S GD&T Hng yên TRNG THPT Minh châu THI SáT HạCH KhốI 12 NM 2011 Mụn Thi : TON ; Khi :D Thi gian lm bi 180 phỳt, khụng k thi gian giao . Ngày thi: 20/2/2011 PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im) Cõu I: ( 2,0 im)Cho hm s 2 1 1 x y x = cú th (C). 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s. 2) Tỡm m ng thng y x m = + ct (C) ti hai im A, B sao cho 4AB = Cõu II: (2,0 im) 1.Gii phng trỡnh ( ) 3 cos 2 2cos sin 1 0x x x+ = 2.Gii phng trỡnh 2 2 2 1 4 2 2 log 2log log ( )x x x R x = Cõu III: (1,0 im) Tớnh tớch phõn 1 0 2 I 1 x dx x = + Cõu IV: (1,0 im)Cho lng tr ABC.ABC cú cnh bờn bng a, ỏy ABC l tam giỏc u, hỡnh chiu ca A trờn (ABC) trựng vi trng tõm G ca ABC. Cnh bờn to vi ỏy gúc 0 60 . Tớnh th tớch lng tr ABC.ABC theo a. Cõu V: (1,0 im)Tỡm m phng trỡnh sau luụn cú nghim trong on [ ] 1;9 ( ) ( ) 2 3 3 3 log 2 2 log 4 1 logx m x m x+ + + = + PHN RIấNG (3 im) A. Theo chng trỡnh chun Cõu VI.a. (2 im) 1.Trong h to Oxy, cho hai ng thng 1 2 :3 4 20 0, : 1 0d x y d x y+ = + + = Vit phng trỡnh ng trũn (C) bit rng (C) cú bỏn kớnh R=5, tip xỳc vi 1 d v cú tõm nm trờn 2 d . 2.Trong khụng gian Oxyz, cho mt cu (S) v mt phng (P) cú phng trỡnh (S): 2 2 2 4 4 2 16 0x y z x y z+ + + = ( ) : 2 2 1 0P x y z + + = Vit phng trỡnh mt phng (Q) song song vi (P) v khong cỏch t tõm mt cu (S) n mt phng (Q) bng 3. Cõu VII.a (1 im) Mt chic hp ng 15 viờn bi cú kớch thc bng nhau v ng cht c ỏnh s t mt ti mi lm, trong ú cú 5 viờn bi xanh v 3 viờn bi v 7 viờn bi vng. Tớnh xỏc sut ly ngu nhiờn 4 viờn bi cú 3 mu. B. Theo chng trỡnh nõng cao Cõu VI.b (2 im) 1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C) : 2 2 x y 2x 8y 8 0+ + = . Vit phng trỡnh ng thng song song vi ng thng d: 3x+y-2=0 v ct ng trũn theo mt dõy cung cú di bng 6. 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba im A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2). Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua gốc toạ độ O và vuông góc với BC.Chứng minh rằng ABC vuông và viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Cõu VIIb (1 im) Cho hm s 2 ( ) : . 1 m x x m C y x + = Tỡm m ( ) m C ct Ox ti 2 im phõn bit A,B sao cho tip tuyn ca ( ) m C ti A,B vuụng gúc vi nhau .Ht Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. H v tờn thớ sinh:; S bỏo danh: Ch kớ giỏm th: Hớng dẫn chấm TON KHểI D Câu Nội dung Điểm CâuI(2, 0đ) 1)1,0 đ 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2 1 1 x y x − = − 1. Tập xác định: \{1}D = ¡ 2. Sự biến thiên của hàm số * Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số. Tiệm cận của đồ thị hàm số. 1 2 2 1 lim lim lim 2 1 1 1 x x x x x y x x →±∞ →±∞ →±∞ − − = = = − − => Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=2 làm tiệm cận ngang 1 1 1 1 2 1 2 1 lim lim ;lim lim 1 1 x x x x x x y y x x + − + − → → → → − − = = +∞ = = −∞ − − =>Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm tiệm cận đứng 0,25 * Lập bảng biến thiên 2 1 ' 0 ( 1) y x D x − = < ∀ ∈ − , y’ không xác định <=> x=1 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Hàm số không có cực trị. 0,25 bảng biến thiên x - ∞ 1 + ∞ y’ - || - y 2 + ∞ - ∞ 2 0.25 3. Đồ thị - Giao của đồ thị hàm số và Ox: y=0=>x=1/2 - Giao của đồ thị hàm số và Oy: x=0=>y=1 - đồ thị hàm số nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng. 0,25 2)1,0đ 2)Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=x+m (d) và đồ thị (C) là nghiệm của phương trình 0,25 I ( 1;2 ) 2 1 y x O ( ) ( ) 2 1 1 2 1 1 (*) x x m x x x x m − = + − ⇔ − = − + ( x=1 không phải là nghiệm của (*)) 2 ( 3) 1 0x m x m⇔ + − + − = (1) 2 2 ( 3) 4(1 ) 2 5 0m m m m m∆ = − − − = − + > ∀ Do đó (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt 1 1 2 2 ( ; ), ( ; )A x y B x y với 1 2 ,x x là hai nghiệm của (1) 0,25 Theo viét 1 2 1 2 3 ; 1x x m x x m+ = − = − . Vì , ( )A B d ∈ nên 1 1 2 2 ;y x m y x m= + = + ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2( ) 2 4 2( 2 5)AB x x x x x x m m   = − = + − = − +   0,25 2 2 2 1 4 16 2( 2 5) 16 2 3 0 3 m AB AB m m m m m = −  = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔  =  0,25 Câu II: (2,0đ) 1)Giải phương trình ( ) 3 cos 2 2cos sin 1 0x x x+ − = 3 cos 2 sin 2 2cosx x x⇔ + = 3 1 cos2 sin 2 cos 2 2 x x x ⇔ + = 0,25 cos2 cos sin 2 sin cos 6 6 x x x π π ⇔ + = cos(2 ) cos 6 x x π ⇔ − = 0,25 2 2 6 ( ) 2 2 6 x x k k x x k π π π π  − = +  ⇔ ∈   − = − +   ¢ 0,25 KL 2 6 ( ) 2 18 3 x k k Z k x π π π π  = +  ⇔ ∈   = +   0,25 1)1,0đ 2)Giải phương trình 2 2 2 1 4 2 2 log 2log log ( )x x x x − = ∈ ¡ (1) ĐKXĐ:x>0 ( ) 2 2 2 2 2 1 log 2log logx x x ⇔ + = 0,25 2 2 2 log 3log 2 0(*)x x ⇔ − + = 0,25 Đặt t=log 2 x Thay vào (*) ta có 2 3 2 0 1 2 t t t t − + = =  ⇔  =  0,25 t=1 ta có log 2 x=1 ⇔ x=2 t=2 ta có log 2 x=2 ⇔ x=4 0,25 kết hợp với ĐKXĐ ⇒ phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=2 và x=4 Câu III: (1,0đ) Tính tích phân 1 0 2 I 1 x dx x = + ∫ Đặt 2 2t x x t dx tdt= ⇒ = ⇒ = 3 2 4 1 1 xdx t dt t x = + + Nếu 0 0 1 1 x t x t = ⇒ = = ⇒ = 0,25 1 1 3 2 0 0 4 1 4 ( 1 ) 1 1 t I dt t t dt t t = = − + − + + ∫ ∫ 0,25 3 2 1 0 1 1 4( ln 1 ) ) 3 2 t t t t = − + − + 0,25 10 4ln 2 3 = − 0,25 Câu IV: (1,0đ) A' G M' C' B' C B A Hình chiếu của AA’ trên (A’B’C’) là A’G nên góc tạo bởi AA’và (A’B’C’) là · 0 ' 60AA G = gọi M’là trung điểm B’C’ ⇒ A’,G, M’ thẳng hàng 0,25 đặt x=AB ∆ A’B’C’ đều cạnh x có A’M’ là đường cao ⇒ 3 2 3 ' ' , ' ' ' 2 3 3 x x A M A G A M = = = Trong ∆ AA’G vuông có AG=AA’sin60 0 = 3 2 a ; 0 3 3 ' ' os60 2 3 2 a x a A G AA c x = = = ⇔ = 0,25 diện tích ∆ ABC là 2 2 0 2 1 3 3 3 3 3 . .sin 60 ( ) 2 4 4 2 16 ABC x a a S AB AC ∆ = = = = 0,25 thể tích khối lăng trụ là 2 3 . ' ' ' 3 3 3 9 . 2 16 32 ABC A B C ABC a a a V AG S ∆ = = = 0,25 Câu VIa: 1. (1,0đ) Giả sử là 2 ( ; 1 )I t t d− − ∈ tâm của đường tròn (C) Vì (C) tiếp xúc với 1 d nên 0,25 1 2 2 3 4( 1 ) 20 ( , ) 5 3 4 t t d I d R + − − − = ⇔ = + 24 25 1 24 25 24 25 49 t t t t t + = =   ⇔ + = ⇔ ⇔   + = − = −   0,25 Với 1 1 (1; 2)t I= ⇒ − ta được phương trình đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 25C x y − + + = 0,25 Với 1 49 ( 49;48)t I= − ⇒ − ta được phương trình đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 2 49 48 25C x y + + − = 0,25 2. (1,0đ) (S): 2 2 2 4 4 2 16 0x y z x y z+ + − − + − = (S) có tâm I(2;2;-1) phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: 2 2 0x y z D + − + = điều kiện 1(*)D ≠ 0,25 ( ,( )) 3d I P = 2 2 2 | 2.2 1.2 2( 1) | 3 2 1 ( 2) D + − − + ⇔ = + + − 0,25 1 | 8| 9 17 D D D =  ⇔ + = ⇔  = −  Kết hợp với điều kiện (*) ta được D = -17 0,25 Vậy phương trình của (Q) 2 2 17 0x y z + − − = 0,25 Câu VIIa: (1,0đ) VIIa Số khả năng lấy được 4 viên bi trong 15 viên là 4 15 C =1365 (cách) 0,25 TH1: lấy được 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng Có : 2 1 1 5 3 7 . . 210C C C = (cách) 0,25 TH2: lấy được 1 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng Có : 1 2 1 5 3 7 . . 105C C C = (cách) 0,25 TH3: lấy được 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng Có : 1 1 2 5 3 7 . . 315C C C = (cách) Vậy xác suất lấy được 4 viên bi có đủ các mầu là: 210 105 315 46% 1365 P + + = = 0,25 VI.b 1 2. Đường tròn (C) có tâm I(-1;4), bán kính R=5 Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là ∆, => ∆ : 3x+y+c=0, c≠2 (vì // với đường thẳng 3x+y-2=0) Vì đường thẳng cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6=> khoảng cách từ tâm I đến ∆ bằng 2 2 5 3 4− = ( ) 2 4 10 1 3 4 , 4 3 1 4 10 1 c c d I c  = − − + + ⇒ ∆ = = ⇔  + = − −   (thỏa mãn c≠2) Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: 3 4 10 1 0x y+ + − = hoặc 3 4 10 1 0x y+ − − = . Ta cã (0; 2;2)BC = − uuur .mp(P) qua O(0;0;0) cã vtpt (0; 2;2)BC = − uuur (P): -2(y-0)+2(z-0)=0 hay y-z=0 0.25 ( 1;1;0) ( 1; 1;2) AB AC = = uuur uuur . 0AB AC = uuur uuur Suy ra tam giác ABC vuông tại A (1) CM tơng tự tam giác OBC vuông tại O (2) Từ ( 1) & (2) Suy ra 4 Điểm A,B,C ,O cùng thuộc 1 mặt cầu đờng kính BC nên tâm I là TĐ của BC 0;1;1), 2I R = PT mặt cầu: x 2 +(y-1) 2 +(z-1) 2 =2 V) ( ) ( ) 2 3 3 3 log 2 log 2 4 1 logx m x m x+ + + = + (1) k: x>0 t: 3 log ,x t khi= [ ] 1;9x => [ ] 0;2t ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 4 t 4 3 2 t m t m mt t m + + + = + + = + Vỡ [ ] 0;2t t (2) 2 4 3 t m t + = + t ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 6 4 ' 0 3 3 t t t f t f t t t + + = => = = + + ( ) ( ) 3 13 3 13 t loai t tm = = + Ta cú : f( 3 13 + )= 2 13 6 ; f(0)=-4/3; f(2)=-8/5 Vy vi 8 ;2 13 6 5 m thỡ phng trỡnh cú nghim vi mi [ ] 1;9x 0,25 0,25 0,25 0,25 VII.b (1 im) * Phng trỡnh honh giao im ca (C m ) vi Ox: 2 1 x m x + x = 0 2 0x m + = x x 1 (C m ) ct Ox ti 2 im phõn bit pt f(x) = x 2 - x + m = 0 cú 2 nghim phõn bit khỏc 1 0 (1) 0f > 1 4 0 m m < (*) * Khi ú gi x 1 , x 2 l nghim ca f(x) = 0 1 2 1 2 1 m + = = x x x x . Ta cú: y' = 2 '( )( 1) ( 1)'. ( ) ( 1) f x x x f x x H s gúc tip tuyn ca (C m ) ti A v B ln lt l: k 1 = y'(x 1 ) = 1 1 1 2 1 '( )( 1) ( ) ( 1) f x x f x x = 1 1 '( ) ( 1) f x x = 1 1 2 1 x x * Tng t: k 1 = y'(x 2 ) = 2 2 2 1 x x ( do f(x 1 ) = f(x 2 ) = 0) Theo gt: k 1 k 2 = -1 1 1 2 1 x x . 2 2 2 1 x x = -1 * m = 1 5 ( tho món (*)) 0,25 0,25 0,25 0,25 . S GD&T Hng yên TRNG THPT Minh châu THI SáT HạCH KhốI 12 NM 2011 Mụn Thi : TON ; Khi :D Thi gian lm bi 180 phỳt, khụng k thi gian giao . Ngày thi: 20/2/2011 PHN CHUNG. trình mặt phẳng (Q) có d ng: 2 2 0x y z D + − + = điều kiện 1(* )D ≠ 0,25 ( ,( )) 3d I P = 2 2 2 | 2.2 1.2 2( 1) | 3 2 1 ( 2) D + − − + ⇔ = + + − 0,25 1 | 8| 9 17 D D D =  ⇔ + = ⇔  = −  Kết. tích phân 1 0 2 I 1 x dx x = + ∫ Đặt 2 2t x x t dx tdt= ⇒ = ⇒ = 3 2 4 1 1 xdx t dt t x = + + Nếu 0 0 1 1 x t x t = ⇒ = = ⇒ = 0,25 1 1 3 2 0 0 4 1 4 ( 1 ) 1 1 t I dt t t dt t t = = − + − + + ∫