A đặt vấn đề Bài toán viết phơng trình đờng thẳng dạng toán hay không khó chơng trình lớp 12, để làm toán dạng đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ đờng thẳng, mặt phẳng, mặt cầu Mức độ t lời giải toán vừa phải, nhẹ nhàng, lôgíc hấp dẫn ngời học Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều phần phơng pháp toạ độ không gian đề thi tốt nghiệp THPT thi vào đại học, cao đẳng Là giáo viên giảng dạy Trờng THPT Thờng Xuân 2- trờng miền núi vùng đặc biệt khó khăn- thấy nhìn chung đối tợng học sinh mức trung bình yếu, mức độ t vừa phải, em gặp nhiều khó khăn để định hớng đợc cách giải toán; em dễ nhầm lẫn giải toán dạng Vì vậy, để hệ thống hóa lại kiến thức liên quan đến toán viết phơng trình đờng thẳng không gian, phân loại toán điển hình mang tính khái quát đồng thời đề xuất hớng giải toán dạng có vai trò quan trọng việc hình thành cho học sinh phơng pháp kĩ giải toán, giúp em có đợc định hớng rõ ràng hơn, tiếp cận cách đơn giản- dễ nhớ bớc giúp học sinh hình thành lối t giải vấn đề đứng trớc toán dạng này, học sinh vùng khó Từ thực tế với mong muốn tổng hợp đợc tài liệu để đồng nghiệp áp dụng đợc trình giảng dạy, học sinh áp dụng đợc trình tự học, đà đúc rút kinh nghiệm dạy học thân đa sáng kiến kinh nghiệm số toán viết phơng trình đờng thẳng không gian" B giảI vấn dề Cơ sở lí luận vấn đề Bài toán viết phơng trình đờng thẳng dạng toán hay không khó chơng trình lớp 12 Cùng với phơng pháp tọa độ, học sinh đà có nhìn khác hình học; thấy đợc mối liên hệ hình học giải tích,thoát đợc lối t trực quan hình học mà em đà học lâu Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trong quỏ trỡnh ging dy chơng phơng pháp toạ độ không gian, tụi thy a phn học sinh lúng túng, kỹ giải tốn hình khơng gian cịn yếu, khả vận dụng kiến thức có để giải tập chưa cao… Bên cạnh tập sách giáo khoa chương Phương pháp tọa độ kh«ng gian chương trình hình học khối 12 đưa chưa cân đối, tập bản, đa phần tập khó, đặc biệt khó học sinh yếu, học sinh trường “vïng khã” dẫn đến học sinh có tư tưởng nản e sợ khơng học Do dạy tập, đặc biệt với chương này, tìm tịi, chọn tập, kết hợp tập sách giáo khoa, thiết kế trình tự giảng hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo lĩnh hội lĩnh kiến thức mới, từ đạt kết cao kiểm tra, đánh giỏ Đề tài đợc thực phạm vi líp 12A 2, 12A5, 12A6- ban CB trêng THPT Thêng Xuân 2, buổi ôn tập chuyên đề sau học xong chơng phơng pháp toạ độ không gian, buổi ôn thi tốt nghiệp khối 12 năm học 2012 -2013 +) Quá trình thực đề tài * Trớc thực đề tài: Tôi yêu cầu em học sinh thực làm số tập: Bài toán: Trong không gian với hệ Oxyz, viết phơng trình tham số phơng trình tắc đờng thẳng d trờng hợp sau: a/ d ®i qua ®iĨm M( c1; 2; ) vµ cã phơng ud = ( 2; -4 ; 1) b/ d qua điểm N(2; -1; 3) song song với đờng thẳng d1 : x + = y + = z −2 c/ d qua M(2; -1; 3) vuông góc với mp(P): x + 2y - 3z + = d/ d ®i qua ®iĨm A(2; -1; 3), B (4; 0; 1) */Sè liƯu thĨ tríc thùc hiƯn đề tài Kết lớp 12A2 ( sĩ số 29) Làm Làm sai Số h/s lời lời giải Câu a 20 Câu b 18 C©u c 18 C©u d 19 KÕt qu¶ cđa líp 12A5 ( sÜ sè 36) Số h/s làm Số h/s làm sai Số h/s lời lời giải Câu a 19 10 C©u b 18 14 C©u c 18 15 Câu d 17 15 Kết lớp 12A6 ( sĩ số 38) Số h/s làm Số h/s làm sai Số h/s lời lời giải C©u a 15 15 C©u b 13 16 C©u c 12 18 C©u d 20 12 Nh với toán quen thuộc kết thấp sau nêu lên lời giải phân tích hầu hết em học sinh hiểu tỏ hứng thú giải pháp tổ chức thực Vấn đề 1: Hệ thống kiến thức Véc tơ phơng đờng thẳng * u có giá song song trùng với đờng thẳng d u véc tơ phơng đờng thẳng d * u véc tơ phơng d th× k u ( k ≠ ) cịng véc tơ phơng d 2.Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng * n có giá vuông góc với mặt phẳng ( ) n véc tơ pháp tuyến ( ) * n véc tơ pháp tuyến ( ) k n ( k ) véc tơ pháp tuyến ( ) Phơng trình tổng quát mặt phẳng * Phơng trình tổng quát ( ) có dạng Ax + By + Cz + D = ( A2 + B2 + C2 ≠ 0) v * NÕu ( α ) có phơng trình Ax + By + Cz + D= véc tơ pháp tuyến ( ) n (A;B;C) * Nếu ( ) qua điểm M(x0;y0;z0) nhận n (A;B;C) làm véc tơ pháp tuyến phơng trình ( ) : A(x- x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = * NÕu ( α ) chøa hay song song víi gi¸ cđa hai véc tơ khác phơng a =(a1;a2;a3) b (b1;b2;b3) pháp tuyến ( ) n = [ a , b ] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 - a2.b1) * NÕu ( α ) cắt trục Ox, Oy , Oz lần lợt A(a;0;0 ), B (0;b;0) , C(0;0;c) th× ( α ) có phơng trình : x y z + + = ; (a.b.c 0) (phơng trình mặt phẳng theo đoạn a b c chắn ) Phơng trình đờng thẳng Nếu điểm M(x0 ; y0 ; z0) d véc tơ phơng d u (a; b ; c ) th×  x = x0 + at * phơng trình tham số đờng thẳng d : y = y0 + bt   z = z + ct  ;( t tham số) * phơng trình tắc d lµ : x − x0 = y − y0 = z − z0 ; (a.b.c ≠ ) a Các kiến thức khác * Cho A(xA;yA;zA) điểm B(xB; y B ; zB) - vÐc t¬ AB = (xB-xA ; yB-yA; zB-zA ) - Toạ độ trung điểm I cđa AB lµ I= ( b c x A + xB y A + y B z A + z B ; ; ) 2 * a = (a1;a2;a3) b = (b1;b2;b3) - TÝch cã híng cđa a b véc tơ ký hiệu [ a , b ] [ a , b ] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 - a2.b1) Chó ý : -) [ a , b ] ⊥ a vµ [ a , b ] ⊥ b - )Nếu a b phơng a1 a2 a3 = = b1 b2 b3 - ) VÐc tơ pháp tuyến mặt phẳng ký hiệu n -) Véc tơ Chỉ phơng đờng thẳng ký hiệu u Vấn đề 2: Nêu phơng pháp chung để giải toán: Trong toán Viết phơng đờng thẳng d phơng pháp chung xác định véc tơ phơng đờng thẳng ( gọi tắt phơng) toạ độ điểm mà đờng thẳng qua sau dựa vào công thức định nghĩa ( trang 83 sgk hh12) để viết phơng trình đờng thẳng dạng tập thờng gặp Dạng 1: Xác định toạ độ điểm toạ độ véc tơ phơng đờng thẳng cho trớc Hớng dẫn: Dựa vào định nghĩa ( trang 83 sgk hh12) Ví dụ: Xác định toạ độ điểm M véc tơ phơng u đờng thẳng d trờng hợp sau: x = + 3t a) d :  y = −3 − t   z = − 2t  ;( t lµ tham sè) b) d: x − = y + = z Lêi gi¶i a/ Ta cã M(2 ;-3 ;5) ∈ d, chØ ph¬ng cđa d lµ u =(3; -1; -2) b/ Ta cã M(2 ;-1 ;0) d, phơng d u =(3; 2; 4) Dạng : Viết phơng trình tham số phơng trình tắc đờng thẳng d biết d qua điểm M(x0;y0;z0) có phơng u = (a; b; c) Híng dÉn:  x = x0 + at * phơng trình tham số đờng thẳng d : y = y0 + bt ;( t lµ tham sè)  z = z + ct  x − x0 y − y0 z z0 * phơng trình tắc d : ; (a.b.c ≠ ) = = a b c VÝ dơ : Trong kh«ng gian víi hƯ Oxyz Viết phơng trình tham số phơng trình tắc d trờng hợp sau: a/ d qua điểm M(2; 1; 3) có phơng u =(3; -1; -2) b/ d ®i qua ®iĨm M(1;0;3) có phơng u =(0; -1; -2) c/ d qua gốc toạ độ có phơng u =(3; 1; -2) Lời giải x = + 3t a/ Ta có phơng trình tham sè cđa d lµ :  y = − t ( t lµ tham sè )  z = 2t phơng trình tắc d lµ: x − y −1 z − = = −1 −2 x =  b/ phơng trình tham số d là: y = − t ( t lµ tham sè )  z = 2t Không có phơng trình tắc x = 3t c/ phơng trình tham sè cđa d lµ  y = t ( t lµ tham sè )   z = −2t  phơng trình tắc d x = y = z Dạng 3: Viết phơng trình tham số đờng thẳng d biết d qua hai điểm A,B cho trớc Hớng dẫn: - Chỉ phơng d AB - Chọn điểm qua A B ( Đa toán dạng 2) VÝ dơ : Trong kh«ng gian víi hƯ Oxyz ViÕt phơng trình tham số d trờng hợp sau: a/ d qua A(2; 3; 5) B(-1; 2; ) b/ d ®i qua M(-2; 1; 3) N (1; 1; -1) c/ d qua M(-1; 2; 3) gốc toạ độ Lời giải a/ Do d qua A B nên phơng d lµ AB =(-3; -1; -5)  x = − 3t  lÊy A(2; 3; 5) ∈ d phơng trình tham số d y = − t  z = − 5t  ( t tham số ) b/ Do d qua M N nên phơng d MN =(3; 0; -4)  x = −2 + 3t phơng trình tham số d là: y =  z = − 4t  ( t tham số ) c/ Do d qua M O nên véc tơ phơng d lµ OM =(-1; 2; 3)  x = −1 − t phơng trình tham số d là: y = + 2t  z = + 3t ( t tham số ) Dạng : Viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm M vuông góc với mặt phẳng ( ) Hớng dẫn: - pháp tuyến n mặt phẳng ( ) phơng d đa toán dạng Ví dụ : Trong không gian với hệ Oxyz Viết phơng trình tham số d trờng hợp sau : a/ d qua M(2; 3; 1) vuông góc với ( α ): x + 2y – 3z + = b/ d qua gốc toạ độ vuông gãc víi ( α ): 3x - 5y + 2z -2 = c/ d ®i qua M(2; -3; 1) vuông góc với mặt phẳng (Oxy) d/ d qua M(2; -3; 1) vuông góc với mặt phẳng (Oxz) e/ d qua M(2; -3; 1) vuông góc với mặt phẳng (Oyz) Lời giải a) Do d ( ) nên phơng d u =(1; 2; -3) phơng trình tham số cđa d x = + t  lµ  y = + 2t  z = − 3t  ( t lµ tham sè) b/ Do d ( ) nên phơng d u =(3; -5; 2) phơng trình tham số d  x = 3t  lµ  y = −5t  z = 2t  ( t lµ tham sè) x =  lµ  y = −3 z = + t  ( t lµ tham số) c/ Do d (Oxy) nên phơng d k =(0; 0; 1) phơng trình tham sè cđa d d/ Do d ⊥ (Oxz) nªn chØ phơng d j =(0; 1; 0) phơng trình tham số d x =  y = −3 + t z =  ( t lµ tham sè) e/ Do d ⊥ (Oyz) nên phơng d i =(1; 0; 0) phơng trình tham số d x = + t  lµ  y = −3 z = ( t tham số) Dạng 5: Đờng thẳng d qua điểm M song song với đờng thẳng d Hớng dẫn: - phơng dchính phơng d đa toán dạng Ví dụ : Trong không gian Oxyz Viết phơng trình tham số đờng thẳng d trêng hỵp sau: x = + t a/ d ®i qua ®iĨm M(2; 2; -1) vµ song song víi d’  y = + 2t ( t lµ tham sè)   z = − 3t  x − y +1 z = = 2 x + y − z + = (1) c/ d ®i qua ®iĨm M(0; 2; 1) vµ song song víi d’  3 x − y + z + = (2) b/ d qua điểm M(-1;2;3) song song với d: d/ d qua điểm M(2; 3; 4) song song víi trơc ox Lêi gi¶i a/ Do d // d phơng d u = (1; 2; -3) x = + t  ⇒ ph¬ng trình tham số d là: y = + 2t ( t lµ tham sè)  z = −1 − 3t  b/ Do d // d’ ⇒ phơng d u = (3; 2; 4)  x = −1 + 3t  ⇒ ph¬ng trình tham số d là: y = + 2t ( t lµ tham sè)  z = + 4t  c/ Ta cã n = (2; 3; -1) n = (3; -1; 2) VÐc tơ phơng d u =[ n 1, n 2] = (5; -7 ; -11) Do d // d phơng d u = (5; -7; -11) x = 5t phơng trình tham sè cđa d lµ:  y = − 7t ( t lµ tham sè)  z = − 11t  d/ Do d // trôc ox ⇒ phơng d i = (1; 0; 0) x = + t phơng trình tham sè cđa d lµ:  y = ( t tham số) z = Dạng : Đờng thẳng d qua điểm M song song với mặt phẳng (P) (Q) Hớng dẫn : - Chỉ phơng d u = [ n P, n Q] ; Đa toán dạng Ví dụ1: Trong không gian với hệ Oxyz Viết phơng trình tham số d biết d qua điểm M(3; 1; 5) song song với hai mặt phẳng: (P): 2x + 3y - 2z +1 = vµ (Q): x – 3y + z -2 = Lêi gi¶i Ta cã n P = (2; 3; -2); n Q=(1; -3; 1) Do d //(P) d//(Q) nên phơng d u = [ n P, n Q]= (-3; -4; -9)  x = − 3t phơng trình tham số d là:  y = − 4t  z = − 9t  ( t lµ tham sè) VÝ dơ2: Trong không gian với hệ Oxyz Viết phơng trình tham sè cđa d biÕt d ®i qua ®iĨm M(-2; 1; 5) song song với mặt phẳng (P): 3x + 2y - 4z +1 = mặt phẳng (Oxy) Lời giải Ta có pháp tuyến (P) : n P = (3; 2; -4); Ph¸p tun cđa (Oxy) lµ k =(0; 0; 1) Do d //(P) vµ d//(Oxy) nên phơng d u = [ n P, k ]= (2; -3; 0)  x = + 2t phơng trình tham số d lµ:  y = − 3t z = ( t tham số) Dạng : Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm M, song song với mặt phẳng (P) vuông góc với đờng thẳng d.( d không vuông góc với (P)) Hớng dẫn : - Xác định pháp tuyến (P) phơng d.( n P u ) - Chỉ phơng d u = [ n P, u ] (Đa toán dạng 2) Ví Dụ: Trong không gian với hệ Oxyz Viết phơng trình tham số đờng thẳng d trờng hợp sau: a/ d ®i qua ®iĨm M(2; 3; 0), song song (P): 3x 2y +z+1 = vuông gãc víi d’: x − = y + = z + b/ d ®i qua ®iĨm M(-2; 1; 3) song song víi mỈt phẳng (Oxz) vuông góc với x = + 3t  d’:  y = − t  z = + 2t  ( t lµ tham sè ) Lêi gi¶i a/ Ta cã : - Pháp tuyến (P) n P = (3; -2; 1); phơng d u = (2; 3; 4) Do d//(P) d d phơng cđa d lµ u = [ n P, u ’] = (-11; -10; 13)  x = − 11t phơng trình tham số d là: y = − 10t  z = 13t  ( t lµ tham sè) b/ Ta cã : - Pháp tuyến (Oxz) j = (0; 1; 0) - Chỉ phơng d u = (3; -1; ) Do d//(Oxz) vµ d ⊥ d’ ⇒ chØ phơng d u = [ j , u ’] = (2; 0; -3)  x = −2 + 2t phơng trình tham số d là:  y =  z = − 3t ( t tham số) Dạng : Đờng thẳng d qua điểm M vuông góc với hai đờng thẳng không phơng d1 d2 Hớng dẫn : -Xác định phơng d1 d2 ( u u 2) Chỉ phơng d u = [ u 1, u 2] Đa toán dạng Ví dụ: Trong không gian với hệ Oxyz Viết phơng trình tham số đờng thẳng d trờng hợp sau: x = − 3t  a/ d ®i qua ®iĨm M(2; -3; 4) vuông góc với d1: y = + t  z = −1 + 2t  d2: ( t lµ tham sè ) x +1 y z + = = b/ d ®i qua điểm M(1; 2; 3) vuông góc với trục Oy đờng thẳng x + y z + = ( P)  x − y + z − = (Q ) d’  Lêi gi¶i a/ Ta cã : ChØ phơng d1 u = (-3; 1; 2) Chỉ phơng d2 u = (2; 5; ) Do d ⊥ d1 vµ d ⊥ d2 phơng d u =[ u 1, u 2]= (-7; 13; -17)  x = 7t phơng trình tham số d lµ:  y = −3 + 13t  z = − 17t  ( t lµ tham sè) b/ Xét đờng thẳng d ta có : - Pháp tuyến cđa (P) lµ n P = (1; 3; -2 ) - Pháp tuyến (Q) n Q = (2; -1; 3) Chỉ phơng d u = [ n P, n Q] = (7; -7; -7) Hay phơng d u = (1; -1; -1); phơng trục oy j = (0; 1; 0) Do d ⊥ d’ vµ d ⊥ oy phơng d u =[ u ’, j ]= (1; 0; 1) x = + t phơng trình tham số d là:  y = z = + t  ( t tham số) Dạng : Viết phơng trình tham số đờng thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q), ( (P) (Q) không song song ) Hớng dẫn : - Xác định pháp tuyến (P) (Q) , ( n P n Q ) - Chỉ phơng d u = [ n P, n Q] -Xác định điểm thuộc d: ( cách giải hệ tạo phơng trình hai mặt phẳng cho trớc giá trị ẩn.) ( Đa toán dạng 2) Ví Dụ : Trong không gian Oxyz Viết phơng trình tham số đờng thẳng d giao tuyến (P): x + y + z - = vµ (Q): 2x - 3y +z +3 = Lêi giải - Pháp tuyến (P) n P = (1; 1; ); Pháp tuyến (Q) n Q = (2; -3; 1) ⇒ ChØ ph¬ng cđa d lµ u = [ n P, n Q] = (4; 1; -5) x + y + z − = cho x = ⇒ y=1 vµ z = 2 x − y + z + = Toạ độ điểm M d thoả mÃn hÖ  ⇒ M(0; 1; ) ∈ d  x = 4t phơng trình tham số d lµ  y = + t  z = −5t  ( t lµ tham sè ) NhËn xét: Bài toán chất toán chuyển từ phơng trình tổng quát đờng thẳng dạng phơng trình tham số Dạng 10 : Đờng thẳng d song song cách hai đờng thẳng song song d1 d2 nằm mặt phẳng chứa d1 d2 Hớng dẫn: - Chỉ phơng d phơng d1 d2 - Xác định toạ ®é ®iĨm M ∈ d1, N∈ d2 ⇒ to¹ ®é trung điểm I MN d Đa toán dạng Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng x = + 3t  x − y +1 z d1:  y = −3 + t ( t lµ tham sè ) vµ d2: = = −2 z = 2t Viết phơng trình tham số đờng thẳng d nằm mặt phẳng chứa d d2 đồng thời cách hai đờng thẳng Lời giải Do d1//d2 d cách d1, d2 phơng d u = (3; 1; -2) LÊy M(2; -3; 4) ∈ d1 , N(4; -1; 0) d2 toạ độ trung điểm I MN I(3; -2; 2) d  x = + 3t  ⇒ ph¬ng trình tham số d y = + t  z = − 2t  ( t tham số ) Nhận xét : - phơng trình d d1 khác toạ độ điểm qua - Giả sử d d2 đợc thay phơng trình tổng quát cách xác định điểm qua véc tơ phơng tơng tự nh dạng Dạng 11 : Đờng thẳng d phân giác góc tạo d1 d2 cắt Hớng dẫn :- Xác định toạ độ giao điểm I d1 d2 - Lấy điểm A d1 ( A khác I) - Xác định B d2 cho IA = IB (tìm đợc hai điểm B1 B2 thoả mÃn) + Với điểm B1 ⇒ trung ®iĨm I1 cđa AB1 ⇒ d ®i qua I I1 + Với điểm B2 trung ®iĨm I2 cđa AB2 ⇒ d ®i qua I vµ I2 Đa toán dạng Ví dụ: Trong không gian với hệ Oxyz Viết phơng trình tham số d phân giác góc tạo hai đờng thẳng d1: x = y + = z −1 Lêi gi¶i x = − t vµ d2:  y = 2t ( t lµ tham sè )   z = −1 + t   x = + 2t ' Phơng trình tham số d1 là: y = −1 + t '  z = −t '  3 − t = + 2t '  xÐt hÖ 2t = −1 + t ' ⇒ t=0 t=1 thoả mÃn phơng trình hệ − + t = −t '  ⇒ d1 cắt d2 điểm I(3; 0; -1) Lấy A(1; -1; 0) d1 B d2 toạ độ B(3-t; 2t; -1+t) IA = IB ⇒ t = hc t = -1 Vậy có hai điểm B thoả mÃn lµ B1(2; 2; 0) vµ B2(4; -2; -2) * gọi I1 trung điểm AB1 I1=( ; ; 0) 2 phân giác thứ qua I I1 II1 =( ; ; 1) phơng d 2 u = (-3; 1; 2)  x = 3t phân giác thứ y = + t ( t lµ tham sè )  z = −1 + 2t  10 * gọi I2 trung điểm AB2 I1=( ; ; -1) 2 −3 ⇒ ph©n giác thứ qua I I2 II =(- ; ; 0) ⇒ chØ ph¬ng cđa d lµ 2  x = − 3t  u = (-1; -3; 0) phân giác thứ hai lµ  y = + t ( t lµ tham sè )  z = −1 + 2t  Dạng 12 : Đờng thẳng d đờng vuông góc chung hai đờng thẳng d1 d2 chéo Phân tích : giả sử d đờng vuông góc chung d1 d2 chéo d giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) :(P) chøa d vµ d1 ; (Q) chøa d vµ d2 Hớng dẫn : - Xác định phơng d1 vµ d1 lµ u vµ u - ChØ phơng d u =[ u 1, u 2] - Viết pt mặt phẳng (P) chứa d d1 - Viết pt mặt phẳng (Q) chứa d d2 - d lµ giao tun cđa (P) vµ (Q) ( Đa toán dạng ) Ví dụ: Trong không gian với hệ Oxyz cho hai đờng thẳng chéo nhau: d1: x −1 y +1 z − = = vµ d2: x −1 y + z +1 = = 2 ViÕt ph¬ng trình tham số đờng thẳng d đờng vuông góc chung d1 d2 Lời giải: Ta có : phơng d1 là: u 1=(2; 3; 1); Chỉ phơng d2 : u 2= (3; 2; 2) d đờng vuông góc chung d1 d2 Chỉ phơng d u = [ u 1, u 2] = (4; -1; -5) Gäi (P) chứa d d1 pháp tuyến (P) n P=[ u 1, u ]=(-14; 14; -14) Hay ph¸p tun cđa (P) lµ n P = (-1; 1; -1) Điểm M(1; -1; 5) (P) phơng trình (P) lµ: -1(x-1)+1(y+1)-1(z-5) =0 ⇔ -x +y - z +7 = Gọi (Q) chứa d d2 pháp tun cđa (Q) lµ n Q=[ u , u 2]=(8; -23; 11) Điểm N(2; -1; -1) (Q) phơng trình (Q) là: 8(x-2)- 23(y+1)+ 11(z+1) =0 8x- 23y +11z43=0 − x + y − z + = 8 x − 23 y + 11z − 43 = 22 22 Cho y = x = z = điểm A( ; 1; ) ∈ d 3 3 22   x = + 4t  VËy ph¬ng trình tham số d : y = − t ( t lµ tham sè )   z = − 5t  XÐt hÖ Dạng 13 : Đờng thẳng d qua điểm M, vuông góc với đờng thẳng d1 cắt đờng thẳng d2 11 Phân tích : - d cắt d2 N N d2 N d - Khi MN phơng d ⇒ MN u = ⇒ to¹ độ điểm N - Đa toán dạng Hớng dẫn : - Xác định dạng toạ độ điểm N ∈ d2 - LËp vÐc t¬ MN =? , xác định phơng d1 - d d1 ⇒ MN u = ⇒ to¹ độ điểm N - d đờng thẳng qua M N đà biết ( dạng 3) Ví dụ: Trong không gian với hệ Oxyz Lập phơng trình đờng thẳng d qua M(2; x = x +1 y + z + 3; 3) vu«ng góc với d1: cắt d2 : y = − t ( t lµ tham sè) = =  z = + t  Lời giải: Ta có: phơng d1 : u = (1; 3; 1) Do d c¾t d2 ⇒ N(-3; - t; 1+ t ) ∈ d ⇒ MN = (-5; -1 – t ; -2 + t ) phơng d d d1 ⇒ MN u = ⇒ t = -5 ⇒ MN = (-5; 4; -7)  x = 5t phơng trình tham số cđa d lµ :  y = + 4t  z = − 7t  ( t lµ tham số) Dạng 14 : Viết phơng trình tham số đờng thẳng d hình chiếu d mặt phẳng (P) Phơng pháp : - Xác định pháp tuyến n P (P), phơng u d1 - gọi (Q) mặt phẳng chứa d vuông góc với (P) phơng trình (Q) - d giao tuyến (P) (Q) (Dạng 9) VÝ dơ : Trong kh«ng gian víi hƯ Oxyz Viết phơng trình tham số đờng thẳng d x = + 3t hình chiếu d1 : y = t mặt phẳng (P) : 2x- 3y + z +1 =  z = + t  Lêi gi¶i : Ta cã : M(2 ; ; ) ∈ d1 Chỉ phơng d1 u 1= (3; -1; 1); Pháp tuyến (P) n P=(2; -3; 1) Do d hình chiếu d1 (P) d giao tuyến (P) mặt phẳng (Q) chứa d1 vuông góc với (P) pháp tuyến (Q) lµ n Q=[ u 1, n P] = (2; -1; -7) phơng trình (Q) : 2( x - 2) – (y – 1) – 7( z - 3) = ⇔ 2x –y -7z +18 = phơng d : u =[ n P, n Q] = ( 22; 16; ) Hay phơng d u =(11; 8; 2) 2 x − y + z + = cho z=1 ⇒ x= - 31 vµ y = - ⇒ A(- 31 ;- ; 1) ∈ d 4 2 x − y − z + 18 = XÐt hÖ:  12 31  x = − + 11t   phơng trình tham số d :  y = − + 8t  z = + 2t    ( t lµ tham số ) Dạng 15 : Viết phơng trình tham số đờng thẳng d biết d vuông góc với (P) đồng thời cắt hai đờng thẳng d1 đờng thẳng d2 Phơng pháp: - giả sử d cắt d1 d2 M N dạng toạ ®é cđa M vµ N ⇒ MN ? - d vuông góc (P) pháp tuyến n P (P) phơng MN toạ độ M, N ( Đa toán dạng 9) Ví dụ: Trong không gian với hệ Oxyz Viết phơng trình tham số đờng thẳng d biết d vuông góc với mặt ph¼ng (P): x + 2y +z + = đồng thời cắt hai đ x = + t êng th¼ng d1:  y = + 3t vµ d2:   z = − 2t  x = − t'   y = + t'  z = + 2t '  ( t t tham số ) Lời giải: Giả sử d cắt d1 M toạ độ cña M (3 + t; + 3t; - 2t) d cắt d2 N toạ độ N (2- t’; + t’; + 2t’) ⇒ MN =( -t’ - t - 1; t’ - 3t +1; 2t +2t +3) Pháp tuyến (P) n P= (1; 2; 1) Do d vu«ng gãc víi (P) MN n P phơng t 't − t '−3t + 2t '+2t + − vµ t’= − 13 ⇒ t= = = 12 11 ⇒ M( ; ; ) ∈ d1 , MN =( ; ; ) phơng d u =(1; 2; 1) 4 3 11  x = + t   phơng trình tham số d : y = + 2t ; ( t lµ tham sè )   z = + t Dạng 16 : Viết phơng trình tham số đờng thẳng d biết d song song với hai mặt phẳng (P) (Q) đồng thời cắt hai đờng thẳng d1 d2 Phân tích: - d // (P) d//(Q) phơng d tích có hớng hai pháp tuyến (P) (Q) - d cắt d1 d2 M N dạng toạ độ M M ⇒ MN cïng ph¬ng víi chØ ph¬ng cđa d ⇒ toạ độ cụ thể M phơng trình tham số d Hớng dẫn: - Xác định pháp tuyến cđa (P) vµ (Q) lµ n P vµ n Q - Xác định phơng d u = [ n P, n Q] 13 - Xác định dạng toạ độ giao điểm M,N d với d1 d2 - LËp MN , MN // u ⇒ to¹ độ M phơng trình tham số d Ví dụ: Viết phơng trình tham số d biết d song song với hai mặt phẳng (P): x + 2y - z +1 = 0; (Q): - x - y + 2z -2 = đồng thời cắt hai ®êng th¼ng d1: x = + t x = − t'    y = − t , d2:  y = + 2t '  z = + 2t z = − t' Lời giải Ta có: pháp tuyến (P) là: n P= ( 1; 2; -1) Pháp tuyến cđa (Q) lµ: n Q= (-1; -1; 2) Do d //(P) d//(Q) phơng d u = [ n P, n Q]= ( 3; -1; 1) Giả sử d cắt d1 M toạ độ M M(1+t; 2-t; 1+2t) d d cắt d2 N toạ độ N N(3-t; 1+2t’; 2-t’) ∈ d MN = (-t - t’+2; t +2t’ -1; -2t –t’ +1 ) − t − t '+2 t + 2t '−1 − 2t − t '+1 = = −1 13 ⇒ M( ; ; ) 7  x = + 3t 13 Vậy phơng trình tham sè cđa d lµ:  y = − t    z = + t  MN // u ⇒ ⇒ t = t’ = ; ( t lµ tham sè ) Bµi tËp tự luyện : Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hai điểm A(0; 2; 1) B(1; -1; 3) Viết phơng trình tham số đờng thẳng AB ( đề thi tốt nghiệp BTTHPTnăm 2007) Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hai điểm M(3; 4; 1), N(2; 3; 4) Viết phơng trình tắc đờng thẳng MN ( đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần năm 2007) Bài3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hai điểm M(1; 0; 2) N(3; 1; 5) Viết phơng trình tham số đờng thẳng qua M N ( đề thi tốt nghiệp THPTphân ban lần năm 2007) Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho điểm M(-1; 2; 3) mặt phẳng ( ) : x – 2y + 2z +5 = Viết phơng trình đờng thẳng qua M vuông gãc víi ( α ) ( ®Ị thi tèt nghiƯp BTTHPTnăm 2008) Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho điểm M(1; 2; 3) mặt phẳng ( α ) : 2x – 3y + 6z +35 = Viết phơng trình đờng thẳng qua M vuông góc với ( ) ( đề thi tốt nghiệp THPT không phân ban năm 2008) Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho điểm A(3; -2; -2) mặt phẳng ( ): 2x – 2y + z - = ViÕt ph¬ng trình đờng thẳng qua A vuông góc với ( ) ( đề thi tốt nghiệp THPT phân ban năm 2008) 14 Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) Viết phơng trình đờng thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vuông góc với mặt phẳng (OAB) ( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D năm 2007) Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hai mặt phẳng (P): 2x +3y 4z +5 =0 (Q): 3x + y – z +4 = ViÕt phơng trình tham số đờng thẳng d giao tuyến (P) (Q) (Đề 16 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009) Bài 9: Lập phơng trình đờng vuông góc chung hai đờng thẳng x3 y −3 z −3 d1: = = x = − t  vµ d2:  y = 2t (Đề 11 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009) z = + t   x = t Bài 10: Viết phơng trình hình chiếu vuông góc đờng thẳng d: y = + 8t z = 3t mặt phẳng (P): 3x + 2y +z = 0.(Đề 10 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009) Bài 11: Viết phơng trình đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng Oxy cắt x = + t hai đờng thẳng d1: y = + 5t   z = −1 + 4t  (t ∈ R); x = − t' d2:  y = + 2t '  z = + t ' (t R ) (Đề 14 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009) Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đờng th¼ng x y −1 z + d1: = = −1  x = −1 + 2t  d2:  y = + t z = (t R) Viết phơng trình đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y 4z =0 cắt hai đơng thẳng d1 d2 ( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A năm 2007) Bài 13: Trong không gian hệ toạ độ Oxyz lập phơng trình đơng thẳng d song song với với hai mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z -20 = 0, (Q): 3x - 4y + 9z + = cắt hai đờng thẳng d1: x + y − z +1 x−4 y z−2 , d2: = = = = −3 3 (Đề 17 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009) Bài 14: Lập phơng trình đờng thẳng d qua điểm A(2; 3; )vuông góc víi ®êng  x = −3 x +1 y + z + thẳng d1: cắt đờng thẳng d2:  y = − t = =  1 z = − t  (t R) (Đề tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009) Bài 15: Trong không gian với hệ toạ ®é Oxyz, cho ®iĨm A(1; 2; 3) vµ hai ®êng th¼ng d1: x−2 y +2 z −3 , = = −1 d2: x −1 y −1 z +1 = = Viết phơng trình đờng thẳng d qua A vuông góc với d1 cắt d2 ( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D năm 2006) 15 Bài 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) đờng thẳng x = + 2t d:  y = − t  z = + 4t , viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm A , cắt vuông góc ( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối B năm với đờng thẳng d 2004) x = Bài 17: Cho hai đờng thẳng d1: y = ( t ∈ R), d2: z = − t   x = −2 + 2t '  (t’ ∈ R) y = z = Viết phơng trình đờng phân giác góc tạo d1 d2 Bài 18: Viết phơng trình đờng thẳng d song song , cách d 1, d2 thuộc mặt phẳng chứa hai đờng thẳng d1, d2 d1: x + = y − = z ; đáp án: x = t  Bµi :  y = − 3t  z = + 2t  ; d2 : x = y + = z + −1 (tham sè t ∈ R) x − y − z −1 = = −1 −1  x = + 2t  Bµi :  y = t (tham sè t ∈ R)  z = + 3t  Bµi :  x = −1 + t  Bµi :  y = − 2t  z = + 2t  (tham sè t ∈ R)  x = + 2t  Bµi :  y = − 3t  z = + 6t  (tham sè t ∈ R)  x = + 2t  Bµi :  y = −2 − 2t  z = −2 + t  (tham sè t ∈ R) x y−2 z−2 = = −1  x = −1 + t  Bµi : d :  y = −1 − 10t  z = −7t  Bµi : (tham sè t ∈ R) 16 x = + t  Bµi : d :  y = −2 − 2t  z = + 5t  34   x = − 13 + 13 t  167 40  − t Bµi 10:  y = − 13 13  z = t   x =  Bµi 11:  y =  z = −1 + t  x − y z +1 = = −4  x = −2 + 8t  Bµi 13 :  y = −3t  z = − 4t  (tham sè t ∈ R) (tham sè t ∈ R) (tham sè t ∈ R) Bµi 12: (tham sè t ∈ R) x−2 y −3 z −3 = = −5 x −1 y − z − Bµi 15 : = = −3 −5 x+4 y+2 z−4 Bµi 16 : = = −1 Bµi 14 :  x = −t x = t   Bµi 17 : có hai phân giác : y = (t ∈ R ) vµ  y = z = t z = t    x = −1 + 3t  Bµi 18 :  y = − t (tham sè t ∈ R)  z = + 4t  (t ∈ R) Kiểm nghiệm Là dạng toán hay em tỏ say mê, hứng thú học tập coi thành công ngời giáo viên Kết thúc đề tài đà tổ chức cho em học sinh lớp 12A2, 12A5, 12A6 làm đề kiểm tra 45 phút với nội dung toán viết phơng trình mặt phẳng thuộc dạng có đề tài Kết khả quan, cụ thể nh sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp 12A2 30% 18% 48% 4% Líp 12A5 17% 56% 25% 2% Líp 12A6 13% 40% 37% 10% Rõ ràng đà có khác biệt em học sinh trớc sau học thc đề tài Nh chắn phơng pháp mà nêu đề tài đà giúp em 17 phân loại đợc tập nắm vững phơng pháp làm trình bày giúp em tự tin học tập nh thi C Kết luận đề xuất Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung giảng liên quan đến đề tài có tham gia gãp ý cđa ®ång nghiƯp, vËn dơng ®Ị tài vào giảng dạy đà thu đ ợc số kết định sau : 1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững đợc số phơng pháp biết vận dụng vào giải tập bản, tập vận dụng sách giáo khoa 2) Mét sè ®Ị thi häc sinh giái, häc sinh lớp chọn sử dụng phơng pháp trình bày đề tài để giải toán 3) Là phơng pháp tham khảo cho học sinh thầy cô giáo 4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp xây dựng thêm toán đờng thẳng Xây dựng phơng pháp giảng dạy theo quan điểm ®ỉi míi lµ viƯc mµ toµn x· héi vµ ngµnh quan tâm Tuy nhiên phơng pháp vạn theo nghĩa giải đợc toán Vấn đề đặt trình giảng dạy luôn cố gắng tìm tòi suy nghĩ, cải tiến phơng pháp giảng dạy cho thích hợp để không ngừng nâng cao chất lợng giảng dạy Vì thời gian có hạn, với phạm vi sáng kiến kinh nghiệm nên đề tài mà nghiên cứu hạn chế mong đợc độc giả góp ý kiến để đề tài đợc hoàn thiện Xác nhận BGH Thờng Xuân, ngày 20 tháng năm 2013 Ngời thực Tôi xin cam đoan SKKN tự làm, không chép nội dung ngời khác Vũ Thị Hoa 18 ... 2007) Bài3 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hai điểm M(1; 0; 2) N(3; 1; 5) Viết phơng trình tham số đờng thẳng qua M N ( đề thi tốt nghiệp THPTphân ban lần năm 2007) Bài 4: Trong không gian. .. = 4t  ⇒ phơng trình tham số d y = + t  z = −5t  ( t tham số ) Nhận xét: Bài toán chất toán chuyển từ phơng trình tổng quát đờng thẳng dạng phơng trình tham số Dạng 10 : Đờng thẳng d song song... t lµ tham số) Dạng 5: Đờng thẳng d qua điểm M song song với đờng thẳng d Hớng dẫn: - phơng dchính phơng d đa toán dạng Ví dụ : Trong không gian Oxyz Viết phơng trình tham số đờng thẳng d trờng