Page 1 Phần 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Bài 1.1: Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số Tìm TXĐ Tính y’. Tìm các điểm tới hạn. Lập bảng biến thiên Kết luận. Bài 1.2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R hoặc trên từng khoảng của tập xác định. Tìm TXĐ Tính y’ Hàm số ĐB trên R ' 0,y x R 0 0a (Hàm số nghịch biến trên R  ' 0,y x R 0 0a Từ đó suy ra điều kiện của m. Bài 1.3: Tìm m để hàm bậc 3 đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a,b) * Cách 1: + Hàm số ĐB trên (a,b)  ' 0, ,y x a b  ' 0, ,y x a b ( vì y’liên tục tại x = a và x =b)  g(x) h(m) , ,x a b  min , g x h m ab (*) + Tính g’(x) . Cho g’(x) = 0 tìm nghiệm x0 ,ab Tính 0 ,,g x g a g b => min , gx ab + Từ (*) suy ra điều kiện của m. * Cách 2: (thường dùng khi tham số m có bậc 2) + Hàm số ĐB trên (a,b)  ' 0, ,y x a b Có 2 trường hợp : * TH1 : 0 ' 0, 0 y x R a suy ra m Page 2 * TH2 : y’ = f(x) =0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa …….(điều kiện về x1, x2 để hàm số ĐB trên (a,b) – xem phần so sánh các số với nghiệm của tam thức bậc hai ) Suy ra m Kết hợp hai trường hợp trên ta được đáp số m cần tìm. Bài 1.4: Tìm m để hàm số ĐB , NB trên đoạn có độ dài bằng d. + Tìm TXĐ + Tính y’ + Hàm số có khoảng ĐB, NB  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 0 0a .suy ra m. (*) + Biến đổi 12 x x d thành 2 2 1 2 1 2 4x x x x d Dùng định lí Viet đưa pt trên về pt theo m. Giải pt tìm m , so với đk (*) để được m cần tìm. Bài 1. 5 : Chứng minh bất đẳng thức P(x) > Q(x), ,x a b bằng cách sử dụng tính đơn điệu (Chuyển vế đưa BĐT về dạng : f(x) = P(x) – Q(x) >0 ) Xét hàm số f(x) = P(x) – Q(x) liên tục trên [a,b). Tính '( )fx . Chứng tỏ '( ) 0, [ , )f x x a b Hàm số đồng biến trên [a,b). , : ( ) ( )x a b f x f a =… Suy ra đpcm Phần 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài 2.1: Tìm cực trị của hàm số Quy tắc 1: + Tìm TXĐ + Tính y’. Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có) +Lập bảng biến thiên + Kết luận : Hàm số đạt cực đại tại x =… và yCĐ = … Hàm số đạt cực tiểu tại x =… và yCT = … Quy tắc 2 ( thường dùng đối với hàm lượng giác): + Tìm TXĐ + Tính y’ . Cho y’ = 0 tìm các nghiệm xi + Tính y” Tính y”(xi) +Kết luận : y”(xi) >0 => hs đạt CT tại xi và yCT =… y”(xi) <0 => hs đạt CĐ tại xi và yCĐ =… Bài 2.2: Tìm m để hàm số có ( ko có )cưc trị. (Lưu ý : hàm số có cực trị khi y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua nghiệm đó) Page 3 Tìm TXĐ Tính y’ Hàm bậc ba có cực trị ( hoặc có CĐ, CT hoặc có 2 cực trị)  pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt  ' 0 0 y a .suy ra m. - Hàm b3 ko có cực trị  y’=0 có n0 kép hoặc vô n0. Hàm 2 1 b b có cực trị  pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt khác x0 ( với x0 là nghiệm ở mẫu) 0 0 ( ) 0 g gx ( với g(x) = tử số của y’ ) Giải hệ tìm m. Bài 2.3 : Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x0. Tìm TXĐ Tính y’ Cách 1: Hàm số đạt cực trị tại x = x0 => y’(x0) = 0 .tìm m Với mỗi giá trị m tìm được, ta thay vào y’. lập bảng biến thiên. Dựa vào BBT kết luận m đó có thỏa ycbt không. Cách 2 : Hàm số đạt cực trị tại x = x0 0 0 '0 "0 yx yx Giải hệ tìm m. Bài 2.4 : Tìm m để hàm số đạt cực đại ( CT ) tại x = x0 Tìm TXĐ Tính y’ , y” Hàm số đạt cực đại tại x = x0  0 0 '0 "0 yx yx (Hàm số đạt cực tiểu tại x0  0 0 '0 "0 yx yx ) Giải hệ tìm m. Bài 2.5 : Tìm m để hàm số bậc 3 có hai cực trị (hoặc có cực đại và cực tiểu) thỏa điều kiện K ( đk về x1, x2) . + Tìm TXĐ + Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. (*) + Hoành độ cực đại và cực tiểu là nghiệm của pt y’ = 0 (Ta có thể suy ra các hoành độ này hoặc tổng , tích của các hoành độ) + Tìm m để cực đại và cực tiểu thỏa điều kiện K. So với điều kiện (*) để được m thỏa ycbt. Page 4 Bài 2.6 : Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 có hai điểm cực trị thỏa đk K cho trước ( VD: đt qua 2 cực trị vuông góc hoặc song song với đt cho trước,….) + Tìm TXĐ + Tính y’ + Tìm m để hàm số có 2 cực trị. (*) + Lấy y chia y’ ta được : y = y’.g(x) + (ax + b) Gọi 1 1 1 2 2 2 , , ,M x y M x y là các điểm cực trị. => 1 '0yx và 2 '0yx Suy ra : 11 y ax b , 22 y ax b Do đó : đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là dm : y = ax +b + Tìm m thỏa điều kiện K. + So với (*) kết luận m cần tìm . Bài 2. 7 : Cực trị của hàm trùng phương 42 0y ax bx c a + TXĐ : D = R + Tính y’ = 4ax3 +2bx 2 0 '0 4 2 0 * x y ax b Hàm số luôn đạt cực trị tại x = 0 Hàm số có 3 cực trị  y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt  pt (*) có 2 nghiệm phận biệt khác 0  a.b <0 Hàm số có 2 CĐ và 1 CT  y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a<0  0 0 a b Hàm số có 2 CT và 1 CĐ  y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a>0  0 0 a b Hàm số có đúng 1 cực trị  pt (*) vô nghịêm hoặc có nghiệm kép bằng 0.  .0 0 ab b Lưu ý : Khi đồ thị hàm số có 3 cực trị A, B ,C và A thuộc Oy thì tam giác ABC cân tại A. Page 5 Phần 3: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ Bài 3.1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a,b) Xét hàm số trên (a,b) Tính y’ Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có ) Lập bảng biến thiên Dựa vào BBT kết luận max , min , , yy ab ab . Bài 3.2 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a,b] Xét hàm số trên [a,b] Tính y’ Cho y’ = 0 tìm các nghiệm xi [ , ]ab Tính ,, i y x y a y b Kết luận max , min [ , ] [ , ] yy ab ab . Bài 3.3 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a,b] hoặc trên R, với f(x) là hàm lượng giác phức tạp Biến đổi f(x) về cùng một hàm số lượng giác của cùng một cung Đặt t = HSLG đó . điều kiện của t [ , ] t Ta được : g(t) = … Tính g’(t) . Cho g’(t) = 0 tìm các nghiệm ti [ , ] Tính g( ti) , ,gg Suy ra : max max [ , ] [ , ] min min [ , ] [ , ] y g t khi x ab y g t khi x ab Bài 3.4 : tìm m để hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN ) bằng d trên [a,b] Xét hàm số y = f(x) trên [a,b] Tính y’ . cho y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có ) Xét dấu y’ trên [a,b] ( thông thường ta cần chứng tỏ y’ >0 (hoặc y’ <0) với mọi x thuộc [a,b] => hàm số luôn ĐB (hoặc luôn NB) trên [a,b] ) Suy ra max [ , ] y ab ( hoặc min [ , ] y ab ) Cho max [ , ] y ab = d (hoặc min [ , ] y ab =d ) tìm m. Page 6 Phần 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 4.1 : Khảo sát hàm bậc 3 , bậc 4 trùng phương B1 : Tập xác định : D = R B2: Tính y’ . Cho y’ = 0 tìm nghiệm . B3 : Giới hạn : lim x y và lim x y B4: Bảng biến thiên Kết luận : Đồng biến , nghịch biến , cực đại, cực tiểu B5: Bảng giá trị : ( 5 điểm đặc biệt) B6 : Vẽ đồ thị. ( Nhận xét : Đồ thị của hàm bậc 4 trùng phương nhận Oy làm trục đối xứng) Bài 4.2 : Khảo sát hàm 1 : 0 1 b ax b y ad bc b cx d B1 : Tập xác định : D = \ d c  B2: Tính y’.Nhận xét y’>0 hoặc y’ <0, d x c B3 : Giới hạn và tiệm cận : + 0 lim x yy y = 0 y là tiệm cận ngang. + lim d x c y và lim d x c y (- hoặc+ ) d x c là tiệm cận đứng. B4: Bảng biến thiên . Kết luận : Hàm số đồng biến , nghịch biến trên từng khoảng xác định. Hàm số không có cực trị. B5 : Bảng giá trị : ( 4 điểm đặc biệt) B6 : Vẽ đồ thị. Bài 4.3 : Dựa vào đồ thị (C): y f x đã vẽ, biện luận theo m số nghiệm của phương trình ,0F m x (1) Đưa pt (1) về dạng : f x g m Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d : y = g(m) ( nằm ngang) Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của (C)và d. Dựa vào đố thị, lập bảng biện luận và kết luận. Page 7 g(m) m Số nghiệm pt (1) - Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số * Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Pt tiếp tuyến của (C) tại điểm 00 ,M x y có dạng : 0 0 0 '.y y f x x x * Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là (C1) và (C2). (C1) tiếp xúc với (C2) '' f x g x f x g x có n0 Bài 4.4 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) tại điểm 00 ,M x y Tìm x0, y0. Tính y’ . => y’(x0) Pt tiếp tuyến của (C) tại 00 ,M x y có dạng : 0 0 0 '.y y y x x x Bài 4.5 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k. Cách 1: Gọi 00 ,M x y là tiếp điểm. Tiếp tuyến d cần tìm có dạng: 00 .y k x x y d có hệ số góc k => 0 'yx = k. Giải tìm x0 . suy ra y0 = y(x0) Suy ra Pt tiếp tuyến d. Cách 2: Dùng đk tiếp xúc + Pt tiếp tuyến d có dạng : y = kx +b + d tiếp xúc với (C)  ' f x kx b f x k có nghiệm + Giải hệ tìm b . Viết pttt d. Lưu ý : Hệ số góc của tiếp tuyến có thể được cho gián tiếp như sau : + d song song với 22 : y k x b => k = k2 + d vuông góc với 22 : y k x b => 2 1 k k + d tạo với 22 : y k x b một góc thì 00 2 12 tan , 0 ,90 1 kk kk +d tạo với chiều dương của trục hoành 1 góc thì k = tan Page 8 Bài 4.6 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A (xA, yA) Cách 1: Gọi d là tiếp tuyến qua A (xA, yA) và có hệ số góc k . Suy ra : d : AA y k x x y d tiếp xúc với (C)  hệ pt sau có nghiệm : () ' AA f x k x x y f x k Giải hệ tìm x ( pp thế). => k . Viết pttt. Cách 2: tìm tọa độ tiếp điểm : Gọi 0 0 0 ,M x y là tiếp điểm.Khi đó 00 y f x Pt tiếp tuyến d tại M có dạng : 0 0 0 '.y y y x x x Vì d qua A(xA, yA) nên : 0 0 0 '. AA y y y x x x Giải pt tìm x0 . Từ đó viết pttt. Bài 4.7: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đường: Cho 2 hàm số y = f(x, m) và y = g(x, m) có đồ thị lần lượt là 12 ,CC . Biện luận theo m số giao điểm của (C1) và (C2): * B1 : Lập pt hoành độ giao điểm của 1 C và 2 C f(x,m) = g(x, m) (1) * B2: Biện luận theo m số giao điểm của 1 C và 2 C . Chú ý : * Nếu (1) là pt bậc hai thì ở bước 2 ta làm như sau: - Tính . - Biện luận theo => số nghiệm pt (1) => Số giao điểm của 1 C và 2 C . * Nếu (1) là pt bậc 3 thì ở bước 2 t a làm như sau : - Đoán 1 nghiệm của pt ( giả sử pt có nghiệm x = a) - Thực hiện phép chia đa thức ( Sơ đồ Hoocne). Ta có: (1)  (x-a)(Ax2 +Bx + C) = 0  2 0 (2) xa Ax Bx C - Tính , Biện luận theo => Số nghiệm pt(2) => số nghiệm pt (1). Page 9 Bài 4.8 : Nghiệm của pt bậc ba: Số n0 của pt b3 bằng số giao điểm của (C) với trục Ox Pt bậc 3 Đồ thị của hàm số và trục hoành Nếu Có 3 nghiệm tạo thành cấp số cộng Cắt tại 3 điểm cách đều nhau (hay 3 điểm lập thành CSC) f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và điểm uốn nằm trên trục Ox Có 3 n0 đơn phân biệt Cắt nhau tại 3 điểm phân biệt f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và yCĐ .yCT <0 Có 1 n0 kép, 1 n0 đơn Tiếp xúc nhau tại 1 điểm và cắt nhau tại 1 điểm f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và yCĐ .yCT = 0 Có duy nhất 1 n0 đơn Cắt nhau tại 1 điểm Có 2 trường hợp : * f ’(x) = 0 có n0 kép hoặc vô n0. * f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và yCĐ .yCT >0 Định lí Viet về pt bậc 3: 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3 b x x x a c x x x x x x a d x x x a Bài 4.9 : Tìm những điểm trên đồ thị hàm hữu tỉ Px y Qx có tọa độ nguyên * Phân tích Px a y A x Q x Q x , với A(x) là đa thức , a  * Tọa đô điểm trên đồ thị nguyên  x nguyên và a là bội của Q(x). * Thử lại các giá trị m tìm được => Kết luận. Bài 4.10 :Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm): y = f(x,m) Cách 1: Gọi M(x0, y0) là điểm cố định của họ đồ thị (Cm) 0 0 0 0 . , , m M x y C m y f x m có n0 m Biến đổi pt theo ẩn m. Áp dụng đk pt có n0 m  các hệ số đồng thời bằng 0. giải tìm x0, y0. => Kết luận. Lưu ý :* ax + b = 0 , m  0 0 a b Page 10 2 0 0, 0 0 a ax bx c m b c Cách 2: Gọi M(x0, y0) là điểm cố định của họ đồ thị (Cm) 0 0 0 0 . , , , m M x y C m y f x m m (*) Đặt F(m) = f(x0,m) . F(m) = y0 không đổi => F’(m) = 0 . Giải pt tìm x0. Thay vào (*) tìm y0. Kết luận điểm cố định. Bài 4.11: Đồ thị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối: Cho đồ thị (C) : y = f(x) . Dựa vào đồ thị (C) , vẽ đồ thị (C’) : a) y f x , b) ()y f x Vẽ đồ thị (C) : y = f(x) Đồ thị hàm số ()y f x Ta có: ( ), ( ) 0 () ( ), ( ) 0 f x f x y f x f x f x +Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên trục hoành +Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành Suy ra đồ thị hàm số ()y f x Đồ thị hàm số ()y f x Ta có: ()y f x là hàm số chẳn và ( ), 0 () ( ), 0 f x x y f x f x x +Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung +Bỏ phần đồ thị (C) nằm bên trái trục tung. Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung qua trục tung. Suy ra đồ thị hàm số ()y f x . Tính y’ Cách 1: Hàm số đạt cực trị tại x = x0 => y’(x0) = 0 .tìm m Với mỗi giá trị m tìm được, ta thay vào y’. lập bảng biến thi n. Dựa vào BBT kết luận m đó có thỏa ycbt không. Cách 2. đại và cực tiểu) thỏa điều kiện K ( đk về x1, x2) . + Tìm TXĐ + Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. (*) + Hoành độ cực đại và cực tiểu là nghiệm của pt y’ = 0 (Ta có thể suy ra các. nghiệm ( nếu có ) Xét dấu y’ trên [a,b] ( thông thường ta cần chứng tỏ y’ >0 (hoặc y’ <0) với mọi x thuộc [a,b] => hàm số luôn ĐB (hoặc luôn NB) trên [a,b] ) Suy ra max [ , ] y ab