12 x − y = - NÕu u = 2; t = ⇒  x − y = 3  x + y = ⇔  x − y =  x − y = - NÕu u = 3; t = ⇒  x − y =  x + y = ⇔  x y = Vậy PT đà cho cã nghiƯm lµ (x;y) = (  x y + y x = 12    x x + y y = 28 Bài 2: Giải hệ PT 11 ; - ); 6 11  x =  ⇔  y = −    x =  ⇔  y = −   ( ;- ) 4 (1) (2) 3 x x + y x = 36 (3)  x x + y y = 28  (4) Gi¶i: HƯ PT ⇔   §K: x ≥ ; y ≥ Cộng vế (3) (4) đợc ( x + y )3 = 64 ⇒ x + y = (5) Tõ (1) ⇒ xy ( x + y ) = 12 ⇒ xy = (6) Tõ (5) vµ (6) ⇒ x vµ y lµ nghiƯm cđa PT: X2 – 4X + = ⇒ X1 = 1; X2 = ⇒ x = vµ y = (TM) x = y = (TM) Vậy hệ PT đà cho có nghiệm (x y) = (1; 9); (9; 1) Bài 3: Giải hệ PT  x +1 + y =   ( x + x + 1) y = 36 Giải: ĐK: y PT (x2 +2x + 1)y = 36 ⇔ x + y = Đặt x +1 = u ; y = v (u ≥ 0; v ≥ 0) u + v = ⇔ uv = u = ⇒ - Trêng hỵp  v = u = ⇒ - Trêng hỵp  v = Ta cã hƯ PT  u = hc  v = x = hc  y = x = hc  y = u =  v =  x = −3  y =  x = −4  y = Tãm lại: Hệ PT đà cho có nghiệm (1;9); (-3;9); (2;4); (-4;4) 13 Bài 4: Giải hệ PT xy = 2( x + y )  5 yz = 6( y + z ) 4 xz = 3( x + z )  Gi¶i: - NÕu x = ⇒ x = y = z = lµ mét nghiƯm cđa hƯ PT - NÕu x ≠ ⇒ y z Khi hệ ®· cho ⇔ Céng vÕ (1); (2); (3) x + y  xy =  y+ z =   yz z + x =   zx ⇒ ⇔ 1 11 + + = x y z 1 x + y =  1  + = y z 1  + = z x   (1) (2) (3) (4) 1 x =1  1 LÊy (4) trõ lÇn lợt PT (1), (2), (3) đợc = y 1  = z ⇔ x =  y = z =  Vậy hệ PT đà cho có nghiệm (x;y;z) = (0;0;0) hc (1;2;3)  x y − + y x = xy Bài 5: Giải hệ PT   ( x − 1) y + ( y 1) x = xy Giải: ĐK: x ≥ 1; y ≥ Khi ®ã PT (1) ⇔ 2xy = 2x y − + 2y x − (1) (2) ⇔ (xy – 2x y − ) + (xy – 2y x − ) = ⇔ x(y -1 - x − + 1) + y(x -1 - y − +1) = ⇔ x( y − - 1)2 + y( x − - 1)2 =  y −1 −1 =  ⇔  (v× x ≥ 1; y ≥ 1)  x −1 −1 =  y = ⇔  (TM) x = Các giá trị x = y = thoả mÃn PT (2) Vậy hệ PT đà cho cã nghiÖm (x;y) = (2;2) (1) 14 (TM) 4 x − y + ( z − 10 z + 21) x − y + = −13  Bài 6: Giải hệ PT (2) x + y + z = Giải: ĐK: x y + ≥ Khii ®ã PT (1) ⇔ 4(x – y + 3) + [(z - 5)2 – 4] x − y + + = ⇔ [4(x – y + 3) - x − y + +1] + (z - 5)2 x − y + = ⇔ (2 x − y + - 1)2 + (z - 5)2 x − y + = 2 x − y + − =  ⇔  ( z − 5) x − y + =  ⇔  x− y+3 =    ( z − 5) =   11  x = − + y  z =  11  x − y = − ⇔  ⇔ z = Kết hợp với PT (2) hệ PT đà cho cã nghiƯm nhÊt lµ: (x;y;z) = (- ; - ; 5) Bài 7: Giải hệ PT Giải: ĐK: xy xy = 12 − y    xy = + x  (1)  xy − + y = 12  HÖ PT ⇔  4 xy − x = 12  (2) Trừ vế (1); (2) đợc y2 4xy + 4x2 + xy − = ⇔ (y-2x)2 + xy − =   y = 2x ⇔   xy − =  ⇔  y = 2x   xy = ⇔  y = 2x  x =   y = −2 y = (TM) hc  (TM)   x = x = −   x = x = − Vậy hệ PT đà cho có nghiệm ;    y =  y = −2    y = 2x ⇔  x = ± ⇔ 15 ... nghiƯm cđa PT: X2 – 4X + = ⇒ X1 = 1; X2 = ⇒ x = y = (TM) x = y = (TM) Vậy hệ PT đà cho cã nghiƯm lµ (x y) = (1; 9) ; (9; 1) Bài 3: Giải hệ PT x +1 + y =   ( x + x + 1) y = 36 Giải: ĐK: y PT (x2... y = Vậy hệ pt đă cho cã nghiÖm: (x;y) = (2;1)  x −1 − y + = Bài 4: Giải hệ PT   2 x − + y + = 15 Giải: ĐKX? ?: x 1; y -2 x = a Đặt (a ≥ 0; b ≥ 0)  y+2 =b  a − 3b = a = ⇔  Hệ PT đÃ... ⇔ x−3 = x ĐK: x Bình phơng vÕ PT trë thµnh x2 - 5x + = cã ∆ = - < ⇒ PT vô nghiệm Vậy hệ PT đà cho có nghiệm (x;y) = (1;1)  x + y = x Bài 4: Giải hệ PT y + = x y Giải: ĐK: x ≠ 0; y ≠ x